Линейные пространства
Работа добавлена на сайт samzan.net:
PAGE 14
Фдз 1. Линейные пространства.
Повторение основных понятий и терминов, связанных с линейными пространствами (линейная зависимость, независимость системы векторов; базис и размерность линейного пространства; разложение вектора по базису; линейная оболочка системы векторов).
1. Дать определение линейного пространства.
2. Доказать, что множество является линейным пространством.
3. Дать определение линейной зависимости (независимости) системы векторов.
4. Доказать линейную зависимость системы векторов из линейного пространства .
5. Доказать линейную независимость системы векторов из линейного пространства .
6. Доказать линейную независимость функций из линейного пространства .
7. Разложить вектор по векторам .
8. Дать определение полной системы векторов в линейном пространстве.
9. Доказать, что системы векторов
и являются полными в .
10. Дать первое и второе определение базиса линейного пространства.
11. Доказать, что система удовлетворяет и первому и второму определению базиса.
12. Доказать, что является базисом пространства .
13. Дать определение линейного подпространства. Сформулировать критерий линейного подпространства.
14. Доказать, что множество является подпространством пространства всех непрерывных на интервале функций.
15. Дать определение линейной оболочки.
16. Линейной оболочкой каких функций является множество .
Домашнее задание.
1. Исследовать на линейную зависимость систему матриц
.
2. Доказать, что множество является линейным подпространством в пространстве . Найти базис и размерность подпространства
Фдз 2. Закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода от старого базиса к новому базису. Ранг матрицы. Критерий совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли).
1. Записать в матричном виде переход от базиса к новому базису в -мерном линейном пространстве.
2. Записать в матричном и координатном виде закон преобразования координат вектора при переходе к новому базису.
3. Записать матрицу перехода от базиса к новому базису двумерного линейного пространства. Записать в матричном и координатном виде закон преобразования координат вектора при переходе от базиса к базису . Найти координаты вектора в базисе и базисе
4. Записать матрицу перехода от базиса к базису трехмерного линейного пространства. Записать в матричном и координатном виде закон преобразования координат вектора при переходе от базиса к базису . Найти координаты вектора в базисе и базисе .
5. Записать матрицу перехода от стандартного базиса пространства к базису трехмерного линейного пространства. Найти координаты многчлена в базисе и базисе .
6. Найти ранг матриц .
7. Исследовать на совместность (с помощью теоремы Кронекера-Капелли) системы
, .
________________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти координаты вектора , заданного в базисе в новом базисе , если .
2. Найти координаты матрицы в стандартном базисе и с помощью закона преобразования координат в базисе линейного пространства .
3. С помощью теоремы Кронекера-Капелли исследовать совместность следующих линейных систем:
3.1. ; 3.2. .
Фдз 3. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Структура общего решения однородной системы, фундаментальная система решений. Структура общего решения неоднородной системы.
1. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейной однородной системы.
2. Дать определение фундаментальной системы решений (ФСР).
3. Найти общее решение и ФСР однородной системы .
4. Найти общее решение и ФСР однородной системы .
5. Найти общее решение и ФСР однородной системы .
6. Сформулировать теорему о структуре общего решения совместной линейной неоднородной системы.
7. Найти общее решение неоднородной системы и выделить из него общее решение соответствующей однородной системы и ее ФСР.
8. Найти общее решение неоднородной системы и выделить из него общее решение соответствующей однородной системы и ее ФСР.
____________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти общее решение и фундаментальную систему решений у следующих однородных систем:
; ; .
2. Найти общее решение неоднородной системы. Выделить из него частное решение этой системы и общее решение соответствующей однородной системы (с указанием ФСР).
.
3. Найти общее решение неоднородной системы. Выделить из него частное решение этой системы и общее решение соответствующей однородной системы (с указанием ФСР).
.
________________________________________________________________________
Выполнить «свои» задания 1, 2 из Типового расчета.
Фдз 4. Отображение множеств. Образ, прообраз. Линейный оператор и его матрица.
1. Дано отображение (где , ) по следующему закону:
. Найти образы множеств и прообразы для элементов . Является ли заданное отображение однозначным, взаимно-однозначным, имеет ли оно обратное отображение?
2. Дать определения оператора, линейного оператора.
3. Дано отображение, действующее на множестве по правилу
. Показать, что это отображение является оператором, но не является линейным оператором.
