Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Те функции, которые подлежат расчету (в данном случае гармонические), являются оригиналами, а те выражения, которыми заменяют оригиналы — изображениями или символами, поэтому метод называется символическим.
При использовании символического метода все расчеты производят не над самими оригиналами, а над их символами (изображениями), которые в нашем случае представляют соответствующие комплексные числа, поскольку производить операции над изображениями значительно легче, чем над самими оригиналами.
По окончании всех операций над изображениями по результирующему изображению записывают оригинал, соответствующий получившемуся изображению. Символическим методом производят подавляющее большинство расчетов в электрических цепях.[1,3]
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Символический метод операций с векторными величинами основывается на том, что каждый вектор раскладывают на две составляющие: одну - действительную (идущую по оси абсцисс), а вторую - мнимую (идущую по оси ординат). В этом случае все действительные составляющие идут по одной прямой, и их можно складывать с помощью простого алгебраического сложения, аналогичным образом складывают и мнимые составляющие.
|
Рис. 1. Последовательная RLC цепь |
Дана последовательная RLC цепь, рис.1, на нее подается переменное напряжение U.
Для цепи переменного тока с последовательным RLС соединением дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:
Здесь ток во всех трех участках один и тот же:
Разности потенциалов на всех трех сопротивлениях имеют вид:
Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости.
В расчетах применяют три формы записи комплексных величин:
Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90° в положительном направлении (против часовой стрелки).
Переходы из одной формы записи в другие:
где
Также комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить:
Расположим под углом Ψu относительно оси абсцисс вектор Um, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки. Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.
Рис. 2 Вектор Um и его проекции.
Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальнойфазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, С.
Рис. 3. Векторные диаграммы для идеальных элементов R, L, C.
Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме.
Рис. 4. Векторные диаграммы сложения двух напряжений
Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, С в комплексном виде записывается следующим образом:
Используя выражения , запишем выражение для полного напряжения цепи:
где
- комплексное сопротивление;
- комплексная амплитуда напряжения;
- комплексная амплитуда тока.
При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:
Величину Z называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
|
Рис.5 Треугольник напряжений |
Векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательным соединением R, L, C будет представлять собой прямоугольный треугольник.
;
Треугольники сопротивлений и мощностей строятся аналогично
Рис. 6. Треугольники сопротивлений и мощностей.
;
где
В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол φ сохраняет свое значение. При параллельном соединении ветвей их проводимости складываются в комплексной форме:
Рис.7. Параллельное соединение ветвей
Общий ток, согласно первому закону Кирхгофа:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