ТЕМА- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА Простые ставки ссудных процентов Простые уче.html
Работа добавлена на сайт samzan.net:
ТЕМА: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
- Простые ставки ссудных процентов
- Простые учетные ставки
- Сложные ставки ссудных процентов
- Сложные учетные ставки
Четкое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала.
Проценты — это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка — это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).
Наращение (рост) первоначальной суммы долга — это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения — это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления — это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.
Интервал начисления — это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Существуют две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов.
Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой или антисипативным процентом.
В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.
При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).
1. ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.
Для исчисления простых ставок ссудных процентов применяются следующие формулы:
2.1. 2.4.
2.2. 2.5.
2.3. 2.6.
где:
i % - простая годовая ставка ссудного процента
i – относительная величина головой ставки процентов
Iг – сумма процентных денег выплачиваемых за год
I – общая сумма процентных денег за весь период начисления денег
P - величина первоначальной денежной суммы
S – наращенная сумма
kн – коэффициент наращения
n – продолжительность периода начисления в годах
- продолжительность периода начисления в днях
К – продолжительность года в днях
Применяя последовательно формулы 2.4., 2.3., 2.1. и 2.6., получаем основную формулу для определения наращенной суммы
2.7. 2.8.
На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей", приведенной) величиной суммы S. Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S — компаундингом.
В применении к ставке ссудного процента может также встретиться название математическое дисконтирование, несовместимое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассматриваться далее. Из формулы (2.7) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:
2.9.
Преобразуя формулу 2.7., получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:
2.10 2.12.
2.11 2.13.
Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. В этом случае применяются следующие формулы 2.14, 2.15:
2.14. 2.15.
2. ПРОСТЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.
Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой. При операциях дисконтирования по учетной ставке применяются следующие формулы:
2.16.
2.17
2.18
2.19
где:
d% - простая годовая учетная ставка
d – относительная величина учетной ставки
Dг – сумма процентных денег, выплачиваемая за год
D – общая сумма процентных денег
S – сумма которая должна быть возвращена
P – сумма, получаемая заемщиком
Преобразуя формулу 2.19., получаем формулу для определения наращенной суммы:
2.20
Из формулы 2.20 легко увидеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение 2.20 имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля, т. е. (1 — nd) > 0, или d < 1/n. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни. На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств. Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:
2.21 2.22
3. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок. Для исчисления сложных ссудных процентов применяются следующие формулы:
2.23 2.24
где:
iC – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов
kН.С – коэффициент наращения в случае сложных процентов
j – номинальная ставка сложных судных процентов
Формула 2.25. применяется в случаях, когда срок ссуды n в годах не является целым числом.
2.25.
где:
na – целое число лет
nb – оставшаяся дробная часть года
n = na + nb
Если уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления, то применяется формула 2.26. Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то применяется формула 2.27.
2.26 2.27
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m .
Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле 2.23, получаем выражение для определения наращенной суммы:
2.28
где mn — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение 2.28. принимает вид:
2.29
В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными. В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m — к бесконечности).
В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:
2.30
Существуют и другие способы определения наращенной суммы:
2.31 2.32
Полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти:
2.33 2.34
2.35 2.36
2.37
Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.
Правило «72» и Правило «69» (более точное):
Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях iC(%). До iC(%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом iC. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» — меньше.
В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годовых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле 2.38. и по правилам «69» и «72».
а) n = ln 2/ln 1,2 = 3,8 года,
или n = 72/20 =3,6 года,
или n = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;
б) n = ln 2/ln 2,1 = 0,93 года,
или n = 72/110 = 0,65 года,
или n = 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным значением — 18 дней).
4. СЛОЖНЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.
2.38 2.39.
где, dС (%) — сложная годовая учетная ставка;
dС — относительная величина сложной учетной ставки;
k.Н У — коэффициент наращения для случая учетной ставки;
Сравнивая формулы 2.23. и 2.38, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее. Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с ростом n), и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл. Из формулы 2.38. также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d (%) приближается к 100%.
Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий — меньше года — интервал, начисление m раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом. Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, необходимо использовать формулу 2.40. При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная вычисляется по формуле 2.41.
2.40 2.41
Для начисления процентов m раз в году применяются формулы 2.42. и 2.43. При этом mn — целое число интервалов начисления за весь период начисления, l — часть интервала начисления, f — номинальная годовая учетная ставка.
2.42. 2.43
При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле 2.44.
2.44.
Из полученных формул путем преобразований получаем формулы 2.45 – 2.49. Они используются для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки.
2.45. 2.46.
2.47. 2.48.
2.49
2. Вариант 1. Ввести вещественные числа и b
3. Тема 1 Кинематика
4. Тема- Неуправляемый выпрямитель трехфазного тока
5. Методические материалы по организации внеурочной деятельности в образовательных учреждениях, реализующих общеобразовательные программы начального общего образования
6. Попурри 2003. 336 с.html
7. Абсолютные обязанности граждан это обязанности которые возлагаются на каждого и не зависят от конкретн
8. учебником истории в камне благодаря наличию тут более 130 музеев и символом противоборства капиталистич
9. Статья 22 Коллегия адвокатов 1
10. і Аса ірі ~алаларымызда~ы жеке кіші отельдер саны артып ескі ~она~ ~йлер ~айта жа~~ыртылуда
11. Производственный менеджмент
12. Тема Сроки сдачи 1
13. Роль у природі та житті людини.html
14. Трудовое право для студентов 3 курса ОЗО
15. Кроме того установлена обязанность защита клиентуры от причинения вреда здоровью и имуществу что имеет д
16. 61 ~ Схема алгоритму пошуку максимального елемента
17. Алишер Навои (1441 - 1501)
18. 22 Логистика Сущность и основные задачи
19. В организации Б считают что конфликты подлежат обсуждению и анализу
20. Международный аспект в турецко-израильских отношениях в 90-е гг. XX в