4. Доказать, что отображение , где , действующее по правилу , где , является линейным оператором.
Найти образ вектора и образ всего пространства . Исходя из образа пространства , ответить на вопросы: является ли заданное отображение однозначным, взаимно-однозначным, имеет ли оно обратное отображение?
5. Доказать линейность оператора , если в базисе действие этого оператора производится по правилу , где ,.
Найти матрицу этого оператора в базисе и в базисе , где ..
6. , , . Доказать линейность оператора . Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе .
7. Линейный оператор является:
а) оператором отражения векторов от плоскости ;
б) оператором проектирования на ось ;
в) поворотом векторов на вокруг оси .
Исходя из геометрических свойств указанных операторов, найти их матрицы в подходящих базисах и затем в базисе .
__________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Доказать линейность оператора , если в базисе действие этого оператора производится по формулам где . Найти матрицу этого оператора в базисе и в базисе .
2. Доказать, что отображение , является оператором, но не является линейным оператором.
3. Доказать, что оператор , , является линейным и найти матрицу этого оператора в стандартном базисе и базисе .
Выполнить следующие пункты из «своих» задач Типового расчета:
Задача 5. 1),2)
Задача 6. 1),2).
Фдз 5. Действия с линейными операторами. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора.
1. Даны два линейных оператора , действующие в одном и том же линейном пространстве . Дать определения для операторов:
.
2. Даны два линейных оператора , действующие в пространстве по следующим правилам: , где ;
, где . Найти матрицы операторов в базисе .
3. Дать определение ядра, ранга и дефекта линейного оператора.
4. Исходя из определений и геометрических свойств оператора, найти его ядро и образ в следующих случаях, указать также ранг и дефект.
4.1. - оператор проектирования векторов на плоскости ;
4.2. - оператор проектирования на ось ;
4.3. - оператор поворота векторов на вокруг оси .
5. Найти ядро, образ, ранг и дефект следующих линейных операторов.
5.1. , .
5.2. , , .
5.3. , , .
6. Дать определение обратного оператора данному линейному оператору .
7. Указать, в каких случаях из приведенных выше примеров 4,5,6 оператор является невырожденным и допускает обратный оператор . Найти матрицы этих обратных операторов.
__________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора
, .
Допускает ли данный оператор обратный оператор ?
2. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора ,
действующего в линейном пространстве .
Выполнить следующие пункты из «своих» задач Типового расчета:
Задача 5. 4).
Задача 6. 3).
Фдз 6. Собственные значение и собственные векторы линейного оператора.
1. Дать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.
Указать геометрический смысл собственного вектора.
2. Исходя из геометрии действия линейного оператора, найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов.
2.1. Оператора отражения векторов относительно плоскости ;
2.2. Оператора проектирования на ось ;
2.3. Оператора поворота векторов на вокруг оси .
3. Используя определение собственного вектора и собственного значения оператора найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов.
3.1. , .
3.2. , .
3.3. , , .
3.4. , , .
________________________________________________________________________
Домашнее задание
1. Исходя из геометрии действия линейного оператора, найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов:
1.1. Оператора проектирования векторов на плоскость ;
1.2. Оператора отражения векторов от оси ;
1.3. Оператора поворота векторов на вокруг оси .
2. Используя определение собственного вектора и собственного значения оператора найти собственные векторы и собственные значения следующих линейных операторов.
2.1. , , .
2.2. , , .
2.3. , .
Решить «свою» задачу 4 из Типового расчета:
Фдз 7. Собственные значение и собственные векторы оператора, матрицы.
1. Привести алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов по матрице оператора.
2. Записать характеристическую матрицу и характеристическое уравнение для матриц:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
3.. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
3.1. , 3.2. , 3.3. .
3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу , где . Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе пространства .
4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу .
Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе пространства .
______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
1.1. , 1.2. , 1.3. .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу . Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе пространства .
_________________________________________________________________
Выполнить следующие пункты из «своих» задач Типового расчета:
Задача 6. 4).
Фдз 8. Линейный оператор простого типа.
1. Дать определение оператора простого типа.
2. Какие из приведенных ниже линейных операторов являются операторами простого типа? . Найти для них собственные базисы и матрицы операторов в собственных базисах.
2.1. , .
2.2. , .
2.3. , .
2.4. , , .
2.5. , , .
2.6. , , .
3. Найти собственные базисы и матрицы линейных операторов простого типа в приведенных примерах.
________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Показать, что заданные линейные операторы являются оператороми простого типа, найти их собственный базис и матрицу в собственном базисе.
1.1. , .
1.2.. , , .
________________________________________________________________________
Выполнить следующие пункты «своих» задач из Типового расчета:
Задача 6. 5).
Фдз 9. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы в линейном пространстве.
1. Какие из приведенных ниже функций, заданных на линейном векторном пространстве , являются линейными?
1.1. , 1.2. , 1.3. .
2. Найти матрицы приведенных ниже билинейных форм и записать их в матричном виде.
2.1. , .
2.2. , .
2.3. , .
3. Считая, что билинейные формы в примерах 2.2, 2.3 заданы в базисе , найти матрицы и матричную запись этих форм в новом базисе , где .
4. Найти квадратичные формы, соответствующие билинейным формам
примеров 2.1, 2.2, 2.3. Найти матрицы этих квадратичных форм и записать квадратичные формы в матричном виде.
5. Найти симметричные билинейные формы, соответствующие квадратичным формам из примера 4, и записать их в матричном виде.
__________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Билинейные формы , в базисе имеет вид
1.1. .
1.2. .
Найти матрицу билинейной формы, ее матричное представление, а также матрицу и выражение в новом базисе .
2. Найти квадратичные формы, соответствующие билинейным формам
из примеров 1.1, 1.2. Записать эти квадратичные формы в матричном виде. По квадратичным формам записать соответствующие им симметричные билинейные формы.
_________________________________________________________________________
Фдз 10. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы. Закон инерции. Три инварианта квадратичной формы.
1. Найти матрицу и матричное представление следующих квадратичных форм.
1.1. ,
1.2. , .
1.3. , .
1.4. , .
2. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичные формы из задания 1 и выписать соответствующие невырожденные преобразования координат, приводящие квадратичные формы к каноническому виду. Найти ранг и индексы инерции данных квадратичных форм.
3. Найти нормальный вид рассмотренных квадратичных форм из задания 1. _______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичные формы, приведенные ниже и привести невырожденные преобразования координат, приводящие квадратичные формы к каноническому виду.
1.1. , .
1.2. , .
__________________________________________________________________________
Выполнить следующие пункты «своих» задач из Типового расчета:
Задача 8. 1).
Фдз 11. Знакопеременная, знакопостоянная и знакоопределенная квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
1. Дать определения знакопеременной, положительной, неотрицательной, положительно определенной и отрицательно определенной квадратичных форм. В чем отличие положительной (отрицательной) квадратичной формы от положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формы?
2. Дать ответы на поставленные вопросы.
2.1. Почему - знакопеременная квадратичная форма?
2.2. Почему - положительная, а не положительно определенная квадратичная форма?
3. С помощью критерия Сильвестра исследовать на положительную (отрицательную) определенность следующие квадратичные формы. Если квадратичная форма не является знакоопределенной, то методом Лагранжа привести ее к каноническому виду, по которому определить является ли она знакопеременной или знакопостоянной.
3.1. , .
3.2. , .
3.3. , .
3.4. , .
3.5. , .
4. Исследовать на экстремум следующие функции (с применением критерия Сильвестра).
4.1. .
4.2. .
4.3. .
________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. С помощью критерия Сильвестра исследовать на положительную (отрицательную) определенность следующие квадратичные формы. Если квадратичная форма не является знакоопределенной, то методом Лагранжа привести ее к каноническому виду, по которому определить является ли она знакопеременной или знакопостоянной.
1.1. , .
1.2. , .
1.3. , .
2. Исследовать на экстремум функцию (с применением критерия Сильвестра).
.
Фдз 12. Евклидово пространство. Матрица Грама.
1. Дайте определение евклидова пространства.
2. Какими свойствами обладает скалярное произведение?
3. Какие из приведенных матриц могут быть матрицами Грама скалярного произведения в трехмерном евклидовом пространстве.
.
4. В пространстве с обычным скалярным произведением в каноническом базисе
задан базис . Найти матрицу Грама скалярного произведения в базисе , записать формулы для вычисления скалярного произведения и вычисления длины вектора в базисе , и с их помощью вычислить длины векторов , заданных в базисе , и угол между ними.
4.1. , .
4.2. , .
5. В пространстве с обычным скалярным произведением в каноническом базисе задан базис . Найти матрицу Грама скалярного произведения в базисе , записать формулы для вычисления скалярного произведения и вычисления длины вектора в базисе , и с их помощью вычислить длины векторов , заданных в базисе и угол между ними.
, .
6. В трехмерном евклидовом пространстве в базисе матрица Грама скалярного произведения равна . - другой базис пространства , . Записать формулу для скалярного произведения в базисе . Найти матрицу Грама в базисе двумя способами: по формуле скалярного произведения в базисе и по формуле преобразования матрицы Грама при переходе от базиса к базису . _______________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. В пространстве с обычным скалярным произведением в каноническом базисе задан базис . Найти матрицу Грама скалярного произведения в базисе и записать формулы для вычисления скалярного произведения и вычисления длины вектора в базисе , если
.
_________________________________________________________________________
Выполнить следующие пункты «своих» задач из Типового расчета: Задача 7 1)
Фдз 13. Ортогональный и ортонормированный базисы. Ортогонализация базиса. Ортогональные матрицы.
1.В базисе двумерного евклидова векторного пространства матрица Грама имеет вид . Выяснить, будут ли векторы ортогональными?
2. В пространстве с обычным скалярным произведением в каноническом базисе
задан новый базис , Провести ортогонализацию этого базиса. Затем, по ортогональному базису найти ортонормированный базис.
3. Возьмем - трехмерное евклидово пространство со стандартным скалярным произведением .
В этом пространстве задан базис . Провести ортогонализацию этого базиса. Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.
4. Дано трехмерное евклидово пространство , у которого матрица Грама в базисе имеет вид . -новый базис пространства ,
. Провести ортогонализацию базиса . Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.
5. Дать определение ортогональной матрицы, Выяснить, какие из ниже приведенных матриц являются ортогональными.
.
________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. В трехмерном евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением задан базис . Провести ортогонализацию этого базиса. Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.
2. Дано трехмерное евклидово пространство , у которого матрица Грама в базисе имеет вид . -новый базис пространства ,
. Провести ортогонализацию базиса . Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис.
___________________________________________________________________
Выполнить следующие пункты «своих» задач из Типового расчета:
Задача 7 2)
Фдз 14. Ортогональные операторы в евклидовом пространстве.
Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.
1. Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением . Пусть - оператор, зеркально отражающий векторы от оси . Доказать, что - ортогональный оператор.
2. В двумерном евклидовом пространстве со скалярным произведением в базисе задан линейный оператор , имеющий в базисе матрицу . Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором.
3. В рамках условий задания 2 найти матрицу в базисе оператора , сопряженного оператору . Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора .
4. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
5. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
___________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. В двумерном евклидовом пространстве со скалярным произведением в базисе задан линейный оператор , имеющий в базисе матрицу . Найти матрицу в базисе оператора , сопряженного оператору ли оператор .
2. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
3. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .
Фдз 15. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
1. Ортогональным преобразованием координат привести следующие квадратичные формы к каноническому виду. Найти индексы инерции этих форм
1.1. , .
1.2. , .
1.3. ,
1.4. ,
________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Ортогональным преобразованием координат привести квадратичную форму
, к каноническому виду. Найти индексы инерции этой формы.
_________________________________________________________________
Выполнить следующие пункты «своих» задач из Типового расчета:
Задача 8. 2)
2. статьях по видам а рассказ о некоторых видах восточных боевых искусств с точки зрения здоровья красоты и из
3. Форш О
4. Понятие юридического лица- история и современная трактовка
5. Современные зарубежные СМИ 5 курс 1
6. Курсовая работа- Расчет и проектирование одноступенчатого зубчатого редуктора
7. Реферат- Державне регулювання забезпечення продовольчої безпеки в Україні
8. Первичные параметры однородной длинной линии Электрические свойства длинной линии характеризуются перви
9. правовыми источниками международного частного права выступают международный договор международный обычай
10. х гг Нашествия 1й пол
11. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Львів ~8 Дисертацією є руко.html
12. Анализ понятия и юридической значимости международных договоров
13. Статья- Терроризм и глобализация
14. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук Дн
15. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук6
16. Лабораторная работа 6 функции Цель работы приобрести навыки в решении задач с использованием функций.
17. реферата Используй слова и фразы в своем рефератепо указанной выше структуре
18. это инвазионное заболевание животных и человека вызываемое одноклеточными простейшими класса Sроrоzоа кот
19. ВВЕДЕНИЕ В БАНКИ ДАННЫХ
20. это электроотрицательность т