Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
37.Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционны и метрическ задачи.
1. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование.
, A-произвольная точка пространства,проведем прямую через , - плоскость проекции; А- проекция точки А на плоскость , -направление проектирования Рассмотрим фигуру F. Для каждой точки фигуры F найдем проекцию.
О: Мн-во, состоящее из всех точек фигуры наз. параллельной проекцией фигуры F на плоскость в направлении || . Прямая и все прямые || наз-ся проектирующими прямыми.
О: наз. параллельным проектированием фигуры F на фигуру F.
Свойства. Для прямых не || и их отрезков справедливы следующие свойства:
1)При параллельном проектировании сохраняется отношение принадлежности точек.
2)При параллельном проектировании прямая переходит в прямую.
3)Параллельные проекции параллельных прямых параллельны или могут совпадать.
4)При параллельном проектировании сохраняется простое отношение трех точек прямой, а сохраняется отношение точки лежать между двумя другими.
5)При параллельном проектировании отрезок переходит в отрезок, середина отрезка в середину отрезка.
6)При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.
О:Если , то ║-ое проектирование наз ортогональным.
2. О: Изображением данной фигуры (оригинала) наз фигура , подобная какой-нибудь параллельной проекции фигуры на плоскость.
Основные требования, предъявляемые к изображению: 1) правильность, верность 2) наглядность (при центральном проектировании) Это верное изображение куба, но не наглядное
Верное и наглядное
3) легковыполнимость (при помощи парал-ного проектирования)
3. Изображение плоских фигур основано на двух теоремах.:
Т1. Любой может служить изображением данного .
Док-во: расположим тр – к в плоскости не параллельной пл. и направление проектирования берем не параллельным пл. .
(треугольники совершенно произвольные)
Докажем, что может служить изображением . Спроектируем в подобный . Направление проектирования . Спроектируем на пл. .
А подобен (по двум углам). - изображение
Т2. Если дано изображение (оригинала) в виде , то можно построить изображение любой точки плоскости данного (оригинала).
Док-во.
Возьмем произвольную точку пл-ти . Соединим с вершиной так, чтобы пересекали одну сторону. ВМ∩АС=К, К АС. , построим . Берем вспомогательный луч h, отложенный от вершины : , , проведем , (через проводим прямую и получаем точку ). Соединяем с . Построим точку МВК (лучу) такую что. Проводим произвольный луч через откладываем отрезки BH=BK, HC1=KM,. Соединим и , через проведем прямую , получили MBK, M - изображение.
Изображением любого 4-ника вместе с его диагоналями может служить 4-ник, отношение отрезков диагоналей которого = отношению отрезков диагоналей данного.
Оригинал Изображение
Изображением параллелограмма, ромба, квадрата, прямоугольника явл. произвольный параллелограмм
Изображением трапеции явл. трапеция, у которой отношение оснований такое же, как у оригинала.
Изображение правильного шестиугольника (сами)
Изображением окружности явл. эллипс,
4. Изображение пространственных фигур также основано на 2-х теоремах.
Т3. (Польке-Шварца): Любой 4-ник вместе с его диагоналями может служить изображением произвольного тетраэдра. Т4. Если дано изображение тетраэдра, то можно построить изображение любой точки пространства.
Изображение призм, пирамид:
Призма: изображение основания строится как изображение плоской фигуры. Изображение одной вершины основания выбирается произвольно, верхнее основание строится параллельным переносом на вектор , так как все ребра призмы равны и параллельны.
Пирамида: изображается основание, затем вершина изобр-ся так, чтобы ни одна вершина не совпадала. Если пирамида правильная, то ее высота изобр-ся отрезком, соед. вершину с центром описанной окружности.
Изображение прямого кругового цилиндра, прямого кругового конуса, шара:
Для того, чтобы изображение цилиндра, конуса, шара удовлетворяло требованию наглядности, во-первых, применяют ортогональное проектирование, во-вторых, эти тела располагают относительно плоскости проекций следующим образом: ось должна лежать в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций, и при этом ось не должна быть параллельной, а также перпендикулярной плоскости проекций. Если изображение экватора шара дано, то изображение полюсов следует строить и наоборот.
5. Изображение наз. полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости, определяющие оригинал, будут заданными. Число точек, которое надо добавить к чертежу, чтобы неполное изображение сделать полным, наз. коэффициентом неполноты. Задача построения изображения точек пересечения фигур, наз. позиционной задачей. К таким задачам относятся, например, задачи на построение сечений многогранников и других тел.
6. Изображение называется метрически определенным, если к нему мож но присоединить изображение декартова репера так, что все точки, прямые и плоскости, определяющие оригинал, будут заданными. Метрическим числом изображения называется число р независимых параметров, значения которых надо знать, чтобы изображение стало метрически определенным. Метрически определенное изображение определяет оригинал с точностью до движения . Далее привести примеры метрических задач: Методом следов и методом внутреннего соответствия (проектирования) 1)построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ее боковых гранях.; 2) Построить изображение правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар.
О: Задачи на нахождение длин , углов, площадей, объемов, задачи связанные с перпендикулярностью это метрические задачи.
Дано: - четырехуг призма, , , . Построить сечение проходящей через точки
Построение: 1) ( || ребрам через )
2) , , - след
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) - искомое сечение