Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа. Дискретные случайные величины.
Методические указания к решению задач. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д.с.в.). Числовые характеристики распределения д.с.в.
Задача Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (д.с.в.) X – числа k выпадений хотя бы одной «шестерки» в n = 8 бросаниях пары игральных кубиков. Построить многоугольник распределения. Найти числовые характеристики распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X)).
Решение: Введем обозначение: событие A – «при бросании пары игральных кубиков шестерка появилась хотя бы один раз». Для нахождения вероятности P(A) = p события A удобнее вначале найти вероятность P(Ā) = q противоположного события Ā – «при бросании пары игральных кубиков шестерка не появилась ни разу». Поскольку вероятность непоявления «шестерки» при бросании одного кубика равна 5/6, то по теореме умножения вероятностей
P(Ā) = q = = . Соответственно, P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Испытания в задаче проходят по схеме Бернулли, поэтому д.с.в. величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей:
Pn(k) = pkqn–k, где = – число сочетаний из n по k. Проведенные для данной задачи расчеты удобно оформить в виде таблицы.
Таблица. Распределение вероятностей д.с.в. X (n = 8; p = 11/36; q = 25/36)
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1 |
8 |
28 |
56 |
0 |
56 |
8 |
8 |
1 |
||
|
Pn(k) |
0,0541 |
0,1904 |
0,2932 |
0,258 |
0,1419 |
0,05 |
0,011 |
0,0013 |
0,0001 |
1 |
Многоугольник распределения вероятностей д.с.в. X изображен на рисунке. Вертикальными линиями показаны числовые характеристики распределения: M(X) и M(X) (X).
Найдем числовые характеристики распределения вероятностей д.с.в. X. Мода распределения равна 2 (здесь P8(2) = 0,2932 максимально). Математическое ожидание равно:M(X) = =2,4444, где xk = k – значение, принимаемое д.с.в. X. Дисперсию D(X) распределения найдем по формуле: D(X) = = 4,8097.
Среднее квадратическое отклонение (СКО): (X) = = 2,1931.
Для наглядности математическое ожидание M(X) д.с.в. X, характеризующее «центр тяжести» распределения, показано на рис. 2 вертикальной сплошной линией. Здесь же пунктиром показаны линии M(X) (X), характеризующие ширину распределения.
Ответ: Многоугольник распределения см. на рис. 2. Мода распределения равна 2; математическое ожидание M(X) = 2,4444; дисперсия D(X) = 4,8097; СКО (X) = 2,1931.
Результаты расчетов можно интерпретировать следующим образом. При неоднократном проведении серий опытов по 8-ми кратному бросанию пары игральных кубиков число k выпадений хотя бы одной «шестерки» в большинстве (почти в 90%) случаев будет лежать в границах от 1 до 4; наиболее вероятностным является 2 выпадения.
Задания:
Контрольная работа. Дискретные случайные величины.
Составить закон распределения вероятностей д.с.в. X. Построить многоугольник распределения. Найти числовые характеристики распределения (моду распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X)). Сделать выводы.
1. На элеватор прибыло N1 = 6 машин агрофирмы АФ-1 и N2 = 9 машин агрофирмы AФ-2. Под разгрузку случайным образом загоняются n = 6 машин. Д.с.в. X – число разгружаемых машин агрофирмы АФ-1.
2. Имеется 5 монет достоинством 10, 5, 2, 1, 1 рублей. Наудачу берутся три монеты. Д.с.в. X – набранная этими монетами сумма.
3. В партии из 15 деталей 40% деталей нестандартны. Наудачу отобраны четыре детали. Д.с.в. X – число стандартных деталей среди четырех отобранных деталей.
4. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делается не более 4 проб. Д.с.в. X – число подбрасываний.
5. Две монеты подброшены n = 4 раза. Д.с.в. X – число выпадений двух «гербов» в n бросаниях.
6. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле из пистолета (в обойме n = 9 патронов) попадет в цель равна 0,8. Стрельба ведется до первого промаха. Д.с.в. X – число оставшихся в обойме патронов.
7. В партии из 15 деталей 20% деталей нестандартны. Наудачу отобраны три детали. Д.с.в. X – число нестандартных деталей среди трех отобранных.
8. Бросаются два игральных кубика. Д.с.в. X–модуль разности выпавших очков.
9. Из ящика, содержащего N = 8 деталей, среди которых n = 5 стандартных деталей, наудачу вынимаются m = 3 детали. Д.с.в. X – число стандартных деталей в выборке.
10. Каждая из 5 лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектная лампочка при включении сразу перегорает и ее заменяют новой. Д.с.в. X – число опробованных ламп.
11. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой детали – 0,1, а для второй – 0,05. Для контроля выбрано 4 прибора. Прибор бракуется, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Д.с.в. X – число бракованных приборов среди проверенных 4 приборов.
12. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле из пистолета (в обойме n = 8 патронов) попадет в цель равна 2/3. Стрельба ведется до первого промаха. Д.с.в. X – число произведенных выстрелов.
13. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Д.с.в. X – число отказавших элементов в одном опыте.
14. Два стрелка поражают мишень с вероятностями, соответственно, 0,8 и 0,9 (при одном выстреле), причем первый стрелок выстрелил один раз, а второй – два раза. Д.с.в. X – общее число попаданий в мишень.
15. Игральный кубик брошен n = 8 раз. Д.с.в. X – число выпадений нечетного числа очков в n бросаниях.
16. Имеется 6 монет достоинством 10, 5, 5, 2, 1, 1 рублей. Наудачу берутся три монеты. Д.с.в. X – набранная этими монетами сумма.
17. Вероятность того, что лотерейный билет выигрышный, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Д.с.в. X – число выигрышей у владельца этих 5 билетов.
18. В партии из 11 деталей 30% изделий нестандартны. Наудачу отобраны пять изделий. Д.с.в. X – число стандартных изделий среди пяти отобранных изделий.
19. В билете три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на один вопрос, равна ¾. Д.с.в. X – число правильных ответов.
20. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле из пистолета (в обойме n = 10 патронов) попадет в цель равна 0,7. Стрельба ведется до первого промаха. Д.с.в. X – число израсходованных патронов.