Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Задание 1 Найти длину и направляющие косинусы вектора если заданы векторы

Работа добавлена на сайт samzan.net:


Часть I. индивидуальные  задания

Задание № 1

Найти длину и направляющие косинусы вектора , если заданы векторы .

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

 

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

Задание № 2

Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  
    1.  

  1.  

  1.  
    1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  
    1.  

Задание № 3

Даны три вектора . Вычислить

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  
    1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

Задание № 4

Найти значение , при котором векторы и  взаимно перпендикулярны.

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

Задание № 5

Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

Задание № 6

Даны вершины треугольника АВС.       

Определить:

  1.  длины сторон треугольника;
  2.  длину медианы СД;
  3.  внутренний угол при вершинах А и В;
  4.  площадь треугольника АВС.

  1.  А(3; 4; 5);  В(1; 2; 1);  С(-2; -3; 6);

  1.  А(3; -2; 4);  В(1; 2; 2);  С(-2; 5; -3);

  1.  А(-1; 4; 6);  В(3; 4; -4);  С(-2; -3; 4);

  1.  А(1; -2; 3);  В(3; -4; 1);  С(-3; -4; 5);

  1.  А(0; -3; 6);  В(-12; -3; 4);  С(-9; -3; -6);

  1.  А(3; 3; -1);  В(5; 5; -3);  С(4; 1; 1);

  1.  А(-1; 2; -3);  В(3; 4; -5);  С(1; 1; -1);

  1.  А(-4; -2; 0);  В(2; 4; 4;);  С(3; -2; 1);

  1.  А(5; 3; -1);  В(5; 1; 3);  С(6; 4; -1);

  1.  А(-3; -7; -5);  В(1; -1; 3);  С(2; 3; 0);

  1.  А(2; -4; 6);  В(0; -2; 4);  С(6; -8; 10);

  1.  А(0; 1; -2);  В(4; 1; 2);  С(-4; 1; 1);

  1.  А(3; 3; -4);  В(1; 5; -2);  С(4; 1; 1);

  1.  А(2; 1; -1);  В(6; -1; -3);  С(4; 2; 1);

  1.  А(-1; -2; 1);  В(-5; -2; 5);  С(-8; -2; 2);

  1.  А(4; 2; -3;);  В(6; 4; 5);  С(7; 3; -3);

  1.  А(1; 2; 3);  В(-3; -6; 1);  С(-5; -10; -1);

  1.  А(2; -8; -1);  В(4; -6; 3);  С(-2; -5; -1);

  1.  А(3; -6; 9);  В(1; -3; 7);  С(9; -12; 15);

  1.  А(0; 2; -4);  В(8; 2; 2);  С(6; 2; 4);

  1.  А(3; 3; 0);  В(5; 1; -2);  С(4; 1; 1);

  1.  А(-4; 3; 0);  В(0; 1; 2);  С(-2; 4; -2);

  1.  А(1; -1; 0);  В(-3; -1; 4);  С(8; -1; -1);

  1.  А(7; 0; 2);  В(3; 2; -2);  С(8; -1; 2);

  1.  А(2; 3; 2);  В(-2; -3; 4);  С(-3; -7; -3);

ЗАДАНИЕ № 7

Даны координаты вершин пирамиды АВСД.

Найти:

  1.  координаты и модули векторов ;
  2.  угол между векторами  и ;
  3.  площадь основания АВС;
  4.  объём пирамиды АВСД.

  1.  А(2; -3; 1);  В(6; 1; -1);  С(4; 8; -9);  Д(2; -1;2);

  1.  А(5; -1; 4);  В(9; 3; -6);  С(7; 10; -14);  Д(5; 1; -3);

  1.  А(1; -4; 0);  В(5; 0; 2);  С(3; 7; -10);  Д(1; -2; 1);

  1.  А(-3; -6; 2);  В(1; -2; 0);  С(-1; 5; -8);  Д(-3; -4; 3);

  1.  А(-1; 1; -5);  В(3; 5; -7);  С(1; 12; -15);  Д(-1; 3;4);

  1.  А(-4; 2; -1);  В(-2; 13; -11);  С(0; 6; -3);  Д(-4; 4; 0);

