Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Кривоногов В.Г.
Лекции по дисциплине «Теория ошибок измерений» Литература 1. Мазмишвили А.И., Беляев Б.И. Способ наименьших квадратов. Изд-во геодезической литературы, 1959 2. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей. М., Геодезиздат, 1958 3. Губеладзе А.Р. Основы теории ошибок измерений: Учебное пособие. Ростов н/Д: Рост. гос. строит. Ун-т.-1998.-106с.
Тема 1. Геодезические измерения
1.1. Введение Вы начинаете изучать геодезию. Эта дисциплина, как и астрономия, фотограмметрия, гравиметрия связана с различными измерениями. Разнообразны измерения и в физике, химии и других науках.
Посредством измерений изучают непосредственно количественную сторону явлений, объектов и предметов окружающих человека.
Измерение есть физический процесс. Измерять приходится всегда определенный объект – предмет, существующий вне нас, независимо от нашего сознания. Всякий предмет находится в пространстве. Однако в природе все находится в движении, все изменяется и измерение, как и любой другой процесс, совершается во времени. Существует большое разнообразие измерительных средств, но без участия человека результатов измерений получить нельзя. Всякие измерения неизбежно сопровождаются ошибками. Изучение основных свойств и закономерностей действия ошибок измерений, разработкой методов получения наиболее точного значения измеренной величины и характеристик ее точности занимается дисциплина «Теория ошибок измерений», которая является разделом науки «Теория вероятностей и математической статистики». Теория ошибок измерений это математическая дисциплина, она тесно связана со способом наименьших квадратов.
1.2. Сущность измерений
Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой однородной ей величиной, принятой за единицу меры. При измерениях определяют размеры отдельных физических величин и выражают их в виде некоторого числа принятых единиц, которое называют результатом измерения. В результате измерения получается отвлеченное число, показывающее во сколько раз измеряемая величина больше или меньше единицы измерения. Результат измерения равен можно выразить равенством: N = к , где к – число единиц измерений; (тау) - единица меры. Необходимыми условиями любого измерения являются следующие элементы: 1) объект измерения; 2) субъект измерения – лицо, производящее измерения; 3) мерный прибор; 4) метод измерения (совокупность правил и действий, определяющих процесс измерения); 5) внешняя среда, в которой выполняют измерения. Каждый элемент условий оказывает влияние на результат измерения.
1.3. Методы измерений.
По методам измерения разделяют на прямые (непосредственные), косвенные и дистанционные. а) Прямые (непосредственные) измерения выполняют приборами или инструментами , позволяющими непосредственно сравнить измеряемую величину с единицей меры. Например, при измерении прямой линии мерный прибор (мерная лента или рулетка) последовательно укладывают вдоль (в створ) этой линии. Считают число уложений мерного прибора. В конце линии, как правило, получается отрезок менее длины мерного прибора, называемый остатком. Измерение остатка завершается некоторым отсчетом производимым по шкале на приборе. Измеряемую величину получают по формуле D = ℓ0n + r, где ℓ0 – длина мерного прибора; n – число уложений; r – остаток. В случае необходимости в результаты измерений вносят поправки за влияние на прибор температуры и давления воздуха и другие. Таким образом, при измерении длин для нахождения искомого значения измеряемой величины необходимо: а) произвести соответствующее измерение для нахождения отвлеченного числа единиц меры, которое будет численным значением измеряемой величины; б) знать единицу меры или произвести ее измерение. Измерение единицы меры называется компарированием или эталонированием. Его можно выполнить измерением известной длины и делением ее на число уложений рабочего мерного прибора.
б) Косвенными (посредственными) называют измерения, при которых определяемую величину получают путем вычислений по результатам прямых измерений вспомогательных величин – длин, углов и др., связанных с определяемой величиной строгой математической зависимостью в виде формул или уравнений. Например, углы в треугольнике можно измерить непосредственно угломерным прибором или вычислить по измеренным непосредственно трем сторонам треугольника.
в) Дистанционные измерения выполняют в виде сигналов (импульсов) с передачей результатов по индивидуальным каналам (линиям) связи, т.е. без измерения вспомогательных величин.
В геодезии и астрономии основными измеряемыми величинами являются : длина, угол, время. Для измерения определенной физической величины нужны и определенные инструменты, причем одну и ту же величину можно измерить различными способами и различными инструментами. Приборы и инструменты постоянно совершенствуются в связи с достижениями научно-технического прогресса.
1.4.Виды геодезических измерений. В геодезии применяют три основных вида измерений: линейные, угловые и высотные или нивелирование.
Линейные - для определения расстояний между точками местности.
Угловые – для определения значений горизонтальных и вертикальных углов между направлениями исходящими из одной точки на заданные точки.
Высотные, иначе называемые нивелированием – для определения превышений (разности высот) между двумя точками местности.
Для каждого вида измерений применяют свои приборы и методы.
1.5. Единицы мер. В нашей стране в качестве единиц мер приняты: 1.Для линейных и высотных измерений – метр. С 1889 г. за метр принята одна десятимиллионная (1:10 000000) часть половины парижского меридиана (от полюса до экватора). Это первая международная единица длины. Метр представляет собой жезл – эталон (архивный метр), изготовленный из платино-иридиевого сплава (90 платины и 10 иридия), хранится в Международном бюро мер и весов в Париже. С оригинала изготовлена 31 копия. России переданы две копии: № 28 находится в НИИ метрологии им. Д.И. Менделеева в Санкт-Петербурге, № 11 - в Российской Академии наук.
В период после 1889г. в качестве единицы меры длины стали применять физические величины, которые изменялись несколько раз по мере технического прогресса. Так с 1960г. была введена (в России с 01.01.1963г) международная единица: 1метр = 1650763,73 длин волн излучения в вакууме оранжевой линии спектра изотопа криптона с атомным весом86 (в международной системе единиц СИ). В настоящее время в качестве эталона более высокой точности служит метр, определенный как длина пути пройденного светом в пустоте за долю секунды времени, соответствующую скорости света 1/ 299792458 или приближенно 0,3* 10-8. Секунда равна 1/86400 доле периода вращения Земли вокруг своей оси. Более крупная мера – километр, равен 1000м; доли метра: дм =0,1м; см = 0,01м; мм = 0,001м; микрон = 0,001мм = 0,000001м.
2. При угловых измерениях единицей меры служит градус, равный 1/360 части окружности. Он содержит 60 угловых минут, а минута – 60 угловых секунд, обозначаются значками: , , . 1=3600.
При вычислениях используется также радиан – величина центрального угла стягиваемого дугой равной радиусу, обозначается буквой = 360/ 2 = 57, 29578 57,3.
В современных автоматизированных угломерных приборах угловой единицей служит гон : 1 гон = 0,9 = 54 = 3240. Тысячная доля его, равная 3″.24, называется миллигон.
В некоторых странах (Франция и др.) применяют метрическую, градовую систему, в которой один град равен 1/400 части окружности, содержит 100 градовых минут – сантиград, который делится на 100 градовых секунд – сантисантиград. 1g =100c =10000cc или 1с = 0,01g, 1cc = 0,0001g. 1g=0,9 =54 =3240.
3. Мерой площади служит квадратный метр (м2); 10000м2 = 1га (гектар); 100га = 1км2; 1ар = 100м2.. Доли м2: дм2 = 1 м2/100; см2 =1 м2/10000 .
1.6. Точность измерений. Громадный опыт, накопленный человечеством по производству измерений в самых различных областях науки и техники, свидетельствует, что получить в результате измерений совершенно точное значение измеряемой величины нельзя. Любое измерение, как бы тщательно оно ни выполнялось, содержит ошибку. «Безошибочных измерений не бывает. Никакое физическое измерение величины не может быть произведено абсолютно точно. Результат измерений также является всегда приближенным. Приближенными также получаются числа в результате вычислений и сам результат вследствие округления» (Дроздецкий В.В. Пособие по математике для топографических техникумов. Геодезиздат -1956). Округление - это замена нулями одной или нескольких последовательных цифр младших разрядов десятичного числа. Разность между точным (истинным) значением Х измеряемой величины и результатом измерения «а»: = Х – а, называется ошибкой или погрешностью. Точным или истинным значением размера какого-либо объекта называют размер, практически не изменяющийся в течение определенного промежутка времени. Все измерения характеризуются точностью. Точностью измерения называется близость результата измерения к истинному или вероятнейшему значению измеряемой величины. Чем меньше разность тем точнее измерения и выше точность. При измерениях различают понятия о практической точности и наивысшей степени точности, с которой можно получить результаты измерения. Практическая точность измерения сообразуется с характером измеряемого объекта и целями, для которых производится измерение. Например, рост человека достаточно измерять с точностью до сантиметра, а высоту деревьев с такой точностью измерять нет смысла в силу особенностей этих объектов. Ширину объектов, имеющих неопределенную границу (болото, лес), нет смысла измерять до сантиметра, достаточно измерить с точностью до метра, а ширину каменного здания необходимо измерять до сантиметра. С наиболее высокой точностью - до десятых и даже сотых долей миллиметра - необходимо измерять при установке уникального технологического оборудования, например, генераторов и подобных сооружений. В области геодезических работ точные измерения производятся при создании геодезической основы для создания карт на большие территории, а для решения научных задач по определению формы и размеров Земли и исследования движения материков необходимо выполнять высокоточные измерения. Следует отметить, что все измерения должны производиться с контролем. Как правило, всякий контроль является действенным лишь тогда, когда производится другим инструментом или методом. Точность угловых и высотных измерений выражается в абсолютной величине: угловых – в секундах дуги, высотных – в миллиметрах. Точность линейных измерений выражают в абсолютной величине и в относительной мере в виде простой дроби как отношение абсолютной ошибки к измеренной величине и называют относительной ошибкой или относительной погрешностью: /а =1/N или 1/N = 1/ (а : ). Например, если длина 100м измерена с ошибкой 0,1м, т.е. а = 100м, = 0,1м, то относительная ошибка будет равна 1/N=0,1м/100м =1/ 1000.
Измерения также разделяют по следующим критериям: 1)по точности - на равноточные и неравноточные; 2)по числу измерений одной физической величины – на однократные и многократные. Равноточными называют измерения, выполненные в одинаковых условиях, приборами одинаковой точности, одинаковое число раз, исполнителями равной квалификации. Неравноточными называют измерения, выполненные в различных условиях, приборам и различной точности, не одинаковое число раз, исполнителями разной квалификации и т.д. Однократные измерения выполняются один раз. Они бесконтрольные. С целью контроля, получения более надежных результатов и оценки точности измерения производят многократно, не менее двух раз. Измерения одной величины, выполненные два раза, называют двойными.
2. Ошибки измерений
2.1. Виды ошибок измерений и источники их возникновения Измерения рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной физической величины и качественной , характеризующей точность измерения. Результаты измерений не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отличаются (отклоняются) от него. Отклонение измеренной величины ℓ от ее истинного (точного) значения Х называется истинной ошибкой или погрешностью измерения и обозначается . Ошибки всегда имеют величину и знак плюс или минус. Величина ошибки показывает на сколько измеренное значение отклонилось от истинного; знак - в какую сторону произошло отклонение. Ошибки характеризуют точность измерения, т.е. степень близости измеренной величины к ее истинному значению. Чем меньше ошибка, тем точнее измерение. На результат измерения оказывают влияние многие факторы и каждый из них порождает свою часть общей ошибки. Ошибки, происходящие от отдельных факторов, называют элементарными. Х - ℓ = или ℓ - Х = (1) Ошибка (погрешность ) результата измерения является алгебраической суммой элементарных ошибок: [] = 1 + 2 + 3 + … + n (2) Квадратные скобки означают знак суммы ( ввел Гаусс). Ошибки различают по двум признакам: по источнику возникновения (происхождения) и по характеру действия. По источнику возникновения ошибки подразделяют на приборные (инструментальные), методические, личные и внешние. Приборные или инструментальные ошибки обусловлены неточным изготовлением и сборкой отдельных деталей и узлов приборов, неточной установкой их во время измерений и др. причинами. Методические ошибки возникают из-за несоблюдения методики измерений. Личные ошибки связаны с особенностями органов зрения человека выполняющего измерения (наведение зрительной трубы на удаленный предмет, оценку доли наименьшего деления шкалы «на глаз»каждый человек делает по- разному). Внешние ошибки возникают из-за воздействия внешней среды в которой производятся измерения: температура, давление и влажность воздуха; неравномерное нагревание солнцем отдельных частей приборов; степень освещенности; ветер, турбулентность воздуха и др. По характеру действия ошибки разделяют на систематические и случайные. Кроме того, результаты измерений могут содержать грубые ошибки. Грубыми считают ошибки, превосходящие по абсолютной величине некоторый установленный предел. Они появляются главным образом в результате промахов и просчетов из-за невнимательности или недостаточной квалификации (опытности) исполнителя. Их выявляют путем повторных (контрольных) измерений. Измерения, содержащие грубые ошибки, не берут в дальнейшую обработку, бракуют и заменяют новыми. С целью выявления грубых ошибок все геодезические измерения выполняют с контролем, не менее двух раз: углы измеряют при двух положениях теодолита; длины линий - в прямом и обратном направлениях; превышения - по двум сторонам рейки и в прямом и обратном ходах. Систематическими называют ошибки, которые по знаку или величине однообразно повторяются в многократных измерениях какой-либо величины. Для их выявления считают число положительных и отрицательных ошибок и их сумму. При отсутствии систематической части общей ошибки число ошибок с разными знаками примерно одинаковое и суммы их также примерно равны между собой. Они возникают из-за приборных, методических, личных и внешних факторов. Например, несоответствие фактической длины мерного прибора указанному на нем. Систематические ошибки различают по характеру проявления. Они могут быть: а) переменные, прогрессивного типа; б) односторонне действующие; в) периодические; г) постоянные; д) смешанные. Систематические ошибки прогрессивно типа в процессе измерений возрастают или убывают. Такого рода ошибки возникают, например , при измерении линий стальной лентой, длина которой больше или меньше номинальной. Если ряд ошибок с переменными абсолютными значениями искажен в одном и том же направлении, то такой ряд ошибок называется систематическим и односторонним по знаку. Систематические ошибки периодического характера соответственно изменяют знак и величину. Подобные ошибки возникают, например, при измерении углов теодолитом, в котором имеется эксцентриситет алидады. Если при многократных измерениях ошибки остаются неизменными как по абсолютному значению, так и по знаку, то такие ошибки называются постоянными. Так при многократном измерении угла теодолитом имеет место одна и та же ошибка за центрировку. При измерении линий больше длины мерной ленты возникает постоянная ошибка одинаковая на каждом уложении ленты. Постоянная ошибка является частным выражением систематической ошибки. Знание причин возникновения систематических ошибок позволяет заранее принять меры по исключению их из результатов измерений или уменьшению. Систематические ошибки характерны тем, что поддаются учету. Они могут быть исключены или сведены к минимуму путем тщательной проверки измерительных приборов, изменением методики измерений, предупреждением влияния внешних факторов. Но несмотря на это общая ошибка всегда содержит остаточную часть систематической ошибки, хотя она и мала по сравнению со случайной ошибкой. В ряду измерений всегда имеется остаточная часть ошибки. Случайными называют ошибки, размер и влияние которых на результат измерения неизвестны, величину и знак их заранее определить нельзя. Случайная величина – это переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая, она может быть, а может и не быть. Случайными ошибки называют потому, что в ряду измерений каждая последующая ошибка по абсолютной величине может быть больше или меньше предыдущей, иметь знак плюс или минус и по предыдущим членам такого ряда нельзя установить, какой именно будет следующий за ним член ряда. Тем не менее, случайные ошибки подчинены статистическим закономерностям, называемых свойствами. Чем больше число измерений войдет в ряд их, тем резче выявится статистическая закономерность. Знание свойств дает возможность получить наиболее надежный результат из ряда (нескольких) измерений, а также оценить его точность.
2.2. Свойства случайных ошибок. В результате анализа многократных измерений выявлено, что как бы ни был велик ряд ошибок измерений, эти ошибки колеблются в определенных довольно узких пределах. Величина этого предела определяется условиями, в которых производятся измерения (прибор, исполнитель, погода, характер местности и др.). 1. Первое свойство. Случайные ошибки по абсолютной величине не могут превышать некоторого предела, называемого предельной ошибкой. Это свойство позволяет обнаруживать грубые ошибки в результатах измерений и исключать их. 2. Второе свойство. Положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны, т.е. примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений. Это свойство позволяет выявлять систематические ошибки и учитывать их. 3.Третье свойство. Большие по абсолютной величине ошибки в ряду измерений встречаются реже, чем малые. Это свойство позволяет определить практический предел, который не могут превосходить случайные ошибки при данных условиях измерений. 4. Четвертое свойство. Среднее арифметическое из случайных ошибок измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании их числа есть величина малая и стремится к нулю. Оно является следствием первых двух свойств и проявляется при сложении ошибок. Это свойство называют свойством компенсации. На этих четырех свойствах случайных ошибок основывается вся теория ошибок измерений. Когда случайные ошибки ряда измерений обладают всеми перечисленными свойствами, то это называют нормальным распределением ошибок измерений.
Свойство компенсации записывают так: ℓim {[]/n}(3) при n , т.е., предел частного от деления суммы случайных ошибок на их число стремится к нулю с возрастанием числа измерений.
3. Арифметическая средина На основе четвертого свойства случайных ошибок установлен принцип получения из ряда измерений одной и той же величины наиболее надежного результата, наиболее близкого к истинному, наиболее точного. Его называют вероятнейшим значением. Если некоторая величина Х измерялась многократно, n раз, то в результате получился ряд численных значений ℓ1 , ℓ2 ,…, ℓn (4) причем, в этом ряду отсутствуют грубые, постоянные, систематические и односторонне действующие ошибки, то в таком ряду будет проявляться статистическая закономерность. Образуем ошибки
Х - ℓ1 = 1 Х - ℓ2 = (5) Х - ℓn = n
Сложим левые и правые части равенств, получим n X – [ℓ= []. При сложении положительные ошибки компенсируются отрицательными и сумма ошибок будет всегда небольшой, как бы ни возрастало их число. Найдем из этого выражения Х: Х = [ℓ]/n + []/n. Допустим, что число измерений неограниченно велико, тогда []/n = 0 и Х = [ℓ]/n. Так как число измерений всегда ограниченно, то в общем случае Х ≠ [ℓ]/n и можно записать [ℓ]/n – Х = , где - малая величина, имеющая своим пределом нуль при n. Поэтому общепринято обозначать [ℓ]/n = (6) и называть среднее арифметическое или арифметическая средина. Т.е., арифметическая средина – это частное от деления суммы значений измеренной величины на число измерений. Арифметическую средину принимают за окончательное, наиболее надежное, вероятнейшее значение измеренной величины при данных условиях и не только при значительном числе измерений, но и при конечном их числе, больше одного. Точность окончательного результата будет тем выше, чем больше число измерений n.
4. Средняя квадратическая ошибка Так как истинное значение измеренной величины неизвестно, то в качестве результата измерения принимают арифметическую средину и относительно ее вычисляют ошибки измерения и в отличие от истинных ошибок, их обозначают буквой δ. В геодезических измерениях характеристикой точности отдельного измерения принимается средняя квадратическая ошибка, обозначается m, которая для истинных ошибок вычисляется по формуле Гаусса m = (7) где = Х - ℓ – истинные ошибки; ℓ - величина отдельного измерения. Эту формулу предложил и использовал К.Ф.Гаусс (1777 -1855) для оценки точности выполненных им геодезических измерений. Она может быть применена, когда известно истинное значение измеряемой величины. Но такие случаи в практике встречаются крайне редко. Поскольку на практике окончательным значением измеренной величины принимают арифметическую средину, то в качестве ошибок принимают отклонения от нее каждого измерения δI = ℓI - , при этом должно соблюдаться равенство нулю суммы ошибок [δ] = 0. Их называют вероятнейшими ошибками. Так как одно измерение не позволяет оценить точность, то среднюю квадратическую ошибку одного измерения подсчитывают по формуле Бесселя (1784-1846) m = , … (8) Оценке подлежит и точность самой арифметической средины. Она, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Средняя квадратическая ошибка М арифметической средины определяется по формуле М = m/ (9) где m – средняя квадратическая ошибка, вычисленная по формуле Гаусса (7) или Бесселя (8). Средние квадратические ошибки, вычисленные по формулам Гаусса и Бесселя считают абсолютными. Средняя квадратическая ошибка является хорошим показателем точности измерений и достоинства данного ряда измерений, а также характеристикой условий, в которых произведены измерения. Средняя квадратическая ошибка обладает следующими особенностями: 1) на ее величину влияют преимущественно большие по абсолютной величине случайные ошибки, которые и определяют собой степень надежности полученных результатов измерений; 2) она устойчива, поэтому достаточно небольшого числа измерений для определения ее величины с удовлетворительной степенью точности; 3) по ней можно судить о предельной ошибке возможной при аналогичных условиях измерений.
5. Средняя ошибка В некоторых случаях точность геодезических измерений характеризуют средней ошибкой. Средней ошибкой называется среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок равноточных измерений, ее обозначают буквой θ: θ = [|δ|]/n (10 ) Это абсолютная ошибка. Средняя ошибка удобна тем, что для ее вычисления не нужно ни возводить в квадрат, ни извлекать корень.
Между средней и средней квадратической ошибками имеется математическая зависимость m = 1,25 θ; θ = 0,8m (11)
6. Вероятная ошибка Иногда точность измерений оценивают вероятной ошибкой. Вероятной ошибкой называется такое значение случайной ошибки, по отношению к которому при данных условиях измерения одинаково возможна ошибка как больше этого значения по абсолютной величине, так и меньше его. Она расположена в середине ряда ошибок измерения, составленному по возрастанию или убыванию их (занимает срединное положение. Обозначается через r и принимается в качестве меры точности измерений наряду со средней квадратической и средней ошибками (она служит мерой точности измерений в США). В случае нормального распределения ошибок вероятная ошибка составляет примерно две трети средней квадратической ошибки: r = 0,6745 m или приближенно r ≈ ⅔ m. Ошибки - средняя квадратическая, средняя, истинная, вероятная и предельная являются абсолютными. Их выражают в единицах измеряемой величины.
7. Относительная ошибка В качестве критерия точности линейных измерений кроме абсолютных ошибок определяют также относительные ошибки. Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки (средней квадратической) к полученному среднему значению измеренной величины. Нередко она называется точностью измерения. Она выражается в виде простой дроби, числитель которой единица, а знаменатель – число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями, получаемое делением средней квадратической ошибки на измеренную величину. Чтобы получить в числителе единицу надо разделить измеренную величину на среднюю квадратическую ошибку и в знаменателе получим значение относительной ошибки. Для двойных измерений относительная ошибка получается делением среднего значения измеренной величины на разность двух измерений d 1/N = m/ℓ или 1/N = 1/( ℓ :d) (12) Например, относительная ошибка измеренной линии длиной 110м с расхождением между прямым и обратным результатами 5см будет: 1/N = 5см/110м = 1/(110м:0,05м) =1/2200. Ошибки измерения длин линий зависят от значения измеряемой величины. В наименовании относительной ошибки обычно указывают и название соответствующей ей абсолютной ошибки: средняя квадратическая относительная ошибка; средняя относительная ошибка; вероятная относительная ошибка; истинная относительная ошибка; предельная относительная ошибка.
8. Предельная ошибка Предельной ошибкой называется допустимый предел, т.е. величина ошибки, больше которой ошибка считается грубой. В строительных нормах и геодезических измерениях предельная ошибка называется допустимым отклонением или допуском. При нормальном распределении ошибок найдено теоретически и подтверждено опытным путем правило, что при значительном числе измерений абсолютная величина случайной ошибки в ряду измерений не превосходит утроенной средней квадратической ошибки: пред = 3m (13) Ошибки геодезических измерений входят составной частью в общие ошибки строительных и других работ. Поэтому, чтобы ошибки геодезических измерений существенно не влияли на общую ошибку, их выполняют с повышенной точностью и за предельную принимают удвоенную среднюю квадратическую ошибку пред = 2m. (14) Измерения, ошибки которых превышают предельные значения (допуск), считают грубыми и бракуют. Такие измерения выполняют заново. В геодезических измерениях установлены предельные ошибки (допуски): в линейных измерениях технической точности предельная относительная ошибка, вычисленная как пред /ℓ, принимается равной 1:2000; в угловых измерениях предельная абсолютная ошибка измерения угла принимается равной удвоенной точности отсчета по угломерной шкале пред = 2t; при нивелировании технической точности разность измеренного превышения по двум сторонам рейки допускается равной половине наименьшего деления шкалы рейки (по рейкам с сантиметровыми делениями 5мм). Критерий предельной ошибки обоснован теорией ошибок измерений, в которой доказывается, что из общего числа ошибок данного ряда измерений 68,3 % ошибок находятся в интервале от 0 до m, в интервале от 0 до 2m находятся 95,4 % ошибок, а в интервале от 0 до 3m находятся 99,7% ошибок. То есть, из 100 ошибок данного ряда измерений лишь 5 могут оказаться больше или равны 2m, а из 1000 ошибок только три могут быть больше или равны 3m.
9. Двойные измерения В практике, для контроля измерений, для выявления грубых ошибок и повышения точности определяемую величину, как правило, измеряют не менее двух раз. Такие измерения называют двойными. С целью выявления грубых ошибок все геодезические измерения выполняют с контролем, не менее двух раз: углы измеряют при двух положениях теодолита; длины линий - в прямом и обратном направлениях; превышения между точками - по двум сторонам рейки и в прямом и обратном ходах. За окончательное значение принимают среднее из двух измерений, если расхождение между ними не превышает установленного предела – допуска. Это значение будет наиболее надежным, наиболее точным. Разности двойных измерений считают истинными ошибками. Оценку точности двойных измерений производят по формуле m = (15) где m – ср. кв. ошибка одного измерения; d – разность между результатами двух измерений; n – число разностей. Средняя квадратическая ошибка среднего результата из двух измерений вычисляется по формуле М = ½(16)
10. Оценка точности функций измеренных величин Если определяемая величина является функцией других непосредственных измерений, например, u = f(x,y,z,…t), то возникает необходимость вычисления средней квадратической ошибки функции измеренных величин. Рассмотрим простую линейную функцию вида z = x +y, где x и y – независимые переменные аргументы. Предположим, что каждый из этих аргументов измерялся n раз и каждое измерение сопровождалось случайными ошибками ∆хi и ∆yi (i = 1,2,3,…n), тогда ∆zi = ∆хi + ∆yi Для перехода к средним квадратичеким ошибкам возведем обе части равенства в квадрат, просуммируем полученные выражения и разделим на число измерений n, получим [∆z2 ]/n =( [∆x2]/n +[∆y 2]n + 2[∆x ∆y])/n. На основании того, что предел суммы ошибок деленное на их число при n стремящемся к бесконечности равен нулю ℓim {[]/n} = 0 при n, последний член правой части равенства равен нулю [∆x ∆y ]/n = 0. Отбрасывая его и переходя к средним квадратическим ошибкам, получим mz2 = mx2 + my2 (17) Формула справедлива и для равенства z = x – y. Обобщая, для функции вида z = x ± y ± t ± u± …± v формула средней квадратической ошибки будет иметь вид mz2 = mx2 + my2 + mt2 + mu2 + …+ mv2 (18 ) т.е., квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы или разности многих аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых. Если средние квадратические ошибки аргументов равны между собой mx = my= mt + mu + … + mv =m, то формула (18) примет вид mz = m (19) т.е., средняя квадратическая ошибка суммы n измеренных величин с равными средними квадратическими ошибками в раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.
11. Порядок оценки точности результатов многократных измерений Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности: 1.Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической средины х = [ℓ]/n. 2. Вычисляют отклонения δ = ℓi – каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Подсчитывают число ошибок с разными знаками и их суммы. Контролем правильности вычислений служит равенство нулю суммы отклонений [δ] = 0. Может быть незначительное отличие от нуля за счет округления чисел. 3. По формуле Бесселя (8 ) вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения m = . 4. Вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины М = m/. 5. Для измеренной линейной величины вычисляют относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины 1/N = m/ℓ и М = m/ 6.При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения пред = 2m, которая может служить допустимым значением ошибок аналогичных измерений.
Тема 2. Неравноточные измерения
2.1.Понятие о неравноточных измерениях
Измерения неравноточные одной и той же величины могут получиться в следующих случаях: 1) при измерениях приборами разной точности; наблюдателями разного навыка (опыта); при разных условиях внешней среды. 2) при измерениях одним и тем же инструментом, одним наблюдателем, при одинаковых условиях, но разное число раз, причем каждый раз надо взять из них среднее арифметическое значение. То есть, неравноточные измерения выполняются с разными средними квадратическими ошибками. Если имеем ряд результатов неравноточных измерений одной величины Х, которым соответствуют средние квадратические ошибки – m1, m2, …, mn , то для получения наиболее надежного значения этой величины нельзя взять просто среднее арифметическое из результатов. Очевидно, что более точное измерение из всех должно иметь и большее влияние на окончательный результат. Надо учесть степень надежности каждого результата измерений. Надежность результата, выраженная числом, называется весом результата измерения и обозначается латинской буквой «р». Чем надежнее результат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью результата измерения характеризуемой средней квадратической ошибкой. Вес результата измерения принимают обратно пропорциональным квадрату средней квадратической ошибки рi = c/mi2 , . . . (20) где с – некоторое произвольное постоянное положительное число – коэффициент пропорциональности. Чем меньше по абсолютной величине средняя квадратическая ошибка, тем больше вес и тем надежнее само измерение при прочих равных условиях. Из (20) вытекает, что при весе равном единице с = m2 (21) От выбора с не зависит степень точности самих измерений. Степень точности действительных измерений определяется условиями, при которых производятся измерения.
Весовое среднее
Допустим, имеем результаты неравноточных измерений одной и той же величины ℓ1 , ℓ2 ,…, ℓn и их веса р1, р2 , . . . рn. Тогда наиболее вероятным значением измеренной величины будет весовое среднее или общая арифметическая средина, вычисленная по формуле = (р1 ℓ1 + р2 ℓ2 +. . . + рn ℓn)/ (р1, + р2 +, . . ., + рn) = [р ℓ]/[р] . . . (22) Словами это звучит так: общее арифметическое среднее из результатов неравноточных измерений равно сумме произведений каждого результата на его вес, деленной на сумму весов.
Средняя квадратическая ошибка единицы веса
В теории ошибок введено понятие средняя квадратическая ошибка единицы веса, она обозначается µ Часто принимают вес результата, полученного из одного измерения, равным единице и относительно его вычисляют веса остальных неизвестных. Тогда согласно формулы рi = можно записать 1 = с/ µ2 и µ . Общее выражение веса примет вид рi = µ2/mi2 . . . (23) Вес арифметической средины Р будет Р = с/ (m2 /n) = с n/m2 , . . . (24) но р = с/m2, тогда Р/р = [с/ (m2 /n)]/ (с/m2 ) = n, т.е. вес общей арифметической средины равен числу измерений, из которых она получена. Для оценки точности неравноточных измерений применяют т формулы: 1) для истинных ошибок ∆: µ . . . (25) 2) для вероятнейших ошибок δ: µ = . . . (26) 3) средняя квадратическая ошибка весового среднего: Мо = µ/ . . . (26) 4) вес функции измеренных величин при известной ее средней квадратической ошибке: РF = µ2/ mF2 . . . (27) или mF = µ/ РF . Величину 1/р называют обратным весом. Можно сделать выводы: 1. Веса неравноточных (или разнородных) измерений устанавливают с целью совместной обработки их результатов. 2.Вес функции неравноточных измерений аргументов определяют для получения средней квадратической ошибки функции.
Лабораторные работы
Работа №1. Истинные ошибки.
Дан ряд измерений одной величины № п.п. Измеренная длина, см Истинные ошибки, ∆, мм ∆2 1. 9,10 2. 9,68 3. 9,45 4. 9,62 5. 9,68 6. 9,08 7. 9, 44 8. 9,28 9. 9,57 10. 9,45 11. 9,07 12. 9,35 13. 9,17 14. 9,46 15. 9,51 16. 9, 57 17. 9,16 18. 9,48 19. 9,42 20. 9,00 Истинное значение измеряемой величины равно 9,40см Задание: Вычислить истинные ошибки, среднюю квадратическую и среднюю ошибки.
Работа №2 Дан ряд истинных ошибок измерений
--------------------------------------------------------------------------------- № по пор. Ошибки ∆, сек ∆2 расположение ошибок по
возрастанию абс. знач. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 + 8,9 2 + 1,2 3 - 7,2 4 + 9,8 5 - 4,7 6 + 9,6 7 + 9,9 8 – 10,0 9 - 10,3 10 +1,8 11 +2,6 12 +1.9 13 +1.2 14 + 5.6 15 +0,4 16 - 0,1 17 +5,1 Задание: Провести анализ ряда ошибок измерений (число ошибок с разными знаками и их сумму), вычислить систематическую ошибку, среднюю, среднюю квадратическую и вероятную ошибки. Найти значение вероятной ошибки относительно средней квадратической и средней ошибок и сравнить с взятой из ряда ошибок, сделать вывод.