Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОСТИ И ПРОЧНОСТИ МНОГООПОРНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО АППАРАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗОК
1.Ознакомление с методикой расчета многоопорных горизонтальных аппаратов.
2.Экспериментальное исследование жесткости горизонтальной балки кольцевого и круглого сечения.
3.Определение теоретических прогибов.
4.Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.
2. Введение
Конструкции, представляющие собой многоопорные неразрезные балки, нашли широкое применение в промышленности. Это различные сушильные и обжиговые печи (рис.5.1), колонная аппаратура при транспортировке, цилиндрические горизонтальные аппараты с числом опор больше двух (рис.5.2) и т.п. Наиболее ярким примером многоопорной неразрезной балки являются трубопроводы на эстакадах (рис.5.3) это технологические трубопроводы промышленных предприятий, магистральные газо- и нефтепроводы в районах со сложным рельефом (болота, горные и обрывистые участки трассы и т.д.). Данные конструкции зачастую испытывают не только технологические нагрузки (повышенные температуры, давление), но и изгибающие и крутящие моменты от действия собственного веса и веса материала. Это может привести к разрушению конструкции. Практическая проверка прогибов балок, зачастую затруднена из-за условий местности.
Рис. 5.1. Барабанная сушилка
1-питающий патрубок; 2-бандаж; 3-венцовая шестерня; 4-разгрузочный патрубок; 5-упорный ролик; 6-опорная станция; 7-привод венцовой шестерни
Рис. 5.2. Горизонтальный емкостной аппарат
Рис. 5.3. Трубопровод:
а) фрагмент магистрального трубопровода:
1-неподвижная опора; 2-подвижная опора; 3-трубопровод, 4-эстакада
б) виды опор:
1-неподвижная приварная опора; 2-подвижная однохомутовая опора;
3-подвижная приварная скользящая опора; 4-подвижная двуххомутовая скользящая опора
3. Теоретическая часть
3.1. Расчет неразрезных многоопорных балок с помощью уравнения трех моментов
Статически неопределимая балка, имеющая более двух опор, называется неразрезной балкой (рис. 5.4).Одна из опор в неразрезной балке делается всегда неподвижной для обеспечения неподвижности балки в горизонтальном положении, а все остальные опоры подвижными, чтобы в балке не появились продольные усилия под влиянием изменения температуры. Степень статической неопределимости неразрезной балки, у которой крайние опоры шарнирно опёртые, равна числу промежуточных опор.
Защемление какого-либо конца балки повышает степень её статической неопределимости на единицу.
При изучении неразрезной балки приняты следующие ограничения:
1) опоры неразрезной балки лежат на одной прямой линии;
2) опоры являются абсолютно жёсткими, т.е. неподвижными в вертикальном направлении.
За лишние неизвестные в неразрезной балке целесообразнее всего принимать внутренние силовые факторы, а именно опорные моменты, возникающие при нагружении балки в ее сечениях над промежуточными опорами.
Опорный момент принимают положительным, если он изгибает примыкающие к опоре пролеты выпуклостью вниз, и отрицательным – при изгибе пролета выпуклостью вверх.
После определения опорных моментов расчет неразрезных балок сводится к расчету простых двухопорных балок с пролетами l1, l2, l3 и т.д. Так как направления опорных моментов заранее неизвестны, то их считают положительными. Если после определения моментов некоторые из них или все получаются отрицательными, это будет означать, что в действительности они направлены в обратную сторону.
Для балки с постоянной жесткостью (рис.5.5) зависимость между опорными моментами трёх соседних опор неразрезной балки выражается уравнением, которое называется уравнением трех моментов:
Mn-1 ln +2 Mn( ln + ln+1)+Mn+1*ln+1 =-6Rфn , (5.1)
где Mn-1 ,Mn,Mn+1 моменты на опорах n-1 и n+1
ln , ln+1 длины двух последовательных пролетов;
Rфn полная фиктивная реакция на опоре n от эпюр моментов, вызванных внешней нагрузкой, действующей на левом и правом от опоры n пролетах.
