Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Действия с матрицами
Умножение на число, сложение, вычитание, транспонирование, умножение
Свойства
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Алгебраические дополнения и миноры
Минор квадратной матрицы А – определитель матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение
Свойства определителей
∆≠0→матрица невырожденная
Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица
Свойства
Система
Совместная – имеет хотя бы 1 решение
Несовметная – не имеет решений
Определённая – имеет единственное решение
Однородная – все свободные члены = 0
Неоднородная – есть свободные члены ≠ 0
Метод Крамера
Число уравнений = числу переменных
Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличный от нуля.
Теорема о базисном миноре: базисные строки/столбцы линейно независимы; любая строка/столбец матрицы А является линейной комбинацией базисных строк/столбцов.
Условия совместности СЛАУ:
r < n
Декартовы
Полярные
Цилиндрические
Сферические
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
6. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Линейная комбинация векторов - вектор , где - числа
Линейно зависимые , не все =0
Линейно независимые , все =0
Базис в пространстве – любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Направляющие косинусы
Критерий коллинеарности векторов
Деление отрезка в данном соотношении λ
Свойства
Угол между векторами
Проекция вектора на ось
Условие ортогональности векторов
Свойства
Вычисление векторного произведения
Условие коллинеарности векторов
=
Свойства
==
= ====
Правая тройка→> 0
Левая тройка→ < 0
Вычисление смешанного произведения
Условие компланарности векторов
=0
ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Алгебраическая форма комплексных чисел
Тригонометрическая форма комплексных чисел
Показательная форма комплексных чисел
→
Степень комплексного числа
Корень n-ной степени из комплексного числа
11. ПЛОСКОСТЬ
Общее уравнение плоскости
- нормаль
Уравнение плоскости в отрезках
Нормальное уравнение плоскости
Нормирующий множитель
Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
Взаимное расположение плоскостей
Совпадают:
Параллельны:
Перпендикулярны:
Угол между 2 плоскостями
12. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Канонические уравнения прямой
- направляющий
Параметрические уравнения прямой
Прямая как линия пересечения 2-х плоскостей
Взаимное расположение прямой и плоскости
Подставим в уравнение плоскости значения x, y, z из уравнения прямой
Угол между прямой и плоскостью
где - нормаль плоскости, - направляющий вектор прямой
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение прямых :
Точка пересечения двух прямых:
Или
Угол между 2 прямыми
13. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Виды уравнений прямой на плоскости
Общее
Каноническое
Параметрическое
С угловым коэффициентом
- угол между прямыми
В отрезках
Нормальное
Нормирующий множитель
В полярной системе координат
Взаимное расположение прямых на плоскости
1)совпадают:
2)параллельны:
3)перпендикулярны:
4)пересекаются:
Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки
Расстояние от точки до прямой
Угол между 2 прямыми на плоскости
14. Кривые второго порядка
Вырожденные кривые: пустое множество, точка, прямая, пара прямых.
Невырожденные кривые: эллипс, гипербола, парабола.
Эллипс – ГМТ точек М на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, превышающая расстояние между фокусами 2с:
Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса,
Директрисы
Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:
Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса соберутся в другом фокусе.
Гипербола – ГМТ М на плоскости, модуль расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, меньшая расстояния между фокусами 2с:
Эксцентриситет для гиперболы
Директрисы
Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.
Асимптоты гиперболы
Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:
Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса гиперболы, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса.
Парабола – ГМТ плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости (фокуса) и фиксированной прямой плоскости (директрисы).
p-параметр параболы
Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из фокуса параболы, после отражения от параболыпараллельны оси параболы.
15. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Параллельный перенос
Поворот осей координат
17. ИНВАРИАНТЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
,
18. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Вырожденные поверхности: пустое множество, точка, прямая, плоскость, пара плоскостей
Невырожденные поверхности:
Сфера
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Конус второго порядка
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
Метод сечений z=h, x/y=h
19. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество R элементов x, y, z … любой природы называется линейным (аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования:
Свойства
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования:
Свойства: