Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 20. Последовательности в пространстве
План
1. Компакты в пространстве . Критерий компактности множества
Пусть дана совокупность открытых множеств в пространстве .
Определение 1. Говорят, что совокупность множеств покрывает множество , если .
Определение 2. Множество называется компактным множеством, или компактом, если из каждой бесконечной совокупности открытых множеств, которая покрывает множество , можно выделить конечную совокупность, которая тоже покрывает множество .
Пример. Пусть . По лемме Бореля из каждой бесконечной системы интервалов, которая покрывает , можно выделить конечную подсистему, которая покрывает , поэтому - компакт.
Определение 3. Замкнутым параллелепипедом в пространстве называется множество точек , которые удовлетворяют условиям:
.
Замечание. Можно показать, что замкнутый параллелепипед является компактом.
Определение 4. Множество называется ограниченным, если существует шар, который содержит это множество.
Теорема 1. Для того, чтобы множество было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Предположим, что это не так: бесконечное ограниченное множество не имеет ни одной предельной точки. Тогда можно сказать, что содержит в себе все свои предельные точки, т.е. является замкнутым. Поскольку множество замкнуто и ограничено, оно компактно. Для каждой точки множества можно построить шар, который не содержит других точек , поскольку каждая точка не является предельной для этого множества. Совокупность таких шаров является бесконечной и покрывает , но из этой совокупности невозможно выделить конечную совокупность, которая покрывает . Это противоречит компактности множества . Наше предположение является ошибочным.
3. Векторные последовательности. Понятие предела векторной последовательности
Пусть каждому ставится в соответствие некоторая точка (или вектор) . Тогда говорят, что в пространстве определена векторная последовательность .
Определение 5. Точка называется пределом векторной последовательности и обозначается: , если
для , что для выполняется: .
Геометрический смысл: Точка является пределом векторной последовательности , если любая окрестность точки в пространстве содержит бесконечно много элементов последовательности, а вне окрестности их может быть лишь конечное количество.
Пример. Пусть дана векторная последовательность , для которой . Доказать, что .
По определению 5 надо показать, что
, что для : .
.
Если , то :
.
Таким образом, неравенство выполняется для бесконечного количества элементов последовательности, номера которых , что и нужно было доказать.
4. Простейшие свойства пределов векторных последовательностей
Теорема 3. Если имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство. Самостоятельно.
Определение 6. Последовательность называется ограниченной, если существует такой шар , который содержит все элементы этой последовательности, т.е. для элементов последовательности выполняется неравенство .
Теорема 4. Пусть сходится, тогда - ограниченная последовательность.
Замечание. Не любая ограниченная последовательность является сходящейся.
Теорема 5 (о покоординатной сходимости). Для того, чтобы , , сходилась к необходимо и достаточно, чтобы для каждого значения соответствующая числовая последовательность координат .
Доказательство. Необходимость. Пусть . По определению предела векторной последовательности это означает, что
для , что для выполняется: .
Возьмем произвольно конкретное значение . Пусть . Тогда
,
а это по определению предела числовой последовательности и означает, что .
Достаточность. Пусть для : .
,
,
...
.
Пусть . Тогда для и для все предыдущие неравенства выполняются одновременно, а тогда:
,
Т.е. ,
что говорит о том, что .
Теорема 6. Пусть , - векторные последовательности в пространстве , и , . Тогда последовательности , (тут - скалярное произведение ) также являются сходящимися и
, .
5. Фундаментальные последовательности. Подпоследовательности
Определение 7. последовательность ,, называется фундаментальной, если
для , что для выполняется: .
Теорема 7. Для того, чтобы последовательность ,, сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Пусть . По определению это означает, что
для , что для , выполняется: , .
Тогда
.
Достаточность. Пусть - фундаментальная векторная последовательность. По определению это означает, что
для , что для выполняется: .
Зафиксируем . Тогда
для .
Таким образом для каждого фиксированного числовая последовательность является фундаментальной, а потому сходящейся. Тогда по теореме о покоординатной сходимости сходящейся будет и векторная последовательность .
Определение 8. Пусть определена векторная последовательность , . Рассмотрим последовательность натуральных чисел
Тогда последовательность называют подпоследовательностью .
Утверждение 1. Последовательность , сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая ее подпоследовательность.
Утверждение 2. Если из последовательности , можно выделить две подпоследовательности, которые стремятся к разным пределам, то данная последовательность является расходящейся.
Утверждение 3. Если из последовательности , можно выделить две подпоследовательности, которые стремятся к одному пределу, из этого вообще не вытекает сходимость данной последовательности .
Лемма (Больцано-Вейерштрасса). Из каждой ограниченной последовательности , , можно выделить сходящуюся последовательность.
Вопросы