Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Вариант 1
№ 1
Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.
Найти вероятности того, что:
а) все три стрелка попадают в цель;
б) только один из них попадает в цель;
в) хотя бы один стрелок попадает в цель.
Обозначим события: А –все 3 стрелка попадают в цель; В –только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.
в) Событие –все три стрелка промахиваются. Тогда
Р(С) = 1 –Р() = 1 –,1∙0,2∙0,3 = 1 –,006 = 0,994.
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
|
хі |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
рі |
0,05 |
0,18 |
0,23 |
0,41 |
0,13 |
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.
i=1
5
D(X) = ∑ xi²pi –M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 –,39² = i=1
1,1579.
σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) –F(a) P= F(1) –F= – = .
Графики функций поданы далее.
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.
Используем формулу Р(α < x < β) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф–Ф(–).
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф–Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
По данному статистическому распределению выборки
|
хі |
4 |
,8 |
,6 |
,4 |
,2 |
,8 |
,6 |
|
|
mі |
5 |
|
|
|
|
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
, где С –одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h –это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда .
Заполним таблицу:
|
xi |
mi |
xi´ |
ximi |
(xi´)²mi |
|
4 |
– |
– |
80 |
|
|
5,8 |
– |
– |
72 |
|
|
7,6 |
– |
– |
48 |
|
|
9,4 |
– |
– |
25 |
|
|
11,2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
13 |
1 |
20 |
20 |
|
|
14,8 |
2 |
36 |
72 |
|
|
16,6 |
3 |
18 |
54 |
|
|
∑ = 124 |
∑ = – |
∑ = 371 |
Используя таблицу, найдём ;
D(x´) = ∑(xi´)²mi –(xi´)² = –(–,1532)² = 2,9685.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = x´h + C = –,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;
σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.
|
у х |
ny |
||||||
|
5 |
|||||||
|
15 |
|||||||
|
25 |
|||||||
|
35 |
|||||||
|
45 |
|||||||
|
nx |
4 |
n = 120 |
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = . Составим таблицу:
|
v u |
– |
– |
– |
nv |
nuvuv |
|||
|
– |
6 |
2 4 |
||||||
|
– |
2 |
23 1 |
3 |
|||||
|
0 |
0 |
44 0 |
5 0 |
|||||
|
1 |
1 – |
8 0 |
4 1 |
|||||
|
2 |
2 |
2 4 |
6 |
|||||
|
nu |
4 |
n = 120 |
∑ = 84 |
Последовательно получаем:
;
;
;
;
σu² = –(u)² = 1,058 –(–,425)² = 0,878; σu = √0,878 = 0,937;
σv² = –(v)² = 0,742 –(–,125)² = 0,726; σv = √0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 84.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = –,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2 + C2 = –,125∙10 + 25 = 23,75;
σx = σu∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457∙12 –,968 = 19,516; ε1 = 19,762 –,516 = 0,246;
) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457∙18 –,968 = 34,258; ε2 = 34,258 –,231 = 0,027.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
Вариант 2
№ 2
Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:
а) только одного устройства;
б только двух устройств;
в) всех трёх устройств.
Обозначим события: А –срабатывает только одно устройство; В –срабатывают 2 устройства; С –срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда
а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.
б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.
в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.
№ 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.
По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .
Таким образом,
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
|
хі |
|
||||
|
рі |
0,25 |
0,15 |
0,27 |
,08 |
,25 |
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.
i=1
D(X) = ∑ xi²pi –M² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 –,43² і=1
= 5,0451.
σ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246.
№ 32
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) –F(a) P= F(1) –F=
Графики функций приводятся далее.
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.
Используя формулу имеем
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
№ 52
По данному статистическому распределению выборки
|
хі |
7,6 |
|
,4 |
,8 |
,2 |
,6 |
,4 |
|
|
mі |
6 |
|
|
|
|
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
где С –одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h –это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда
Заполним таблицу:
|
xi |
mi |
xi´ |
ximi |
(xi´)²mi |
|
7,6 |
– |
– |
||
|
8 |
– |
– |
||
|
8,4 |
– |
– |
||
|
8,8 |
||||
|
9,2 |
||||
|
9,6 |
||||
|
10 |
||||
|
10,4 |
||||
|
∑ = 137 |
∑ = 51 |
∑ = 335 |
Используя таблицу, найдём
;
D(x´) = ∑(xi´)²mi –(xi´)² = –,3723² = 2,3067.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;
σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.
№ 62
По данной корреляционной таблице
|
у х |
ny |
||||||
|
10 |
|||||||
|
20 |
|||||||
|
30 |
|||||||
|
40 |
|||||||
|
50 |
|||||||
|
nx |
2 |
n = 140 |
найти выборочное уравнение регрессии.
Для упрощения расчетов введём условные переменные
Составим таблицу.
v u
|
– |
– |
nv |
nuvuv |
|||||
|
– |
4 |
5 2 |
||||||
|
– |
1 |
8 0 |
4 – |
|||||
|
0 |
0 |
46 0 |
10 0 |
|||||
|
1 |
0 |
20 1 |
4 2 |
|||||
|
2 |
0 |
14 2 |
2 4 |
5 6 |
22 |
|||
|
nu |
2 |
19 |
n = 140 |
∑ = 114 |
Последовательно получаем:
;
;
;
;
σu² = –(u)² = 0,9 –,329² = 0,792; σu = √0,792 = 0,89;
σv² = –(v)² = 1,164 –,293² = 1,079; σv = √1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 114.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;
σx = σu∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению: ух=12 = 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 –,944 = 0,54;
) при х = 16 по таблице имеем
по уравнению: ух=16 = 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 –,008 = 0,159.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
2. Основи менеджменту
3. е годы Э Фромм провозгласил себя сторонником радикального гуманизма как теоретической концепции личности и
4. Механизмы венчурного рискового финансирования мировой опыт и перспективы развития в России
5. Доклад ’ 1. Ключевский В.html
6. острую или хроническую дисфункцию возникающую вследствие относительного или абсолютного уменьшения снаб
7. Введение9
8. 48 Понятие валидности психологического эксперимента
9. Норми сучасної української мови у спілкуванні
10. .09.2013 года по 21.12.
11. ТЕМАТИКА рефератів з дисципліни Регіональна економіка Соціальноекономічний розвиток Кримськог
12. Проблема бессознательного в психоанализе и грузинской школе психологии установки 3
13. Управление основными средствами на предприятии
14. МЕЖДУНАРОДНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ РОССИЙСКИХ ВУЗОВ
15. тематизирован. Также пособие является альтернативой для преподавателей при планировании занятий
16. История создания концентрационных лагерей Страница 5 1
17. Миллиардербунтарь которое вышло на канале телекомпании Fox
18. Развивать интерес к научно~исследовательской деятельности
19. максимум счастья для максимального числа людей то моральные нормы не должны быть препятствием для реализа
20. Идея внутренней противоречивости конфликтности политики утвердилась в науке в XIX веке