Полная фиктивная реакция на опоре n (причем первый подстрочный индекс относится к опоре, а второй к пролету):
Rфn=Bфn,n +Aфn,n+1 , (5.2)
где Bфn,n фиктивная реакция на опоре n n-го пролета, рассматриваемого как простая балка на двух опорах;
Aфn,n+1 фиктивная реакция на опоре n n го пролета, рассматриваемого таким же образом.
Фиктивные реакции Bфn,n и Aфn,n+1 могут быть найдены из следующих выражений (рис.5.6):
; (5.3)
, (5.4)
где площадь эпюры моментов от заданной нагрузки в пролете n;
an расстояние центра тяжести этой площади от левой опоры n-1;
площадь эпюры моментов от заданной нагрузки, действующей в пролете n+1.
Значения фиктивных реакций левой и правой опор (Aф и Bф) для различных случаев нагружения приведены в / 1/ .
Рис.5.4. Неразрезная балка
Рис.5.5. Схема к определению опорных моментов
Так как уравнение трёх моментов может быть написано для каждой пары соседних пролетов (рис.5.7), то очевидно, что число таких уравнений равно числу промежуточных опор (k-2), т. е. числу лишних неизвестных.
Рис. 5.6. К определению фиктивных реакций
Рис.5.7. Схема к уравнению трех моментов
Решив систему k-2 уравнений с k-2 неизвестными опорными моментами, определим моменты на всех промежуточных опорах, т.е. найдем все лишние неизвестные.
3.2. Поперечные силы и изгибающие моменты
Поперечная сила Q численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону сечения вдоль оси.
Знак поперечной силы определяют, пользуясь следующим правилом: если сила стремится повернуть отсечённую часть балки относительно центра тяжести рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то она (сила) дает в выражении для Q положительное слагаемое.
Изгибающий момент M численно равен сумме моментов внешних сил по одну сторону сечения, на оси сечения.
Изгибающий момент принято считать положительным, если внешняя нагрузка изгибает балку выпуклостью вниз или стремится повернуть левую часть балки по направлению часовой стрелки, а правую часть - против часовой стрелки (рис.5.8).
Построим эпюры моментов и поперечных сил для балки, лежащей на двух опорах и нагруженной силой P (рис.5.9).
Рис.5.8. К определению знака изгибающего момента
Рис.5.9. Пример построения эпюр для двухопорной балки
Для вычисления M и Q в любом сечении этой балки прежде всего необходимо отыскать реакции. На рис.5.9 намечено предполагаемое направление этих реакций A и B.
Составляя сумму моментов сил относительно точки B, получаем
(5.5)
и
. (5.6)
Точно так же
(5.7)
и
. (5.8)
Для проверки правильности полученных результатов составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось y:
AP+B=0 или A+B=P (5.9)
Подставляя значение найденных реакций, получим
, (5.10)
что удовлетворяет условию равновесия. Такую проверку всегда необходимо производить, так как ошибка в определении реакции неизбежно поведет к ошибкам и в построении эпюр Q и M.
Для получения выражений, дающих нам величины поперечной силы и изгибающего момента в любом сечении балки, возьмем какое-либо сечение 11 между точками A и C на расстоянии x1 от конца A. Заметим, что выражение “взять сечение” требует не только обозначить это сечение на чертеже, но и обязательно отметить его расстояние от выбранного начала координат. Центр тяжести проведенного сечения обозначен через O1 .
Для вычисления поперечной силы Q в этом сечении удобнее рассмотреть левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньше сил (только сила A). Рассматривая часть балки слева от сечения O1 и проектируя приложенные к ней внешние силы на перпендикуляр к оси балки, получаем выражение для поперечной силы Q1 в сечении на расстоянии x1 от опоры A:
. (5.11)
Поперечная сила в сечении с абсциссой x1 не зависит от этого расстояния. Таким образом, пока x1 меняется в пределах от 0 до a, поперечная сила остается постоянной, и её эпюра на этом участке изобразится прямой F2D2, параллельной оси абсцисс A2B2 (рис.5.9).
Чтобы найти величину поперечной силы на втором участке, придётся взять ещё одно сечение между точками B и C с центром тяжести O2. Расстояние его x2 будем отсчитывать от правой опоры B. В этом случае нам будет выгоднее рассматривать правую часть балки, так как на неё действует лишь сила B.
Рассматривая правую отсеченную часть балки, получим выражение для поперечной силы в сечении 2-2:
. (5.12)
Для построения эпюры изгибающих моментов воспользуемся теми же сечениями 11 (с началом координат в точке A) для левой части балки и 22 (с началом координат в точке B) для правой части балки.
Рассматривая левую отсечённую часть, найдем значение момента в сечении 11 как сумму моментов приложенных к ней сил относительно центра тяжести сечения O1:
(5.13)
причем M1функция первой степени от x1. Следовательно, если мы будем передвигать наше сечение, менять x1, то M1 будет меняться по закону прямой линии. При x1=0 получаем M1=0это ордината над точкой A. Точно так же при x=a1 получим ордината под сечением C.
Отложив от абсцисс вверх (положительный момент) отрезок C1D1, выражающий в масштабе ординату , и соединив точку D1 и A1 прямой, получаем первый участок эпюры моментов. Для построения эпюры на втором участке составим выражение момента сил, приложенных к правой отсеченной части балки, относительно O2:
. (5.14)
Момент и на этом участке получился положительным, так как мы рассматривали правую часть, и сила B вращала её относительно точки O2 против часовой стрелки. При x2=b, M2=Pab/l и при x2=0, M2=0.
Таким образам, второй участок эпюры моментов изображается прямой D1B1. На всём протяжении балки изгибающий момент положителен и достигает максимума в сечении C в месте приложения силы P, где он равен
. (5.15)
В этом сечении будут наибольшие нормальные напряжения.
3.3. Упругая линия балки
Перемещение центра тяжести по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в этом сечении.
Кривая, в которую обращается ось балки после приложения нагрузки, называется упругой линией при условии, если напряжения балки не больше предела упругости.
На практике прогибы балки обычно малы по сравнению с пролетом. Углы также невелики, обычно не больше 1. В этом случае
т.е. угол поворота сечения равен первой производной по x от прогиба y в этом сечении.
3.4. Дифференциальное уравнение изогнутой оси
Кривизна изогнутой оси балки определяется по формуле
, (5.16)
где радиус кривизны участка изогнутой оси балки.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси или упругой линии при направлении оси Y вверх имеет вид:
. (5.17)
Для большинства практических задач в уравнении (5.17) членом ввиду его малости по сравнению с единицей пренебрегают. При этом получается приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
. (5.18)
Последовательным интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси находят уравнение углов поворота
(5.19)
и уравнение прогибов
, (5.20)
где C и Dпостоянные интегрирования, определяемые из краевых условий балки и граничных условий её участков.
3.5. Определение перемещений методом уравнивания постоянных интегрирования дифференциальных уравнений.
Рассмотрим балку с тремя участками нагружения (рис. 5.10). Условимся, начало координат для всех участков брать в одной точке в левом или правом конце балки и рассматривать при составлении выражений изгибающего момента ту часть балки, в которой находится начало координат. Примем начало координат в точке F. Напишем уравнение изогнутой оси первого участка балки и дважды его проинтегрируем:
, , (5.21)
. (5.22)
Рис.5.10. Расчетная схема балки
Выражения изгибающего момента второго участка надо составить так, чтобы в пограничном сечении (над опорой A) слагаемые уравнений , и cовпадали с аналогичными слагаемыми уравнений первого участка. Это произойдет, если скобку (x-a), являющуюся плечом нагрузки, отсутствовавшей на первом участке, интегрировать по d(x-a) или, как говорят, не раскрывая скобок. Поясним, что xабсцисса текущего сечения рассматриваемого участка; aабсцисса начала этого участка.
Запишем три уравнения второго участка:
,
, (5.23)
. (5.24)
В сечении над опорой A углы поворота, вычисленные из уравнения (5.21) и (5.23), должны получаться одинаковыми, т.е. ось балки должна проходить над опорой A плавно. Должны быть также равны и прогибы на опоре, определяемые уравнениями (5.22) и (5.24). Иными словами, при x1=x2=a1 y1=y2 и y1=y2. Из этих условий находим C1=C2=C и D1=D2=D.
Перейдем к третьему участку. Распределённая нагрузка на третьем участке отсутствует. Чтобы сохранить выражения изгибающего момента от распределённой нагрузки таким же, как на предыдущем участке, нужно продолжить распределённую нагрузку второго участка до конца балки и, чтобы компенсировать это добавление нагрузки, добавить такую же нагрузку другого знака. Равновесие балки от этого не нарушится, не изменятся и величины опорных реакций балки.
Чтобы новая нагрузка в виде сосредоточенного момента M не вызывала изменения в структуре формул всех трёх уравнений третьего участка по сравнению со вторым, следует M умножить на скобку (x-a) в нулевой степени, что не изменит ни размерности сил, ни условий равновесия.
Напишем теперь с учетом всего сказанного уравнение изогнутой оси третьего участка и дважды его проинтегрируем:
,
, (5.25)
(5.26)
В пограничном сечении (где приложен M) имеются следующие условия для выравнивания постоянных интегрирования: при x2=x3=a2 y2=y3 и y2=y3. Подставляя первое из этих условий в уравнения (5.23) и (5.25), находим, что C2=C3=C. Подставив второе условие в уравнения (5.24) и (5.26), определим, что D2=D3=D.
Постоянные интегрирования сведены к двум: C и D. Для их определения служат условия: прогиб балки на опорах A и B равен нулю, т.е. при x1=a1 y1=0 и при x3=l y3=0. После подстановки этих условий в уравнения (5.22) и (5.26) получим следующие два уравнения:
, (5.27)
. (5.28)
Совместное решение уравнений (5.27) и (5.28) определит величину произвольных постоянных C и D.
4.1. Описание установки
Экспериментальная установка (рис.5.11) состоит из рамы 1, на которой установлена испытуемая балка 2. Усилие нагружения создается редуктором 3 и передается на испытуемую балку балкой нагружения 4 через пружины. Усилие, передаваемое балкой нагружения, замеряется динамометрами 5. Прогиб балки может замеряться головкой 6 лазера 7 или микрометрами, установленными в заданной точке. Усилие в месте установки опорных конструкций определяется при помощи тензометрического моста 8, который обрабатывает сигналы с тензодатчиков 9.
4.2. Ход работы
Рис. 5.11. Экспериментальная установка.
1 – рама; 2 - испытуемая балка; 3 – редуктор; 4 - балка нагружения; 5 – динамометры;
6 - головкой лазера; 7 – лазер; 8 - тензометрического моста; 9 - тензодатчики.
|
Нагрузка – равномерно распределенная q=1,5кг/см, l1= l3=36 см, l2=28 см, dб=42 мм, W=14,53 см3, J=30,55 см4, E=2·106 кг/см2 По теореме трех моментов: Mn-1 ln +2 Mn( ln + ln+1)+Mn+1ln+1= =. Тогда: Реакции опор: R0=R3=17,8 кг; R1=R2 =57,2 кг. Проверка:Перерезывающие силы: Сечение 1:кг. Сечение 2:кг. Сечение 3: |
Напряжение в материале балки:
0-1=2-3=55,4 кг/см2; 1=2 =-22,6 кг/см2; 1-2=17,7 кг/см2.
Уравнение прогибов:;
.
При ;
Тогда см.