Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 9. Числовые характеристики генеральной совокупности и выборки.
В первой части изучались числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и т..д.
Математическая статистика имеет аналоги перечисленных характеристик. Их рассчитывают либо для генеральной совокупности, либо по данным выборки Поэтому эти характеристики называют либо генеральными, либо выборочным (эмпирическими). Различают характеристики центра группирования и характеристики рассеивания.
1. Числовые характеристики генеральной совокупности.
Рассмотрим генеральную совокупность относительно случайной величины (количественного признака) Х.
Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если - значения признака генеральной совокупности объема N, то
Если же признак принимает значения с соответствующими частотами , то
,
причем
Чтобы выстроить аналогию между математической статистикой теорией вероятностей, обратим внимание на следующий факт. Если рассматривать количественный признак Х как дискретную случайную величину, то вычислительные формулы для генеральной средней совпадают формулами для математического ожидания, и поэтому . Обобщив полученный результат и для непрерывно распределенного признака Х, будем считать, что его генеральная средняя равна математическому ожиданию MХ. Такие же аналогии можно провести для дисперсии других численных характеристик.
Генеральной дисперсией DХ называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от генеральной средней MХ. Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то
Если же признак принимает значения с соответствующими частотами , то
Генеральным средним квадратическим (стандартным) отклонением называют число
.
2 . Характеристики центра группирования выборки.
Эмпирические характеристики случайных величин можно разделить на:
• характеристики центра группирования;
• характеристики рассеивания.
К характеристикам центра группирования относятся: среднее значение, медиана, мода.
Средним значением выборки (выборочной средней) называют число
где - наблюдаемые значения случайной величины Х, вошедшие в выборку объема n . Если же признак в выборке принимает значенияс соответствующими частотами , то
причем . В соответствие с этой формулой выборочную среднюю можно назвать средней арифметической различных значений выборки, взвешенной по частотам. В том случае, когда выборка представлена интервалами и частотами попадания в эти интервалы, за значения признака берут середины интервалов и применяют последнюю формулу. Воспользуемся понятием частости . Тогда последняя формула может быть записана в виде
Замечание 1 Генеральную (выборочную) среднюю называют общ средней генеральной совокупности (выборки).
Когда объем выборки n невелик, то имеет смысл рассчитать медиану me . Если объем выборки n - нечетное число, то составив вариационный ряд, за медиану принимают то значение величины Х, которое оказалось посредине распределения. Если n - четное число, то за медиану принимают среднее арифметическое из двух значений, лежащих в середине распределения.
Мода m0 выборки - это значение, имеющее наибольшую частоту или частость. Если несколько значений выборки имеют одинаковую наибольшую частоту, то модами будут эти значения. Если же все значения выборки имеют частоту 1, то мода отсутствует.
Пример 1 Используя данные табл. 1
Табл. 1. Таблица распределения частот
|
xi |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
|
|
ni |
1 |
2 |
1 |
6 |
4 |
4 |
2 |
рассчитать среднее значение, медиану, моду.
.
Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака из данной группы. Приведем без доказательства следующее утверждение.
Утверждение 1 Общая средняя (генеральная или выборочная) равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп.
Пример 2. Выборка из примера 1 разбита на две группы (табл. 2):
Табл. 2. Выборка, разбитая на группы
|
№ группы |
1 |
2 |
|||||
|
x |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
|
p |
1 |
2 |
1 |
6 |
4 |
4 |
2 |
Найти групповые средние и , рассчитать по ним (общую) выборочную среднюю .
Решение. Вычислим групповые средние:
.
Выборочная средняя равна
.
что совпадает с расчетами примера 1.
Решение. Вычислим асимметрию выборки,
3. Характеристики рассеивания выборки.
Наиболее употребительными эмпирическими характеристика рассеивания являются: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. На практике используют еще размах варьирования R и положения крайних членов выборки.
Дисперсия выборки (выборочная дисперсия) вычисляется по формулам:
Если же признак принимает значения с соответствующими частотами или частостями , то
=
Замечание 1. Генеральную (выборочную) дисперсию называют дисперсией генеральной совокупности (выборки).
Выборочное среднее квадратическое (стандартное) отклонение - это квадратный корень из выборочной дисперсии
Коэффициент вариации выборки вычисляется по формуле
Пример 1. Используя данные примера 1 рассчитать дисперсию, квадратическое отклонение, коэффициент вариации выборки.
Решение. Воспользовавшись одной из формул выборочной дисперсии, получим
Выборочные стандартное отклонение и коэффициент вариации, соответственно, равны
8.4 Групповые дисперсии и их свойства
Пусть все значения выборки из генеральной совокупности количественного признака X разбиты на группы l групп. Рассматривая каждую из групп как самостоятельную выборку, можно найти групповые средние .
Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих j-й группе, относительно групповой средней , т.е.
,
где - значения признака, вошедшие в j-ю группу; - частоты, соответствующие значениям признака; - объем j-й группы.
Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенную по объемам групп:
,
где - объем выборки.
Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних , относительно выборочной средней :
.
Приведем без доказательства следующее утверждение.
Утверждение 1. Если генеральная совокупность или выборка состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.
Например, для выборки, разбитой на группы, утверждение 1 можно записать формулой:
.
Пример 3. По выборке из примера 1, разбитой на две группы (см. табл. 2), рассчитать групповые дисперсии, внутригрупповую дисперсию и межгрупповую дисперсию.
Решение. Групповые средние были вычислены в примере 2: =28,2; =30,8. Найдем теперь групповые дисперсии:
;
.
Внутригрупповая дисперсия равна
.
Вычислим межгрупповую дисперсию:
.
Правильность расчетов можно проверить с помощью утверждения 1:
,
что совпадает со значением выборочной дисперсии, полученным в примере 2.
8.5 Статистические моменты, асимметрия и эксцесс выборки
Кроме перечисленных характеристик, на практике часто приходится вычислять статистические (эмпирические) моменты.
Начальным статистическим (выборочным) моментом k-го порядка принято называть число
.
Центральным статистическим (выборочным) моментом k-го порядка называют число
.
Моменты выборки связаны с характеристиками выборки так:
, , .
Знание эмпирических моментов позволяет вычислить асимметрию и эксцесс выборки.
Асимметрия выборки определяется соотношением
.
Показатель асимметрии для нормального распределения равен нулю. Рассмотрим распределение, кривая плотности которого изображена на рис. 1. Эта кривая такова, что по одну сторону от математического ожидания расположена "длинная часть", а по другую - "короткая часть". Если "длинная часть" расположена слева от математического ожидания, то асимметрия отрицательна. Если "длинная часть" лежит справа от математического ожидания, то асимметрия положительна.
Рис. 1. Кривая плотности распределения с отрицательной асимметрией
Эксцессом выборки называют число
.
Эксцесс нормального распределения равен нулю. Положительное значение эксцесса обычно указывает на то, что кривая плотности распределения в окрестности моды имеет более высокую и более острую вершину, чем нормальная кривая с тем же центром и дисперсией (рис. 3). Отрицательное значение эксцесса указывает на более низкий и более плоский характер вершины по сравнению с соответствующей нормальной кривой (рис. 2).
Рис. 2. Кривая плотности распределения с отрицательным эксцессом. Нормальная кривая изображена пунктиром
Рис. 3. Кривая плотности распределения с положительным эксцессом. Нормальная кривая изображена пунктиром
Пример 4. На основе данных примера 1 рассчитать асимметрию и эксцесс выборки, и проиллюстрировать их графически.
Решение. Вычислим асимметрию выборки,
х