Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Семинар 36 (12-ый семинар второго семестра)
Системы тождественных частиц: метод вторичного квантования
Обсудить основную идею метода – введение полной системы функций с определенными значениями чисел заполнения и разложение волновых функций по этой системе (то есть переход к представлению чисел заполнения). Ввести операторы рождения и уничтожения. Написать коммутационные соотношения и формулы для одночастичных и двухчастичных операторов в представлении чисел заполнения.
Сформулировать цель занятия – научиться вычислять простейшие средние и матричные элементы в системах тождественных частиц в представлении чисел заполнения.
Задача 1. Найти в координатном представлении и представлении чисел заполнения волновую функцию такого состояния системы трех тождественных невзаимодействующих бозонов со спином , находящихся в одномерном осцилляторном потенциале, в котором число заполнения основного осцилляторного состояния имеет определенное значение , а числа заполнения первого и второго состояний определенных значений не имеют, причем средние числа заполнения этих состояний равны , . Числа заполнения остальных состояний равны нулю. Здесь индекс около чисел заполнения нумерует осцилляторные состояния одной частицы (0 - основное состояние). Найти среднюю энергию этого состояния (вычисления провести в представлении чисел заполнения и в координатном представлении).
Задача 2. Доказать коммутационные соотношения для бозонных операторов рождения и уничтожения.
Задача 3.Доказать, что оператор является оператором числа заполнения одночастичного состояния , а оператор , где сумма распространяется на все одночастичные состояния – оператором числа частиц в системе.
Задача 4. Найти оператор Гамильтона некоторой системы тождественных невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения собственных состояний одночастичного гамильтониана.
Задача 5. В первом порядке теории возмущений найти энергии основного и первого возбужденного состояний системы из невзаимодействующих тождественных фермионов со спином , на которую наложено возмущение (индекс нумерует частицы). Матричные элементы одночастичного оператора с собственными функциями невозмущенного гамильтониана считать известными. Для определенности считать, что число четное. Вычисления провести в представлении чисел заполнения.
Задача 6. Система трех тождественных невзаимодействующих фермионов находится в потенциале трехмерного гармонического осциллятора в состоянии с определенными значениями чисел заполнения , , , где индексы около чисел заполнения – «декартовы» квантовые числа состояний трехмерного осциллятора , и соответственно. Числа заполнения остальных одночастичных состояний равны нулю. Найти среднюю проекцию орбитального момента импульса системы на ось в этом состоянии.
Задача 7. На систему тождественных невзаимодействующих фермионов со спином , находящихся в основном состоянии в потенциале одномерного гармонического осциллятора, действует малое зависящее от времени возмущение , где индекс суммирования нумерует частицы, - некоторая функция времени. В какие стационарные состояния системы возможны переходы под действием такого возмущения?
Задача 8. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:
,
где , и - собственные функции одночастичного гамильтониана,- одночастичные квантовые числа, и включают в себя как пространственные, так и спиновые переменные, и числа. Найти среднее значение числа заполнения одночастичного состояния в этом состоянии.
Задача 9. Какое из нижеперечисленных операторных равенств, содержащее фермионные операторы рождения и уничтожения, является верным?
а. б. в. г. (где - нулевой, а - единичный оператор)
Задача 10. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:
, где , и - собственные функции одночастичного гамильтониана, где - одночастичные квантовые числа. Будет ли эта функция собственной функцией оператора числа заполнения одночастичного состояния , и если да, то какому собственному значению она будет отвечать?
а. да, б. да, в. да, г. нет
Задача 11. Система шести тождественных невзаимодействующих бозонов находится в состоянии, в котором числа заполнения состояний одночастичного гамильтониана имеют следующие значения: , , (квантовые числа одночастичных состояний включают в себя и спиновые квантовые числа). Будет ли это состояние собственным для оператора и если да, то какому собственному значению оно будет отвечать?
а. да, собственному значению 3 б. нет в. да, собственному значению 2
г. такого состояния быть не может
Домашнее задание
1. В первом порядке теории возмущений найти энергии основного и первого возбужденного состояний системы из невзаимодействующих тождественных бозонов со спином , на которую наложено возмущение (индекс нумерует частицы). Матричные элементы одночастичного оператора с собственными функциями невозмущенного одночастичного гамильтониана считать известными. Вычисления провести в координатном представлении и представлении чисел заполнения.
2. Система тождественных невзаимодействующих частиц находится в состоянии с определенными числами заполнения одночастичных состояний одночастичного гамильтониана. Найти среднюю плотность системы в этом состоянии.
3. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:
, где , и - собственные функции одночастичного гамильтониана, - одночастичные квантовые числа. Будет ли эта функция собственной функцией оператора числа заполнения одночастичного состояния , и если да, то какому собственному значению она будет отвечать?
а. да, б. да, в. да, г. нет
4. Система тождественных бозонов имеет волновую функцию:
, где , и - собственные функции одночастичного гамильтониана, где - одночастичные квантовые числа. Будет ли эта функция собственной функцией оператора числа частиц, и если да, то какому собственному значению она будет отвечать?
а. да, б. да, в. да, г. нет
4