Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования РФ
“Утверждаю”
заведующий кафедрой РЛ2
д.т.н., профессор
___________ Барышников Н.В.
“_____” ________ 2012 г.
Лабораторная работа
по курсу «Основы оптики»
Численное моделирование оптических явлений
Москва, 2012
Программа FERMAT иллюстрирует использование принципа Ферма для нахож дения хода луча между двумя точками - источником и приемником, разделенными различными средами с плоскими границами. Принцип Ферма применительно к оп тике гласит: " луч света идет по такому пути между двумя точками, который требует наименьшего времени ". Из этого принципа следует, что в однородной среде свет распространяется по прямой линии. Если между источником и при емником находятся "m" сред с показателями преломления n(i), i=1,2,.. m, то, очевидно, прямая линия, соединяющая эти точки, не является действи тельной траекторией светового луча, поскольку время, затрачиваемое светом, в этом случае не является минимальным. Реальной траекторией луча, на кото ром время движения минимально, является траектория, состоящая из отрезков прямых линий в каждой среде, причем углы между этими линиями и нормалью к границе раздела ( углы падения Ф(i) и преломления Ф(i+1) ) связаны соотно шением:
Sin [Ф(i)]/ Sin [Ф(i+1)] = n(i+1)/ n(i); i=1,2,.. m, (1)
где n(i) = c/v(i) - показатель преломления i-ой среды, равный отношению скорости света с в вакууме к скорости света v(i) в среде. Программа для заданных значений m и n(i), i=1,2,.. рассчитывает реальную траекторию луча и минимальное время tр этого пути. По желанию пользователя эта траектория может быть показана на экране. Пользователь с помощью клавиш управления курсором дискретно видоизменяет " пробную траек торию " луча (нулевое приближение - прямая линия) таким образом, чтобы с каждым шагом время "пробного пути" tп уменьшалось и приближалось к tр. Ориентиром для поиска реальной траектории луча являются выведенные на эк ран значения отношений показателей преломления сред и отношения синусов углов падения и преломления. Следует иметь в виду, что поскольку траекто рия "пробного пути" изменяется дискретно, то ее совпадение с реальной мо жет быть только с точностью до шага дискретизации, поэтому при совпадении этих траекторий на экране равенство (1), также как и условие tп = tр вы полняются с некоторой погрешностью.
1. Задайте m=2, n(1)=1, n(2)=1,5 . C помощью клавиш управления курсором найдите траекторию реального пути. Убедитесь, что в этом случае на гра нице раздела выполняется закон преломления. Повторите исследование, когда первая среда является оптически более плотной по сравнению со второй (n(1) > n(2)). Сравните относительное изменение времени на один шаг дискретизации при нулевом приближении и при "пробной траектории" близкой к реальной.
2. Проделайте численный эксперимент аналогичный п.1 для случаев m=3,4,5. Насколько быстро Вы находите реальный путь светового луча?
3. Смоделируйте ситуацию, когда между источником и приемником оптическая плотность среды изменяется монотонно и непрерывно. Для этого задайте m=10 и введите значения n(i+1) = n(i) + dn (n(1) = 1) или n(i+1) = n(i) - dn (n(1) = 2), где dn = 0,03 - 0,1. Найдите или просмотрите реальную траекторию светового луча. Обратите внимание на ее изогну тость. Аналогичное явление происходит со световыми лучами в атмосфере Земли (Лучи отклоняются к Земле, где плотность атмосферы выше) . Это явление называется рефракцией.
ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Программа WAVES предназначена для изучения волнового движения. Она обеспечивает моделирование и графическую иллюстрацию различных типов волн:
1. гармоническая бегущая волна,
2. волновой импульс,
3. стоячая волна,
4. группа волн.
1. Гармоническая бегущая волна
В этом режиме программа представляет на экране график функции
y(x) = A*Cos(w*t - w/v*x) (1)
для произвольного момента времени t. Здесь w - круговая частота, v -
фазовая скорость волны, A - амплитуда волны. С помощью клавиш управле ния курсором пользователь имеет возможность изменять время дискретно с шагом dt или непрерывно, создавая впечатление движущейся волны. С по мощью информации, выводимой на экран, можно определять такие параметры волны как фазовая скорость и длина волны
lambda = 2*pi*v/w (2)
2. Волновой импульс
Программа представляет на экране график функции
y(x) = A*exp(-(t-x/v)*(t-x/v)) (3)
для некоторого момента времени t. С помощью клавиш курсора также можно реализовать дискретное или непрерывное перемещение волнового импульса.
3. Стоячая волна
Программа обеспечивает построение в любой момент времени t графика функции
y(x) = A*Cos(w*t - w/v*x) + A*Cos(w*t + w/v*x) , (4)
представляющую собой сумму двух гармонических волн одинаковой частоты, распространяющихся навстречу друг другу. Этот тип волнового движения называется стоячей волной и описывается функцией
y(x) = 2*A*Cos(w*t)*Cos(w/v*x) (5)
C помощью клавиш управления курсором можно определить неподвижные точки стоячей волны (узлы) и точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой (пучности).
4. Группа волн
В этом режиме рассматривается результат сложения двух гармонических волн с близкими частотами w1 и w2, распространяющихся в одном напра влении с фазовыми скоростями v1 и v2 соответственно.
y(x) = A*Cos(w1*t - k1*x) + A*Cos(w2*t - k2*x) , (6)
где k1 = w1/v1, k2 = w2/v2 - соответствующие волновые числа.
В качестве исходных данных выступают: средняя частота w0 = (w1 + w2)/2, разность частот dw = w1 - w2 и коэффициент дисперсии среды (дисперсия нормальная)
kd = (v0 - v)/(w-w0)/v0. (7)
(Значение v0 принимается равным 1 м./с.). Это соотношение дает возможность найти v1 и v2 для каждой из частот w1 и w2. После преобразований функцию y(x) можно записать в виде:
y(x) = 2*A*Cos(dw/2*t - dk/2*x)*Cos(w0*t - k0*x) , (8)
где dk = k1 – k2, k0 = (k1 + k2)/2. Из последнего выражения видно, что оно описывает высокочастотную волну с частотой w0, амплитуда которой медленно меняется во времени с частотой dw/2. Скорость Vф=(w0/k0) распространения фазы высокочастотной волны называется фазовой скоростью, ско рость Vг=(dw/dk) распространения точки с максимальной амплитудой называа ется групповой скоростью. С помощью клавиш управления можно наблюдать это волновое движение, измерять фазовую, групповую скорости и другие параметры волны.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Режим 1
а) Убедитесь, что при v>0 волна движется вправо, а при v<0 - влево.
б) Покажите, что за время T = 2*pi/w (время одного периода) волна пе ремещается на расстояние равное длине волны.
в) Измерьте фазовую скорость волны по времени и пройденному расстоя нию. Сравните результат с введенным значением скорости.
г) Рассчитайте длину волны по формуле (2). Сравните это значение с из меренным на экране.
Режим 2
а) Проделайте эксперименты а) и б) для режима 1.
Режим 3
а) Наблюдайте стоячую волну. Отметьте узлы и пучности стоячей волны.
б) Покажите, что расстояния между соседними узлами и соседними пучно стями равны друг другу и равны половине длины волны.
Режим 4
а) Задайте коэффициент дисперсии среды равным нулю и исследуйте форму волнового пакета в зависимости от w0 и dw. Убедитесь, что фазовая и групповая скорости равны. Найдите значение этой скорости. Изменяйте значения коэффициента дисперсии от нуля до максимального.
Наблюдайте зависимость фазовой и групповой скоростей волны от коэффициента дисперсии. Отразите наблюдения в отчете.
б) Каждый студент для значения средней частоты w0=20+10*(N-1)/N0, разности частот dw=0.5+(N-1)/N0 и коэффициента дисперсии kd=0.1*(N-1)/N0, где N – номер студента по списку в журнале, N0 – общее число студентов определяет теоретические и экспериментальные значения этих скоростей. Сравните теоретические и экспериментальные значения.
Описание составил доцент к.т.н. ХОРОХОРОВ А.М.