Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1) Основные понятия и величины, характеризующие электрические цепи
а) Понятия:
Электрической цепью называется совокуп ность устройств, предназначаемых для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы в ко торых могут быть описаны с помощью понятий напря жения и тока. В общем случае электрическая цепь со стоит из источников и приемников электрической энергии и промежуточных звеньев (проводов, аппаратов), связы вающих источники с приемниками.
Источниками электрической энергии являются устройства (гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлемен ты, генераторы), в которых происхо дит процесс преобразования химической, молекулярно-кинетической, тепловой, механической или другого вида энергии в электрическую.
Приемниками электрической энергии (нагрузкой), служат устройства (электрические лампы, электронагревательные приборы, электрические двига тели, резисторы, конденсаторы, индуктивные катушки), в которых электрическая энер гия превращается в световую, тепловую, механическую и др.
б) Величины:
Электрический ток и напряжение являются основны ми величинами, характеризующими состояние электрических цепей.
Электрический ток в проводниках представляет явление упорядоченного движения электрических зарядов. Под терми ном «ток» понимают также интенсивность или силу тока, измеряемую количеством электрического заряда q, прошед шего через, поперечное сечение проводника в единицу вре мени:
Следовательно, ток представляет собой скорость изменения заряда во времени. В СИ заряд выражается в кулонах (Кл), время—в секундах (с), ток — в амперах (А).
Ток как отношение двух скалярных величин является скалярной алгебраической величиной, знак которой зависит от направления движения зарядов одного знака, а именно условно принятого положительного заряда. Для однозначного опреде ления знака тока за положительное направление достаточно произвольно выбрать одно из двух возможных направлений, которое отмечают стрелкой.
Если движение поло жительного заряда происходит в направлении стрелки, а движение отрицательного заряда—навстречу ей, то ток поло жителен. При изменении направления движения зарядов на противоположный ток будет отрицательным.
Задать однозначно ток в виде некоторой функции времени можно только после указания выбранного положительного направления тока. Поэтому перед началом анализа на всех участках цепи необходимо отметить положительные направления токов, выбор которых может быть произвольным.
Прохождение электрического тока или перенос зарядов в цепи связаны с преобра зованием или потреблением энергии. Для определения энергии, затрачиваемой на перемещение заряда между двумя рассмат риваемыми точками проводника, вводят новую величину—напряжение.
Напряжением называют количество энергии, затрачи ваемой на перемещение единицы заряда из одной точки в другую: , где w—энергия.
При измерении энергии в джоулях (Дж) и заряда в кулонах (Кл) напряжение выражают в вольтах (В).
Напряжение как отношение двух скалярных величин также является скалярной алгебраической величиной. Для однознач ного определения знака напряжения между двумя выводами рассматриваемого участка цепи одному из выводов условно приписывают положительную полярность, которую отмечают либо стрелкой, направленной от вывода, либо знаками « + »,«—
Напряжение положительно, если его поляр ность совпадает с выбранной; это означает, что потенциал вывода со знаком « + », из которого выходит стрелка, выше потенциала второго вывода.
Перед началом анализа должны быть указаны выбранные положительные полярности напряжений — только при этом условии возможно однозначное определение напряжений.
Хотя условно положительную полярность напряжения можно выбирать произвольно, обычно удобно выбирать ее согласованной с выбранным положительным направлением тока, когда стрелки для тока и напряжения совпадают или знак « + » полярности напряжения находится в хвосте стрелки, обозначающей положительное направление тока. При согласо ванном выборе полярности, очевидно, достаточно ограничиться указанием только одной стрелки положительного направления тока.
Если возникает необходимость выбора положительной по лярности напряжения, не согласованной с положительным направлением тока, то приходится указывать две встречно направленные стрелки: для тока и для напряжения. Это не очень удобно. Поэтому для обозначения условно положитель ной полярности будем применять знаки «+.», « —» у выводов участка цепи.
Из определения напряжения (1) получаем выражение энергии, затраченной на перемещение заряда q на участке цепи с напряжением и к моменту времени t.
. Здесь суммируются все энергетические процессы при действии напряжения, начиная от t = — ∞, где энергия прини мается равной нулю, до рассматриваемого момента. Диффе ренцирование этого равенства по времени дает выражение скорости изменения энергии во времени, т. е. мощности, выражаемой в ваттах:
Мощность в электрической цепи, равная произведению напряжения на ток, также является алгебраической величиной. Знак ее определяется знаками напряжения и тока: при совпаде нии этих знаков мощность положительна, что соответствует потреблению энергии в рассматриваемом участке цепи; при несовпадении знаков напряжения и тока мощность отрица тельна, что означает отдачу ее из участка цепи (такой участок является источником энергии).
2) Классификация электрических цепей и их элементов. Виды схем, используемых в электротехнике
а) Классификация электрических цепей
1) Электрические цепи делятся на простые и сложные. К признакам, определяющим простую цепь, можно отнести:
- наличие только одного источника энергии (сигнала);
- возможность до расчётов указать истинные направления токов во всех ветвях;
- соединение элементов цепи выполнено по правилам последова тельного, параллельного и смешанного соединений.
Отсутствие любого из этих признаков может переводить цепь в категорию сложных.
Последовательное- соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при котором через них протекает один и тот же ток.
Параллельное- соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением.
Смешанное- комбинация последовательного и параллельного соединений
Для анализа простых цепей используется два метода:
- метод свёртки схемы цепи относительно зажимов источника (он же метод определения входного или эквивалентного сопротивления);
- метод пропорциональных (определяющих) величин.
Методы анализа сложных цепей, например - метод контурных токов (МКТ) и метод узловых напряжений (МУН).
2) В зависимости от характера соединения идеализированных двухполюсных элементов различают неразветвлённые и разветвлённые цепи.
В неразветвлённой цепи через все элементы протекает один и тот же ток. В разветвлённой цепи токи через различные элементы могут быть не одинаковы.
3) В теории электрических цепей различают активные и пассивные элементы. Соответственно различают активные и пассивные цепи.
4) Цепь, составленная целиком из линейных элементов, назы вается линейной.
Цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, называ ется нелинейной.
б) Классификация элементов
Под элементами в теории электрических цепей подразумеваются обычно не физи чески существующие составные части электротехниче ских устройств, а их идеализированные модели, которым
теоретически приписываются определенные электриче ские и магнитные свойства, так что они в совокупности приближенно отображают явления, происходящие в ре альных устройствах.
В теории электрических цепей различают активные и пассивные элементы. Соответственно различают активные и пассивные цепи.
Элементы электрической цепи, осуществляющие преобразо вание других видов энергии в электромагнитную, расходуемую и запасаемую в других элементах, называются источниками или активными элементами цепи. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники напряжения и источники тока.
Элементы цепи, осуществляющие необратимое потребление электромагнитной энергии или ее накопление, являются пассив ными элементами. К пассивным элементам электрических цепей относятся сопротивле ния, индуктивности и емкости.
Пассивные элементы. Необратимое потребление энергии с пре образованием ее в тепловую,, механическую, химическую, аку стическую осуществляется в резистивном элементе R .
При согласованных направлениях отсчета тока и напряжения, указанных на рисунке, имеем связь, выражаемую законом Ома: uR = Ri, где R— сопротивление элемента — пара метр, выражающий интенсивность потребления энергии. Неза висимо от направления тока и закона его изменения во времени потребляемая резистором мощность и энергия положительны:
Накопление энергии в магнитном поле осуществляется в ин дуктивном элементе L, в котором при протекании тока i, изменяющегося во времени, изменяется потокосцепление ψ=Li и наводится ЭДС (е = — dψ/dt).
Параметр L — ин дуктивность— определяет интенсивность накопления энергии. Для преодоления ЭДС е к зажимам элемента от внешних ис точников должно быть приложено напряжение uL= — e=d ψ/dt. Следует обратить внимание на то, что знак в выражении для напряжения определяется согласованным выбором направлений отсчета напряжения и тока, указанным на рис.. Индук тивный элемент потребляет энергию при положительных значе ниях dWL = uidt = idψ, когда энергия магнитного поля = J idW возрастает, и отдает ее при dW = idψ < 0.
Процесс накопления энергии в электрическом поле осущест вляется в емкостном элементе С, ток которого определяется скоростью изменения заряда на обкладках эле мента, который, в свою очередь, связан с напряжением между обкладками выражением , где С — емкость элемента.
Элемент потребляет энергию = и dq при > 0 и отдает ее при udq < 0.
Зависимости u(i) резистора, ψ(i) индуктивной катушки, q (и) конденсатора — характеристики элементов — в общем слу чае имеют нелинейный характер. Обладающие такими характе ристиками элементы называются нелинейными. При линейно сти соответствующей характеристики параметры R, L или С по стоянны, и элементы называются линейными.
Цепь, составленная целиком из линейных элементов, назы вается линейной. Энергия, накапливаемая в линейных эле ментах L и С, выражается как
Цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, называ ется нелинейной.
Активные элементы. Реальные источники энергии часто рабо тают в одном из следующих режимов:
1) во всем диапазоне до пустимых значении тока напряжение на зажимах мало зависит от протекающего тока;
2) наоборот, в рабочем диапазоне ток, генерируемый источником, мало зависит от напряжения на его зажимах.
Идеализация свойств источников 1-го типа приводит к ис точнику ЭДС е — элементу, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего через этот источник тока i, а опре деляется лишь внутренними свойствами источника. Стрелка внутри кружка, схематически изображающего источник ЭДС, показывает направление действия ЭДС — направ ление, в котором за счет преобразования энергии осуществляет ся перемещение положительных зарядов внутри источника.
В результате на верхнем зажиме источника образуется избыток положительных, а на нижнем зажиме — отрицательных зарядов. Эти обозначения также используют для маркировки зажимов источника ЭДС. В результате вне источника между его зажи мами возникает напряжение. При исполь зовании изображенного стрелкой на рис. направления отсчета напря жения имеем и=е. Принятое направле ние отсчета и соответствует направлению линий напряженности электрического поля, возникающего в окружающем ис точник пространстве. Эти линии, не по казанные на рис., направлены от верхнего зажима источника к нижнему. Если к зажимам источника присоединить пассивный элемент, то это электрическое поле вызовет движение положительных зарядов во внешней цепи — электрический ток i в направлении стрелки. Идеализа ция свойств источников 2-го типа — это источник тока, ток которого J не зависит от напряжения и на его зажимах.
Разумеется, оба указанных типа источников не могут быть реализованы на практике, так как всегда имеет место зависимость напряжения источника ЭДС или тока источ ника тока от режима нагрузки. Это обстоятельство иногда под черкивают, называя рассмотренные виды источников идеальны ми источниками.
При описании свойств компонентов электронных цепей (на пример, биполярных и полевых транзисторов) возникает необхо димость ввести так называемые управляемые (зависимые) ис точники ЭДС и тока, параметры которых в отличие от рассмот ренных выше независимых источников зависят от напряжений или токов на других участках рассматриваемой электрической цепи. Можно ввести четыре типа управляемых источников.
1) Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) или усилитель напряжения.
2) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ)
3) Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН).
3) Источник тока, управляемый током (ИТУТ) или усилитель тока.
3) Основные законы электротехники
Сопротивление- идеализированный элемент цепи, характеризующий потери энергии на нагрев, механическую работу или излучение электромагнитной энергии.
Закон Ома
Сопротивление есть отношение напряжения на данном элементе цепи к току, проходящему через него. .Основными законами теории це пей наряду с законом Ома являют ся законы баланса токов в развет влениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкну тых участках цепи (второй закон Кирхгофа).
Распределение токов и напряже ний в электрических цепях подчи няется законам Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
Суммирование распространяется на токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом знаки токов берутся с учетом выбранных положительных направлений токов: всем токам, направленным от узла, в уравнении (1) приписывается одинаковый знак, например поло жительный, и соответственно все токи, направленные к узлу, входят в уравнение (1) с противополож ным знаком.
На рис. в качестве при мера показан узел, в котором сходятся четыре ветви. Уравнение (1) имеет в этом случае вид:—i1 —i2+i3+i4=0.
Первый закон Кирхгофа выра жает тот факт, что в узле электри ческий заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.
Первый закон Кирхгофа приме ним не только к узлу, но и к любо му контуру или замкнутой поверх ности, охватывающей часть элек трической цепи, так как ни в каком элементе цепи, ни в каком режиме электричество одного знака не мо жет накапливаться.
Так, например, для схемы
имеем: —i1+ i2+i3=0.
Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение
|
(1) |
где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.
Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать
.
Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:
|
(2) |
т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.
При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.
Введем столбцовую матрицу токов ветвей
|
I= |
Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:
|
АI=O |
(3) |
– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.
В качестве примера запишем для схемы на рис. 3
Отсюда для первого узла получаем
,
что и должно иметь место.
Второй закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма э.д.с. в любом контуре цепи равна алге браической сумме падений напря жения на элементах этого контура: .
Обход контура совершается в произвольно выбранном направ лении, например по ходу часовой стрелки. При этом соблюдается сле дующее правило знаков для э.д.с. и падений напряжения, входящих в (2): э.д.с. и падения напряже ния, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся с одинаковыми знаками.
Например, для данной схемы .Уравнение (2) можно перепи сать так: . Здесь и—е — напряжение на ветви.
Следовательно, алгебраическая сумма напряжений на ветвях в лю бом замкнутом контуре равна нулю.
Формулы (1) и (2) напи саны в общем виде для мгновенных значений токов, напряжений и э.д.с; они справедливы для цепей как пе ременного, так и постоянного тока.
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.
|
(4) |
Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:
Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.
Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:
|
(5) |
- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.
Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей
|
U= |
Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид
|
BU = 0. |
(6) |
В качестве примера для схемы рис. 5 имеем
,
откуда, например, для первого контура получаем
,
что и должно иметь место.
Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов
|
= |
причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением
|
U=AТ |
(7) |
где AТ - транспонированная узловая матрица.
Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1).
4) Типы задач, решаемых при расчёте электрооборудования. Дуальность элементов
В рамках электротехники решаются 2 задачи: анализ и синтез (проектирование).
При проектировании различного рода устройств ав томатического управления, каналов электропроводной и радиосвязи и т. п. возникает необходимость подбора схем и параметров электрических цепей, отвечающих оп ределенным требованиям. Нахождение схемы и элемен тов цепи, удовлетворяющей заданным условиям, состав ляет задачу синтеза электрической цепи.
Ввиду того что установившийся и переходный про цессы во всякой линейной электрической цепи зависят от частотных свойств цепи, задача синтеза обычно сводится к нахождению цепи по заданной частотной харак теристике. Искомым может быть двухполюсник с задан ной зависимостью сопротивления (или проводимости) от частоты либо четырехполюсник с заданной передаточной функцией или частотной зависимостью его параметров. Построение схемы пассивной цепи по заданной частотной функции принято называть реализацией или осу ществлением функции.
В отличие от задачи анализа, в которой искомая ве личина — реакция цепи на приложенное воздействие — получается однозначно, задача синтеза может иметь не сколько решений (или вовсе не иметь решения). Задан ная частотная функция считается реализуемой или осу ществимой, если соответствующая ей электрическая цепь может быть составлена из сопротивлений, индуктивностей и емкостей (возможно также применение трансфор маторов).
Поскольку задача синтеза может иметь несколько ре шений, возникает необходимость сопоставления получен ных вариантов и выбора оптимального решения.
В этом вопросе не имеется вполне определенного критерия, так как приходится сравнивать схемы с разно родными элементами. При этом обычно руководствуются следующими соображениями. Желательны схемы с наи меньшим количеством элементов, имеющие практически приемлемые параметры, причем предпочтение следует от давать схемам, содержащим простейшие элементы — сопротивления и емкости.
Индуктивность — менее желательный элемент цепи. Если в схеме последовательно включены индуктивность и сопротивление, то они могут быть практически выпол нены в виде индуктивной катушки. Однако при этом приходится считаться с витковой емкостью, которая мо жет внести в работу цепи искажения при высоких ча стотах.
Еще менее желательным элементом схемы является трансформатор, практическое осуществление которого сопряжено с появлением тепловых потерь и межвитковых емкостей. Кроме того, коэффициент связи может не совпадать с расчетным.
В задачах синтеза частотные характеристики сопро тивлений, проводимостей или передаточных функций мо гут быть заданы графически или аналитически. Если характеристика задана графически или не является рациональной функцией, то она приближенно аппроксимирует ся рациональной функцией, т. е. отношением двух поли номов, которое по определенным правилам синтеза реа лизуется в виде двух- или четырехполюсника.
Таким образом, первым этапом в задаче синтеза яв ляется аппроксимация заданной частотной характери стики рациональной функцией; этот этап, относящийся к области математики, здесь не рассматривается. Второй этап заключается в реализации рациональной функции, что и составляет основное содержание данной главы.
Дуальность элементов
Рассматривая соотношения (табл. 1.1), прихо дим к заключению, что выражения, соответствующие попарно сопро тивлению и проводимости, емкости и индуктивности, имеют подобную структуру. Если в выражениях, описывающих основные соотношения для сопротивления, заменить на , на , R на G, то получат ся основные соотношения для проводимости. Аналогично, выражения, описывающие основные соотношения для емкости и индуктивности, могут быть получены одно из другого путем замены на , на , L на С.
Элементы, для которых основные соотношения имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем таких за мен, называются дуальными. Таким образом, емкость и индуктивность, сопротивление и проводимость (попарно) являются дуальными элементами.
Свойством дуальности обладают не только рассмотренные идеа лизированные пассивные элементы. Из последующих разделов будет видно, что дуальными также могут быть идеализированные активные элементы и электрические цепи, составленные из идеализированных активных и пассивных элементов.
В ряде случаев использование принципа дуальности позволяет облегчить исследование процессов в цепи. Так, если известны основные соотношения, описывающие процессы в некоторой цепи, то соответствующие соотношения для дуальной цепи могут быть получены без вывода, на основании использования свойства дуальности.
5) Метод эквивалентных преобразований
При расчетах сложных электрических цепей во многих случа ях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллель ным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквива лентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных пре образований (метода трансфигураций) электрических цепей.
а) Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений (рис. 1.2.1) заменяется при этом цепью с одним эквива лентным сопротивлением Rэкв (рис. 1.2.2), равным сумме всех сопротивлений цепи: , где — сопротивления отдельных участков цепи.
При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при по следовательном соединении их распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков: .
б) При параллельном соединении сопротивлений все сопро тивления находятся под одним и тем же напряжением U (рис. 1.2.3). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением Rэкв (рис. 1.2.2), которое опреде ляется из выражения , где
сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллель ных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи); RK — сопротивление параллельного участка цепи; Gэкв. — эквивалентная проводимость параллельного участка цепи, Gэкв.=1/ Rэкв; п — число параллельных ветвей цепи. Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых парал лельно соединенных сопротивлений, Rэкв=R/n.
