Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
№16. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Допустимые преобразования уравнений системы.
Совокупность уравнений
относительно неизвестных x1, x2, ..., xn-1, xn называется системой линейных алгебраических уравнений.
Числа aij — коэффициенты системы, bi— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.
Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.
Если среди правых частей bi системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.
Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.
Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:
Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.
Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:
A(1)x1 + A(2)x2 + ... + A(n)xn = b.
Здесь A(1), A(2), ... , A(n) — столбцы матрицы системы.
Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.
Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.
Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме. Для того чтобы решить систему уравнений
выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули. Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число. С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.
Рассмотрим метод Гаусса на примерах.
Пример. Установить совместность и решить систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).
.
Имеем Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.
Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:
Итак, имеем Далее, подставляя в третье уравнение, найдем Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные получим Таким образом, имеем решение системы
Допустимые преобразования системы: