й строки и jго столбца

Работа добавлена на сайт samzan.net:

1.  МАТРИЦЫ

Действия с матрицами

Умножение на число, сложение, вычитание, транспонирование, умножение 

Свойства

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Алгебраические дополнения и миноры

Минор квадратной матрицы А – определитель матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием  i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение

Свойства определителей

1.  ∆ транспонированной матрицы = ∆ исходной матрицы
2.  Если поменять местами 2 строки/столбца, ∆ изменит знак
3.  Если ∆ содержит 2 одинаковые строки/столбца, то ∆=0
4.  Если  ∆ содержит нулевую строку/столбец, то ∆=0
5.  Общий множитель в строке/столбце можно выносить за знак определителя
6.  ∆ не изменится, если к любой строке/столбцу прибавить (вычесть) любую другую строку/столбец, умноженную на любое число

1.  ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

∆≠0→матрица невырожденная

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица

Свойства

1.  СЛАУ

Система

Совместная – имеет хотя бы 1 решение

Несовметная – не имеет решений

Определённая – имеет единственное решение

Однородная – все свободные члены = 0

Неоднородная – есть свободные члены ≠ 0

Метод Крамера

Число уравнений = числу переменных

Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличный от нуля.

Теорема о базисном миноре: базисные строки/столбцы линейно независимы; любая строка/столбец матрицы А является линейной комбинацией базисных строк/столбцов.

Условия совместности СЛАУ:

1.  Ранг основной матрицы < числа неизвестных:

                                           r < n

1.  ∆ = 0

1.  СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Декартовы

Полярные  

Цилиндрические

Сферические

1.  ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

  

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

6.          ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Линейная комбинация векторов - вектор , где - числа

Линейно зависимые , не все =0

Линейно независимые , все =0

Базис в пространстве – любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Направляющие косинусы  

Критерий коллинеарности векторов

Деление отрезка в данном соотношении λ

   

1.  СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Свойства

Угол между векторами

Проекция вектора на ось

Условие ортогональности векторов

1.  ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Свойства

Вычисление векторного произведения

Условие коллинеарности векторов

1.  СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

=

Свойства

==

= ====

Правая тройка→> 0

Левая тройка→ < 0

Вычисление смешанного произведения

Условие компланарности векторов

=0

ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

1.  КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Алгебраическая форма комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексных чисел

Показательная форма комплексных чисел

→

Степень комплексного числа

Корень n-ной степени из комплексного числа

11. ПЛОСКОСТЬ

Общее уравнение плоскости

- нормаль

Уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости

Нормирующий множитель

Расстояние от точки до плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Взаимное расположение плоскостей

Совпадают:

Параллельны:

Перпендикулярны:

Угол между 2 плоскостями

12. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Канонические уравнения прямой

 - направляющий

Параметрические уравнения прямой

Прямая как линия пересечения 2-х плоскостей

Взаимное расположение прямой и плоскости

Подставим в уравнение плоскости значения x, y, z из уравнения прямой       

Угол между прямой и плоскостью

 где - нормаль плоскости, - направляющий вектор прямой

Расстояние от точки до прямой

 

Взаимное расположение прямых :

Точка пересечения двух прямых:

Или

Угол между 2 прямыми

13. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Виды уравнений прямой на плоскости

Общее 

Каноническое 

Параметрическое

С угловым коэффициентом

  

 

- угол между прямыми

В отрезках

Нормальное

Нормирующий множитель

В полярной системе координат

Взаимное расположение прямых на плоскости

1)совпадают:

2)параллельны:

3)перпендикулярны:

4)пересекаются:

Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки

Расстояние от точки до прямой

Угол между 2 прямыми на плоскости

14. Кривые второго порядка

Вырожденные кривые: пустое множество, точка, прямая, пара прямых.

Невырожденные кривые: эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс – ГМТ  точек М на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, превышающая расстояние между фокусами 2с:

Эксцентриситет  величина, характеризующая меру сжатия эллипса, 

Директрисы 

Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету: 

Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса соберутся в другом фокусе.

Гипербола – ГМТ М на плоскости, модуль расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, меньшая расстояния между фокусами 2с:

Эксцентриситет  для гиперболы  

Директрисы 

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету: 

Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса гиперболы, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса.

Парабола – ГМТ плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости (фокуса) и фиксированной прямой плоскости (директрисы).

 p-параметр параболы

Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из фокуса параболы, после отражения от параболыпараллельны оси параболы.

15. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

Параллельный перенос

  

Поворот осей координат

  

17. ИНВАРИАНТЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

  

,

1.  Если  > 0,  < 0 → эллипс
2.  Если > 0,   > 0 → мнимый эллипс
3.  Если > 0,  ∆ = 0 → пара мнимых пересекающихся прямых
4.  Если < 0, ∆ ≠ 0 → гипербола
5.  Если < 0, ∆ = 0 → пара пересекающихся прямых
6.  Если = 0, ∆ ≠ 0 → парабола
7.  Если = ∆ = 0, < 0 → пара параллельных прямых
8.  Если = ∆ = 0, > 0 → пара мнимых параллельных прямых
9.  Если = ∆ = = 0 → пара совпавших прямых

18. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Вырожденные поверхности: пустое множество, точка, прямая, плоскость, пара плоскостей

Невырожденные поверхности:

Сфера

Эллипсоид  

Однополостный гиперболоид  

Двуполостный гиперболоид

Конус второго порядка

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр  

Метод сечений  z=h, x/y=h

19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Множество R элементов x, y, z … любой природы называется линейным (аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования:

1.  1.Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие третий элемент, называемый суммой этих элементов.
2.  2.Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества R и любому вещественному числу λ cтавится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента х на число λ.
3.  3.Указанные правила подчинены восьми аксиомам:

Свойства

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования:

1.  Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов.
2.  Указанные правила подчинены четырём аксиомам:

Свойства:

1. з курсу Історія української літератури 4060і рр
2. і. Конвенції та рекомендації М.
3. тема за вибором Проектна технологія ~ це така складова освітнього процесу що створює умови творчого самор
4. Библия ~ настольная книга Программа рассчитана на ознакомление прихожан с общим содержанием библейских
5. і. У процесі фізичної праці в учнів розвиваються мускулатура координація і точність рухів зграбність сила
6. бытовая просторечная книжная
7. Паливо та теорія горіння Які із наведених видів палива одержані штучним шляхом Нафта;.html
8. Тема- Табличний процесор Excel.
9. Запорожець за Дунаєм став відомий оперний співак і композитор Семен ГулакАртемовський.
10. Захист програмного забезпечення
11. Экономика городского строительства 201011 уч год лектор Владимирова И
12. Знает свои данные- свои имя и фамилию домашний адрес телефон
13. ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1.html
14. Древний Новгород
15. практикуме По дисциплине От
16. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступенякандидата філософських наук Луганськ ~
17. субъекты всякого рода деятельности могут быть поняты только как нечто телесное или материальное
18. Тема 16- Территории со специальным режимом хозяйствования в мировой экономике
19. Идеи к философии природы
20. Реферат- Анализ качественных характеристик следящей системы

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе