Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Понятие ``предикат'' обобщает понятие ``высказывание''. Неформально говоря, предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.
Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.
Возьмём высказывание: ``расстояние от Иркутска до Москвы 5 тысяч километров''. Вместо него мы можем записать предикат ``расстояние'' (означающий, что первый и второй аргумент этого предиката находятся на расстоянии, равном третьему аргументу) для аргументов ``Иркутск'', ``Москва'' и ``5 тысяч километров''.
Язык логики высказываний не вполне подходит для выражения логических рассуждений, проводимых людьми, более удобен для этого язык логики предикатов.
Пример рассуждения, не выразимого в логике высказываний. Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.
Это рассуждение на языке логики высказываний можно записать тремя отдельными высказываниями. Однако никакой связи между ними установить не удастся. На языке логики предикатов эти предложения можно выразить с помощью двух предикатов: ``быть человеком'' и ``быть смертным''. Первое предложение устанавливает связь между этими предикатами.
Перейдём теперь к формальному изложению логики предикатов.
Если в формулу логики предикатов вместо каждой предикатной переменной подставить конкретный предикат, определенный на некотором выбранном множестве , то формула превратится в конкретный предикат, заданный над множеством . При этом, если исходная формула была замкнутой, то полученный конкретный предикат окажется нульместным, т.е. будет высказыванием. Если же исходная формула была открытой, т. е. содержала свободные вхождения предметных переменных, то в результате подстановки получим предикат, зависящий от некоторых предметных переменных. Если теперь подставить вместо этих предметных переменных конкретные предметы из множества , то полученный предикат, а следовательно, и исходная формула превратятся в конкретное высказывание.
Превращение формулы логики предикатов в высказывание описанным выше способом (а также само получаемое высказывание) называется интерпретацией этой формулы на множестве . Итак, если формула логики предикатов замкнутая, т.е. не содержит свободных предметных переменных, то ее интерпретация состоит из одного этапа и сводится к подстановке вместо всех предикатных переменных конкретных предикатов, в результате чего формула превращается в конкретное высказывание (нульместный предикат). Если же формула логики предикатов открытая, т. е. содержит ряд свободных предметных переменных, то ее интерпретация состоит из двух этапов. Во-первых, вместо всех предикатных переменных необходимо подставить конкретные предикаты, в результате чего формула превратится в конкретный предикат, зависящий от такого количества предметных переменных, сколько было свободных предметных переменных в исходной формуле. Во-вторых, нужно придать значение каждой предметной переменной, от которой зависит получившийся предикат, в результате чего этот предикат (и, значит, вся исходная формула) превратится в конкретное высказывание (истинное или ложное).
Для определения значения логических формул можно воспользоваться таблицами истинности. Однако, построение таблицы истинности не всегда возможно или удобно. Например, в силу ее значительной размерности для большого числа переменных.
Поэтому, наряду с таблицами истинности пользуются и другими, аналитическими способами вычисления значений логических формул.
Логическим исчислением или просто исчислением называют четверку, которая включает в себя:
Алфавит (совокупность используемых символов);
Синтаксические правила построения формул в алфавите;
Аксиомы (общезначимые формулы или тождественно истинные формулы);
Правила вывода по аксиомам производных формул или теорем.
Основное назначение исчисления высказываний – доказательство истинности формул на основании аксиом или других истинных формул. Для этого вводятся специальные правила вывода вида α ├ , где α называется условием, – следствием, которые позволяют по истинности α заключить об истинности .
Если в условии или следствии несколько формул, то они записываются через запятую. Если из истинности всех формул, входящих в условие, следует истинность всех формул входящих в следствие, правило называют состоятельным.
Доказательство состоятельности можно осуществить через построение таблицы истинности, где в строках перечислены все модели условия.
Если всем этим условиям соответствуют истинные следствия, то правило состоятельно.
Исчислением высказываний называют исчисление, в котором в качестве алфавита взят алфавит логики высказываний, в качестве синтаксических правил – синтаксические правила логики высказываний, в качестве аксиом – некоторое множество общезначимых формул, а в качестве правил – правила Modus ponens и правило подстановки