Матрицы 1о Основные определения

Работа добавлена на сайт samzan.net:

§1. Матрицы

1о. Основные определения.

Определение 1. Матрицей размеров  над множеством действительных чисел R называется прямоугольная таблица из  вещественных чисел, имеющая  строк и  столбцов:

,

где  R,  – номер строки,  – номер столбца,  − элементы матрицы,  и  − порядки матрицы. В этом случае говорят,  что рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число  – её порядком.

Для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:

или .

Для краткого обозначения матрицы используются либо заглавные латинские буквы ; либо символы , , указывающее обозначение элементов матрицы; либо используется запись .

Множество всех матриц размера  обозначается R R.

Частные случаи матриц.

1.  Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ  называется главной диагональю, а  – побочной диагональю.
2.  Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е.  .
3.  Диагональная матрица вида  называется скалярной.
4.  Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается  или , где  – ее порядок.
5.  Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .
6.  Если , то матрица называется строчной, или матрица-строка, или строка. Если   столбцовая = матрица-столбец = столбец.

Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

2о. Операции над матрицами и их свойства.

Определение 3. Суммой матриц  и  R (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица  R: .

Обозначение: .

Пример.

.

Свойства (сложения матриц).

1) Коммутативность сложения, т.е.,  R справедливо .

2) Ассоциативность сложения, т.е., R справедливо .

3)  R.

4) R!R. При этом, если , то . Матрица  называется противоположной к  и обозначается   .

Доказательство свойств провести самостоятельно прямыми вычислениями.

Определение 4. Произведением элемента  R на матрицу  R  называется матрица R

Обозначение: .

Операция, сопоставляющая  и  их произведение  называется умножением числа на матрицу.

Свойства (умножения матрицы на число).

R, Rвыполняется

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.

Замечание. Разность  двух прямоугольных матриц  и  R определяется равенством .

Определение 5. Произведением матриц  размера  и  размера  называется матрица  размеров  такая, что каждый элемент .

Обозначение: .

Операция произведения  на  называется умножением этих матриц.

Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в –ой строке и –ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы  на –ый столбец матрицы .

Примеры.      

1) ,

2) .

Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . Тогда матрица  называется согласованной с . Из согласованности  с  не следует согласованность  с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае .

Свойства (умножения матриц).

1) Ассоциативность умножения матриц, т.е.,R,R R справедливо .

Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент  матрицы  равен , а элемент  матрицы  равен . Равенство  следует из возможности изменения порядка суммирования.

2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,

,  R R .

,  R, R.

Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.

3) R.

Доказательство. Пусть, и . Тогда . Здесь  – символ Кронекера.

.

4) R  R.

5) R ,.

Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).

6) R R, R .

Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,

.

Но из свойств 4) и 5)  умножение квадратной матрицы на  и  коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.

3о. Блочные матрицы.

Пусть матрица  при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае  рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки  указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому  заглавное). Здесь  – номер блочной строки,  – столбца.     Например, если

,  то ,

, , .

Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где  вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если  и  имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме  отвечает блочная матрица : .

Для умножения  R на R необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока  должно быть равно числу строк блока . Тогда .

Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть разбиение матриц проведено следующим образом:

.

Если , то  и , откуда следует, что

, что и требовалось доказать.

Пример. Пусть , , т.е.

, ,

где

,

.

Тогда . Аналогично находятся остальные . В результате получаем

.

В качестве применения блочных матриц рассмотрим

Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц  порядков  соответственно называется квадратная матрица  порядка : .

Обозначение: .

Свойства (прямой суммы).

1) .

2) .

3) .

4) .

Доказательство – самостоятельно.

§2. Перестановки. Знак перестановки

1о. Перестановки, умножение перестановок.

Пусть  − произвольное множество из  элементов; например,

Определение 1. Перестановкой степени  называется взаимнооднозначное отображение множества  в .

Множество всех перестановок степени   обозначается  .  Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита:  Перестановка изображается двурядным символом (или, другими словами, матрицей размера ):

.     (1)

Такой символ обозначает отображение

Замечание. Порядок столбцов в обозначении (1) перестановки не является существенным. А именно, ту же перестановку  можно записать в виде

.

Утверждение 1. Число различных перестановок степени  равно   

Доказательство. В качестве первого элемента  можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся  элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора   Таким образом, ■

Определение 2. Произведением перестановок  называется перестановка, обозначаемая , такая, что

Например, если

  то

Свойства (умножения перестановок)

1.  Ассоциативность умножения, т.е.  справедливо

Доказательство. По определению 2,  Аналогично,  что и требовалось доказать.

1.  Если  – тождественная перестановка, то  выполняется
2.  Для любой   такая, что  Такая перестановка  называется обратной к и обозначается

Доказательство. Если

,

то                 

Упражнение. Доказать единственность обратной перестановки.

Замечание. Произведение перестановок не является коммутативной операцией. Например, в разобранном выше примере

2 о. Знак перестановки.

Определение 3. Пусть  – перестановка степени  и пусть . Тогда пара  называется инверсией относительно , если .  

Перестановка  называется четной, если число инверсий относительно  четное, и перестановка называется  нечетной, если число инверсий − нечетное.

Знак перестановки  – это , где  – число инверсий.

Обозначение: .

Таким образом, если  – четная, то , и если  – нечетная, то .

Пример. . Возможные пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е.  – четная.

Теорема 1.

1.  Знак единичной перестановки  равен 1.
2.  Если .
3.  .

Доказательство.

1. В единичной перестановке инверсий нет; поэтому .

2. Пусть  – множество инверсий относительно , а  – множество инверсий  относительно .

Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами  устанавливается взаимнооднозначное соответствие

.

1.  Пусть – множество инверсий относительно ,

               – множество инверсий относительно ,

               – множество инверсий относительно : .

Тогда надо доказать, что , т.е. . Таким образом, надо показать, что  |A|+|B|+|C| – четное число.

Пусть ,

          ,

          ,

          .

Введем следующее обозначение: пусть  - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:

Между множествами  существует взаимнооднозначное соответствие :  .

Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄

Следствие. .

3о. Транспозиция как пример нечетной перестановки. Разложение перестановки в произведение транспозиций.

Определение 4. Перестановку вида  , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах, называют транспозицией (или -перестановкой).

Теорема 2. Транспозиция является нечетной перестановкой.

Доказательство. Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где ; пары , где ; и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄

Замечание. Для вычисления произведения и транспозиции  вида  необходимо в нижней строке  поменять местами  и .

Упражнение. Как вычисляется произведение ?

Замечание. , т.е. эти транспозиции совпадают.

Теорема 3. Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.

Доказательство. Пусть . Покажем, что нижняя строка  может быть получена из строки  за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами.

Пример. 

т.е. .

Аналогично в общем случае.

Пусть на r-ом шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания . ▄

Упражнение. Показать, что каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .

Очевидно, что любая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций различными способами.

 Пример.

.

Теорема 4. При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.

Доказательство. Пусть , где  – транспозиция. Тогда знак  равен знаку произведения транспозиций  – четно, если – четно. ▄

PAGE  - 14 -

1.  Древнейшие политические учения возникли в странах Древнего Востока Египте Вавилоне Персии Индии Китае.
2. деЖанейро- Прибытие в аэропорт Рио де Жанейро встреча с гидом
3. лекція рослин Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата сільськогосподарсь
4. Лабораторная работа 6 Тема- Подпрограммы
5. Метод отражает внутренние закономерности развития той деятельности в которой он применяется
6. Города Германии- Кельн, Бонн, Мюнхен
7. Как помочь роднику и речке
8. ретбас Б16болжау Б9ЮНЕСКО ~19салыст Ж16 бихеви З3~діс З7парадигма І15саясат ~23норматив С11б
9. Казанский государственный аграрный университет Кафедра землеустройства и агроэкологии ПЛ.
10. .Когда вы смотрите на себя своё отражение в зеркале что вам нравится - что не нравится
11.  Формы массовой коммуникации в древних цивилизациях
12. Теоретична частина Дайте визначення соціології як науки
13. Лечение острых инфекционных деструкций легких
14. ЛЕКЦІЯ 2 ФІЛАНТРОПІЧНИЙ ПЕРІОД В ІСТОРІЇ СОЦІАЛЬНОЇ РОБОТИ
15. Реферат- Совместные предприятия и перспективы их развития
16. а Расчет первой ступени сепаратора непрерывной продувки Уравнение теплового баланса-
17. Экономико-статистический анализ и пути повышения эффективности производства озимой пшеницы № 19.html
18. Рекламные агентства
19. Задание 1 Выберите правильный ответ Конфуций считал что государство подобно большой семье
20. Кредитные риски Их факторы и пути снижения в современных условиях

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе