Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§1. Матрицы
1о. Основные определения.
Определение 1. Матрицей размеров над множеством действительных чисел R называется прямоугольная таблица из вещественных чисел, имеющая строк и столбцов:
,
где R, – номер строки, – номер столбца, − элементы матрицы, и − порядки матрицы. В этом случае говорят, что рассматриваемая матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком.
Для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:
или .
Для краткого обозначения матрицы используются либо заглавные латинские буквы ; либо символы , , указывающее обозначение элементов матрицы; либо используется запись .
Множество всех матриц размера обозначается R R.
Частные случаи матриц.
Определение 2. Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2о. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3. Суммой матриц и R (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица R: .
Обозначение: .
Пример.
.
Свойства (сложения матриц).
1) Коммутативность сложения, т.е., R справедливо .
2) Ассоциативность сложения, т.е., R справедливо .
3) R.
4) R!R. При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается .
Доказательство свойств провести самостоятельно прямыми вычислениями.
Определение 4. Произведением элемента R на матрицу R называется матрица R
Обозначение: .
Операция, сопоставляющая и их произведение называется умножением числа на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на число).
R, Rвыполняется
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Доказательство свойств – самостоятельно прямыми вычислениями.
Замечание. Разность двух прямоугольных матриц и R определяется равенством .
Определение 5. Произведением матриц размера и размера называется матрица размеров такая, что каждый элемент .
Обозначение: .
Операция произведения на называется умножением этих матриц.
Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий в –ой строке и –ом столбце, равен сумме произведений элементов –ой строки матрицы на –ый столбец матрицы .
Примеры.
1) ,
2) .
Таким образом, две матрицы можно перемножать, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже условие согласования выполняется, то в общем случае .
Свойства (умножения матриц).
1) Ассоциативность умножения матриц, т.е.,R,R R справедливо .
Доказательство. Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.
2) Дистрибутивность сложения относительно умножения, т.е.,
, R R .
, R, R.
Доказательство следует из определения суммы и произведения матриц.
3) R.
Доказательство. Пусть, и . Тогда . Здесь – символ Кронекера.
.
4) R R.
5) R ,.
Доказательство свойств 4)-5) проводится аналогично свойству 3).
6) R R, R .
Замечание. В общем случае произведение матриц не коммутативно. Например,
.
Но из свойств 4) и 5) умножение квадратной матрицы на и коммутирует. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную.
3о. Блочные матрицы.
Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное). Здесь – номер блочной строки, – столбца. Например, если
, то ,
, , .
Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .
Для умножения R на R необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока должно быть равно числу строк блока . Тогда .
Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть разбиение матриц проведено следующим образом:
.
Если , то и , откуда следует, что
, что и требовалось доказать.
Пример. Пусть , , т.е.
, ,
где
,
.
Тогда . Аналогично находятся остальные . В результате получаем
.
В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6. Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : .
Обозначение: .
Свойства (прямой суммы).
1) .
2) .
3) .
4) .
Доказательство – самостоятельно.
§2. Перестановки. Знак перестановки
1о. Перестановки, умножение перестановок.
Пусть − произвольное множество из элементов; например,
Определение 1. Перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение множества в .
Множество всех перестановок степени обозначается . Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита: Перестановка изображается двурядным символом (или, другими словами, матрицей размера ):
. (1)
Такой символ обозначает отображение
Замечание. Порядок столбцов в обозначении (1) перестановки не является существенным. А именно, ту же перестановку можно записать в виде
.
Утверждение 1. Число различных перестановок степени равно
Доказательство. В качестве первого элемента можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора Таким образом, ■
Определение 2. Произведением перестановок называется перестановка, обозначаемая , такая, что
Например, если
то
Свойства (умножения перестановок)
Доказательство. По определению 2, Аналогично, что и требовалось доказать.
Доказательство. Если
,
то
Упражнение. Доказать единственность обратной перестановки.
Замечание. Произведение перестановок не является коммутативной операцией. Например, в разобранном выше примере
2 о. Знак перестановки.
Определение 3. Пусть – перестановка степени и пусть . Тогда пара называется инверсией относительно , если .
Перестановка называется четной, если число инверсий относительно четное, и перестановка называется нечетной, если число инверсий − нечетное.
Знак перестановки – это , где – число инверсий.
Обозначение: .
Таким образом, если – четная, то , и если – нечетная, то .
Пример. . Возможные пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.
Теорема 1.
Доказательство.
1. В единичной перестановке инверсий нет; поэтому .
2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .
Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие
.
– множество инверсий относительно ,
– множество инверсий относительно : .
Тогда надо доказать, что , т.е. . Таким образом, надо показать, что |A|+|B|+|C| – четное число.
Пусть ,
,
,
.
Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:
Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .
Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄
Следствие. .
3о. Транспозиция как пример нечетной перестановки. Разложение перестановки в произведение транспозиций.
Определение 4. Перестановку вида , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах, называют транспозицией (или -перестановкой).
Теорема 2. Транспозиция является нечетной перестановкой.
Доказательство. Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где ; пары , где ; и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄
Замечание. Для вычисления произведения и транспозиции вида необходимо в нижней строке поменять местами и .
Упражнение. Как вычисляется произведение ?
Замечание. , т.е. эти транспозиции совпадают.
Теорема 3. Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.
Доказательство. Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами.
Пример.
т.е. .
Аналогично в общем случае.
Пусть на r-ом шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания . ▄
Упражнение. Показать, что каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .
Очевидно, что любая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций различными способами.
Пример.
.
Теорема 4. При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.
Доказательство. Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно. ▄
PAGE - 14 -