Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема: Ризик та елементи теорії корисності
1. Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення
КОРИСНІСТЬ виражає ступінь задоволення, яке одержує суб’єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.
Співвимірність цінних паперів, які також є товаром, на перший погляд, простіше здійснити, оскільки усі вони мають ціну. Але ризиковані цінні папери — це документи, котрі засвідчують можливість одержання грошей у майбутньому, і тут співвимірність проблематична: не можна сказати, яка з випадкових величин, що відображає ефективність (норму доходу) кожного з цінних паперів, буде більшою чи меншою, а отже, не можна сказати, який з цінних паперів чи який портфель цінних паперів є пріоритетнішим.
Для формального опису співвідношень пріоритету використовують, відповідно, символи, а саме:
«не гірше за» - .
«краще за» - ;
«байдуже» («еквівалентне») - ;
Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше, ніж» є одним із основних найпростіших понять. Запис x y, де х та у є набором товарів чи послуг (точками простору Х), означає, що певний суб’єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим, ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірше, ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х у) тоді і лише тоді , коли
х y та у x .
Коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х y), то це відбувається тоді, коли х не гірше за у, а у гірше за х. Тобто, х y тоді і лише тоді, коли х y і при цьому твердження, що у x, є несправедливим.
Якщо через х позначити набір товарів (послуг тощо), через Х — множину всіх можливих наборів товарів, вважаючи при цьому, що вона є неперервною, то можна побудувати неперервну дійсну функцію U(x), визначену на елементах множини Х, яку називають функцією корисності і для якої U(x) > U(y), якщо х у.
ГРАНИЧНА КОРИСНІСТЬ вимірює додаткове задоволення, що його одержує особа від споживання додаткової кількості товару.
2.Корисність за Нейманом
Поняття лотереї
Для цього необхідно з множини Х пред’явлених експертам значень певного економічного показника (об’єкта) виділити два значення х* та х* таких, що х х* та х х* для всіх х Х, тобто найменш пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показника (це буде «нуль» даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне, в певному сенсі, значення показника (разом з «нулем» вони визначають масштаб даної шкали). Власне, так побудована функція корисності Дж. ф. Неймана і О.Моргенштерна. Експерту пропонують порівняти між собою дві альтернативи:
1) значення показника х;
2) лотерею: одержати х* з імовірністю 1 – р чи х* з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(х*, p, x*) не стануть еквівалентними, тобто x L(х*, p, х*).
Максимальному й мінімальному значенням х* та х* приписують довільні числові значення U*= U(х*) та U* = U(x*), але так, щоб U* > U*.
Під лотереєю L(x*, p(x), x*) розуміють ситуацію, у якій особа може отримати х* з імовірністю р(х) або х* з імовірністю 1 – р(х). (Часто використовують запис: L(x*, p(x); x*, q(x)), де q(х) = 1 – р(х)).
За Нейманом корисність варіанта х визначається ймовірністю U(х) = р(х), при якій особі байдуже, що обирати: х — гарантовано, чи лотерею L(х*, р(х), х*), де х*, х* — вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х, х — варіант економічного ефекту (наприклад, обсяг грошової винагороди).
Наприклад, як функцію корисності можна вибрати функцію
бо для всіх x [x*, x*] значення q(х) [0; 1]. Оскільки при зростанні х від х* до х* значення q(х) будуть збільшуватися, то вибрана таким чином функція корисності буде зростаючою.
Якщо покласти
то в цьому випадку ми отримаємо спадаючу функцію корисності (p(x) = 1 – q(x); p(x) [0, 1] для x [x*, х*]).
У якості функції корисності (згідно з Нейманом) можна використати функції розподілу ймовірностей:
U(x) = F(x) = P(X < x).
Hаприклад:
СПОДІВАНА КОРИСНІСТЬ
Нехай L — лотерея, що приводить до виграшів (подій) x1, х2, ...., хn з відповідними ймовірностями p1, p2, ..., pn. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через :
Справедлива основна формула теорії сподіваної корисності:
тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.
3. ДЕТЕРМІНОВАНИЙ ЕКВІВАЛЕНТ ЛОТЕРЕЇ. СТРАХОВА СУМА
Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику та їхнього взаємозв’язку з функціями корисності.
Детермінований еквівалент лотереї L — це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто L. Отже, визначається з рівняння:
U() = M(U(Х)), або = U – 1(M(U(Х))),
де U – 1 () — функція, обернена до функції U(x).
Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, що їх визначено вище, стосуються лотереї із скінченним числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює:
а детермінований еквівалент можна знайти із співвідношень:
.
Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:
CC(Х) = –.
Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента із протилежним знаком:
CC(Х) = –.
Премія за ризик. Приклади
За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) (Х) — це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (уступити її) з середнього виграшу щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю. Тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу.
!!!Зауважимо: Для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик (Х) в лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом, тобто
Приклад 1. Нехай U(x) = a + bx, b > 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю, що має щільність розподілу f(x). Необхідно відшукати сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик.
Розв’язання. Сподіваний виграш знаходимо за формулою :
Детермінований еквівалент знаходимо з рівняння:
U() = M(U(Х)).
Оскільки , , то .
Отже, для лінійної функції корисності премія за ризик (Х) = – – = 0.
Приклад 2. Нехай U(x) = а – be–cx, де а > 0, b > 0, c > 0, x 0 (рис.1). Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x1, p; x2, q), p + q = 1. Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .
Розв’язання. Сподіваний виграш .
Детермінований еквівалент є розв’язком рівняння U() = = M(U(Х)) або з рівнозначного рівняння:
Якщо покласти х1 = 80, х2 = 100, с = 2, р = 0,7, q = 0,3, то отримуємо:
Премія за ризик (Х) = 86 – 80,2 = 5,8.-
Рис. 1. Графік функції корисності U(x) = a – be– cx
Нехай лотерея L приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .
Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою: .
Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою: .
Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.
4. РІЗНЕ СТАВЛЕННЯ ДО РИЗИКУ ТА КОРИСНІСТЬ: НЕСХИЛЬНІСТЬ, СХИЛЬНІСТЬ та Байдужість ДО РИЗИКУ
Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є можливість одержати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, аніж брати в ній участь.
З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Отже, умова несхильності до ризику записується як
U(M(X)) > M(U(X)).
Твердження 1. Особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла вгору.
Особу, яка приймає рішення, називають схильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є участь у лотереї, ніж можливість одержати гарантовано сподіваний виграш.
Отже, умова схильності до ризику записується як
U(M(X)) < M(U(X)).
Твердження 2. Особа, яка приймає рішення, схильна до ризику в тому i тільки в тому випадку, коли її функція корисності опукла вниз.
Рис. 3. Функція корисності особи, схильної до ризику
ФУНКЦІЯ СХИЛЬНОСТІ-НЕСХИЛЬНОСТІ ДО РИЗИКУ
При різних рівнях доходу (багатства) ставлення людини до ризику може змінюватись. Досить реалістичною гіпотезою для широкого кола суб’єктів є схильність до ризику при невеликих сумах (відносно загального достатку) та несхильність при значних сумах. Графічно ця гіпотеза зображена на рис. 3.
Рис.4. Функція схильності-несхильності до ризику (С-НСР)
ВИСНОВОК: У загальному випадку ОПР може бути як схильною до ризику, так і несхильною до ризику, в залежності від суми ризику. У цьому випадку відповідна крива корисності матиме вид подовженої букви S.
X - ОПР несхильна до ризику (обережна), оскільки проявляє більшу чутливість до втрати, ніж до прибутку.
Рис. 5. Функція корисності для ОПР, несхильної до ризику
Ця функція має такі властивості
1. Функція корисності для ОПР, несхильної до ризику не спадна, тому що больша кількість грошей завжди привабливіша меншої кількості.
2. ЇЇ графік опуклий вгору (вигнутий). Це означає, що відносна корисність грошей не зростає.
Рис. 6. Функція корисності для ОПР, несхильної до ризику
Нехай у вас є 200 грн. и ви отримали з якогось джерела ще 100 грн.. У такому випадку корисність грошей зросте на величину
U(300) - U(200) =
Якщо ж Ви маєте 200 грн. і Ви втратите 100 грн., то в цьому випадку корисність зросте на величину
U(200) - U (100) ==
Таким чином, 100 отримання додаткових грн. для ОПР, несхильної до ризику, менше привабливі (важливі), ніж втрата 100 грн;
тобто: для ОПР, несхильної до ризику, менше привабливіший (важливіший) виграш, ніж програш. На програш ОПР, не схильна до ризику, звертає значно більше уваги.
ОТЖЕ: для неї пріоритетнішим є одержання гарантовано сподіваного виграшу у лотереї, аніж участь у ній.
б) ОПР Z - _ протилежність у цьому відношенні ОПР X; вона схильна до ризику (налаштована на ризик).
Ця функція має такі властивості
1. Функція корисності для ОПР, схильної до ризику не спадна, тому що більша кількість грошей завжди привабливіша їх меншої кількості.
2. ЇЇ графік угнутий. Це означає, что відносна корисність грошей зростає.
У цьому випадку при виграші певної суми грошей корисність зросте на більшу величину, ніж величина корисності при втраті тієї ж суми грошей.
Наприклад, якщо при початковій сумі 200 грн. ви отримаєте з певного джерела (виграєте) 100 грн., то корисність зросте на величину
U(300) - U(200) =.
Якщо ж при початковій сумі 200 грн. ви втратите (програєте) 100 грн., то корисність зменшиться на величину
U(200) - U(100) =
Таким чином, для ОПР, схильної до ризику, привабливіший виграш, ніж програш. На програш ОПР схильна до ризику звертає значно менше уваги. Для ОПР пріоритетнішим є участь у лотереї, ніж можливість одержати гарантовано сподіваний виграш. Корисність очікуваного доходу менша, ніж очікувана корисність для ОПР схильної до ризику
Рис. 7. Функція корисності для ОПР, схильної до ризику
Далі, ОПР Y є нейтральною(байдужою) до ризику, так як згадані зміни породжують однакові зміни корисності.
Рис. 8. Функція корисності для ОПР, байдужої до ризику
Ця функція має такі властивості
1. Функція корисності для ОПР, байдужої до ризику не спадна, тому що больша кількість грошей завжди привабливіша їхменшої кількості.
2. ЇЇ графік – лінійна функція. Це означає, что відносна корисність грошей зростає.
Наприклад, якщо при початковій сумі 200 грн. ви отримаєте з певного джерела (виграєте) 100 грн., то корисність зросте на величину
U(300) - U(200) =
Якщо ж при початковій сумі 200 грн. ви втратите (програєте) 100 грн., то корисність зменшиться на величину
U(200) - U(100) =
ОПР байдужа у виборі між отриманням гарантованої суми, що збігається зі сподіваним виграшем, та участю у лотереї.
Рис. 9. Функція корисності для осіб, що по різному відносяться до ризику
Можна зробити висновок, що ставлення до ризику —
Аналітично функції корисності такого типу можна задати за допомогою різних функцій розподілу ймовірностей, а саме:
Наприклад, виходячи з нормального закону розподілу, що має параметри m та , отримуємо:
.
НЕЙТРАЛЬНІСТЬ ДО РИЗИКУ
Проміжне значення між схильністю та несхильністю до ризику відіграє нейтральність (байдужість) до ризику. Вона визначається байдужістю особи у виборі між отриманням гарантованої суми, яка збігається з середньоочікуваним виграшем, та участю у лотереї.
Очевидно, що
а) функція корисності для особи, нейтральної до ризику, є лінійною, тобто
U(x) = ax + b;
б) умова байдужості до ризику:
U(M(Х)) = M(U(Х));
в) величина сподіваного виграшу збігається з детермінованим еквівалентом лотереї (), а тому премія за ризик (Х) = 0.
Твердження 3. При зростаючій функції корисності для всіх невироджених лотерей особа, яка приймає рішення, тоді і тільки тоді є:
а) несхильною до ризику, коли премія за ризик є додатною ( (Х) > 0);
б) схильною до ризику, коли премія за ризик є від’ємною ( (Х) < 0);
в) нейтральною до ризику, якщо премія (Х) = 0.
Функція має вид
U(x) = 1 – e-x/r,
де х— грошова сума, якій ми повинні приписати певне значення корисності. Функція залежить від одного невідомого параметра r, який визначає ОПР схильна до ризику. Чим більше значення r, тим менше компанія або ОПР уникає ризику (тобто вони можуть піти на більший ризик). І, навпаки, чим менше значення r, тим більше компанія або індивідум уникає ризику.
Існує багато способів визначення значения параметра r.
Задача 1 Оцінювання корисності доходу. Припустимо, ви заощадили 5000 грн, щоб наступного року придбати меблі. Знайомий бізнесмен пропонує вам укласти гроші в його бізнес. У разі невдачі ви втрачаєте 5000 грн і можливість купити меблі. У разі успіху через рік ви одержуєте 30 000 грн. Фахівець із маркетингу оцінює ймовірність успіху в 0,3. Альтернативний варіант — покласти гроші в банк під 9 % річних без жодного ризику. Яке рішення ви приймете?
ПРАКТИКУМ
ТЕМА: РИЗИК ТА ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРИСНОСТІ
Задача 1. Припустимо, що людина, яка має дохід у 1,5 тис. грн, оцінює нове місце роботи. Заробітна платня на новому місці роботи може бути вдвічі більшою, тобто 3,0 тис. грн, або може знизитися до 1,0 тис. грн. Кожна альтернатива має ймовірність 0,5.
Функція корисності відображає несхильність цієї людини до ризику. Відомі деякі значення функції корисності:
|
x, заробітна платня, |
U(x), значення функції |
|
1,0 |
10 |
|
1,5 |
13 |
|
1,6 |
14 |
|
2,0 |
16 |
|
3,0 |
18 |
|
4,0 |
20 |
Як має вчинити людина: залишитися на старому місці чи перейти на нову роботу?
Розв’язання. Заробітна платня на старому місці роботи має корисність, яка становить 13 одиниць: U(1,5) = 13. Рівень корисності, що відповідає заробітній платні в 1,0 тис. грн, становить 10 одиниць, а рівень корисності, пов’язаний із заробітною платнею у 3,0 тис. грн, дорівнює 18. Скориставшись формулою для обчислення сподіваної корисності, дістанемо:
Нове місце роботи, що пов’язане з ризиком, є більш пріоритетіним, бо сподівана корисність = 14 одиниць більша за корисність, пов’язану з теперішнім місцем роботи, яка становить лише 13 одиниць.
Отже, цій людині слід погодитися на нове місце роботи, хоч воно й пов’язане із ризиком.
Обчислимо також винагороду (премію) за ризик Ми вже з’ясували, що сподівана корисність у 14 одиниць досягається в разі переходу на нове місце роботи. Сподівана заробітна платня при цьому становить 2,0 тис. грн. Але рівень корисності в 14 одиниць може бути також досягнутий, якщо стабільна (певна) заробітна платня цієї особи, тобто детермінований еквівалент , становитиме 1,6 тис. грн, оскільки U(1,6) = 14.
Премію за ризик обчислимо за формулою:
(тис. грн).
Отже, 0,4 тис. грн становить, власне, ту величину заробітної платні, якою людина готова знехтувати, вважаючи більш пріоритетною роботу з певною (стабільною) заробітною платнею в 1,6 тис. грн порівняно з роботою, пов’язаною з більшою, але обтяженою ризиком сподіваною заробітною платнею у 2,0 тис. грн.
Задача 2.
Особа з тою самою функцією корисності, що й у попередній задачі, обираючи місце роботи, має кілька альтернативних варіантів.
Перше місце роботи пов’язане зі стабільною заробітною платнею у 2,0 тис. грн. Друге місце роботи пов’язане з ризиком або мати заробітну платню 3,0 тис. грн з імовірністю 0,5, або заробітну платню у 1,0 тис. грн. Третє місце роботи теж пов’язане з ризиком мати заробітну платню 4,0 тис. грн з імовірністю 0,5, або не мати заробітної платні взагалі.
Яке місце роботи доцільно обрати цій людині?
Розв’язання. На першому місці роботи зі стабільною заробітною платнею у 2,0 тис. грн людина має корисність доходу = 16 одиниць.
У разі обрання другого місця роботи середній дохід становитиме:
(тис. грн),
тобто буде таким, як і на першому місці роботи.
Обчислимо корисність, пов’язану з обранням другого місця роботи:
Якщо обрано третє місце роботи, сподівана заробітна платня, як і в перших двох випадках, становитиме 2,0 тис. грн:
(тис. грн).
Корисність, пов’язана з обранням третього місця роботи:
Порівнюючи корисності, обираємо максимальну з них:
Отже, з трьох місць роботи слід обрати перше, де і корисність максимальна (16), і заробітна платня стабільна.
Задача 3.
Розглянемо функцію корисності виду , що відображає схильність людини до ризику. Обчислити сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик для лотереї
Розв’язання. Сподіваний виграш:
Сподівана корисність цієї лотереї:
Детермінований еквівалент знаходимо з рівняння:
Отже: .
Тоді премія за ризик становитиме:
НАВЧАЛЬНІ ЗАДАЧІ
1. Лотерею задано рівномірною щільністю розподілу:
Функція корисності має вигляд . Обчислити за варіантами, поданими в таблиці, сподіваний виграш, детермінований еквівалент, премію за ризик, визначити ставлення людини до ризику і дати економічне тлумачення отриманих результатів.
|
Номер варіанта |
a |
с |
х1 |
х2 |
|
1 |
10 |
2,0 |
0 |
10 |
|
2 |
20 |
3,0 |
10 |
20 |
|
3 |
50 |
0,1 |
20 |
30 |
|
4 |
30 |
1,0 |
5 |
10 |
|
5 |
45 |
0,5 |
5 |
20 |
|
6 |
55 |
4,0 |
5 |
30 |
|
7 |
25 |
0,25 |
0 |
10 |
|
8 |
65 |
5,0 |
10 |
20 |
|
9 |
75 |
0,4 |
20 |
30 |
|
10 |
35 |
0,2 |
0 |
10 |
|
11 |
95 |
1,2 |
10 |
20 |
|
12 |
10 |
2,5 |
20 |
30 |
|
13 |
15 |
0,6 |
5 |
10 |
|
14 |
85 |
3,5 |
5 |
20 |
2.
Нехай задано функцію корисності особи Для лотерей та обчислити: сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик. Яку з лотерей обере особа? Чи схильна вона до ризику?
3.
Для функції корисності та для лотереї виду обчислити сподіваний виграш, детермінований еквівалент, премію за ризик та функцію локальної несхильності до ризику за варіантами, поданими в таблиці.
|
Номер варіанта |
а |
в |
с |
х1 |
х2 |
|
1 |
2,0 |
1,0 |
1,0 |
0,0 |
10 |
|
2 |
2,0 |
1,0 |
1,0 |
10 |
20 |
|
3 |
2,0 |
1,0 |
1,0 |
20 |
30 |
|
4 |
1,0 |
1,0 |
0,5 |
0,0 |
10 |
|
5 |
1,0 |
1,0 |
0,5 |
10 |
20 |
|
6 |
1,0 |
1,0 |
0,5 |
10 |
20 |
|
7 |
0,0 |
1,0 |
0,1 |
0,0 |
10 |
|
8 |
0,0 |
1,0 |
0,1 |
10 |
20 |
|
9 |
0,0 |
1,0 |
0,1 |
20 |
30 |
|
10 |
0,0 |
0,5 |
-0,5 |
0,0 |
10 |
|
11 |
0,0 |
0,5 |
-0,5 |
10 |
20 |
|
12 |
0,0 |
0,5 |
-0,5 |
20 |
30 |
|
13 |
1,0 |
1,0 |
2,0 |
0,0 |
10 |
|
14 |
1,0 |
1,0 |
2,0 |
10 |
20 |
|
15 |
1,0 |
1,0 |
2,0 |
20 |
30 |
4.
Особа має функцію корисності U(x) = і обирає нове місце роботи з двох альтернатив. У першому випадку її невизначена заробітна платня може становити 1000 гр. од. з імовірністю 0,5 або 3000 гр. од. з тією самою ймовірністю. В іншому місці їй пропонують детерміновану заробітну платню 2000 гр. од. Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?
5.
Особа має функцію корисності U(x) = 0,01x2. Вона має три альтернативні варіанти вибору нового місця роботи. Перше місце роботи пов’язане зі стабільною заробітною платнею у 2000 гр. од. Друге місце роботи пов’язане з ризиком: або мати заробітну платню 3000 гр. од. з імовірністю 0,5, або заробітну платню 1000 гр. од. Третє місце роботи також пов’язане з ризиком мати 4000 гр. од. з імовірністю 0,5 або не мати заробітної платні взагалі.
Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?
6.
Підприємець, функція корисності якого задана як U(x) = 2, вирішує, як йому краще використати частину свого капіталу в 100 тис. доларів. Ці кошти він може:
а) покласти в банк на депозитний рахунок з фіксованим прибутком 15 % на рік;
б) пустити в обіг і отримати прибуток 50 % від вкладених кошітів, але ймовірність цього становить 0,4, а ймовірність того, що підприємець одержить суму, яка дорівнюватиме його первинному капіталу, становить 0,6.
Як підприємцю доцільніше використати свій капітал? Обчисліть премію за ризик і розкрийте її економічну сутність.
7.
Підприємство, функція корисності якого задана як U(x) = = 0,15x2, має тимчасово вільний капітал обсягом 150 тис. доларів. Керівництво підприємства вирішило вкласти ці кошти у цінні папери. На ринку цінних паперів керівництво підприємства постало перед вибором:
а) можна вкласти капітал у державні цінні папери з фіксованою нормою прибутку 5 % на рік;
б) можна вкласти капітал в облігації корпорацій під 20 % річних, причому ймовірність отримання обіцяного прибутку становить 0,7, а ймовірність невдачі, тобто отримання тільки номіналу — 0,3.
Який вибір доцільніше зробити керівництву підприємства? Обчисліть премію за ризик і розкрийте її економічну сутність.
Наведіть приклад підприємства, яке б мало функцію корисності, аналогічну заданій.
8.
Двоє студентів у вихідний день вирішили піти на іподром, маючи кожен по 50 грн. Перед черговим заїздом вони почали радитись:
а) можна спостерігати за видовищем і зберегти свої гроші;
б) можна зробити ставку в черговому заїзді й при цьому або програти свої гроші з імовірністю 0,5, або отримати виграш у відношенні 1:3.
Яке рішення прийме кожен зі студентів, якщо один з них має функцію корисності , а другий — ?
Охарактеризуйте цих студентів з позиції їхнього ставлення до ризику.
9.
Користуючись концепцією корисності за Нейманом, порівняйте ефективність рішень, наведених у таблиці (прибуток у десятках тисяч доларів), якщо відомо, що функція корисності задається формулою: :
|
Рішення |
Варіанти прибутків |
||
|
І |
10 |
–5 |
–5 |
|
II |
–5 |
–5 |
10 |
|
III |
1,5 |
1,5 |
0 |
|
IV |
0 |
0 |
0 |
|
Імовірності |
0,5 |
0,1 |
0,4 |
10.
Користуючись концепцією корисності за Нейманом, порівняйте ефективність рішень, записаних у таблиці попередньої задачі, якщо функція корисності задається формулою .
Індивідуальна робота по темі «Теорія корисності для прийняття рішень в умовах ризику»
Завдання 4.2.1
Особа, функцію корисності якої зображено на рис. 4.2, має кілька альтернативних варіантів інвестиційної діяльності. Перший пов’язаний зі стабільним доходом — А1 грн, другий — з ризиком: або мати дохід А2 грн, або дохід А3 грн з альтернативною ймовірністю 0,5, третій — з ризиком мати дохід А4 грн з імовірністю 0,5 або не мати жодного доходу (табл. 4.16). Який варіант обрати особі?
Рис. 4.2. Функція корисності особи, яка приймає рішення
Таблиця 4.16
ДАНІ ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ВАРІАНТІВ ЗАВДАННЯ
|
Варіант |
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
|
1 |
250 |
420 |
190 |
500 |
|
2 |
280 |
400 |
300 |
500 |
|
3 |
200 |
100 |
300 |
420 |
|
4 |
280 |
220 |
400 |
500 |
|
5 |
200 |
120 |
300 |
450 |
|
6 |
220 |
150 |
420 |
500 |
|
7 |
300 |
100 |
400 |
450 |
|
8 |
250 |
200 |
350 |
450 |
|
9 |
240 |
130 |
320 |
400 |
|
10 |
260 |
220 |
350 |
500 |
|
11 |
320 |
400 |
450 |
500 |
|
12 |
220 |
180 |
300 |
420 |