  1.  А(0; 4; 3);  В(4; 8; 1);  С(2; 15; -7);  Д(0; 6; 4);

  1.  А(-2; 0; 2);  В(2; 4; -4);  С(0; 11; -12);  Д(-2; 2;-1);

  1.  А(3; 3; -3);  В(7; 7; -5);  С(5; 14; -13);  Д(3; 5; -2);

  1.  А(4; -2; 5);  В(8; 2; 3);  С(6; 9; -5);  Д(4; 0; 6);

  1.  А(-5; 0; 1);  В(-4; -2; 3);  С(6; 2; 11);  Д(3; 4; 9);

  1.  А(1; -4; 0);  В(2; -6; 2);  С(12; -2; 10);  Д(9; 0; 8);

  1.  А(-1; -2; -8);  В(0; -4; -6);  С(10; 0; 2);  Д(7; 2; 0);

  1.  А(0; 2; -10);  В(1; 0; -8);  С(11; 4; 0);  Д(8; 6; -2);

  1.  А(-3; 4; -3);  В(-2; 2; -1);  С(8; 6; 7);  Д(5; 8; 5);
    1.  А(3; 1; -2);  В(4; -1; 0);  С(14; 3; 8);  Д(11; 5; 6);

  1.  А(-8; 3; -1);  В(-7; 1; 1);  С(3; 5; 9);  Д(0; 7; 7);

  1.  А(2; -1; -4);  В(3; -3; -2);  С(13; 1; 6);  Д(10; 3; 4);

  1.  А(-4; 5; -5);  В(-3; 3; -3);  С(7; 7; 5);  Д(4; 9; 3);

  1.  А(-2; -3; 2);  В(-1; -5; 4);  С(9; -1; 12);  Д(6; 1; 10);

  1.  А(3; 1; 4);  В(-1; 6; 1);  С(-1; 1; 6);  Д(0; 4; -1);

  1.  А(3; 3; 9);  В(6; 9; 1);  С(1; 7; 3);  Д(8; 5; 8);

  1.  А(3; 5; 4);  В(5; 8; 3);  С(1; 9; 9);  Д(6; 4; 8);

  1.  А(2; 4; 3);  В(7; 6; 3);  С(4; 9; 3);  Д(3; 6; 7);

  1.  А(9; 5; 5);  В(-3; 7; 1);  С(5; 7; 8);  Д(6; 9; 2);

ЗАДАНИЕ № 8

Даны три силы , приложенные к точке А.

Вычислить:

  1.  работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В;
  2.  величину момента равнодействующей этих сил относительно  точки В.

8.1.  = {9; -3; 4},   ={5; 6; -2},   ={-4; -2; 7},

 А(-5; 4; -2),   В(4; 6; -5).

8.2. ={5; -3; 3},   ={4; 5; -3},   ={-1; -3; 6},

 А(7; -1; 5),   В(2; -3; 6).

8.3 ={3; -5; 4},   ={5; 6; -3},   ={-7; -1; 8},

 А(-3; 5; 9),   В(5; 6; -3).

8.4. ={-10; 6; 5},   ={4; -9; 7},   ={5; 3; -3},

 А(4; -5; 9),   В(4; 7; -5).

8.5. ={5; -3; 1},   ={4; 2; -6},   ={-5; -3; 7},

 А(-5; 3; 7),   В(3; 8; -5).

8.6. ={-5; 8; 4},   ={6; -7; 3},   ={3; 1; -5},

 А(2; -4; 7),   В(0; 7; 4).

8.7. ={7; -5; 2},   ={3; 4; -8},   ={-2; -4; 3},

 А(-3; 2; 0), В(6; 4; -3).

8.8. ={3; -4; 2},   ={2; 3; -5},    = {-3; -2; 4},

 А(5; 3; -7),   В(4; -1; -4).

8.9. ={4; -2; -5},   ={5; 1; -3},   ={-6; 2; 5},

 А(-3; 2; -6),   В(4; 5; -3).

8.10.  ={7; 3; -4},   ={9; -4; 2},   ={-6; 1; 4},

 А(-7; 2; 5),   В(4; -2; 11).

8.11.  ={9; -4; 4},   ={-4; 6; 3},   ={3; 4; 2},

 А(5; -4; 3),   В(4; -5; 9).

8.12.  ={6; -4; 5},   ={-4; 7; 8},   ={5; 1; -3},

 А(-5; -4; 2),   В(7; -3; 6).

8.13.  ={5; 5; -6},   ={7; -6; 6},   ={-4; 3; 4},

 А(-9; 4; 7),   В(8; -1; 7).

8.14.  ={7; -6; 2}, ={-6; 2; -1}, ={1; 6; 4},

 А(3; -6; 1),   В(6; -2; 7);

8.15.  ={4; -2; 3},   ={-2; 5; 6},   ={7; 3; -1},

 А(-3; -2; 5),   В(9; -5; 4).

8.16.  ={7; 3; -4},   ={3; -2; 2},   ={-5; 4; 3},

 А(-5; 0; 4),   В(4; -3; 5).

8.17.  ={3; -2; 4}, ={-4; 4; -3}, ={3; 4; 2},

 А(1; -4; 3),   В(4; 0; -2).

8.18.  ={2; -1; -3}, ={3; 2; -1}, ={-4; 1; 3},

 А(-1; 4; -2),   В(2; 3; -1).

8.19.  ={-5; 2; -2},   ={-2; 4; -1},   ={3; -1; -4},

 А(4; -2; 3),   В(7; 0;-3).

8.20.  ={5; 2; -1},   ={2; 4; -3},   ={-3; 5; -2},

 А(3; 5; 1),   В(4; -2; -3).

8.21.  ={2; -1; 4},   ={-3; 2; 2},   ={6; 3;5},

 А(6; 1; -5),   В(4; 2; -6).

8.22.  ={-2; -1; 1},   ={-3; 2; 3},   ={-4; 4; 3},

 А(1; 6; -3),   В(4; -3; 5).

8.23.  ={-1; -2; 1},   ={-3; 1; 0},   ={-1; 5; 3},

 А(3; 7; -5),   В(2; -4; 1).

8.24.  ={-3; 1; 2},   ={1; -2; 3},   ={4; 3; 4},

 А(4; 2; -3),   В(2; 4; 0).

8.25.   ={3; -4; 5},   ={2; 1; -4},   ={-1; 6; 2},

 А(4; 2; -3),   В(7; 4; 1).

ЗАДАНИЕ № 9

Компланарны ли векторы , , ?

9.1  = {2, 3, 1},    = {-1, 0, -1},    = {2, 2, 2}.

9.2  = {3, 2, 1},    = {2, 3, 4},    = {3, 1, -1}.

9.3  = {1, 5, 2},    = {-1, 1, -1},    = {1, 1 ,1}.

 

9.4  = {1, -1, -3},    = {3, 2, 1},    = {2, 3, 4}.

9.5  = {3, 3, 1},    = {1, -2, 1},    = {1, 1, 1}.

9.6  = {3, 1, -1},    = {-2, -1, 0,},    = {5, 2, -1}.

9.7  = {4, 3, 1},     = {1, -2, 1},    = {2, 2, 2}.

9.8  = {4, 3, 1},    = {6, 7, 4},    = {2, 0, -1}.

9.9  = {3, 2, 1},   = {1, -3, -7},    = {1, 2, 3}.

9.10  = {3, 7, 2},     = {-2, 0, -1},   = {2, 2, 1}.

9.11  = {1, -2, 6},    = {1, 0, 1},    = {2, -6, 17}.

9.12  = {6, 3, 4},   = {-1, -2, -1},    = {2, 1, 2}.

9.13  = {7, 3, 4},   = {-1, -2, -1},    = {4, 2, 4}.

9.14  = {2, 3, 2},   = {4, 7, 5},    = {2, 0, -1}.

9.15  = {5, 3, 4},   = {-1, 0, -1},    ={4, 2, 2}.

9.16  = {3, 10, 5},    = {-2, -2, -3},   = {2, 4, 3}.

9.17  = {-2, -4, -3},    = {4, 3, 1},    = {6, 7, 4}.

9.18  = {3, 1, -1},    = {1, 0, -1},    = {8, 3, -2}.

9.19  = {4, 2, 2},   = {-3, -3, -3,},     = {2, 1, 2}.

9.20  = {4, 1, 2},    = {9, 2, 5},     = {1, 1, -1}.

9.21  = {5, 3, 4},    = {4, 3, 3},    = {9, 5, 8}.

9.22  = {3, 4, 2},    = {1, 1, 0},    = {8, 11, 6}.

9.23  = {4, -1, -6},    = {1, -3, -7},    = {2, -1, -4}.

9.24  = {3, 1, 0},    = {-5, -4, -5},    = {4, 2, 4}.

9.25  = {3, 0, 3},    = {8, 1, 6},   = {1, 1, -1}.

Часть II. Решение типового варианта

задание № 1. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если   .

Решение.

1. Найдём разложение вектора  по базису :

или  .

2. Вычислим длину вектора :

.

3. Найдём направляющие косинусы вектора :

ОТВЕТ: 

задание № 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам  и ?

Решение.

1. Найдём разложение вектора  по базису :

 или  .

2. Найдём разложение вектора  по базису :

 или  .

3. Проверяем условие коллинеарности векторов, т.е. выполняется ли условие пропорциональности соответствующих координат векторов и :

.

ОТВЕТ: векторы и  коллинеарны.

задание № 3. Даны три вектора   . Вычислить .

Решение.

1. Найдём сумму векторов  и :

.

2. Найдём скалярное произведение вектора  на вектор :

.

3. Воспользуемся формулой:

.

Тогда

.

ОТВЕТ:  = -4.

Задание № 4. Найти значение , при котором векторы и  взаимно перпендикулярны.

РЕШЕНИЕ. 

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Перемножим векторы и  скалярно и приравняем это произведение к нулю. Получим уравнение

+ 3  28 = 0

или

4 = 28,         = 7.

ОТВЕТ:  = 7.

Задание № 5. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах  и .

Решение.

1. Одна из диагоналей параллелограмма совпадает с вектором, являющимся суммой векторов  и , т.е.  + , а другая диагональ – с вектором  - .

                                                          

                               +   

                 

Найдём длину вектора  +

+ .

Длина диагонали, совпадающей с этим вектором, будет равна

.

Разность векторов равна

- .

Тогда

.

2. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения

.

Найдём  по формуле:

,

где    и   – координаты перемножаемых векторов

.

Так как

,

то

.

ОТВЕТ: (кв.ед).

Задание № 6. Даны вершины  треугольника АВС:

А(3; 0; -4), В(1; 3; 5), С(-3; - 3; 1).

Определить:

1) длины сторон треугольника;

2) длину медианы CD;

3) внутренний угол при вершинах А и В;

4) площадь треугольника АВС.

Решение.

1. Для нахождения длин сторон треугольника воспользуемся формулой:

.

2. Медиана CD  отрезок, опущенный из вершины С на сторону АВ и делящий её пополам. Координаты точки D найдем по формулам

.

Таким образом, D(2; 1,5; 0,5) и длина медианы CD равна

3. Внутренний угол при вершине А найдем по формуле:

,

где векторы  и  найдем по формуле:

,

если М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2).

Таким образом,

и

 

Скалярное произведение векторов найдем по формуле:

.

В нашем примере

.

Итак,

и

.

Аналогично найдем внутренний угол при вершине В

.

Так как

и

= 46,

то

 и  

.

4. Площадь треугольника, построенного на векторах, можно найти, используя формулу

.

Пусть , тогда

.

Таким образом,     и  

.

 (кв.ед.).

ОТВЕТ:  (кв.ед.).

Задание № 7. Даны координаты вершин пирамиды АВСД:

А(5; 5; 9), B(1; 7; -3), C(8; 7; 5), D(2; 9; 6).

 Найти:

  1.  координаты и модули векторов
  2.  угол между векторами и ;
  3.  площадь основания АВС;
  4.  объём пирамиды АВСД.

Решение.

1. Воспользуемся формулами:

.

.

2. Для нахождения угла между векторами  и  воспользуемся формулой:

.

.

3, Площадь основания пирамиды АВС найдем как площадь треугольника

,

где .

(кв.ед.).

4. Объём пирамиды найдем по формуле:

,

где .

(куб.ед.).

ОТВЕТ: ,  (кв.ед.),  (куб.ед.).

Задание № 8. Даны три силы , приложенные к точке А: 

= {5; -2; 4},   = {1; 3; -2},   = {-3; 2; -4},  

А(-5; 0; -1), В(-4; 2; -5).

Вычислить:

  1.  работу, производимую равнодействующей этих сил,   когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В ;
  2.  величину момента равнодействующей этих сил относительно точки В.

Решение.

1. Найдем равнодействующую силу

и вектор перемещения

.

Работа, производимая равнодействующей сил, равна

.

2. Момент равнодействующей сил найдём по формуле:

=

Тогда величина момента равнодействующей этих сил равна

.

ОТВЕТ: ,  .

Задание № 9. Компланарны ли векторы , , , если   = {2, 5, 1},  

= {-3, 0, -1},   = {2, 7, 2}?

Решение.

Векторы  компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение векторов  найдём по формуле:

.

Так  как  , то векторы  не компланарны.

ОТВЕТ: нет, не компланарны.

Литература

  1.  Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.        1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2004.
  2.  Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты. – М., Высшая школа, 1983.
  3.  Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державец В. В.,                   Юруть И. Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. – Минск: Высшая школа, 2006. Ч. 1.

Бланк индивидуального варианта

Вариант №

Задание № 1. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если заданы векторы .

=                        =                          =                         =

Задание № 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

=                         =                         =                          =

Задание № 3. Даны три вектора . Вычислить

=                         =                         =                          

Задание № 4. Найти значение , при котором векторы и  взаимно перпендикулярны.

=                         =                         

Задание № 5. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

=                            =                           

Задание № 6. Даны вершины треугольника АВС. Определить:

  1.  длины сторон треугольника;
  2.  длину медианы СД;
  3.  внутренний угол при вершинах А и В;
  4.  площадь треугольника АВС.

А(     ;     ;     );  В(    ;     ;     );  С(    ;    ;    )

ЗАДАНИЕ № 7. Даны координаты вершин пирамиды АВСД.  Найти:

  1.  координаты и модули векторов ;
  2.  угол между векторами и ;
  3.  площадь основания АВС;
  4.  объём пирамиды АВСД.

А(     ;     ;     );  В(    ;     ;     );  С(    ;    ;    );    Д(    ;    ;    )

ЗАДАНИЕ № 8. Даны три силы , приложенные к точке А.

     Вычислить:

  1.  работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейна, перемещается в точку В;
  2.  величину момента равнодействующей этих сил относительно точки В.

= {   ;    ;    },   ={    ;    ;     },   ={   ;    ;    },  

А(     ;     ;     ),  В(    ;     ;     )  

ЗАДАНИЕ № 9. Компланарны ли векторы , , ?

=                           , =                            , =

PAGE   \* MERGEFORMAT 3


EMBED Equation.3   -  EMBED Equation.3  




1. Понятие виды и элементы предпринимательских правоотношений
2. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата біологічних наук Київ ~ 2001 Дисе.
3. 131 Чувашов А
4. Модуль контролю підсумковий Визначники
5. Реферат- Налоговая система России и пути ее совершенствования
6. 1 Единицы измерения и распределение О3 в атмосфере 6 2 Распределение озо.html
7. НАУКОВОТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ ТЕМПЕРАМЕНТУ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
8. Тема- Анализ ликвидности баланса и оценка платежеспособности организации Задание 1
9. Тема- Прокурорский надзор за процессуальной деятельностью органов дознания и предварительного следствия
10. 122. 115 Народная культура ~ колыбель всякой цивилизации Традиционное продолжает жизнь сохраняя историче
11. Вестник хирургии член Союза писателей России почетный член многих отечественных и зарубежных научных общ
12. СРевунець 2012р
13. Размножение организмов
14. задание на 6 мая Итоговый контрольный тест по русскому языку за курс 8 класса
15. Казанский государственный университет культуры и искусств Факультет информационного сервиса и медиатех
16. Лабораторная работа 014 Тема- Определение силы света источника 1 Цель работы- Определить мощность лампы с
17. Организация и несение караульной службы
18. Гидротехнические водохозяйственные сооружения
19. Редактирование и форматирование документов
20. Контрольная работа По дисциплине Страхование ВАРИАНТ ’ 22 Студентка Ещенко ИН.html

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе