поступательное; вращательное; плоскопараллельное
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Кинематика твердого тела
В кинематике твердого тела определяются: закон движения и кинематические характеристики тела, а также кинематические характеристики точек тела.
В данном методическом пособии рассмотрены следующие виды движения твердого тела:
- поступательное;
- вращательное;
- плоскопараллельное.
2.1 Поступательное движение
Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе.
На рисунках 2.1,а и 2.1,б приведены примеры поступательного движения: движение прямоугольника в плоскости чертежа, движение каждой кабины колеса обозрения.
а б
Рисунок 2.1
Рисунок 2.2
Исходя из определения поступательного движения, движение твердого тела может быть задано в векторном виде формулой (рисунок 2.2):
rM=rA ⊕ AM.
В этой формуле AM - вектор постоянный по величине и направлению, поэтому производная от него равна нулю. Для скорости и ускорения произвольной точки M получим:
То есть скорости и ускорения точек твердого тела при поступательном движении равны и одинаково направлены, а траектории при наложении совпадают.
Для определения кинематических характеристик точек тела достаточно знать закон движения одной из них.
.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называют движение, при котором хотя бы две точки тела все время остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения.
2.2.1 Основные формулы для определения параметров вращающегося твердого тела
Рисунок 2.3
Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Одна из этих плоскостей неподвижна, вторая скреплена с твердым телом и поворачивается вместе с ним (рисунок 2.3).
Изменение этого угла с течением времени и есть закон вращательного движения:
φ=φ(t), рад. (2.2)
Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения (ось Oz на рисунке 2.3). Угол измеряется в радианах.
Угловая скорость и угловое ускорение
Скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени называется угловой скоростью.
Быстрота изменения угла φ – это угловая скорость:
ω=dφ/dt=φ', рад/с; с-1. (2.3)
Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим
Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.
Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением:
Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном - противоположны.
Для некоторых частных случаев вращательного движения могут быть использованы формулы:
- равномерное вращение ( ω - const)
φ=φ0+ωt; (2.5)
- равнопеременное вращение ( ε - const)
ω=ω0+εt; φ=φ0+ω0t+εt2/2. (2.6)
В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n[об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:
ω=n⋅2π/60=nπ/30 рад/с; с-1.
Скорости и ускорения точек при вращении твердого тела
Рисунок 2.4
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности. Радиус окружности R равен расстоянию от точки до оси вращения.
Закон движения точки может быть задан естественным способом (рисунок 2.4): траектория – окружность; начало отсчета точка O1 и положительное направление движения выбраны, длина дуги (дуговая координата) определяется по формуле
Скорость точки
V=dS/dt=dφ⋅R/dt=ωR (2.9)
Скорость направлена по касательной к траектории, поэтому можно написать
Вектор скорости можно получить векторным произведением:
V=ω⊗ r, V=ω⋅rsinα=ωR.
Ускорение при естественном способе задания движения определяется как сумма касательного и нормального ускорений (см. вывод формулы (1.10)):
Рисунок 2.5
Эти же выражения можно получить, взяв производную от векторного произведения V=ω⊗ r .
Угол, который составляет полное ускорение с радиусом, может быть определен из соотношения (рисунок 2.5)
То есть эти углы для всех точек тела одинаковы и не зависят от их расположения на теле. На этом же рисунке представлены законы распределения скоростей и ускорений точек во вращающемся теле в зависимости от расстояния их до оси вращения. Эти законы распределения соответствуют формулам:
3 Передаточный механизм
Передаточные механизмы передают движение от одного тела к другому. Параметры движения тел определяются с учетом параметров точек соприкосновения (зацепления) этих тел. На рисунке 2.6 (а, б, в, г) приведены различные схемы передачи движения от одного тела к другому.
На рисунках 2.6,а и 2.6,б зависимости угловых скоростей колес определяются из соотношения Vc=ω1⋅ r1=ω2⋅ r2, т.е.
ω1/ω2=r2/r1 (2.12)
На рисунке 2.6,а (внешнее зацепление) колёса вращаются в противоположные стороны, на рисунке 2.6,б (внутреннее зацепление) колеса вращаются в одну сторону.
На рисунке 2.6,в показана цепная (ременная) передача. Скорости точек A и B цепи должны быть равны соответственно скоростям точек A и B , принадлежащих шкивам:
VA=ω1⋅ r1=VB=ω2⋅r2, ω1/ω2=r2/r1 .
а б
в г
Рисунок 2.6
На рисунке 2.6,г поступательное движение стержня обеспечивает вращение колеса:
VA=VC=ω⋅r, ω=VA/r
Рисунок 2.7
На рисунке 2.7 изображена фрикционная передача: колесо 1, прижимаясь к торцу колеса 2 в точке C, обеспечивает его вращение вокруг вертикальной оси.
VC=ω1⋅r1=ω2⋅d, ω1/ω2=d/r1
.3 Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным (плоским) движением (ППД) твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости (рисунок 2.11).
При таком движении точки, лежащие в разных плоскостях на одном отрезке, перпендикулярном неподвижной плоскости (например M1M2 ) совершают одинаковые движения.
Рисунок 2.11
Рисунок 2.12
Отрезок M1M2 движется поступательно. Поэтому изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению движения плоской фигуры в какой-то плоскости.
На рисунке 2.12 показано перемещение пластинки в плоской системе отсчета xOy из одного положения в другое. Такое перемещение можно осуществить двигая пластину поступательно с траекторией точки A с последующим поворотом на угол φ вокруг точки A1. Это же перемещение можно выполнить иначе.
Например, перемещая пластинку поступательно с траекторией точки B , с последующим поворотом вокруг B1 на угол φ. Траектории точек A и B различны, а угол поворота в обоих случаях одинаков.
Положение пластинки вполне определяется положением скрепленного с ней отрезка (например AB), закон движения которого можно задать в виде:
xA=xA(t), yA=yA(t), φ=φ(t).
Точка A в этом случае называется полюсом. Если принять за полюс точку B , то получим уравнения:
xB=xB(t), yB=yB(t), φ=φ(t)
За полюс выбирается точка, закон движения которой известен.
Определение скоростей точек в плоскопараллельном движении
2.3.1.1 Теорема о скоростях точек.
При движении фигуры в плоскости положение её точек можно определить соотношением (рисунок 2.14):
Рисунок 2.14
rM=rA⊕AM.
В данном случае точка A является полюсом. Скорость точки M
VM=drM/dt=(drA/dt)+dAM/dt; VM=VA⊕VMA . (2.13)
Производная от вектора, постоянного по величине и переменного по направлению, есть вращательная скорость
Вектор ω в данном случае перпендикулярен плоскости фигуры: VAM⊥ AM.
Скорость точки в плоскопараллельном движении определяется как геометрическая сумма скорости полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.
Численная величина скорости может быть найдена по теореме косинусов:
VM2=VA2+VMA2+2VA⋅VMAcosα (2.13)
или проецированием векторного равенства на оси координат:
VMx=VAx⊕VMAx, VMy=VAy⊕VMAy,
.1.3 Мгновенный центр скоростей.
Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра.
В соответствии с этим легко доказывается, что при плоскопараллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V , например PV , CV .
Рисунок 2.16
При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана: VM=VCv ⊕ VMCv , где точка CV выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и VCv=0 , то скорость любой точки определяется как скорость при вращении вокруг мгновенного центра скоростей:
VM=VCv ⊕ VMCv=VMCv, VM=VMCv=ω⋅CVM,
VN=VCv ⊕ VNCv=VNCv, VN =VNCv=ω⋅CVN,
VK=VCv ⊕ VKCv=VKCv, VK=VKCv=ω⋅CVK.
Из рисунка 2.16 видно, что МЦС лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведённых к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение:
VM/CVM=VN/CVN=VK/CVK=ω
Рисунок 2.17
На рисунке 2.17 показаны примеры определения положения МЦС детали кривошипно-шатунного механизма и приведены формулы для расчета скоростей точек.
1) CV совпадает с точкой B VB=0 . Шатун вращается вокруг точки B,
ωAB=VA/ACV=VA/AB;
2) VA/ACV=VB/BCV=ωAB;
3) МЦС лежит в «бесконечности»:
VA/∞=VB/∞=ωAB=0, VB=VA;
4) VA/ACV=VB/BCV=ωAB.
На рисунках 2.18-2.21 приведены примеры определения положения МЦС.
VA/ACV=VB/BCV=ω
Рисунок 2.18
.
VB||VA
В этом случае МЦС находится в «бесконечности», т.е.
ω=VA/∞=VB/∞=ωAB=0, VB=VA
Рисунок 2.19
VA/2R=V0/R=VM/R√2=ω, VA/2R=V0/R=VB/R+r=ω, VA/R+r=V0/r=VN/R-r=ω
Рисунок 2.20
Формулы справедливы при отсутствии проскальзывания в точке CV .
VM=VA, VA=VM
VM/MCV=V0/OCV=VN/NCV=VK/KCV=ω2 VM/MCV=V0/OCV=VN/NCV=ω2
Рисунок 2.21
3 Ускорение точки в сложном движении. Ускорение Кориолиса
Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)
aa = ar ⊕ ae ⊕ aC .
Рис. 3
Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение ar направлено вдоль этой прямой и определяется выражением
Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением
ae = aeвр ⊕ aeцс ,
где aeвр= ε⋅ OM - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM ;
aeцс= ω2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.
Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле
aC = 2 ωe ⊗ νr ,
где ωe - переносная угловая скорость,
νr - относительная скорость точки.
Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.
Величина ускорения Кориолиса определяется выражением
aC = 2 ωe νr sinα ,
где α – угол между векторами ωe и νr .
Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).
Рис. 4
Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость νr 1 . За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M2 , при этом направление скорости νr изменится вследствие вращения диска. Вектор νr получит приращение Δνr . Отношение Δνr / Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt . Предел отношения Δνr / Δt при Δt→ 0 есть производная dνr /dt , как производная от вектора постоянного по величине.
Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями νe1= ω ⊗ OM1 и νe2= ω ⊗ OM2 . Тогда приращение вектора νe за счет относительного движения будет равно
Δνe = ω ⊗ OM2 - ω ⊗ OM1 = ω ⊗ (OM2 - OM1) = ω ⊗ νr⋅ Δt
Отношение Δνe / Δt в пределе при Δt→ 0 дает производную dνe / d t = ω ⊗ νr . Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.
Рис. 5
Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых
Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:
Теорема о разложении абсолютного ускорения. Если точка движется в системе отсчета, которая в свою очередь движется относительно некоторой абсолютной системы отсчета, принимаемой за неподвижную, то абсолютное ускорение точки аа является суммой трех ускорений: относительного ускорения ar в движущейся системе отсчета; переносного ускорения аt, т. е. ускорения той точки движущейся системы отсчета, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка; дополнительного, так называемого поворотного ускорения, или ускорения Кориолиса аc, обусловленного взаимным влиянием вращательного движения подвижной системы отсчета и относительного движения самой точки. При этом
где Ω — угловая скорость подвижной системы отсчета и Vr — относительная скорость рассматриваемой точки.
2. Повышается ли с годами соответствие между планируемой и реальной структурой расходов Федерального бюджета В какой части (если есть) остаются наибольшие отклонения
3. как все то нормален 3
4. серебряного века
5. ПО ТЕМЕ 1 - ПРОБЛЕМНОЕ ПОЛЕ ФИЛОСОФИИ Разделы философского знания- Философская антропология ~ ра
6. Управление портфелем банковских активов в современных условиях
7. экономическим и технологическим показателям обеспечивающих последовательное выполнение основных и дополн
8. А к употребляется как для обозначения культуры собственно арабских народов так и в применении к средневе
9. Тематическое планирование 10 класс 1 час в неделю Приме чание
10. Equisetum hyemle L ~ хвощ зимующий 12
11. Поиграем с обезьянкой Орешкова Ольга Александровна учительлогопед ГБОУ детский сад ’ 2377 ком
12. і Бавовна характеризується м~якістю міцністю пропускає повітря; при попередньому замочуванні легко відпи
13. вариант Как называются высокомолекулярные природные полимеры молекулы которых построены из остатков а
14. Оценка степени свежести мяса
15. Предмет метод периодизация курса истории отечественного государства и права
16. Производство кальцинированной соды
17. Тюменская государственная медицинская академия Федерального агентства по здравоохранению и социальному
18. ния двух групп рыжих свиней одна из которых разводилась в штате НьюДжерси а другая в штате НыоИор
19. Шире круг Толерантность означает уважение принятие и правильное понимание богатого многообразия к
20. Классификация латентной преступности