в) Во многих случаях оказывается целесообразным также преобра зование сопротивлений, соединенных треугольником, эквивалентной звездой.
6) Метод пропорциональных (определяющих) величин
Возьмем электрическую схему на рис. 3.1, зададимся произвольным значением тока Ч в сопротивлении R6, наиболее удаленном от источника питания. По заданному току и сопротивлению R6 определим напряжение . Далее определим:
, ,
, ,
; .
Находим значение ЭДС
.
Найденное значение ЭДС отличается от заданной величины ЭДС Е.
Вычислим коэффициент подобия . Умножим на него полученные при расчете значения токов и напряжений, находим действительные значения токов цепи.
7) Метод составления полной системы уравнений Кирхгофа
В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленная к узлу равна нулю: .
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма э. д. с. в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре .
При расчете электрических цепей методом применения зако нов Кирхгофа выбирают условные положительные направления токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и за даются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают замкнутые контуры без источников тока. Для получения незави симых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму зако ну Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу неизвестных N.
В большинстве случаев параметры источников ЭДС или на пряжения, источников тока, сопротивлений участков электри ческой цепи известны, при этом число неизвестных равно раз ности между числом ветвей и числом источников тока N=(NB — NT). Для упрощения расчетов сначала записывают более простые уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, а недостающие — по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, берется на единицу меньше числа узлов ny в цепи: . При этом токи, направленные к узлу, условно принимаются по ложительными, а направленные от узла — отрицательными.
Остальное число уравнений , составляется по вто рому закону Кирхгофа: , где nв– число ветвей цепи; ny– число узлов цепи; nm– число источников тока цепи.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа ЭДС источников принимаются положительными, если направле ния их действия совпадают с выбранным направлением обхода контура, независимо от направления тока в них. При несовпаде нии их записывают со знаком «—». Падения напряжений в вет вях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода, независимо от направления ЭДС в этих ветвях — со знаком «+». При несовпадении с направлением об хода падения напряжений записываются со знаком «—».
В результате решения полученной системы из n уравнений находят действительные направления определяемых величин с учетом их знака. При этом величины, имеющие отрицательный знак, в действительности имеют направление, противоположное условно принятому. Направления величин, имеющих положитель ный знак, совпадают с условно принятым направлением.
Решение полученной системы уравнений позволяет определить неизвестные величины. При этом величины со знаком «+» в действительности имеют направление, совпадающее с соответствующим первоначально заданным на схе ме условным направлением. Величины со знаком «—» в действи тельности имеют направление, противоположное первоначально заданному условному направлению, показанному на схеме.
8) Метод контурных токов
Этот метод позволяет уменьшить ко личество уравнений системы, составляемых по законам Кирхгофа, до
где nв– число ветвей цепи;
ny– число узлов цепи;
nm– число источников тока цепи.
Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно предста вить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При использовании метода перед расчётом выбирают на правления и путь протекания контурных токов - по любой ветви дол жен протекать хотя бы один выбранный контурный ток. Общее число неизвестных контурных токов определяется величиной k (1). Причём, из пути их протекания следует исключить ветви с источниками тока.
Пример:
Исходные данные:
R1 =24 Ом; R2=70 Ом; R3=44 Ом; R4=12 Ом; R5=20 Ом; R6=30 Ом; Е2=40 В; Е3=19,6 В; JK2=0 А; JK3=0,1 А.
При расчёте этой схемы методом контурных токов возможны два пути:
1) Преобразование исходной схемы не производится.
2) Предусматривает преобразование реальных источников тока в эквивалентную э.д.с.
Для расчёта данной схемы выбираем второй путь и при этом учтём, что
JK2=0 А. Преобразуем JK3 в E3*. Пользуясь законом Ома, получаем E3*= JK3R3=4,4 B.
Схема, полученная после преобразования представлена на рисунке 2.
Рисунок 2 – Преобразованная схема
E3’=E3+ E3*=19,6+4,4=24(B)
После упрощения исходной схемы можно непосредственно перейти к реализации метода контурных токов. Для этого нужно определить количество контурных токов. Сделать это можно по формуле:
где nв– число ветвей цепи;
ny– число узлов цепи;
nm– число источников тока цепи.
В рассматриваемой схеме nв=6, ny=4; nm=0.
Итак, зная количество контурных токов, нужно выбрать их направления.
Схема с направлениями контурных токов представлена на рисунке 3.
Рисунок 3 – Преобразованная схема с направлениями контурных токов
Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа для определения неизвестных контурных токов (порядок системы равен k):
Составим матрицу:
Отсюда выразим матрицу контурных токов:
Зная значения контурных токов, можно найти реальные токи. Они будут равны комбинации контурных токов.
Используя контурные токи, мы получили токи конкретные.
10) Метод узловых напряжений (потенциалов)
11) Представление схем в виде графов. Топологические понятия
Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.
|
Рис.1 |
Рис.2 |
Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же
током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.
Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.
Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.
Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.
Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.
Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.
В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:
1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.
2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.
3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.
Рис.4
4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.
Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .
5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.
Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5.
С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:
12,13) Виды матриц, используемых для описания схем в виде графа. Порядок составления топологических матриц
Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.
1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.
Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу АН , принимая, что элемент матрицы (i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим
|
|
||
.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.
Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим
|
|
|
|
.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа.
2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.
Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi.
Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.
|
|
|
|
3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.
Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.
Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение.
В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем
|
|
|
|
В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения
|
АВТ= 0; |
(8) |
|
QВТ= 0, |
(9) |
которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .
Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.
14) Матричная запись метода контурных токов
В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.
Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:
|
. |
(7) |
В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения
|
, |
(8) |
где - столбцовая матрица контурных токов; - транспонированная контурная матрица.
С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:
|
(9) |
Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить
|
, |
(10) |
|
. |
(11) |
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:
|
, |
(12) |
где - матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.
В развернутой форме (12) можно записать, как:
|
, |
(13) |
то есть получили известный из метода контурных токов результат.
Рассмотрим пример составления контурных уравнений.
Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,
c=n-m+1=6-4+1=3.
Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.
Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:
|
В |
.Диагональная матрица сопротивлений ветвей
|
Z |
Матрица контурных сопротивлений
|
Zk=BZBT |
.
Матрицы ЭДС и токов источников
Тогда матрица контурных ЭДС
.
Матрица контурных токов
|
. |
Таким образом, окончательно получаем:
,
где ; ; ; ; ; ; ; ; .
Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.
15) Матричная запись метода узловых напряжений
На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
|
, |
(14) |
где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
Матрицы Z и Y взаимно обратны.
Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому
|
, |
(15) |
получим:
|
. . |
(16) |
Выражение (16) перепишем, как:
|
. |
(17) |
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:
|
. |
(18) |
Тогда получаем матричное уравнение вида:
|
. |
(19) |
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить
|
(20) |
|
, |
(21) |
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:
|
(22) |
где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.
В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
|
(23) |
то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.
Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.
Узловая матрица (примем )
|
А |
Диагональная матрица проводимостей ветвей:
|
Y |
, |
где .
Матрица узловых проводимостей
.
Матрицы токов и ЭДС источников
. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
.Таким образом, окончательно получаем:
,
где ; ; ; ; .
Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.
16) Теорема наложения и метод расчёта, основанный на ней
Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.
Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.
Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением
|
. |
(1) |
Здесь - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; - комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.
Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом , что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).
Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.
Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.
Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , то получим
|
, |
(2) |
где - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; - алгебраическое дополнение определителя .
Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один -й контур, т.е. контурный ток будет равен действительному току h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.
Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого
полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.
В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.
Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на рис. 1,б…1,г.
В этих цепях
; ; ,
где ; ; .
Таким образом,
.
В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости и в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны и , а при переводе в положение 2 - и .
Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать
|
; |
(3) |
|
. |
(4) |
При переводе ключа в положение “2” имеем
|
; |
(5) |
|
.. |
(6) |
Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим
;
,
откуда искомые проводимости
; .
17) Теорема об эквивалентном генераторе и метод расчёта, основанный на ней
Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.
Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.
Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.
Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС с направлением, указанным на рис. 1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь искать ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана.
Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.
Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,б.
Отсюда ток находится, как:
|
, |
(1) |
где - напряжение на разомкнутых зажимах a-b.
Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора.
Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями.
В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно . Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток (см. рис. 2,б). Тогда на основании результатов измерений .
В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения и .
При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа:
1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви.
2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока.
Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б
.
В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.
В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 5, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи
.
Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.
Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:
.
Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно записать
|
. |
(2) |
Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на рис.7.
В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет равна.
Параметры цепи: ; .
В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами
В соответствии с (1) для тока через можно записать
откуда для модуля этого тока имеем
. (3)
Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность будут максимальны, если ; откуда , причем знак “-” показывает, что нагрузка имеет емкостный характер.
Таким образом,
и .
Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого .
Таким образом, искомые значения и максимальной мощности: .
18) Теорема взаимности и метод расчёта, основанный на ней
Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви,
будет равен току в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в k – й ветви,
.
Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение .
Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток (см. рис. 3,б).
В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС .
Перенесение источника ЭДС в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,б. В этой цепи
|
, |
(7) |
где .
В соответствии с принципом взаимности ток в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7).
19) Гармонические колебания , их описание и характеристики
Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьший промежуток времени, по истечении которого наблюдаются повторения мгновенных значений периодиче ских величин, называется перио дом. Если величину, являющуюся периодической функцией времени t обозначить через F (t), то для лю бого положительного или отрицательного значения аргумента t спра ведливо равенство F(t±T) = F(t), где Т — период.
Геометрически это значит, что ординаты двух произвольных точек графика F(t) с абсциссами, отли чающимися на Т одинаковы.
Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой: f=1/T
Частота имеет размерность l/сек, а единицей измерения часто ты служит герц (гц); частота равна 1 гц, ес ли период равен 1 сек.
Преобладающим ви дом периодического процесса в электриче ских цепях является синусоидальный режим, характеризую щийся тем, что все на пряжения и токи явля ются синусоидальными функциями одинако вой частоты. Это воз можно только при за данных синусоидаль ных э.д.с. и токах ис точников. Тем самым обеспечивается наибо лее выгодный эксплуа тационный режим ра боты электрических установок.
Как известно из курса математическо го анализа, синусоида является простейшей периодической функцией; всякие другие несинусоидальные периодические функции могут быть разложены в бесконечный ряд синусоид, имеющих кратные. Поэтому для исследования процессов в цепях переменного тока в первую очередь необ ходимо изучить особенности цепей синусоидального тока. Так как ко синусоида может рассматриваться как сдвинутая синусоида, то усло вимся к синусоидальным функциям причислять и косинусоидальные. Колебания, выражаемые этими функциями, будем называть гар моническими.
На рис. 2-1 изображены функции
, здесь — максимальное значение или амплитуда, — скорость изменения аргумента (угла), на зываемая угловой частотой; она рав на произведению ча стоты на 2π: ω=2πf(3), рад/сек; φ—начальная фаза, определяемая величи ной смещения гармо нической функции от носительно начала координат; при запи си (1) она измеря ется абсциссой поло жительного максиму ма, а при (2) — абсциссой точки пере хода отрицательной полуволны в положи тельную.
Начальная фаза φ представляет алгебраическую величину. На рис. 2-1, а и г угол φ отрицателен. На рис. 2-1, б и в угол φ положителен.
За аргумент функций (1) и (2) может быть принято время t или соответственно угол ωt. Аргументу t соответствует период Т, а аргументу ωt — период ωt=2π. Следует иметь в виду, что аргумент ωt измеряется в радианах, причём в тех же единицах измеряется и начальная фаза.
Если угол φ вычисляется в градусах, то аргумент ωt также переводится в градусы(1рад=57,3 градуса); в этом случае период составляет 360°.
Величина ωt+ φ, определяющая стадию изменения функций (1) и (2), называется фазовым углом или фазой. С течением времени фаза возрастает, причем после увеличения фазы на 2π цикл изменения синусоидальной величины повторяется.
Рассмотренные понятия, характеризуют гармонические колебания, являются исходными при изучении электрических процессов в цепях переменного тока.
20) Векторная форма представления синусоидальных величин
На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих
векторов.
Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:
.
Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением
и .
Результирующий ток также будет синусоидален:
.
Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .
Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:
.
Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .
21) Представление синусоидальных величин в комплексной плоскости
Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :
показательной
тригонометрической или
алгебраической - формах.
Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число
.
Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
.
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
|
, |
(4) |
Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:
|
, |
(5) |
Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр - комплексом мгновенного значения.
Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.
Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.
Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :
.
Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:
|
, |
(6) |
Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:
,
- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:
.
Тогда мгновенное значение напряжения:
,
где .
При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)
|
, |
(7) |
а при (третий квадрант)
|
(8) |
или
|
(9) |
Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:
.
Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.
Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:
где ;
.
22) Последовательная R-L-C цепь. Основные соотношения, полное комплексное сопротивление
23) Мощность цепи синусоидального тока
Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:
|
. |
(1) |
Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:
|
. |
(2) |
Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:
|
. |
(3) |
Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.
Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.
Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .
Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью .
Принимая во внимание, что , из (3) получим:
|
. |
(4) |
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.
1. Резистор (идеальное активное сопротивление).
Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощность всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность
2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)
При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (3) можно записать .
Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.
Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.
3. Конденсатор (идеальная емкость)
Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.
Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.
В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:
|
(5) |
Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).
В частности для катушки индуктивности имеем:
, так как .
.
Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:
.
Полная мощность
Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:
|
. |
(6) |
Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:
|
. |
(7) |
Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,
|
. |
(8) |
Комплексная мощность
Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности:
|
, |
(9) |
где - комплекс, сопряженный с комплексом .
.
Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:
.
Применение статических конденсаторов для повышения cos
Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличению в силовых электрических цепях.
Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.
Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е. увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности . На этом основано применение конденсаторов для повышения .
Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения ?
Разложим на активную и реактивную составляющие. Ток через конденсатор компенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки :
|
; |
(10) |
|
; |
(11) |
|
. |
(12) |
Из (11) и (12) с учетом (10) имеем
,
но , откуда необходимая для повышения емкость:
|
. |
(13) |
Баланс мощностей
Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.
а) Постоянный ток
Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:
|
(14) |
Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.
Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).
б) Переменный ток.
Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.
|
(15) |
В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:
|
, |
(16) |
где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .
Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):
или
.
24) Резонансные характеристики R-L-C цепи при последовательном соединении элементов
Для цепи на рис.1 имеет место
где
|
; |
(1) |
|
. |
(2) |
В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.
1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,
. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.
2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.
3. - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).
Условие резонанса напряжений
|
. |
(3) |
При этом, как следует из (1) и (2), .
При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.
Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, соответственно, .
Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.
Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.
Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .
Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать
|
. |
(4) |
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 при U=const.
Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:
|
, |
(5) |
- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .
Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением
|
, |
(6) |
или с учетом (4) и (5) для можно записать:
|
. |
(7) |
25) Параллельная R-L-C цепь. Основные соотношения. Полная комплексная проводимость
27) Резонансные характеристики параллельной R-L-C цепи
Для цепи рис. 4 имеем
,
где
|
; |
(8) |
|
. |
(9) |
В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.
В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.
В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.
- случай резонанса токов (рис. 5,в).
Условие резонанса токов или
|
. |
(10) |
При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.
Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.
При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.
Например, для цепи на рис. 6 имеем
Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид
,
откуда, в частности, находится резонансная частота.
28) Особенности анализа цепей со взаимоиндуктивными связями
Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг от друга.
В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи
|
, |
(1) |
где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); и -собственные индуктивности этих элементов.
Слеует отметить, что всегда к<1.
Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис. 1).
На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния.
По определению
|
; |
(2) |
|
. |
(3) |
Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим
|
; |
(4) |
|
. |
(5) |
При этом
|
. |
(6) |
Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы и , то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния и . В этой связи
.
Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две катушки индуктивности и , индуктивно связанные друг с другом, и резистор R.
При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции.
Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой катушке индуцируется ЭДС
|
, |
(7) |
а во второй –
|
. |
(8) |
Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются – случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них.
Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим
|
; |
(9) |
|
, |
(10) |
где - сопротивление взаимоиндукции (Ом).
Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем
,
откуда
.
Воздушный (линейный) трансформатор
Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора.
На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с сопротивлением .
В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке.
По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать
;
.
Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид:
|
; |
(11) |
|
, . |
(12) |
где и - активные сопротивления обмоток; .
Если уравнения (11) и (12) решить относительно , предварительно подставив в (12) и обозначив ; , то получим
|
, |
(13) |
где ; - вносимые активное и реактивное сопротивления.
Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением .
Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами
Пусть имеем схему по рис. 4, где А – некоторый активный четырехполюсник. Для данной цепи можно записать
;
.
Обозначим токи и как: ; .
Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно записать:
;
.
Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью:
|
|
(14) |
|
. |
(15) |
где .
Из (14) и (15) вытекает, что
|
; |
(16) |
|
. |
(17) |
Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, равна нулю, т.к. . Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи индуктивно связанные элементы не влияют.
Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна
.
Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных элементов имеет вид
|
, |
(18) |
где знак “+” ставится при согласном включении катушек, а “-” – при встречном.
Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции.
В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим контурные уравнения для цепи на рис. 5:
Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис. 6, где цепь на рис. 6,б эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние знаки ставятся при согласном включении катушек, а нижние – при встречном.
29) Анализ цепей при несинусоидальном периодическом токе. Три формы разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.
В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).
Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС
(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.
Здесь .
Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем
,
где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.
;
.
Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.
Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:
Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.
При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:
|
. |
(1) |
Здесь - постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.
В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам
;
.
30) Интегральные характеристики несинусоидальных колебаний. Равенство Парсеваля
Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):
31) Частотные характеристики линейных электрических цепей и их использование в электрических цепях
32) Анализ электрических цепей как четырёхполюсников. Шесть комплектов первичных параметров
При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.
Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.
В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии.
Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников.
Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением (см. рис. 1,а).
В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать
|
; |
(1) |
|
. |
(2) |
Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим
;
или
|
; |
(3) |
|
, |
(4) |
где ; ; ; - коэффициенты четырехполюсника.
Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением
|
. |
(5) |
Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.
Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника
|
Форма |
Уравнения |
Связь с коэффициентами основных уравнений |
|
А-форма |
; ; |
|
|
Y-форма |
; ; |
; ; ; ; |
|
Z-форма |
; ; |
; ; ; ; |
|
Н-форма |
; ; |
; ; ; ; |
|
G-форма |
; ; |
; ; ; ; |
|
B-форма |
; . |
; ; ; . |
Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. 1, это выполняется при .
Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными.
При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый.
Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. В этом случае при на основании уравнений (3) и (4)
|
. |
(6) |
При
|
|
(7) |
и при
|
. |
(8) |
Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает:
При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной (рис. 3,б) схемы замещения.
Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием первого и второго законов Кирхгофа выразим и через и :
|
; |
(9) |
|
. |
(10) |
Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает:
Данная задача может быть решена и другим путем. При (холостой ход со стороны вторичных зажимов) в соответствии с (3) и (4)
и ;
но из схемы на рис. 3,а
, а ;
откуда вытекает: и .
При (короткое замыкание на вторичных зажимах)
и .
Из схемы на рис. 3,а
;
.
Следовательно, .
Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае.
Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее формул преобразования “ звезда-треугольник”.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения.
На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе от А- к Z-форме на основании (4) имеем
|
. |
(11) |
Подстановка соотношения (11) в (3) дает
|
. |
(12) |
Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл. 1), получим
.
При анализе работы четырехполюсника на нагрузку удобно использовать понятие входного сопротивления с первичной стороны и коэффициента передачи .Учитывая, что и , для этих параметров можно записать:
Зная , и , можно определить остальные переменные на входе и выходе четырехполюсника: ; ; .
33) Схемы соединения и порядок свёртки четырехполюсников
Способы соединения четырехполюсников
Каскадное соединение четырехполюсников. Каскадным соединением четырехполюсников называется такое соединение, при котором выход предыдущего четырехполюсника соединяется со входом последующего.
Рис. 5.3. Схема каскадного соединения двух четырехполюсников.
На рис. 5.3 показано каскадное соединение двух четырехполюсников, которые заданы своими матрицами А-параметров:
. (5.59)
Зная матрицы двух четырехполюсников (5.59) запишем их уравнения передачи в А-параметрах в матричном виде, используя обозначения, приведенные на рис. 5.3:
, (5.60)
, (5.61)
Из схемы рис. 5.3 видно, что
,
поэтому выражение (5.60) можно записать в следующем виде:
. (5.62)
Из выражения (5.62) видно, что при каскадном соединении четырехполюсников матрица А-параметров результирующего четырехполюсника равна произведению одноименных матриц соединенных четырехполюсников, т.е.:
. (5.63)
Последовательное соединение четырехполюсников. Последовательное соединение двух четырехполюсников, заданных матрицами Z-параметров, показано на рис.5.4.
Рис. 5.4 Схема последовательного соединения четырехполюсников.
Из рис. 5.4 видно, что и .
Уравнения передачи четырехполюсников Z ′ и Z ″ в матричном виде имеют вид:
, (5.64)
. (5.65)
Складывая матричные уравнения (5.64) и (5.65) получим:
. (5.66)
Из выражения (5.66) видно, что при последовательном соединении четырехполюсников матрица Z-параметров результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников, т.е.:
(5.67)
Параллельное соединение четырехполюсников. Параллельное соединение четырехполюсников заданных матрицами Y- параметров показано на рис. 5.5.
Рис. 5.5 Схема параллельного включения двух четырехполюсников.
Из схемы видно, что:
; ;
; .
Записывая уравнения передачи в Y-параметрах в матричном виде для каждого четырехполюсника и суммируя матричные уравнения, доказывается, что Y-матрица результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников, т.е.:
(5.69) Смешанное соединение четырехполюсников. Схема смешанного соединения двух четырехполюсников, заданных матрицами Н-параметров приведена на рис. 5.6.
Рис.5.6. Схема смешанного соединения двух четырехполюсников.
Записав уравнения передачи в Н-параметрах для каждого четырехполюсника в матричном виде и складывая полученные матричные равенства можно доказать, что при смешанном соединении четырехполюсников матрица Н-параметров общего четырехполюсника получается путем суммирования одноименных матриц соединяемых четырехполюсников, т.е.:
(5.70)
34) Принципы согласования нагрузки. Характеристические (вторичные) параметры четырёхполюсников и их связь с первичными параметрами
В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.
.
Это сопротивление обозначают как и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо
,
называется режимом согласованной нагрузки.
В указанном режиме для симметричного четырехполюсника на основании (3) и (4) можно записать
|
; |
(13) |
|
. |
(14) |
Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение
,
решением которого является
|
. |
(15) |
С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид
;
.
Таким образом,
,
где - коэффициент распространения; - коэффициент затухания (измеряется в неперах); - коэффициент фазы (измеряется в радианах).
Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по мощности, поскольку для рассматриваемого случая в е2 раз.
Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения.
По определению
|
. |
(16) |
Тогда
|
. |
(17) |
Решая (17) и (18) относительно и , получим
и .
Учитывая, что
и
,
получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции:
35) Экспериментальное определение первичных и вторичных параметров четырёхполюсников
Если схема четырехполюсника неизвестна, то его параметры можно определить экспериментальным путем, используя режимы холостого хода и короткого замыкания.
Рис. 5.9. Схема для экспериментального определения параметров четырехполюсника.
Определим А-параметры четырехполюсника.
Для этого на входе четырехполюсника подключим вольтметр (V), амперметр (А) и фазометр (φ), как показано на рис. 5.9.
Переведем четырехполюсник в режим холостого хода по выходу (I2=0) и измерим с помощью приборов Iх.х.1, Uх.х.1 и φх.х.1.
В случае, когда I2 = 0 система А-параметров имеет вид:
(5.76)
Из (5.76) получим
. (5.77)
Переведем четырехполюсник в режим короткого замыкания по выходу (U2 = 0). Измерим Iк.з.1, Uк.з.1 и φк.з.1, тогда система А-параметров будет иметь вид:
(5.78)
Из (5.78) получим
. (5.79)
Подключим приборы к зажимам (2-2) и переведем четырехполюсник в режим холостого хода по входу (I1 = 0) и измерим Iх.х.2, Uх.х.2 и φх.х.2. Тогда имеем:
(5.80)
Из (5.80) получим
. (5.81)
Четвертое уравнение получим, используя соотношение:
. (82)
Решив систему уравнений (5.77), (5.79), (5.81) и (5.82), найдем А-параметры:
; ;
; .
37) Транзистор как четырёхполюсник
40) Виды нелинейных элементов цепей и способы их описания
Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент.
Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графиками.
Нелинейные элементы можно разделить на двух – и многополюсные. Последние содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов, с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик от входных переменных и наоборот: входные характеристики строят для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, выходные – для ряда фиксированных значений одного из входных.
По другому признаку классификации нелинейные элементы можно разделить на инерционные и безынерционные. Инерционными называются элементы, характеристики которых зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические характеристики, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, устанавливающих взаимосвязь между мгновенными значениями переменных. Безынерционными называются элементы, характеристики которых не зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические и динамические характеристики совпадают.
Понятия инерционных и безынерционных элементов относительны: элемент может рассматриваться как безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных.
В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы координат: . Для несимметричной характеристики это условие не выполняется, т.е. . Наличие у нелинейного элемента симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта.
По типу характеристики можно также разделить все нелинейные элементы на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками. Однозначной называется характеристика , у которой каждому значению х соответствует единственное значение y и наоборот. В случае неоднозначной характеристики каким-то значениям х может соответствовать два или более значения y или наоборот. У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием падающего участка, для которого , а у нелинейных индуктивных и емкостных элементов – с гистерезисом.
Наконец, все нелинейные элементы можно разделить на управляемые и неуправляемые. В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех- и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др. в которых, изменяют их основные характеристики: вольт-амперную, вебер-амперную или кулон-вольтную.
41) Графический метод анализа нелинейных цепей на постоянном токе
При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.
а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.
При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются напряжения на отдельных резистивных элементах.
Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а.
Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения точка а (см. рис. 3) пересечения кривых и определяет режим работы цепи. Кривая строится путем вычитания абсцисс ВАХ из ЭДС Е для различных значений тока.
Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.
б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.
При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются токи в ветвях с отдельными резистивными элементами.
Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а.
в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.
1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:
Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).
2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.
42) Графический метод анализа нелинейных цепей на переменном токе
Графические методы расчета позволяют проводить анализ нелинейных цепей переменного тока для частных значений параметров с использованием характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений, по первым гармоникам и действующим значениям (см. табл. 1).
Графический метод с использованием характеристик для мгновенных значений
В общем случае методика анализа нелинейной цепи данным методом включает в себя следующие этапы:
-исходя из физических соображений находят (если он не задан) закон изменения одной из величин, определяющих характеристику нелинейного элемента;
-по нелинейной характеристике для известного закона изменения переменной путем графических построений определяют кривую (или наоборот);
-с использованием полученной зависимости проводят анализ остальной (линейной) части цепи.
В качестве примера построим при синусоидальной ЭДС кривую тока в цепи на рис. 3, ВАХ диода в которой представлена на рис. 4.
|
|
Рис.4 |
Решение
1. Строим результирующую ВАХ цепи (см. рис. 4) согласно соотношению
2. Находя для различных значений с использованием полученной кривой соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 5) кривую искомой зависимости .
К полученному результату необходимо сделать следующий комментарий. Использование при анализе подобных цепей ВАХ идеального вентиля (обратный ток отсутствует, в проводящем направлении падение напряжения на диоде равно нулю) корректно при достаточно больших значениях амплитуд приложенного к диоду напряжения, определяющих значительное превышение током, протекающим через вентиль в прямом направлении, его обратного тока, вследствие чего последним можно пренебречь. При снижении величин напряжения, когда эти токи становятся сопоставимыми по величине, следует использовать ВАХ реального диода,представленную на рис. 4 и учитывающую наличие обратного тока.
Важнейшим элементом в цепях переменного тока является катушка с ферромагнитным сердечником. В общем случае кривая зависимости имеет вид гистерезисной петли, но, поскольку в устройствах, работающих при переменном напряжении, используются магнитные материалы с узкой петлей гистерезиса, в большинстве практических случаев допустимо при расчетах использовать основную (или начальную) кривую намагничивания.
Условное изображение нелинейной катушки индуктивности приведено на рис. 6. Здесь – основной поток, замыкающийся по сердечнику, - поток рассеяния, которому в первом приближении можно поставить в соответствие потокосцепление рассеяния , где индуктивность рассеяния в силу прохождения потоком части пути по воздуху.
Для схемы на рис. 6 справедливо уравнение
|
, |
(1) |
где .
В общем случае в силу нелинейности зависимости определить на основании (1) несинусоидальные зависимости и достаточно непросто. Вместе с тем для реальных катушек индуктивности падением напряжения и ЭДС, обусловленной потоками рассеивания, вследствие их малости, часто можно пренебречь. При этом из (1) получаем , откуда
,
где постоянная интегрирования.
Так как характеристика катушки (см. рис. 7) симметрична относительно начала координат, а напряжение симметрично относительно оси абсцисс (оси времени), то кривая также должна быть симметричной относительно последней, откуда следует, что .
Находя для различных значений с использованием кривой соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рис. 7) кривую зависимости .
Анализ полученного результата позволяет сделать важный вывод: при синусоидальной форме потока напряжение на катушке синусоидально, а протекающий через нее ток имеет явно выраженную несинусоидальную форму. Аналогично можно показать, что при синусоидальном токе поток, сцепленный с катушкой, и напряжение на ней несинусоидальны.
Для среднего значения напряжения, наведенного потоком, можно записать
|
. |
(2) |
Умножив (2) на коэффициент формы, получим выражение для действующего значения напряжения
.
В частности, если напряжение и поток синусоидальны, то
.
Соотношение (2) является весьма важным: измеряя среднее значение напряжения, наведенного потоком, по (2) можно определить амплитуды потока и индукции при любой форме нелинейности катушки.
Аналогично проводится построение кривой при синусоидальном потоке и задании зависимости в виде петли гистерезиса. При этом следует помнить, что перемещение рабочей точки по петле осуществляется против часовой стрелки (см. рис. 8).
К полученному результату следует сделать следующий важный комментарий. Разложение построенной кривой в ряд Фурье показывает, что первая гармоника тока (см. кривую на рис. 8) опережает по фазе потокосцепление и, следовательно, отстает по фазе от синусоидального напряжения на катушке на угол, меньший 90°. Это указывает ( ) на потребление катушкой активной мощности, затрачиваемой на перемагничивание сердечника и определяемой площадью петли гистерезиса.
43) Аналитический метод анализа нелинейных цепей
Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области.
К аналитическим методам относятся:
Метод аналитической аппроксимации основан на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:
Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной характеристики. При этом
выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее.
Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением . Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение
или
.
Корни уравнения
.
Решением задачи является , поскольку второе решение не удовлетворяет условиям исходя из физических соображений.
Метод кусочно-линейной аппроксимации основан на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами.
При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки.
Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций, позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 4 и определяемой коэффициентами и характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных участков, и параметрами , характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид
Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых - первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых - первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д.
В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно - линейных функций имеет вид
Метод линеаризации применим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 5) от исходного состояния.
В окрестности рабочей точки (см. рис. 5)
,
где (закон Ома для малых приращений);
-дифференциальное сопротивление.
Идея метода заключается в замене нелинейного резистора линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом, линеаризованной ВАХ (см. прямую на рис. 5) соответствует последовательная (рис. 6,а) или параллельная (рис. 6,б) схема замещения нелинейного резистора.
Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений, получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений:
-первый закон Кирхгофа: ;
-второй закон Кирхгофа: .
При составлении схемы для приращений:
1) все ЭДС и токи источников заменяются их приращениями;
2) нелинейные резисторы заменяются линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках.
Необходимо помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом линеаризации.
Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости
44) Понятие о режимах малого и большого сигнала
45) Магнитные цепи
При решении электротехнических задач все вещества в магнитном отношении делятся на две группы:
Для концентрации магнитного поля и придания ему желаемой конфигурации отдельные части электротехнических устройств выполняются из ферромагнитных материалов. Эти части называют магнитопроводами или сердечниками. Магнитный поток создается токами, протекающими по обмоткам электротехнических устройств, реже – постоянными магнитами. Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую цепь, вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции, называют магнитной цепью.
Магнитное поле характеризуется тремя векторными величинами, которые приведены в табл. 1.
Таблица 1. Векторные величины, характеризующие магнитное поле
|
Наименование |
Обозначение |
Единицы измерения |
Определение |
|
Вектор магнитной индукции |
Тл (тесла) |
Векторная величина, характеризующая силовое действие магнитного поля на ток по закону Ампера |
|
|
Вектор намагниченности |
А/м |
Магнитный момент единицы объема вещества |
|
|
Вектор напряженности магнитного поля |
А/м |
, где Гн/м- магнитная постоянная |
Основные скалярные величины, используемые при расчете магнитных цепей, приведены в табл. 2.
Таблица 2. Основные скалярные величины, характеризующие магнитную цепь
|
Наименование |
Обозначение |
Единица измерения |
Определение |
|
Магнитный поток |
Вб (вебер) |
Поток вектора магнитной индукции через поперечное сечениемагнитопровода |
|
|
Магнитодвижущая (намагничивающая) сила МДС (НС) |
A |
где -ток в обмотке,-число витков обмотки |
|
|
Магнитное напряжение |
А |
Линейный интеграл от напряженности магнитного поля , где и -граничные точки участка магнитной цепи, для которого определяется |
Характеристики ферромагнитных материалов
Свойства ферромагнитных материалов характеризуются зависимостью магнитной индукции от напряженности магнитного поля. При этом различают кривые намагничивания, представляющие собой однозначные зависимости , и гистерезисные петли - неоднозначные зависимости (см. рис. 1).
Основные понятия, характеризующие зависимости , приведены в табл. 3.
Таблица 3. Основные понятия, характеризующие зависимости
|
Понятие |
Определение |
|
Магнитный гистерезис |
Явление отставания изменения магнитной индукции B от изменения напряженности магнитного поля H |
|
Статическая петля гистерезиса |
Зависимость ,получаемая путем ряда повторных достаточно медленных изменений магнитной напряженности в пределах выбранного значения(см. кривые 1 на рис. 1). Площадь статической петли гистерезиса характеризует собой потери на магнитный гистерезис за один период изменения магнитной напряженности |
|
Начальная кривая намагничивания |
Кривая намагничивания предварительно размагниченного ферромагнетика (B=0;H=0) при плавном изменении магнитной напряженности H. Представляет собой однозначную зависимостьи обычно близка к основной кривой намагничивания |
|
Основная кривая намагничивания |
Геометрическое место вершин петель магнитного гистерезиса (см. кривую 2 на рис. 1). Представляет собой однозначную зависимость |
|
Предельная петля гистерезиса (предельный цикл) |
Симметричная петля гистерезиса при максимально возможном насыщении |
|
Коэрцитивная (задерживающая) сила |
Напряженность магнитного поля Нс, необходимая для доведения магнитной индукции в предварительно намагниченном ферромагнетике до нуля. В справочной литературе обычно дается для предельной петли гистерезиса |
|
Остаточная индукция |
Значение индукции магнитного поля Вr при равной нулю напряженности магнитного поля. В справочной литературе обычно дается для предельного цикла |
Основные законы магнитных цепей
В основе расчета магнитных цепей лежат два закона (см. табл. 4).
Таблица 4.. Основные законы магнитной цепи
|
Наименование |
Аналитическое выражение закона |
Формулировка закона |
|
Закон (принцип) непрерывности магнитного потока |
Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю |
|
|
Закон полного тока |
Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром |
При анализе магнитных цепей и, в первую очередь, при их синтезе обычно используют следующие допущения:
- магнитная напряженность, соответственно магнитная индукция, во всех точках поперечного сечения магнитопровода одинакова
- потоки рассеяния отсутствуют (магнитный поток через любое сечение неразветвленной части магнитопровода одинаков);
- сечение воздушного зазора равно сечению прилегающих участков магнитопровода.
Это позволяет использовать при расчетах законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей (см. табл. 5), вытекающие из законов, сформулированных в табл. 4.
Таблица 5. Законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей
|
Наименование закона |
Аналитическое выражение закона |
Формулировка закона |
|
Первый закон Кирхгофа |
Алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитопровода равна нулю |
|
|
Второй закон Кирхгофа |
Алгебраическая сумма падений магнитного напряжения вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме МДС, действующих в контуре |
|
|
Закон Ома |
где |
Падение магнитного напряжения на участке магнитопровода длиной равно произведению магнитного потока и магнитного сопротивления участка |
Сформулированные законы и понятия магнитных цепей позволяют провести формальную аналогию между основными величинами и законами, соответствующими электрическим и магнитным цепям, которую иллюстрирует табл. 6.
Таблица 6. Аналогия величин и законов для электрических и магнитных цепей
|
Электрическая цепь |
Магнитная цепь |
|
Ток |
Поток |
|
ЭДС |
МДС (НС) |
|
Электрическое сопротивление |
Магнитное сопротивление |
|
Электрическое напряжение |
Магнитное напряжение |
|
Первый закон Кирхгофа: |
Первый закон Кирхгофа: |
|
Второй закон Кирхгофа: |
Второй закон Кирхгофа: |
|
Закон Ома: |
Закон Ома: |
46) Методы анализа магнитных цепей
Указанная в предыдущей лекции формальная аналогия между электрическими и магнитными цепями позволяет распространить все методы и технику расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока на нелинейные магнитные цепи. При этом для наглядности можно составить эквивалентную электрическую схему замещения исходной магнитной цепи, с использованием которой выполняется расчет.
Нелинейность магнитных цепей определяется нелинейным характером зависимости , являющейся аналогом ВАХ и определяемой характеристикой ферромагнитного материала . При расчете магнитных цепей при постоянных потоках обычно используют основную кривую намагничивания. Петлеобразный характер зависимости учитывается при расчете постоянных магнитов и электротехнических устройств на их основе.
При расчете магнитных цепей на практике встречаются две типичные задачи:
-задача определения величины намагничивающей силы (НС), необходимой для создания заданного магнитного потока (заданной магнитной индукции) на каком - либо участке магнитопровода (задача синтеза или “прямая“ задача);
-задача нахождения потоков (магнитных индукций) на отдельных участках цепи по заданным значениям НС (задача анализа или “обратная” задача).
Следует отметить, что задачи второго типа являются обычно более сложными и трудоемкими в решении.
В общем случае в зависимости от типа решаемой задачи (“прямой” или “обратной”) решение может быть осуществлено следующими методами:
-регулярными;
-графическими;
-итерационными.
При этом при использовании каждого из этих методов первоначально необходимо указать на схеме направления НС, если известны направления токов в обмотках, или задаться их положительными направлениями, если их нужно определить. Затем задаются положительными направлениями магнитных потоков, после чего можно переходить к составлению эквивалентной схемы замещения и расчетам.
Магнитные цепи по своей конфигурации могут быть подразделены на неразветвленные и разветвленные. В неразветвленной магнитной цепи на всех ее участках имеет место один и тот же поток, т.е. различные участки цепи соединены между собой последовательно. Разветвленные магнитные цепи содержат два и более контура.
Регулярные методы расчета
Данными методами решаются задачи первого типа -”прямые” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и основные геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала и магнитный поток или магнитная индукция в каком-либо сечении магнитопровода. Требуется найти НС, токи обмоток или, при известных значениях последних, число витков.
1. Прямая” задача для неразветвленной магнитной цепи
Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:
1. Намечается средняя линия (см. пунктирную линию на рис.1), которая затем делится на участки с одинаковым сечением магнитопровода.
2. Исходя из постоянства магнитного потока вдоль всей цепи, определяются значения индукции для каждого -го участка:
.
3. По кривой намагничивания для каждого значения находятся напряженности на ферромагнитных участках; напряженность поля в воздушном зазоре определяется согласно
4. По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи определяется искомая НС путем суммирования падений магнитного напряжения вдоль контура:
,
где -длина воздушного зазора.
2. “Прямая” задача для разветвленной магнитной цепи
Расчет разветвленных магнитных цепей основан на совместном применении первого и второго законов Кирхгофа для магнитных цепей. Последовательность решения задач данного типа в целом соответствует рассмотренному выше алгоритму решения “прямой” задачи для неразветвленной цепи. При этом для определения магнитных потоков на участках магнитопровода, для которых магнитная напряженность известна или может быть вычислена на основании второго закона Кирхгофа, следует использовать алгоритм
|
по |
В остальных случаях неизвестные магнитные потоки определяются на основании первого закона Кирхгофа для магнитных цепей.
В качестве примера анализа разветвленной магнитной цепи при заданных геометрии магнитной цепи на рис. 2 и характеристике ферромагнитного сердечника определим НС , необходимую для создания в воздушном зазоре индукции .
Алгоритм решения задачи следующий:
1. Задаем положительные направления магнитных потоков в стержнях магнитопровода (см. рис. 2).
2. Определяем напряженность в воздушном зазоре и по зависимости для - значение .
3. По второму закону Кирхгофа для правого контура можно записать
откуда находим и по зависимости - .
4. В соответствии с первым законом Кирхгофа
.
Тогда , и по зависимости определяем .
5. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для искомой НС имеет место уравнение
.
Графические методы расчета
Графическими методами решаются задачи второго типа - “обратные” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала, а также НС обмоток. Требуется найти значения потоков (индукций) на отдельных участках магнитопровода.
Данные методы основаны на графическом представлении вебер-амперных характеристик линейных и нелинейных участков магнитной цепи с последующим решением алгебраических уравнений, записанных по законам Кирхгофа, с помощью соответствующих графических построений на плоскости.
1. “Обратная” задача для неразветвленной магнитной цепи
Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:
1. Задаются значениями потока и определяют для них НС
, как при решении “прямой” задачи. При этом следует стремиться подобрать два достаточно близких значения потока, чтобы получить , несколько меньшую и несколько большую заданной величины НС.
2. По полученным данным строится часть характеристики магнитной цепи (вблизи заданного значения НС), и по ней определяется поток, соответствующий заданной величине НС.
При расчете неразветвленных магнитных цепей, содержащих воздушные зазоры, удобно использовать метод пересечений, при котором искомое решение определяется точкой пересечения нелинейной вебер-амперной характеристики нелинейной части цепи и линейной характеристики линейного участка, строящейся на основании уравнения
где -магнитное сопротивление воздушного зазора.
2. “Обратная” задача для разветвленной магнитной цепи
Замена магнитной цепи эквивалентной электрической схемой замещения (см. рис. 3, на котором приведена схема замещения магнитной цепи на рис. 2) позволяет решать задачи данного типа с использованием всех графических методов и приемов, применяемых при анализе аналогичных нелинейных электрических цепей постоянного тока.
В этом случае при расчете магнитных цепей, содержащих два узла (такую конфигурацию имеет большое число используемых на практике магнитопроводов), широко используется метод двух узлов. Идея решения данным методом аналогична рассмотренной для нелинейных резистивных цепей постоянного тока и заключается в следующем:
1. Вычисляются зависимости потоков во всех -х ветвях магнитной цепи в функции общей величины -магнитного напряжения между узлами и .
2. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа Соответствующие данной точке потоки являются решением задачи.
Итерационные методы расчета
Данные методы, сущность которых была рассмотрена при анализе нелинейных резистивных цепей постоянного тока, являются приближенными численными способами решения нелинейных алгебраических уравнений, описывающих состояние магнитной цепи. Как было отмечено выше, они хорошо поддаются машинной алгоритмизации и в настоящее время широко используются при исследовании сложных магнитных цепей на ЦВМ. При анализе относительно простых цепей, содержащих небольшое число узлов и нелинейных элементов в эквивалентной электрической схеме замещения (обычно до двух-трех), возможна реализация методов “вручную”.
В качестве примера приведем алгоритм расчета магнитной цепи на рис. 1, в которой при заданных геометрии магнитопровода, характеристике материала сердечника и величине НС F необходимо найти поток Ф.
В соответствии с пошаговым расчетом для данной цепи можно записать
|
, |
(1) |
где .
Задаемся значением , вычисляем для -х участков магнитопровода , по кривой намагничивания находим , подсчитываем и по (1) определяем для следующего приближения и т.д., пока с заданной погрешностью не будет выполняться равенство .
47) Электромагнитные устройства постоянного тока
Принцип работы многих электромагнитных устройств постоянного тока, на пример электроизмерительных приборов, электромеханических реле, электромаг нитов, основан на электромеханическом дей ствии магнитного поля. Во всех этих уст ройствах для расчета сил, действующих на различные части магнитопроводов, часто требуется выразить силу через изменение энергии магнитного поля.
В качестве примера рассмотрим определение силы в системе, состоящей из двух ка тушек индуктивности: неподвижной с чис лом витков и подвижной с числом витков , подключенных к источникам по стоянного тока и (рис. 6.14).
Предположим, что под действием силы притяжения f катушка перемещается за
время dt вдоль горизонтальной оси х на расстояние dx. За время dt от двух источ ников постоянного тока в рассматриваемую систему поступит энергия
, где p1 и p2—мгновенные значения мощности источников; u1 и u2 —напряжения между выводами катушек.
Будем для упрощения расчетов считать, что потерями в проводах катушек можно пренебречь. В этом случае энергия, полученная от источников тока, расходуется на механическую работу и на изменение энергии магнитного поля системы:
Напряжения u1 и u2 между выводами катушек возникают вследствие измене ния полных потокосцеплений в каждой из них:
Так как в рассматриваемой системе токи в катушках Jt и J2 и индуктивности катушек Lt и L2 постоянны, то изменения полных потокосцеплений и вызваны изменением (увеличением) взаимной индуктивности М. (В общем случае изменяться могут и индуктивности катушек вследствие изменения геометрических размеров последних.) По закону электромагнитной индукции напряжения между выводами катушек:
С учетом (1), (2) и (3) запишем уравнение (*) в виде
В этом уравнении величина в скобках равна удвоенной энергии магнит ного поля системы 2WМ, откуда dWМ = f dx. Следовательно, электромеханическая сила, действие которой вызывает перемещение катушки , может быть найдена через соответствующее этому перемещению изменение энергии магнитного поля:
Производная положительна, следовательно, электромеханическая сила f стре мится переместить подвижную катушку так, чтобы энергия магнитного поля системы увеличивалась.
Для некоторых устройств можно считать, что при малых перемещениях под вижного элемента системы потокосцепления практически не изменяются, т. е. в (3) и . В таком случае система не получает энергии от источников и, следовательно, , т. е. перемещение подвижного элемента по направлению действия силы происходит за счет уменьшения энергии магнитного поля, например, в результате уменьшения объема, занимаемого магнитным полем при сохране нии его интенсивности.
Применим условие (4) к конкретно му случаю—ориентировочному расчету подъемной силы электромагнита, в котором маг нитное поле возбуждается постоянным током катушки (рис. 6.15).
Прежде чем изложить расчет, сделаем небольшое отступление. Вспомним доказанное в курсе физики положение о том, что магнитное поле постоянного тока в ферромагнитной среде с линейными свойствами = const или в среде без ферромаг нетиков = 1 содержит в единице объема энергию называемую удельной энергией магнитного поля. Справедливость (5) можно показать на частном примере, воспользовавшись () для катушки с магнитопроводом в виде тонкостенного тора с площадью поперечного сечения S и длиной средней магнитной линии l из ферромагнитного материала с линейными свойствами, т. е. при : ,
Где , ,
Продолжим теперь расчет подъемной силы электромагнита. Если считать, что индукция В магнитного поля в воздушном зазоре между сердечником и якорем электромагнита не изменяется при перемещении якоря на расстояние Δx, то и удель ная энергия магнитного поля в зазоре остается одной и той же. Следовательно, при перемещении якоря на расстояние Δх изменение энергии магнитного поля
Так как было принято, что индукция магнитного поля при перемещении якоря не изменяется, то на основании (3) получим:
По этой формуле можно ориентировочно рассчитать подъемную силу электро магнита любого типа, в котором магнитное поле возбуждается постоянным током катушки. Но при точном расчете необходимо учитывать особенности каждой из кон струкций.
В общем случае энергия магнитного поля системы зависит не только от взаим ного расположения ее частей. Поэтому при определении сил, возникающих в маг нитном поле, следует пользоваться понятием частной производной от энергии маг нитного поля по координате перемещения подвижной части, как это сделано в дальнейшем.
48) Магнитные цепи переменного тока и методы их анализа
49) Методы машинного расчёта нелинейных цепей (итерационные методы)
Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности.
Наиболее широкое применение в электротехнике для численного расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона, основные сведения о которых приведены в табл. 1.
Таблица 1. Итерационные методы расчета
|
Последователь-ность расчета |
Геометрическая иллюстрация алгоритма |
Условие сходимости итерации |
Примечание |
|
Метод простой итерации 1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи , где -искомая переменная, представляется в виде . 2. Производится расчет по алгоритму где - шаг итерации.
|
Здесь - заданная погрешность |
На интервале между приближенным и точным значениями корня должно выполняться неравенство |
1.Начальное приближение обычно находится из уравнения при пренебрежении в нем нелинейными членами. 2. Метод распространим на систему нелинейных уравнений n-го порядка. Например, при решении системы 2-го порядка итерационные формулы имеют вид ; . 3. При решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации.
|
|
Метод Ньютона- -Рафсона 1. На основании исходного нелинейного уравнения электрической цепи , где -искомая переменная, записывается итерационная формула где - шаг итерации. 2.По полученной формуле проводится итерационный расчет |
Здесь - заданная погрешность |
На интервале между приближенным и точным значениями корня должны выполняться неравенства |
Примечания п. 1,2 и 3 к методу простой итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка итерационные формулы имеют вид где |
50) Трансформаторы. Схема замещения и её использование для построения векторной диаграммы
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТРАНСФОРМАТОРАХ
Трансформатором называется статическое (т. е. без движущихся частей) электромагнитное устройство, предназначенное чаще всего для преобразования одного переменного напряжения в Другое или другие напряжения той же частоты. Трансформатор имеет не менее двух обмоток, у которых есть общий магнитный поток и которые элетрически изолированы друг от друга (за исключением автотрансформа торов).
Для усиления индуктивной связи и снижения вихревых токов в большинстве трансформаторов обмотки размещаются на магнитопроводе, собранном из листовой электротехнической стали (рис. 8.1).
Магнитопровод отсутствует лишь в воздушных трансформаторах, ко торые применяются при частотах примерно свыше 20 кГц, когда маг нитопровод все равно практически не намагничивается из-за значитель ного увеличения вихревых токов.
Обмотка трансформатора, соеди ненная с источником питания (сеть электроснабжения, генератор), назы вается первичной. Соответственно пер вичными именуются все величины, относящиеся к этой обмотке, — число витков, напряжение, ток и т. д. Бук венные обозначения их снабжаются индексом 1, например w1 ,и1 ,i1 (рис. 8.1). Обмотка, к которой подклю чается приемник (потребитель электроэнергии), и относящиеся к ней величины называются вторичными (индекс 2).
Различают однофазные (для цепей однофазного тока) и трехфазные (для трехфазных цепей) трансформаторы. У трехфазного трансформа тора первичной или вторичной обмоткой принято называть соответ ственно совокупности трех фазных обмоток одного напряжения. На рис. 8.2 показаны основные условные графические обозначения однофазного (1, 2, 3) и трехфазного (4, 5, 6) трансформаторов.
На щитке трансформатора указываются его номинальные напряже ния — высшее и низшее, в соответст вии с чем следует различать обмотку высшего напряжения (ВН) и обмотку низшего напряжения (НН) трансфор матора. Кроме того, на щитке должны быть указаны его номинальная пол ная мощность (В • А или кВ-А), токи (А) при номинальной полной мощно сти, частота, число фаз, схема соедине ний, режим работы (длительный или кратковременный) и способ охлажде ния. В зависимости от способа охлаждения трансформаторы делят на сухие и масляные. В последнем случае (рис. 8.3) выемная часть трансформатора погружается в стальной бак, заполненный маслом. На рис. 8.3 показан трансформатор трехфазный масляный с трубчатым баком (в частичном разрезе), где ) — магнитопровод; 2 — обмотка НН в разрезе; 3 — обмотка ВН в разрезе, ниже нее и на среднем стерж не матнитопровода видны неразрезанные катушки этой обмотки; 4 — выводы обмотки ВН; 5 — выводы обмотки НН; 6 — трубчатый бак для масляного охлаждения; 7 — кран для заполнения маслом; 8 — выхлопная труба для газов; 9 — газовое реле; 10 — расширитель для масла; 11 — кран для спуска масла.
Если первичное напряжение U1 трансформатора меньше вторич ного U2, то он работает в режиме повышающего трансформатора; в про тивном случае (U1 > U2 ) в режиме понижающего трансформатора.
Впервые для техниче ских целей трансформатор был применен П. Н. Яб лочковым в 1876 г. для питания электрических свечей. Но особенно широ ко трансформаторы стали применяться после того, как М. О. Доливо-Добровольским была предложе на трехфазная система пе редачи электроэнергии и разработана конструкция первого трехфазного транс форматора (1891 г.).
Схема замещения, построение векторной диаграммы
Рассмотрим теперь идеализированный однофазный трансформатор с магнитопроводом, выполненным из ферромагнитного материала, у которого нужно учитывать гистерезис.
При разомкнутой вторичной цепи схема замещения такого идеали зированного однофазного трансформатора совпадает со схемой заме щения идеализированной катушки.
Активная g и индук тивная bL проводимости идеализи рованной катушки определяются после замены петли ги стерезиса эквивалентным эллипсом. Схема замещения на груженного идеализированного од нофазного трансформатора приве дена на рис. 8.8, на котором схе ма замещения идеализированного
однофазного трансформатора обведена штриховой линией.
Параметры элементов схемы замещения g и bL идеализированного однофазного трансформатора с магнитопроводом при учете гистерезиса зависят от частоты тока.
Действительно, площадь динамической петли гистерезиса магнито провода зависит от частоты намагничивающего тока. Сле довательно, и параметры эквивалентного эллипса, определяющие пара метры схемы замещения идеализированного однофазного трансфор матора, также зависят от частоты намагничивающего тока.
На рис. 8.9 приведена векторная диаграмма идеализированного однофазного нагруженного трансформатора. Начальная фаза, равная нулю, выбрана у вектора магнитного потока Ф в магнитопроводе. Вектор тока намагничивания I1х опережает вектор магнитного потока Ф на угол потерь δ так же, как и вектор тока I на векторной диаграмме катушки.
Векторы ЭДС Ё1 и Ё2, индуктируемых в первичной и вторичной обмот ках идеализированного транс форматора отстают по фазе от вектора маг нитного потока на угол π/2. Длины векторов напряжений между выводами первичной обмотки U1 и вторичной обмотки U2 равны соответственно, дли нам векторов ЭДС Ё1 и Ё2, векторы на пряжений опережают по фазе вектор Ф на угол π/2.
Составим теперь схему замещения реального однофазного транс форматора, в который идеализированный однофазный трансформатор входит как составная часть.
Схема замещения реального одно фазного трансформатора показана на рис. 8.10, где храс1 = ωLpacl; r1 — индук тивное сопротивление рассеяния и ак тивное сопротивление первичной обмотки и — приведенные индук тивное сопротивление рассеяния и ак тивное сопротивление вторичной обмотки. Схема замещения идеали зированного однофазного трансформатора выделена на рис. 8.10 штри ховой линией.
Схеме замещения реального однофазного трансформатора соответ ствуют уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа:
— комплексные сопротив ления, учитывающие активные сопротивления обмоток и индуктив ности рассеяния.
На рис. 8.11 приведена векторная диаграмма реального однофаз ного трансформатора. Ее построение аналогично построению диаграм мы идеализированного трансфор матора (рис. 8.9).
Из уравнений реального одно фазного трансформатора и его век торной диаграммы следует, что от ношение действующих значений напряжений между выводами вто ричной обмотки и между выводами первичной обмотки не совпадает с отношением действующих значений ЭДС, индуктированных в этих об мотках магнитным потоком Ф в магнитопроводе. Действующие зна чения напряжений и называются полными внутренними падениями напряжений на первичной и вторичной обмотках трансформатора. Следует иметь в виду, что приведенная векторная диа грамма правильно показывает лишь качественные соотношения меж ду величинами. Практически в большинстве случаев треугольники внутреннего падения напряжения малы, т. е. U1 =(приблизительно) Е1 и U2 = Е2, и можно считать, что Различают несколько режимов работы трансформатора, имеющего номинальную полную мощность Sном = S1иом = U1номI1ном: 1) номи нальный режим, т. е. режим при номинальных значениях напряжения U1 = U1ном и тока I1 = I1ном первичной обмотки трансформатора; 2) рабочий режим, при котором напряжение первичной обмотки близко к номинальному значению или равно ему: , а ток I1 опре деляется нагрузкой трансформатора; 3) режим холостого хода, т. е. режим ненагруженного трансформатора, при котором цепь вторичной обмотки разомкнута (I2 = 0) или подключена к приемнику с очень большим сопротивлением нагрузки (например, вольтметр); 4) режим короткого замыкания трансформатора, при котором его вторичная обмотка коротко замкнута (U2 = 0) или подключена к приемнику с очень малым сопротивлением нагрузки (например, амперметр),
Режимы холостого хода и короткого замыкания возникают при авариях или специально создаются при испытании трансформатора.
51) Характеристики трансформатора при его нагрузке
Трансформатором называют электромагнитное устройство, имеющее две (или более) индуктивно связанные обмотки и предназначенное для преобразования одной системы переменного тока в другую. Наибольшее применение в электротехнических установках имеют силовые трансформаторы, посредством которых изменяют значения переменного напряжения и тока.
Простейший силовой трансформатор состоит из магнитопровода, выполненного из листовой электротехнической стали, и двух обмоток, расположенных на его стержнях (рис. 1). Одна из обмоток, которую называют первичной, присоединена к источнику переменного тока Г с напряжением . К другой обмотке, называемой вторичной, подключен электроприемник, имеющий сопротивление.
Рис.1. Электромагнитная и принципиальная схемы трансформаторов:
а - электромагнитная схема однофазного трансформатора; б – принципиальная схема однофазного трансформатора; в – принципиальная схема трехфазного трансформатора, обмотки которого соединены в звезду; г – условное графическое обозначение трехфазного трансформатора
Первичная и вторичная обмотки не имеют электрической связи друг с другом, и мощность из одной обмотки в другую передается электромагнитным путем. Магнитопровод, на котором расположены обмотки, служит для усиления индуктивной связи между ними.
Действие трансформатора основано на явлении электромагнитной индукции. При подключении первичной обмотки к источнику переменного тока в ее витках будет протекать переменный ток , который создает переменный магнитный поток Ф. Замыкаясь в магнитопроводе, этот поток сцепляется с обеими обмотками и индуцирует в них ЭДС:
в первичной обмотке ЭДС самоиндукции
, (1)
во вторичной обмотке ЭДС взаимоиндукции
, (2)
где -число витков в первичной и вторичной обмотках.
При подключении нагрузки к выводам вторичной обмотки под действием ЭДС создается ток и на ее выводах устанавливается напряжение . В повышающих трансформаторах , а в понижающих .
Из выражений (1) и (2) видно, что ЭДС и отличаются друг от друга из-за разного числа витков и, поэтому, применяя обмотки с требуемым соотношением витков, можно изготовить трансформатор на любое отношение напряжений. Отношение ЭДС обмоток, равное отношению числа их витков называется коэффициентом трансформации
.
Обмотку трансформатора, подключенную к сети с более высоким напряжением, называют обмоткой высшего напряжения (ВН); обмотку, присоединенную к сети меньшего напряжения, - обмоткой низшего напряжения (НН).
На рис. 1б показано изображение однофазного трансформатора на принципиальных электрических схемах, а на рис. 1в и г приведена принципиальная схема трехфазного трансформатора и его условное графическое обозначение.
Трансформаторы обладают свойством обратимости, один и тот же трансформатор можно использовать в качестве повышающего и понижающего. Но обычно трансформатор имеет определенное назначение: либо он повышающий, либо - понижающий.
Трансформатор - это аппарат переменного тока. Если его первичную обмотку подключить к источнику постоянного тока, то магнитный поток в магнитопроводе трансформатора также будет постоянным как по величине, так и по направлению , поэтому в обмотках не будет наводиться ЭДС, а следовательно, электроэнергия из первичной цепи не будет передаваться во вторичную.
Силовой трансформатор состоит из следующих элементов: магнитопровода, обмоток, вводов, бака и др. Магнитопровод с размещенными на его стержнях обмотками составляет активную часть трансформатора. Остальные элементы трансформатора являются неактивными (вспомогательными) частями.
Магнитопровод. Магнитопровод (рис.2) выполняет две функции:
Магнитопровод состоит из тонких (обычно толщиной 0,5 мм) стальных пластин, покрытых с двух сторон изолирующим лаком. Такая конструкция обеспечивает ослабление вихревых токов, наводимых в магнитопроводе переменным магнитным потоком, и следовательно, снижение потерь энергии в трансформаторе.
Рис.2. Магнитопровод трехфазного трехстержневого трансформатора:
1-стержни; 2 –верхнее ярмо; 3 – нижнее ярмо обмотки.
Обмотки силовых трансформаторов выполняют из обмоточных проводов круглого или прямоугольного сечения, изолированных хлопчатобумажной пряжей или кабельной бумагой. Основой обмотки в большинстве случаев является бумажно-бакелитовый цилиндр, на котором крепятся элементы, обеспечивающие механическую и электрическую прочность.
Обмотки силовых трансформаторов выполняют, как правило, в виде цилиндров, размещаемых на стержне концентрически: ближе к стержню обычно располагают обмотку НН (требующую меньшей изоляции от стержня), а снаружи—обмотку ВН.
Обмотки разделяют на несколько типов:
1. Цилиндрические однослойные или двухслойные обмотки из провода прямоугольного сечения (рис. 3а) используют главным образом в качестве обмоток НН на номинальный ток до 800 А.
2. Винтовые одно- и многоходовые обмотки выполняют из нескольких параллельных проводов прямоугольного сечения. При этом витки укладывают по винтовой линии, имеющей один или несколько ходов (рис. 3б).
3. Непрерывные обмотки (рис. 3в) состоят из отдельных секций, намотанных по спирали и соединенных между собой без пайки. Непрерывные обмотки получили наибольшее применение, что объясняется их большой механической прочностью и надежностью.
В трансформаторах с масляным охлаждением магнитопровод с обмотками помещен в бак, наполненный трансформаторным маслом (рис.4). Трансформаторное масло, омывая обмотки 2 и 3 и магнитопровод 1, отбирает от них теплоту и, обладая высокой теплопроводностью, через стенки бака 4 и трубы радиатора 5 отдает ее в окружающую среду. Наличие трансформаторного масла обеспечивает более надежную работу высоковольтных трансформаторов, так как электрическая прочность масла намного выше, чем воздуха. Масляное охлаждение интенсивнее воздушного, поэтому габариты и вес масляных трансформаторов меньше, чем у сухих трансформаторов такой же мощности.
Для компенсации объема масла при изменении температуры, а также для защиты масла от окисления и увлажнения при контакте с воздухом применяют расширитель 9, представляющий собой цилиндрический сосуд, установленный на крышке бака и сообщающийся с ним. Колебания уровня масла с изменением его температуры происходят не в баке, который всегда заполнен маслом, а в расширителе, сообщающемся с атмосферой.
Рис. 3. Конструкция концентрических обмоток
Обмотки трансформатора с внешней цепью соединяют вводами 7 и 8. В масляных трансформаторах для вводов обычно используют проходные фарфоровые изоляторы. Такой ввод снабжен металлическим фланцем, посредством которого он крепится к крышке бака. К дну бака прикреплена тележка, позволяющая перемещать трансформатор в пределах подстанции. На крышке бака расположена рукоятка переключателя 6, с помощью которого можно изменять коэффициент трансформации. Это бывает необходимо делать для регулирования напряжения в электрической сети.
Потери и КПД трансформатора. В процессе трансформирования электрической энергии часть ее теряется в трансформаторе. Потери в трансформаторе разделяются на электрические и магнитные.
Рис. 4. Устройство трансформатора с масляным охлаждением:
1 - магнитопровод; 2,3 - обмотки; 4 – бак; 5 – трубы радиатора; 6 – регулятор напряжения; 7,8 – вводы низкого и высокого напряжений
Электрические (нагрузочные) потери обусловлены нагревом обмоток трансформаторов при прохождении по ним электрического тока. Мощность электрических потерь пропорциональна квадрату тока и определяется суммой потерь в первичной и вторичной обмотках.
Нагрузочные потери определяются по выражению:
,
где - паспортный параметр трансформатора, называемый потерями короткого замыкания; S-мощность, передаваемая через трансформатор; - номинальная мощность трансформатора.
Электрические потери называют переменными, так как их величина зависит от нагрузки S трансформатора.
Магнитные потери возникают в магнитопроводе трансформатора. Их причина - систематическое перемагничивание магнитопровода переменным магнитным полем. Перемагничивание вызывает два вида магнитных потерь: потери от гистерезиса, связанные с затратой энергии на уничтожение остаточного магнетизма в ферромагнитном материале магнитопровода, и потери от вихревых токов, наводимых переменным магнитным полем в пластинах магнитопровода.
С целью уменьшения магнитных потерь магнитопровод трансформатора выполняют из магнитно-мягкого ферромагнитного материала — тонколистовой электротехнической стали. При этом магнитопровод делают шихтованным в виде пакетов из тонких пластин, изолированных с двух сторон тонкой пленкой лака.
При неизменном первичном напряжении магнитные потери, называемые иначе потерями холостого хода постоянны, т. е. не зависят от нагрузки трансформатора.
Суммарные потери в трансформаторе определяются по формуле:
. (3)
На рис.5 показаны зависимости электрических, магнитных и суммарных потерь в трансформаторе от его нагрузки S.
Рис.5. Зависимость потерь в трансформаторе от его нагрузки
Коэффициент полезного действия трансформатора определяется как отношение активной мощности вторичной обмотки (полезная мощность) к активной мощности первичной обмотки (подводимая мощность):
,
где - определяется по формуле (3).
Активную мощность вторичной обмотки можно найти по выражению:
,
где -линейные значения напряжения и тока; - коэффициент мощности; -мощность вторичной обмотки.
Учитывая, что , можно получить выражение для расчета КПД трансформатора:
. (4)
Анализ формулы (4) показывает, что КПД трансформатора зависит от коэффициента его загрузки и от характера () нагрузки. Эти зависимости иллюстрируются графиками, приведенными на рис.6.
Экономия электроэнергии в трансформаторах. На подстанциях могут устанавливаться несколько трансформаторов, работающих параллельно. В этом случае суммарные потери в них определяются по формуле:
, (5)
где n –число параллельно работающих трансформаторов.
Экономия электроэнергии за счет снижения потерь может быть достигнута параллельным включением трансформаторов при увеличении нагрузки. На рис.7 показаны зависимости потерь активной мощности в одном и двух параллельно работающих трансформаторах от их нагрузки S. Так как потери мощности в одном трансформаторе согласно (5) равны
, (6)
а в двух параллельно включенных трансформаторах
(7)
то равенство будет иметь место при нагрузке, равной
. (8)
Рис.6. Зависимость КПД трансформатора от нагрузки
Рис.7. Экономия электроэнергии в трансформаторах
52) Устройство машины постоянного тока. Способы и схемы возбуждения
а) Общие сведения
Электрические машины постоянного тока (двигатели и генераторы) находят широкое применение в различных областях техники. Основ ное достоинство двигателей постоянного тока заключается в возмож ности плавного регулирования частоты вращения и получения боль ших пусковых моментов. По этой причине двигатели постоянного тока широко используются в качестве тяговых двигателей на электри ческом транспорте, а также для привода различного технологического оборудования.
Электрические машины постоянного тока малой мощности приме няются в системах автоматического регулирования, где они исполь зуются не только для привода исполнительных механизмов, но и как датчики частоты вращения подвижных частей регулируемой системы. Генераторы постоянного тока находят применение в системах электропитания специального оборудования, например в радиотехни ческих установках, при зарядке аккумуляторов, для: питания электро литических ванн и т. д.
Общим недостатком электрических машин постоянного тока яв ляется их конструктивная сложность, связанная главным образом со щеточно-коллекторным аппаратом. Кроме того, в коллекторно-щеточном аппарате, осуществляющем постоянную перекоммутацию це пей электрической машины, возникает искрение. Это снижает надеж ность машин и ограничивает область их применения. Существенным недостатком применения двигателей постоянного тока является необ ходимость предварительного преобразования для них электрической энергии переменного тока в электрическую энергию постоянного тока.
Б) Устройство машины постоянного тока
Машина постоянного тока в основном состоит из неподвижной части, служащей для возбуждения главного магнитного поля, и вра щающейся части, в которой индуктируется ЭДС. Токи от этой ЭДС, взаимодействуя с главным магнитным полем, создают тормозной мо мент в генераторном режиме и вращающий момент в двигательном.
Неподвижная часть состоит из станины (рис. 13.1), на которой укрепляются основные (главные) полюсы для возбуждения главного
магнитного потока и дополнительные для улучшения коммутации в машине.
Главный полюс состоит из сердечника полюса, набранного из листо вой стали и укрепленного болтами на станине, и катушки обмотки воз буждения. Сердечник на свободном конце снабжается полюсным нако нечником для создания требуемого рас пределения магнитной индукции вдоль окружности якоря.
Станина является ярмом машины, т. е. частью, замыкающей магнитную цепь главного потока Ф (рис. 13.2). Она изготовляется из литой стали, так как магнитный поток в ней относительно по стоянен. Дополнительные полюсы уста навливаются на станине между основ ными. На сердечниках дополнительных полюсов располагаются обмотки, кото рые соединяются последовательно с яко рем.
Якорем называют часть машины, в обмотке которой при вращении ее отно сительно главного магнитного поля индуктируется ЭДС. В маши не постоянного тока якорь состоит из зубчатого сердечника, обмотки, уложенной в его пазах, и коллектора, насаженного на вал якоря. Сердечник якоря набирается из листов электротехнической стали (рис. 13.3, а) толщиной 0,5 мм, изолированных друг от друга лаком.
В пазы сердечника якоря уложена обмотка якоря (рис. 13.3, б) обычно состоящая из отдельных секций. Для отвода тока от коллектора служат щетки, установленные в щеткодержателях (рис. 13.4). Щетку 1 к кол лектору прижимает пружина 2. Ток от щетки отводится специальным гибким кабелем. Щеткодержатели надеваются на щеточную траверсу (отверстие 3), от которой они электрически изолируются. Траверса крепится соосно с якорем так, что ее
можно поворачивать, изменяя положение щеток по отношению к полюсам машины.
Характерной частью электрических машин постоянного тока яв ляется коллектор. Это полый цилиндр, собранный из изолированных друг от друга клинообразных медных пластин 1 (рис. 13.5). Пластины коллектора изолированы также от вала машины. Проводниками 2 они соединяются с витками обмотки, размещенной в пазах якоря.
Вращающаяся обмотка соединяется с внешней цепью скользящим кон тактом между щетками и коллек тором.
Как и все электрические маши ны, машина постоянного тока об ратима. Она работает в режиме генератора, если ее вращает пер вичный двигатель, главное магнитное поле возбуждено, а цепь якоря соединена через щетки с приемником. При таких условиях ЭДС, ин дуктируемая в обмотке якоря, создает в якоре и приемнике ток.
Взаимодействие тока якоря с главным магнитным полем создает на валу машины тормозной момент, который преодолевается первич ным двигателем. Генератор преобразует меха ническую энергию в электрическую.
В двигательном режиме цепи якоря и воз буждения машины присоединены к источнику электроэнергии. Взаимодействие тока якоря с главным магнитным полем создает вращающий момент. Под действием последнего вращающийся якорь преодолевает момент нагрузки на валу ма шины. Двигатель преобразует электрическую энергию в механическую.
Таким образом, одна и та же машина может быть использована в качестве генератора или двигателя. Важнейшим классификационным признаком машин постоянного тока является способ возбуждения главного магнитного поля. Одним из них является использование постоянных магнитов на полюсах ма шины. Во многих современных машинах главное магнитное поле воз буждается с помощью электромагнитов. Для этого используется об мотка возбуждения с током возбуждения, размещенная на сердечниках полюсов машины. Все рабочие характеристики машин постоян ного тока при работе как в режиме генератора, так и в режиме двига теля зависят от способа включения цепи возбуждения по отношению к цепи якоря. Соединение этих цепей может быть параллельным, по следовательным, смешанным, и, наконец, цепи эти могут быть независимы одна от другой, в соответ ствии с чем принято различать параллельное, по следовательное, смешанное и независимое возбуж дение машин. Практически весьма ценно то об стоятельство, что мощность цепи возбуждения при любом способе включения обмотки возбуждения от носительно мала — примерно 5% номинальной мощности у малых машин и менее 1 % — у машин большой мощности. Это делает возможным экономичное управление работой машины по стоянного тока (напряжением генератора, угловой скоростью враще ния двигателя).
В машинах с независимым возбуждением обмотка возбуждения подключается к независимому источнику электроэнергии (рис. 13.6), благодаря чему ток в ней не зависит от напряжения на выводах якоря машины. Сечение проводов обмотки возбуждения в этих машинах выбирается в зависимости от напряжения источника тока возбуждения. Характерным для этих машин является независимость главного магнитного по тока от нагрузки машины.
У машин с параллельным возбужде нием цепь обмотки возбуждения соеди няется параллельно с цепью якоря (рис. 13.7, а). В этом случае ток возбужде ния Iв во много раз меньше тока якоря (0,05—0,01), а напряжение U между вы водами цепей якоря и возбуждения одно и то же. Следовательно, сопротивление
обмотки возбуждения (rв = U/ Iв) должно быть относительно вели ко. Обмотка возбуждения машины параллельного возбуждения имеет большое число витков wnаp из тонкого провода и благодаря этому об ладает значительным сопротивлением. Характерно для машин парал лельного возбуждения, работающих в системе большой мощности, по стоянство главного магнитного потока и его небольшая зависимость от условий нагрузки машины.
У машин с последовательным возбуждением ток якоря Iя равен току обмотки возбуждения (рис. 13.7, б), поэтому она выполняется проводом большого сечения. Значение тока Iя в обмотке последова тельного
возбуждения велико, благодаря чему для получения необхо димой МДС (Iя wnoс) достаточно, чтобы эта обмотка имела малое число витков wnoс. Следовательно, сопротивление обмотки последовательного возбуждения rв относительно мало. Для этих машин характерны изменения в широких пределах главного магнитного потока при изме нениях нагрузки машины вследствие изменений тока якоря, который является одновременно и током возбуждения.
В машинах со смешанным возбуждением на каждом полюсном сер дечнике расположены две обмотки (рис. 13.8)
Одна из этих обмоток, подключаемая параллельно якорю, явля ется основной. Создаваемая ею МДС (Iпар wпар) возбуж дает главное магнитное поле.
Вторая обмотка wnoс лишь дополнительно воздей ствует на это магнитное поле. В зависимости от преоб ладания МДС, созданных последовательной или парал лельной обмоткой возбуждения, машина по своим характеристикам может быть машиной последовательного возбуждения с небольшой параллельной обмоткой воз буждения или машиной параллельного возбуждения с небольшой последовательной обмоткой возбуждения. В большинстве машин смешанного возбуждения приме няется согласное соединение, т. е. МДС двух обмоток складываются. Встречное соединение, при котором МДС обмоток име ют противоположное направление, применяется в немногих специаль ных случаях.
54) Асинхронные трёхфазные двигатели. Устройство и принцип действия
а) ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Из числа различных видов современных электрических машин самой распространенной в наши дни является асинхронная бескол лекторная машина, применяемая обычно в качестве двигателя. Асин хронная машина — это машина, в которой при работе возбуждается вращающееся магнитное поле, но ротор вращается асинхронно, т. е. с угловой скоростью, отличной от угловой скорости поля. Она была изобретена М. О. Доливо-Добровольским в 1888 г., но до настоящего времени сохранила в основном ту простую форму, которую ей придал талантливый русский изобретатель. Причины исключительно широ кого распространения асинхронного двигателя (а вместе с ним и трех фазной системы) — его простота и дешевизна. Можно сказать, что в основном асинхронная машина состоит из трех неподвижных кату шек (точнее, обмоток), размещенных на общем сердечнике, и помещен ной между ними четвертой вращающейся катушки. В машине отсутст вуют какие-либо легко повреждающиеся или быстро изнашивающиеся электрические части (например, коллектор).
Асинхронные машины малой мощности часто выполняются одно фазными, что позволяет использовать их в устройствах, питающихся от двухпроводной сети. Такие машины находят широкое применение в бытовой технике.
Общим недостатком асинхронных машин является относительная сложность и неэкономичность регулирования их эксплуатационных характеристик.
б) УСТРОЙСТВО ТРЕХФАЗНОЙ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ
Трехфазная асинхронная машина состоит из двух главных частей: неподвижного статора и вращающегося ротора.
Конструкция статора. Статор асинхронной машины представляет собой полый цилиндр, собранный из пластин электротехнической стали, изолированных друг от друга слоем лака (рис. 14.1, а). Три фазные обмотки, возбуждающие вращающееся магнитное поле машины, раз мещены в пазах на внутренней стороне статора. Чтобы лучше исполь зовать окружность статора, каж дая из фазных обмоток распола гается по нескольким пазам (рас пределенная обмотка). На рис. 14.1, б показано расположение в пазах статора одной фазной обмот ки. Здесь А — начало, а X — ко нец обмотки. Распределение обмот ки по пазам обусловливает соот ветствующее распределение маг нитного поля вдоль окружности статора. Для того чтобы распре делить многовитковую фазную об мотку по нескольким пазам, ее раз деляют на соответствующее число соединенных последовательно сек ций (рис. 14.1, б), каждая из кото рых состоит из нескольких витков.
Секции обмотки укладываются в пазы. В асинхронных машинах сердечник статора изготовляется с полуоткрытыми (рис. 14.2, б) или открытыми (рис. 14.2, а) пазами. На стороне полуоткрытых пазов преимущество меньшего магнитного сопротивления, следовательно, в двигателе с такими пазами меньше намагничивающий ток. С другой стороны, при открытых пазах проще осуществляется укладка секций обмотки и надежнее условия для изоляции, что весьма важно для дви гателей высокого напряжения.
Минимальное число фазных обмоток в трехфазной асинхронной машине т = 3. Каждая обмотка содержит одну или несколько катушеч ных групп, соединенных последовательно, например на рис. 14.1, б — две группы. Расположение каждой из обмоток с одной катушечной группой сдвинуто по окружности статора относительно катушечной группы соседней фазной обмотки на угол 120°. В общем случае число фазных обмоток в трехфазной асинхронной машине может быть любым, но кратным трем.
Конструкция ротора. Асинхронные машины в основном разли чаются устройством ротора. Ротор асинхронной машины представляет собой цилиндрический сердечник (рис. 14.3, а), собранный из пластин электротехнической стали, изолированных друг от друга лаком. Сердечник ротора насажен на вал, закрепленный в подшипниках. В пазах ротора располагаются витки обмотки ротора.
В большинстве двигателей применяется короткозамкнутый ротор. Он значительно дешевле, и, что очень существенно, обслуживание двигателя с короткозамкнутым ротором значительно проще. Обмотка короткозамкнутого ротора выполняется в виде цилиндрической клетки (рис. 14.3,6) из медных или алюминиевых стержней, которые без изоляции вставляются в пазы сердечника ротора. Торцевые концы стержней замыкаются накоротко кольцами из того же материала, что и стержни (так называемое «беличье колесо»). Часто короткозамкнутая обмотка изготовляется путем заливки пазов ротора расплавлен ным алюминием.
Обмотка фазного ротора, называемого также ротором с контакт ными кольцами (рис. 14.3, в), выполняется изолированным проводом. В большинстве случаев она трехфазная, с тем же числом катушек, что и обмотка статора данного двигателя. Три фазные обмотки ротора соединяются на самом роторе в звезду, а свободные концы их соеди няются с тремя контактными кольцами, укрепленными на валу ма шины, но изолированными от этого вала. На кольца наложены щетки, установленные в неподвижных щеткодержателях. Через кольца и щетки обмотка ротора замыкается на трехфазный реостат.
Обмотка статора такого двигателя включается непосредственно в трехфазную сеть (рис. 14.4). Включение реостата в цепь ротора дает возможность ' существенно улучшить пусковые условия двигателя — уменьшить пусковой ток и увеличить начальный пусковой момент, кроме того, с помощью реостата, включенного в цепь ротора, можно плавно регу лировать скорость двигателя. На рис. 14.5 приведены условные обозначения асинхронных ма шин с короткозамкнутым (а) и фазным (б) ротором на принципиальных электрических схемах.
Общий вид корпуса асинхронной машины с укрепленным на нем, но необмотанным сердечником статора приведен на рис. 14.6.
РЕЖИМЫ РАБОТЫ ТРЕХФАЗНОЙ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ
Режим работы трехфазной асинхронной машины определяется ре жимом электромагнитного взаимодействия токов в обмотках статора и ротора.
Взаимбдействие вращающегося магнитного поля, создаваемого то ками в обмотках статора, с токами ротора вынуждает ротор вращаться по направлению вращения поля. Но чем быстрее вращается ротор, тем меньше индуктируемые в его обмотке ЭДС, а следовательно, и токи. Если частота вращения поля пи а частота вращения ротора п, то режим работы асинхронного двигателя можно характеризовать скольжением
.
На рис. 14.11 приведена зависимость частоты вращения ротора от скольжения п (s).
В зависимости от значения скольжения трехфазная асинхронная машина может работать в режимах двигателя, генератора и электро магнитного тормоза.
В режиме двигателя (0 < s < 1) трехфазная асинхронная машина является преобразователем электрической энергии в механическую. Ротор двигателя должен вращаться асинхронно-медленнее поля, с та кой частотой вращения, при которой токи в обмотке ротора, взаимодействуя с вращающимся магнитным полем, создаваемым токами в обмотках статора, создают вращающий момент, уравновешивающий тормозной момент от сил трения и нагрузки на валу.
В режиме генератора (s < 0) трехфазная асинхронная машина является преобразователем механической энергии в электрическую. Ротор генератора вращается в направлении вращения магнитного поля, создаваемого токами в обмотках статора, с частотой вращения большей, чем частота вращения поля.
В режиме электромагнитного тормоза (s> 1) ротор трехфазной асинхронной машины вращается в направлении, противоположном направлению вращения магнитного поля, создаваемого токами в об мотках статора. В режиме электромагнитного тормоза в трехфазной асинхронной машине рассеивается значительная энергия в обмотках, на гистерезис и вихревые токи.
58) Синхронные электрические машины. Устройство и принцип действия
а) Общие сведения
Синхронные электрические машины характерны тем, что у них ротор в установившемся режиме вращается с угловой скоростью вращающегося магнитного поля, создаваемого токами в фазных обмот ках статора, подобного статору асинхронной машины. Это достига ется тем, что ротор синхронной машины представляет собой обычно электромагнит или реже постоянный магнит с числом пар полюсов, равным числу пар полюсов вращающегося магнитного поля. Взаимо действие полюсов вращающегося магнитного поля и полюсов ротора обеспечивает постоянную угловую скорость последнего независимо от момента на валу. Это свойство синхронных машин позволяет исполь зовать их в качестве двигателей для привода механизмов с постоян ной угловой скоростью. Распространенность синхронных двигателей не столь широка, как асинхронных, но в ряде случаев, например в металлургии, их использование становится необходимым. Единич ная мощность синхронного двигателя в приводах большой мощности достигает нескольких десятков мегаватт.
Основной областью применения синхронных машин является использование их в качестве промышленных генераторов для выра ботки электрической энергии на электростанциях.
б) Устройство синхронной машины
Основными частями синхронной машины являются статор и ро тор, причем статор не отличается от статора асинхронной машины рис. 14.1). Сердечник статора собран из изолированных друг от друга пластин электротехнической стали и укреплен внутри мас сивного корпуса. В пазах с внутренней стороны статора размещена обмотка переменного тока, в большинстве случаев трехфазная.
Ротор синхронной машины представляет собой электромагнит — явнополюсный (рис. 15.1, где / — полюсы, 2— полюсные катушки, 3 — сердечник ротора, 4 — кон тактные кольца) или неявнополюсный (рис. 15.2, где / — сердечник ротора, 2 — пазы с обмоткой, 3 — контактные кольца). Ток в обмот ку ротора поступает через контакт ные кольца и щетки от внешнего источника постоянного тока — воз будителя.
У многополюсной синхронной машины ротор имеет р пар полю сов, а токи в обмотке статора обра зуют тоже р пар полюсов вращаю щегося магнитного поля (как у асинхронной машины). Ротор должен вращаться с частотой враще ния поля, следовательно, его синхронная частота вращения равна:
п = 60f/р.
При стандартной промышленной частоте 50 Гц максимальная частота вращения, соответствующая двухполюсной (р = 1) машине, будет 3000 об/мин. Это частота враще ния современного турбоагрегата, со стоящего из первичного двигателя — паровой турбины и неявнополюсного синхронного генератора (турбогенерато ра).
У гидроагрегата гидравлическая тур бина вращается относительно медленно. Это вынуждает изготовлять гидрогене раторы многополюсными с явными по люсами и в большинстве случаев — вертикальным валом. Частота вращения этих генераторов — от 60 до нескольких сотен оборотов в минуту, чему соответствует несколько десятков пар полюсов. Вслед ствие относительно малых частот вращения генераторы к гидрав лическим турбинам имеют значительно большую массу на единицу мощности — свыше 8 кг/ (кВ-А), чем генераторы к паровым турби нам— менее 2,5 кг/(кВ-А).
в) Режимы работы синхронной машины
Любая синхронная машина, включенная в электрическую си стему, может' работать в режиме генератора и двигателя. Режим ра боты синхронной машины определяется взаимодействием магнитных полей, создаваемых токами в обмотках статора и ротора. Рассмотрим режимы работы двухполюсной машины. Наложение магнитных полей токов в фазных обмотках статора возбуждает в синхронной машине, так же как и в асинхронной, магнитное поле (см. § 14.3), вращаю щееся с угловой скоростью со. Приближенное распределение маг нитных линий вращающегося магнитного поля в магнитопроводе синхронной машины в режимах генератора (а) и двигателя (б) пока зано на рис. 15.3 штриховой линией. Распределение линий вра щающегося магнитного поля показывает, что приближенно его можно представить в виде вращающейся с угловой скоростью <о пары полю сов, расположенных на статоре.
Аналогичным образом магнитное поле, создаваемое током в об мотке вращающегося ротора, также можно приближенно представить в виде вращающейся пары полюсов, расположенных на роторе.
Если пренебречь всеми видами потерь энергии в синхронной машине, то при отсутствии момента на валу ось полюсов ротора будет совпадать с осью полюсов статора.
Для того чтобы заставить синхронную машину, включенную в систему, работать в режиме генератора, отдавая в эту систему энер гию, необходимо увеличить механический момент, приложенный первичным двигателем к валу машины. Тогда под действием возрос шего вращающего момента ось магнитных полюсов ротора повер нется на некоторый угол у относительно оси полюсов статора в на правлении вращения (рис. 15.3, а). Так как при этом результирую щее магнитное поле, создаваемое наложением магнитных полей токов в обмотках ротора и статора, изменится, то ток в обмотках статора также изменится. Взаимодействие этого тока с магнитным полем ротора создает тормозной момент, действующий на ротор. Это и озна чает преобразование механической мощности первичного двигателя в электрическую мощность генератора, включенного в систему. Магнитные полюсы ротора будут как бы тянуть за собой магнитные по люсы статора.
Если теперь приложить к валу машины вместо вращающего тор мозной момент механической нагрузки, то ось полюсов ротора по вернется на некоторый угол относительно оси полюсов статора про тив направления вращения (рис. 15.3,6). Вновь возникнут токи в обмотках статора и создадут электромагнитные силы взаимодей ствия токов статора и магнитного поля ротора, но на этот раз эти силы будут стремиться увлечь ротор в направлении вращения. Элек тромагнитные силы создадут теперь вращающий момент, при посред стве которого электрическая энергия сети преобразуется в механиче скую на валу машины; таким путем синхронная машина переходит? в режим двигателя.
Режим работы синхронной машины изменяется от генераторного на двигательный и обратно в зависимости от механического воздей ствия на вал машины, причем электромагнитные силы играют роль своеобразной упругой связи между ротором и статором.
55) Пуск асинхронного двигателя. Рабочие характеристики
Важное практическое значение для оценки асинхронных элек тродвигателей имеют их пусковые свойства. Эти свойства в основном определяются следующими величинами: пусковым током Iпуск и на чальным пусковым моментом Мпуск, плавностью и экономичностью пускового процесса, длительностью пуска. В каталогах обычно указывается кратность пускового значения величины к ее номинальному значению (Iпуск/ Iном и Мпуск/Мном).
Пусковые свойства асинхронного двигателя определяются осо бенностями его конструкции, в частности устройством ротора.
Пуск асинхронных двигателей с фазным ротором. Пусковые усло вия асинхронного двигателя с фазной обмоткой ротора (рис. 14.24, а — схема замещения; б — условное обозначение) можно существенно улучшить ценой некоторого усложнения конструкции и обслужива ния двигателя.
Если в уравнении вращающегося моментаположить s = 1, то получим выражение начального пускового момента, т. е. момента, развиваемого двигателем при трогании с места:
Если нужно, чтобы , т. е. чтобы при пуске двига тель развивал максимальный момент, то согласно активное сопротивление фазной обмотки ротора должно быть: или . Так как активное сопротивление фазной обмотки ротора относи тельно мало, то для получения максимального начального пускового момента необходимо в цель ротора включить пусковой реостат с сопро тивлением фазы
В этом случае зависимость М (s) асинхронного двигателя будет иметь максимум при s = 1 (рис. 14.25).
Как только ротор начинает вращаться, уменьшается скольжение, а вместе с ним ЭДС и ток ротора, вследствие чего уменьшается вра щающий момент. Чтобы двигатель продолжал развивать вращающий момент, близкий к максимальному, сопротивление пускового реостата нужно постепенно уменьшать. Наконец, когда двигатель дости гает номинальной частоты вращения, пусковой реостат замыкают накоротко.
Для уменьшения механических потерь и износа колец и щеток двигатели снабжаются иногда приспособлением для подъема щеток и замыкания колец накоротко.
Включение добавочного резистора в цепь ротора изменяет ха рактер зависимости вращающего момента М от скольжения s. При этом согласно не изменяется максимальный момент двигателя, увеличение только смещает его в сторону большего скольжения. Все графики зависимостей М (s) имеют поэтому вершину характери стики на одинаковой высоте (рис. 14.25). Выключение ступеней пускового реостата заставляет двигатель изменять режим ра боты, переходя с одной характеристики на другую.
Секции реостата обычно выводят на контакты, благодаря чему при пуске мо мент двигателя и ток изменяются по сту пенчатой кривой (рис. 14.26), число сту пеней которой определяется числом кон тактов пускового реостата. При этом пу сковой момент изменяется в пределах от до .
Чем больше должен быть пусковой мо мент, чем ближе он к максимальному мо менту, тем больше будет и пусковой ток. По этой причине лишь для особо тяжелых условий пуска реостат подбирается так, чтобы пу сковой момент был равен максимальному.
Чтобы пусковой реостат в течение времени пуска не перегре вался, его мощность должна примерно равняться мощности двига теля. Для двигателей большой мощности пусковые реостаты выпол няются с масляным охлаждением. В других случаях иногда приме няются очень дешевые и простые водяные реостаты.
Конечно, применение пускового реостата значительно улучшает пусковые условия асинхронного двигателя, повышая пусковой мо мент и уменьшая пусковой ток. Но, с другой стороны, применение ротора с фазной обмоткой удорожает двигатель, усложняет его обслу живание и, наконец, несколько ухудшает cosφ и КПД двигателя. У двигателей большой мощности эта разница в КПД и cosφ незна чительна и недостатками фазного ротора остаются удорожание ма шины, длительность и сложность управления ступенями пускового реостата.
Пуск асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. В большинстве случаев применяется прямой пуск двигателей с корот козамкнутым ротором. Такой пуск исключительно прост и быстр. Необходим лишь простейший коммутирующий аппарат, например рубильник, или для двигателя высокого напряжения — масляный выключатель. При прямом пуске двигателя кратность пускового тока высока, примерно 5,5—7 (для двигателей мощностью 0,6—100 кВт при синхронной частоте вращения, т. е. при 750—3000 об/мин). Такой кратковременный пусковой ток относительно безопасен для двигателя, но вызывает изменение напряжения в сети, что может неблагоприятно сказаться на других потребителях, энергии, присо единенных к той же распределительной сети. По этим причинам номи нальная мощность асинхронных двигателей, пускаемых прямым .включением, зависит от мощности распределительной сети. В мощ ных сетях промышленных предприятий возможен прямой пуск дви гателей с короткозамкнутым ротором мощностью до 1000 кВт и даже выше, но во многих случаях эта мощность не должна превышать 100 кВт.
Следует иметь в виду еще один недостаток пускового режима асинхронного двигателя. У двигателей с короткозамкнутой обмоткой ротора кратность пускового момента лежит в пределах 1—2 (рис. 14.22). Таким образом, при большом токе двигатель развивает относительно небольшой вращающий момент.
Улучшение пускового режима асинхронного двигателя сводится к уменьшению пускового тока, когда это необходимо, причем жела тельно, чтобы пусковой момент был возможно больше.
Для уменьшения пускового тока можно на время понизить на пряжение между выводами фазных обмоток статора, включив для этого последовательно с обмоткой статора трехфазную катушку ин дуктивности. Уменьшение пускового тока, создаваемое понижением напряжения на статоре, вызывает уменьшение пускового момента, пропорционального квадрату напряжения на статоре (). Напри мер, при таком пуске уменьшение пускового тока в 2 раза будет сопровождаться уменьшением пускового момента в 4 раза. Во мно гих случаях при пуске двигателя под нагрузкой такое понижение момента недопустимо — двигатель не сможет преодолеть тормозной механический момент на валу.
Понижение напряжения на статоре на время пуска можно осуще ствить также посредством переключения на время пуска обмотки статора, нормально работающей при соединении по схеме треуголь ник, на соединение по схеме звезда. Такое переключение применяется только для пуска в ход короткозамкнутых двигателей относительно малой мощности, примерно до 20 кВт.
Пусковые характеристики асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором могут быть существенно улучшены, если обмотка ротора имеет двойную беличью клетку. Такой ротор снабжен двумя клетками, лежащими одна над другой: наружной — пусковой и внут ренней — рабочей. Материалом стержней наружной клетки служит обыкновенно марганцовистая латунь, т. е. материал с повышенным по сравнению с медью удельным сопротивлением. Материалом стерж ней внутренней клетки служит медь. Кроме того, стержни внутрен ней клетки имеют обычно большую площадь поперечного сечения. Таким образом, активное сопротивление наружной клетки значи тельно больше активного сопротивления внутренней (в 4—5 раз). Обе клетки снабжены с торцевых сторон замыкающими кольцами.
Стержни клеток размещены соответственно в наружной и внутренней частях паза. Такое расположение клеток приводит к боль шому различию значений их индуктивности рассеяния. Последняя у внутренней клетки велика, так как стержни этой клетки окружены сталью, прорезанной лишь сверху узкой щелью паза (рис. 14.27, а и b). У наружной клетки индуктивность рассеяния значительно меньше, так как значительная часть пути линий поля рассеяния вокруг ее стержней проходит в воздушном промежутке между ротором и ста тором с большим магнитным сопротивлением, а также по щели паза под стержнями.
В первый момент пуска двигателя (пока s = 1) частота токов в обмотке ротора равна частоте сети; в этих условиях полное сопро тивление внутренней клетки обусловливается главным образом ее большим индуктивным сопротивлением рассеяния. Таким образом, при пуске двигателя в роторе имеет место явление вытеснения тока из внутренней беличьей клетки. В то же время полное сопротивление наружной клетки определяется преимущественно ее активным сопро тивлением. Ток наружной клетки при пуске мало сдвинут по фазе по отношению к индуктированной в ней ЭДС; он создает большой пусковой мо мент, как это имеет место и у двигателя с фазным ротором при включении пуско вого реостата. Отношение токов на ружной и внутренней клеток зависит от отношения полных сопротивлений этих клеток; обычно при. пуске ток внутренней клетки значительно меньше тока наружной.
По мере разбега ротора частота то ков в нем уменьшается и вместе с тем уменьшается влияние индуктивного соп ротивления на распределение токов. При номинальной скорости частота токов ротора имеет значение порядка 1 Гц; в этих условиях индуктивные сопротивления рассеяния весьма малы и распределение токов между клетками ротора определяется отношением активных соп ротивлений клеток. Поэтому ток наружной клетки будет меньше то ка внутренней клетки, активное и полное сопротивления которой в таких условиях малы, как у обычного двигателя с короткозамкну тым ротором.
Можно рассматривать зависимость М =F (s) двигателя с двой ной беличьей клеткой как сумму характеристик двигателя с относи тельно большим активным сопротивлением обмотки ротора (рис. 14.27, кривая 1) и двигателя с относительно малым активным сопротивле нием обмотки ротора (кривая 2).
Таким образом, у двигателей с двойной беличьей клеткой актив ное сопротивление обмотки ротора в целом изменяется в зависимости от изменения скольжения — оно велико при пуске и мало при рабо чем скольжении. Благодаря этому двигатель, снабженный ротором с двойной беличьей клеткой, по сравнению с обычным двигателем, имеющим короткозамкнутый ротор, развивает повышенный пусковой вращающий момент при пониженном пусковом токе.
В некоторых конструкциях обе клетки изготовляются путем непосредственной заливки расплавленным алюминием пазов ротора c и d (рис. 14.27); при этом алюминий заполняет и щель между пазами верхней и нижней клеток, благодаря чему стержни проводников обеих Клеток образуют один цельный стержень фасонного сечения. Упрощенным вариантом асинхронного двигателя с двойной бе личьей клеткой является двигатель с глубоким пазом.
Обмотка ротора этого двигателя изготовляется из прямоугольных стержней малой ширины и большой высоты, которые помещаются в соответствующие глубокие пазы в сердечнике ротора. Переменный ток распределяется по сече нию проводника в общем случае неравномерно; это явление использовано в данном двигателе. На рис. 14.28 показаны линии поля рассеяния, замы кающиеся поперек глубокого паза, в котором рас положен стержень обмотки с током. Часть стержня, лежащая в глубине паза, сцеплена с большим числом линий, чем наружная часть того же стерж ня. Вследствие этого при пуске асинхронного дви гателя в ход повышенное индуктивное сопротив ление этой части стержня вызывает вытеснение тока ротора в наружную часть сечения стержня. Это эквивалентно увеличению активного сопро тивления обмотки ротора. Благодаря увеличению активного сопротивления повышается начальный момент двигателя, а увеличение индуктивного сопротивления вслед ствие применения глубокого паза уменьшает пусковой ток. При ра бочей частоте вращения двигателя индуктивное сопротивление ста новится незначительным, ток распределяется по сечению стержня почти равномерно и двигатель работает, как обычный короткозамк нутый.
Двигатель с глубоким пазом ротора в конструктивном отношении проще двигателя с двойной клеткой. Зато второй может быть выпол нен на различные начальные моменты и на различные кратности пускового тока, что дает возможность приспосабливать этот двига тель для специальных случаев тяжелого пуска в ход. Тем не менее широко применяются двигатели с глубоким пазом.
Б) Рабочие характеристики
Механическая характеристика наглядно показывает свойства асин хронного двигателя как части электропривода. Но для более пол ного выявления свойств самого двигателя служат его рабочие харак теристики— так принято называть зависимости от полезной мощ ности Р2 двигателя на валу частоты вращения п, вращающего мо мента М, коэффициента мощности cosφ и КПД η = . Все рабочие характеристики снимаются при номинальных частоте сети f и напряжении между выводами статора U1 = U1ном.
Так как , а то зависимость n(Р2) — ско ростная характеристика — мало отличается по форме от механиче ской характеристики двигателя п (М), она тоже может быть названа жесткой (рис. 14.29). Вращающий момент М, развиваемый двигателем, складывается из полезного момента M2 (преодоления нагрузки на валу двигателя) и момента холостого хода Мх. Последний затрачивается на покрытие механических потерь двигателя. Этот момент можно приближенно считать не зависящим от нагрузки двигателя. Полезный момент и если бы была строго постоянна, то зависимость была бы линейна, но угловая скорость двигателя немного уменьшается с увеличением Р2, поэтому график зависи мости М2 (Р2) немного отклоняется вверх. Соответственно график вращающего момен та М (Р2), складывающегося из момента хо лостого хода и полезного момента, пересекает ось ординат в точке, соответствующей Мх, а затем он почти прямолинеен и лишь немно го изгибается вверх.
Что касается зависимости двигателя от нагрузки, то его изменения обусловлены следующими соотношениями. Намагничивающий ток двигателя мало зависит от нагруз ки, так как ее увеличение вызывает лишь возрастание потокосцеплений рассеяния, про порциональных токам в обмотках статора и ротора, а главный маг нитный поток машины при возрастании нагрузки незначительно уменьшается. Но активный ток двигателя пропорционален его меха нической нагрузке. Таким образом, с увеличением нагрузки двига теля относительное значение реактивного тока быстро убывает, a увеличивается. При холостом ходе двигателя его коэффи циент мощности довольно низок — примерно 0,2. С увеличением нагрузки он быстро возрастает и достигает максимального значе ния (0,7—0,9) при нагрузке, близкой к номинальной. Таким обра зом, даже у полностью загруженного двигателя реактивный ток составляет 70—40 % тока статора.
Неполная загруженность асинхронных двигателей является одной из главных причин низкого cos <p промышленных предприятий. Есте ственным способом повышения cosφ является полная загрузка асин хронных двигателей. Главный магнитный поток двигателя пропор ционален напряжению на статоре. Намагничивающий ток, возбуждающий этот поток, при заданном значении потока обратно пропорционален магнитному сопротивлению на пути потока. В этом магнитном сопротивлении большую часть составляет сопротивление воздушного зазора между статором и ротором. По этой причине кон структор стремится сократить этот зазор до минимума, определяемого условиями подвижности в подшипниках и необходимым запасом на их износ, прогибом вала и точностью центровки. С увеличением номинальной мощности двигателя необходимый воздушный зазор возрастает значительно медленнее этой мощности, благодаря чему с повышением номинальной мощности двигателя его cos q> увеличи вается. С уменьшением номинальной частоты вращения двигателя увеличивается его магнитный поток, так как при меньшей частоте вращения он индуктирует в фазной обмотке статора меньшую ЭДС. Следовательно, у тихоходных двигателей намагничивающий ток относительно больше, a cosφ существенно меньше.
Коэффициент полезного действия определяется отношением полез ной мощности на валу Р2 к мощности Р1 определяющей потребление двигателем энергии из сети:
Мощность Р1 равна сумме полезной мощности и мощности всех потерь в двигателе:
Мощность всех потерь энергии в двигателе можно разделить на постоянную составляющую, практически не зависящую от нагрузки, и переменную составляющую, зависящую от нее.
Мощностью постоянных потерь энергии в двигателе можно счи тать мощность потерь в сердечнике статора на гистерезис и вихревые токи и мощность механических потерь, которая определяется экспе риментально из опыта холостого хода двигателя.
Мощностью переменных потерь энергии в двигателе является мощность потерь на нагревание проводников обмоток статора и ро тора, она равна:
Своего максимального значения (65—95 %) КПД достигает, когда переменные потери равны постоянным. У большинства двигателей этот максимум КПД имеет место примерно при нагрузке, равной 75 % номинальной, так как двигатели проектируются с уче том того обстоятельства, что далеко не всегда они полностью загру жены.
56) Регулирование частоты вращения асинхронного двигателя
Во многих случаях трехфазные асинхронные двигатели применяются для приво дов, не требующих регулирования частоты вращения. Но асинхронные двигатели обладают ценными преимуществами: надежностью, дешевизной, простотой конструк ции, высоким КПД и относительно малой массой. По этим причинам естественно стремление применять их и для приводов с регулируемой частотой вращения.
Для регулирования частоты вращения асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором обычно используются метод частотного регулирования, пред ставляющий собой плавное регулирование частоты вращения магнитного поля путем регулирования частоты тока в обмотках статора, и метод изменения числа пар полю сов вращающегося магнитного поля, при котором частота вращения магнитного поля изменяется скачком.
Для регулирования частоты вращения асинхронных двигателей с фазным ро тором используется метод реостатного регулирования, представляющий собой плавное регулирование скольжения ротора путем изменения активного сопротивления его фазных обмоток.
Частотное регулирование. Наиболее перспективным методом управления часто той вращения асинхронного двигателя является регулирование частоты переменного тока статора двигателя. Угловая скорость вращающегося поля . Сле довательно, при изменении частоты тока f пропорционально изменяется угловая скорость поля. Однако при осуществлении регулирования частоты тока нужно учесть, что необходимо одновременное регулирование напряжения. ЭДС фазы, а следовательно, и питающее напряжение пропорциональны частоте тока и потоку. Так как поток должен сохра няться во всех режимах одним и тем же, то напряжение должно быть (без. учета па дений напряжения в машине) пропорциональным частоте. Кроме того, это нужно для того, чтобы при изменении частоты вращения двигателя не изменялся его вра щающий момент.
Чтобы оценить характер зависимости вращающего момента от частоты тока в обмотках статора и от напряжения на нем, пренебрежем в уравнении актив ным сопротивлением обмотки статора и индуктивными сопротивлениями рассея ния обмоток статора и ротора и воспользуемся выражением для частоты скольжения ():
где А = const.
Следовательно, при изменении частоты тока для поддержания вращающего момента постоянным необходимо пропорционально изменять напряжение на ста торе; иными словами, условием поддержания постоянства вращающего момента дви гателя при регулировании частоты будет . Если регулировать частоту тока и напряжение, соблюдая указанное условие, то механические характеристики двигателя будут оставаться жесткими, а максимальный момент почти независимым от частоты (он существенно уменьшается лишь при относительно низких частотах). В то же время мощность будет изменяться пропорционально частоте тока, так как . Например, при уменьшении частоты тока в 2 раза вдвое уменьшается и мощность двигателя на валу.
Регулирование изменением числа пар полюсов. Ступенчатое изменение угловой скорости асинхронного двигателя в широких пределах осуществимо ценой усложне ния и удорожания конструкции асинхронного двигателя — это регулирование пере ключением числа пар полюсов двигателя.
При постоянной частоте сети угловая скорость вращающегося поля зависит только от числа пар полюсов этого поля, определяемого обмоткой статора. Если на статоре поместить две отдельные обмотки — одну, образующую р пар, а другую, образующую р' пар полюсов, то, включив в сеть первую или вторую обмотку, мы получим частоту вращения поля: или
следовательно, , соответственным образом будут различаться и частоты вращения ротора двигателя. При этом обмотка ротора двигателя должна быть выполнена, как беличье колесо.
Числа полюсов обмоток статора в этом случае взаимно ничем не связаны и мо гут быть выбраны любыми в зависимости от условий работы двигателя. Само регули рование сводится к скачкообразному изменению частоты вращения поля двигателя. Но частота вращения ротора не может изменяться скачкообразно из-за инерции всей системы электропривода. Лишь после переключения начинается соответствующее изменение частоты вращения ротора.
Чтобы показать нагляднее этот переходный процесс, построим две механические характеристики асинхронной машины с изменяемым числом пар полюсов: одну ха рактеристику, соответствующую р парам полюсов, а вторую р' = 2р парам полюсов (соответственно рис. 14.31, а и б). Предположим, что момент на валу двигателя оста ется постоянным при изменении частоты вращения поля. При увеличении последней, т. е. при переходе от р' к р парами полюсов, двигатель сначала оказывается в усло виях, близких к пусковым, и имеет место скачок тока.
Но при переходе от р к р', т. е. при уменьшении частоты вращения поля, ма шина оказывается сначала в условиях генераторного режима и работает, отдавая
энергию в сеть. Такой режим иногда используется для быстрого и экономичного торможения электропривода.
Двумя отдельными обмотками снабжаются статоры лишь у двигателей небольшой мощности; у двигателей большой мощности более целесообразным является пере ключение катушек одной и той же обмотки для получения различного числа пар по люсов.
На рис. 14.32 показана схема переключения трехфазной обмотки с двух на четыре полюса. Переключение обмотки в ином отношении, чем 1 : 2, требует более сложного изменения схемы и применяется реже.
В большинстве случаев статор асинхронной машины снабжается дву мя независимыми обмотками, из ко торых каждая переключается в отношении 1 : 2 или ином. Таким обра зом, двигатель имеет четыре ступени частоты вращения, например 3000; 1500, 1000 и 500 об/мин.
Реостатное регулирование. В трех фазных асинхронных двигателях с фаз ным ротором используется реостатный способ регулирования частоты вращения ротора. Это достигается введением в цепь фазных обмоток ротора регулируемого трехфаз ного реостата, как при пуске двигателя (рис. 14.24). Но этот реостат должен быть рассчитан на длительную нагрузку током ротора, а не на кратковременную, как пусковой реостат. Увеличение активного сопротивления цепи ротора изменяет характеристику М (s) — делает ее более мягкой (см. рис. 14.25). Если при постоян ном моменте на валу двигателя увеличивать активное сопротивление цепи ротора путем постепенного увеличения сопротивления реостата (), то рабочая точка будет смещаться с одной кривой М (s) на следующую, соответствующую воз росшему сопротивлению цепи ротора (рис. 14.25, точки 1—4), соответственно чему будет расти скольжение, а следовательно, уменьшаться частота вращения двигателя. Этим путем возможно изменять частоту вращения ротора в пределах от номиналь ной до полной остановки. Но при таком способе регулирования неизбежны относительно большие потери энергии. Мощность вращающегося поля РВРП без учета потерь энергии в сердечнике статора состоит из мощности потерь в проводниках обмотки ротора : и механической мощности
Отношение показывает, что доля механической мощности уменьшается прямо пропорционально уменьшению частоты вращения ротора, в то же время соответственно увеличивается доля мощности потерь в активном сопротивлении цепи ротора. Следовательно, для уменьшения частоты вращения двигателя, например, на 25 % нужно включить в цепь ротора реостат с таким активным сопротивлением, в котором будет бесполезно превращаться в теплоту четверть энергии вращающегося магнитного поля. Недо статком такого регулирования может являться и то обстоятельство, что включение реостата в цепь ротора делает механическую характеристику двигателя мягче, сле довательно, уменьшает стабильность его частоты вращения. При включенном рео стате малые изменения нагрузки на валу вызывают значительные изменения частоты вращения двигателя.
57) Асинхронные двигатели при однофазном питании
Если снабдить статор двигателя только одной однофазной обмоткой (рис. 14.33), то переменный ток в ней будет возбуждать в машине, пока ее ротор неподвижен, переменное магнитное поле, ось которого тоже неподвижна. Это поле будет индук тировать в обмотке ротора ЭДС, под действием которой в ней возникнут токи. Взаимо действие токов ротора с магнитным полем статора соз даст электромагнитные силы f противоположно на правленные в правой и левой половинах ротора. Вслед ствие этого результирующий момент, действующий на ротор, окажется равен нулю. Следовательно, при на личии одной обмотки начальный пусковой момент од нофазного двигателя равен нулю, т. е. такой двига тель сам с места тронуться не может.
Применяются два способа создания в двигателях, подключаемых к одной фазе сети, начального пуско вого момента, в соответствии с чем эти двигатели де лятся на двухфазные и однофазные.
Однофазные асинхронные двигатели не развивают начального пускового момента. Но если ротор однофазного двигателя раскрутить в любую сторону при помощи внеш ней силы, то в дальнейшем этот ротор будет вращаться самостоятельно и может развивать значительный вращающий момент.
Сходные условия создаются у трехфазно го двигателя при перегорании предохраните ля в одной из фаз. В таких условиях од нофазного питания трехфазный двигатель будет продолжать работать. Только во из бежание перегрева двух обмоток, остающих ся включенными, необходимо, чтобы на грузка двигателя не превышала 50—60 % номинальной.
Работу однофазного двигателя можно объяснить на основании того, что перемен ное магнитное поле можно рассматривать как результат наложения двух магнитных по лей, вращающихся в противоположные стороны с постоянной угловой ско ростью ю/р. Амплитудные значения магнитных потоков этих полей Ф1m и Ф11m оди наковы и равны половине амплитуды магнитного потока переменного поля машины: Ф1m =Ф11m =Фm /2
Простое графическое построение (рис, 14.36) показывает, как в результате сло жения двух одинаковых магнитных потоков Ф1m и Ф11m, вращающихся в противо положные стороны, получается магнитный поток, изменяющийся по синусоидаль ному закону: Ф = ФM sinωt, В однофазном двигателе это положение справедливо, только пока ротор не подвижен. Рассматривая в этих условиях переменное поле как складывающееся из двух вращающихся полей, можно заключить, что под действием обоих этих полей в обмотке ротора будут одинаковые токи. Токи ротора, взаимодействуя с вращающи мися полями, создают два одинаковых вращающихся момента, направленных в про тивоположные стороны и уравновешивающих друг друга.
Это равенство двух моментов нарушается, если привести ротор во вращение в любом направлении. В этих условиях вращающий момент, создаваемый прямо вращающимся полем (короче, прямым полем), т. е. полем, вращающимся в ту же сто рону, что и ротор, становится значительно больше момента, развиваемого обратно вращающимся полем (короче, обратным полем), благодаря чему ротор может не только самостоятельно вращаться, но и приводить во вращение какой-либо механизм.
Ослабление противодействующего момента при вращении ротора вызывается ослаблением обратного поля. Относительно этого поля, вращающегося против направления вращения ротора, скольжение ротора равно: , где — скольжение ротора по отношению к прямому полю.
Это выражение показывает, что частота токов, индуктируемых в роторе обратным полем, относительно высока — близка к удвоенной частоте сети. Для токов такой повышенной частоты индуктивное сопротивление ротора во много раз больше его активного сопротивления, вследствие чего токи, индуктируемые обратным полем, становятся почти чисто реактивными. Поле этих токов оказы вает сильное размагничивающее действие на поле, их индуктирующее, следовательно, на обратное поле двигателя. Благодаря этому при малых скольжениях s( результи рующее магнитное поле машины становится почти круговым вращающимся полем, а противодействующий момент обратного поля в этих условиях мал.
Для каждого из полей мы можем применить известные нам кривые зависимости момента от скольжения обычного трехфазного асинхронного двигателя и определить результирующий момент М как разность прямого М1 и обратного М11 моментов (рис. 14.37). Существенной особенностью однофазного двигателя является наличие небольшого отрицательного момента М0 при синхронной частоте вращения ротора по отношению к прямому полю.
Возрастание скольжения при увеличении нагрузки вызывает у однофазного двигателя не только увеличение тока , индуктируемого прямым полем, но и уве личение тормозного момента обратного по ля, вследствие чего работа однофазного дви гателя значительно менее устойчива, чем трех фазного, а его максимальный момент сущест венно меньше. Вследствие ряда дополните льных потерь КПД однофазного двигателя значительно ниже, чем трехфазного.
Задача пуска в ход однофазного двига теля решается посредством применения того или другого пускового устройства. Чаще всего это дополнительная обмотка, подоб ная второй обмотке двухфазного двигателя, но отключаемая по окончании пуска, так как она рассчитывается лишь на кратковре менную нагрузку током. Последовательно с этой обмоткой включается то или иное фазосмещающее устройство.
59) Синхронные генераторы. Нагрузочная и регулировочная характеристики
Статор синхронной машины по конструкции не отличается от статора асинхронного двигателя. В пазах статора размещается трехфазная, двухфазная или однофазная обмотки.
Заметное отличие имеет ротор, который принципиально представляет собой постоянный магнит или электромагнит.
Это налагает особые требования на геометрическую форму ротора. Любой магнит имеет полюса, число которых может быть два и более.
На рис. 6.1.1 приведены две конструкции генераторов, с тихоходным и быстроходным ротором.
Быстроходными бывают, как правило, турбогенераторы. Количество пар магнитных полюсов у них равно единице. Чтобы такой генератор вырабатывал электрический ток стандартной частоты f = 50 Гц, его необходимо вращать с частотой
На гидроэлектростанциях вращение ротора зависит от движения водяного потока. Но и при медленном вращении такой генератор должен вырабатывать электрический ток стандартной частоты f = 50 Гц.
Поэтому для каждой гидроэлектростанции конструируется свой генератор, на определенное число магнитных полюсов на роторе.
В качестве примера приведем параметры синхронного генератора, работающего на Днепровской ГЭС.
Водяной поток вращает ротор генератора с частотой n = 33,3 об / мин. Задавшись частотой f = 50 Гц, определим число пар полюсов на роторе:
Принцип действия синхронного генератора основан на явлении электромагнитной индукции. Ротор с магнитными полюсами создает вращающееся магнитное поле, кото-рое, пересекая обмотку статора, наводит в ней ЭДС. При подключении к генератору нагрузки генератор будет являться источником переменного тока.
Пуск двигателя осуществляется следующим образом. Подают питание на обмотку возбуждения включением выключателя ВК2 и с помощью реостата RВМПТ устанавливают максимальный ток возбуждения, измеряемый амперметром А1. С помощью контактора П2 /С2 подают питание на обмотку якоря, предварительно установив выключатель ВК4 в положение «Д». Частоту вращения двигателя регулируют изменением тока возбуждения.
1. Характеристика холостого хода представляет зависимость напряжения (ЭДС) обмотки якоря от тока возбуждения при холостом ходе и номинальной (синхронной) частоте вращения: U1=f(I2) или E10=f(I2) при I1=0, n=nH (при холостом ходе U1=E10).
Согласно ГОСТ 10169-68 характеристику холостого хода снимают при убывающем токе возбуждения I2, причем изменение тока возбуждения производят плавно и только в одном направлении. Синхронный генератор приводят во вращение первичным двигателем с номинальной (синхронной) частотой вращения.
При разомкнутой внешней цепи нагрузки (выключатели ВК6 и ВК11 разомкнуты, (рис. 6.2) возбуждают генератор до значения, при котором Е10=(1,2¸1,3)U1н. Затем, плавно уменьшая ток возбуждения до нуля, записывают 5-7 значений Е10 и I2 в таблицу 6.1. По данным таблицы строят характеристику, как показано на рис. 6.3 пунктирной кривой 1.
ЭДС DЕ10 при I2=0, наведенную остаточным магнитным потоком, измеряют вольтметром V4 с пределами измерения 0-30 В. Опытную характеристику смещают параллельно самой себе по оси абсцисс вправо на величину DI2, получаемую графической экстраполяцией опытной характеристики до пересечения ее осью абсцисс, как показано на рис. 6.3 (кривая 2).
2. Индукционная нагрузочная характеристика представляет зависимость напряжения на зажимах машины U1 от тока I2 возбуждения при постоянных значениях тока I1 нагрузки, коэффициента мощности cosj1=0 и частоте вращения n: U1=f(I2) при I1=const, cosj1=0, n=nн. Эта характеристика не связана с каким-либо эксплуатационным режимом работы синхронного генератора. Она используется для определения расчетного индуктивного сопротивления Потье хр, близкого по своему значения к индуктивному сопротивлению рассеяния хs1.
Порядок проведения опыта следующий: синхронный генератор вращают приводным двигателем с номинальной частотой вращения. Включают якорь на индуктивную нагрузку; изменяя сопротивление хнагр и регулируя ток I2 возбуждения генератора, устанавливают номинальный ток якоря I1=I1н при напряжении U1=(1¸1,1)U1н. Затем, уменьшая напряжение U1 снижением тока возбуждения, поддерживают неизменным ток нагрузки I1н путем регулирования хнагр. В табл. 6.2 записывают значения напряжений на обмотке статора генератора и тока возбуждения для 4-5 точек характеристики, которую строят в одних и тех же осях координат с характеристикой холостого хода, как показано на рис. 6.3 кривой 3.
3. Внешние характеристики представляют зависимость напряжения U1 от тока I1 якоря генератора при постоянных значениях тока возбуждения, коэффициента мощности cosj1 и частоте вращения n: U=f(I1) при I2=const, cosj1=const, n=nн. Характеристики снимают для режимов работы генераторов при активной нагрузке (cosj1=1) и смешанной активно-индуктивной нагрузке (cosj1=0,707). При активной нагрузке генератор включают на активное регулируемое сопротивление R1, R2, R3.
При смешанной активно-индуктивной нагрузке генератор включают на параллельное соединенные активное R1, R2, R3 и индуктивное хнагр сопротивления. Регулируя величины R1, R2, R3 и хнагр, поддерживают во время опытов равенство токов в активном и индуктивном сопротивлениях (I1a=I1p). В этом случае угол j1 между результирующим током I1 якоря и напряжением U1 остается постоянным и равным 45°, что соответствует cosj1=0,707. В табл. 6.3 записывают значения только результирующего тока I1 и напряжения U1.
Для каждого режима нагрузки снимают по две характеристики:
а) при увеличении тока нагрузки от нуля до минимального;
б) при уменьшении (сбросе) нагрузки от номинальной до нуля.
Внешнюю характеристику при увеличении тока нагрузки снимают следующим образом. Генератор приводят во вращение с номинальной частотой вращения приводным двигателем. Первую точку характеристики снимают при отключенной нагрузке (выключатель ВК1 разомкнут, I1=0). Регулируя ток возбуждения I2, устанавливают напряжение якоря равным номинальному. Эта точка U1=Uн при I1=0 будет первой точкой характеристики при увеличении нагрузки. Затем включают нагрузку и при том же токе возбуждения I2 снимают еще 3-4 точки, увеличивая ток якоря I1 до номинального при постоянном cosj1. Данные записывают в табл. 6.3.
Для снятия первой точки внешней характеристики при уменьшении (сбросе) нагрузки регулируют ток возбуждения I2 и сопротивления нагрузки таким образом, чтобы при номинальном токе якоря (I1=I1н) и заданном cosj1 напряжение генератора было бы равно номинальному. Эта точка U1=U1н при I1=I1н будет первой точкой характеристики при уменьшении (сбросе) нагрузки. Затем при том же токе возбуждения снимают еще 3-4 точки характеристики, уменьшая ток якоря I1 до нуля. Последняя точка (I1=0) снимается при разомкнутом выключателях ВК6÷ВК11. Для каждой характеристики следует записать значение тока I2 возбуждения, при котором проводился опыт. Вид характеристики показан на рис. 6.4.
Изменение напряжения в процентах при уменьшении (сбросе) тока нагрузки от номинального до нуля определяется по формуле
,
где U10 – напряжение генератора при I1=0 (по внешней характеристике);
U1н – номинальное напряжение.
4. Регулировочные характеристики представляют зависимость тока I2 возбуждения от тока I1 якоря при постоянных значениях U1, cosj1 и скорости вращения n: I2=f(I1) при U1=const, cosj1=const, n=nн. Эти характеристики показывают, как нужно регулировать ток возбуждения генератора при изменении нагрузки, чтобы напряжение генератора оставалось постоянным.
В работе требуется снять регулировочные характеристики при U1=U1н для режима работы генератора на активную нагрузку (cosj1=1) и на смешанную активно-индуктивную нагрузку (cosj1=0,707).
Для каждой характеристики требуется снять 4-5 точек, причем обязательным является снятие первой точки I1=0 (выключатель ВК1 разомкнут) и последней точки I1=I1н.
Следует отметить, что при снятии регулировочных характеристик надо регулировать ток возбуждения I2 так, чтобы напряжение оставалось постоянным, равным номинальному U1=U1н. Данные опыта записывают в табл. 6.4. Вид регулировочных характеристик показан на рис. 6.5.
За номинальный ток возбуждения I2н принимают ток, при котором напряжение на генераторе равно номинальному U1=U1н при I1=I1н и cosj1= cosj1н (условно считаем номинальным cosj1н=0,707). I2н можно определить по регулировочной характеристике при I1=I1н, снятой при cosj1н=0,707. В относительных единицах этот ток равен
(о.е.).
60) Синхронные двигатели автоматических устройств. Шаговые двигатели
Конструкция синхронного двигателя такая же, как и у синхронного генератора.
При подаче тока в трехфазную обмотку статора в нем возникает вращающееся магнитное поле. Частота вращения его определяется формулой:
где f - частота тока питающей сети,
р - число пар полюсов на статоре.
Ротор, являющийся часто электромагнитом, будет строго следовать за вращаю-щимся магнитным полем, т.е. его частота вращения n2 = n1.
Рассмотрим принцип действия синхронного двигателя на следующей условной модели (рис. 6.3.1.). Пусть магнитное поле статора будет смоделировано системой вращающихся магнитных полюсов N - S.
Ротор двигателя тоже представляет собой систему электромагнитов S - N, кото-рые "сцеплены" с полюсами на статоре. Если нагрузка на двигателе отсутствует, то оси полюсов статора будут совпадать с осями полюсов ротора ( = 0).
Если же к ротору подключена механическая нагрузка, то оси полюсов статора и ротора могут расходиться на некоторый угол .
Однако "магнитное сцепление" ротора со статором будет продолжаться, и частота вращения ротора будет равна синхронной частоте статора (n2 = n1). При больших значениях ротор может выйти из "сцепления" и двигатель остановится.
Главное преимущество синхронного двигателя перед асинхронным - это обеспечение синхронной скорости вращения ротора при значительных колебаниях нагрузки.
Как мы показали выше, синхронное вращение ротора обеспечивается "магнитным сцеплением" полюсов ротора с вращающимся магнитным полем статора.
В первый момент пуска двигателя вращающееся магнитное поле статора возникает практически мгновенно. Ротор же, обладая значительной инерционной массой, прийти в синхронное вращение сразу не сможет. Его надо "разогнать" до подсинхронной скорости каким-то дополнительным устройством.
Долгое время роль разгонного двигателя играл обычный асинхронный двигатель, механически соединенный с синхронным.
Ротор синхронного двигателя приводится во вращение до подсинхронной скорости. Далее двигатель сам втягивается в синхронизм.
Обычно мощность пускового двигателя составляет 5-15 % от мощности синхронного двигателя. Это позволяет пускать в ход синхронный двигатель только вхолостую или при малой нагрузке на валу.
Применение пускового двигателя мощностью, достаточной для пуска синхронного двигателя под нагрузкой делает такую установку громоздкой и дорогой.
В последнее время используется так называемая система асинхронного пуска синхронных двигателей. С этой целью в полюсные наконечники забивают стержни, напоминающие собою короткозамкнутую обмотку асинхронного двигателя (рис. 6.3.2.1).
В начальный период пуска синхронный двигатель работает как асинхронный, а в последующем - как синхронный. В целях безопасности обмотку возбуждения в начальном периоде пуска закорачивают, а на заключительном подключают к источнику по-стоянного тока.
Этот тип двигателя является машиной постоянного тока, хотя принцип действия его напоминает синхронный реактивный двигатель.
Как видно из рис. 6.5.1, статор двигателя имеет шесть пар выступающих полюсов.
Каждые две катушки, расположенные на противоположных полюсах статора, образуют обмотку управления, включаемую, в сеть постоянного тока. Ротор - двухполюсный.
Если подключить к источнику постоянного тока катушки полюсов 1 - 1', то ротор расположится вдоль этих полюсов. Если задействовать катушки полюсов 2 - 2', а ка-тушки полюсов 1 - 1' обесточить, то ротор повернется и займет положение вдоль полю-сов 2 - 2'. Такой же поворот ротора произойдет, если включить в сеть катушки полюсов 3 - 3'. Так, шагами, ротор будет "следовать" за своей обмоткой управления.
Преимуществом шаговых двигателей является то, что в них совершенно отсутствует "самоход". Они поворачиваются и строго фиксируются с шагом, пропорциональ-ным числу полюсов на статоре. Это качество делает его незаменимым в особо точных механизмах (для привода часов, механизмов подачи ядерного топлива в реакторах, в станках с ЧПУ и т.д.).
U1 E10
U1
при I1=const
DE10
DI2
I20
I20
при I1=0
1
2
3
I2к
I2
A
C
B D
Рис. 6.3. Опытная (1) и смещенная к началу координат (2) характеристики холостого хода; (3) – индукционная нагрузочная характеристика
U1
U1н
I1
I1н
1
2
3
4
0
0
I2
I20
I1
I1н
Рис. 6.4. Внешние характеристики:
1,2 – при увеличении нагрузки;
3,4 – при уменьшении нагрузки;
2,3 – при cosj1=1; 1,4 – при cosj1=0,707
Рис. 6.5. Регулировочные характеристики
для U1=U1н:
1 – при cosj1=0,707;
2 – при cosj1=1