Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Распределение случайной величины Эмпирические линии регрессии

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 24.11.2024

"Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии"

Контрольная работа № 1

 

Задача 1

 

Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Решение:

Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1, В2 и В3. Соответственно Р(В1) = , Р(В2) = , Р(В3) = .

Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1(А) = 0,02, аналогично РВ2(А) = 0,03 и РВ3(А) = 0,04.

По формуле полной вероятности

Р(А) =

По формуле Бейеса

Ответ: РА(В3) = 0,1818

Задача 2

 

Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки

Р = .

Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим

Р5(3) + Р5(4) + Р5(5).

Pn(k) = ,

где р = 0,3 и q = 0,7.

Р5(3) = 0,1323

Р5(4) = 0,0284

Р5(5) = 0,0024

Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

Ответ: 0,1631

 

Задача 3

 

Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.

Решение:

а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.

Pn(k) = , где  =

Р2000(210) =

б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190.

Pn(k1;k2) = F(x’’) - F(x’),

х’’ = .

х’ = .

F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.

F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764.

P2000(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/

Ответ: а) Р2000(210) = 0,0224, б) Р2000(190;250) = 0,7763

 

Задача 4

 

Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:

Х:

xi

0 1 2

pi

0,3 ? 0,2

Y:

yi

1 2

pi

0,4 ?

Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).

Составить закон распределения случайной величины

Z = X*Y.

Проверить выполнение свойства математического ожидания:

M(Z) = M(X)*M(Y)

Решение:

Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5

Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6

Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y

xj

0 1 2

yi

pj

pi

0,3 0,5 0,2 1 0,4

0

0,12

1

0,2

2

0,08

2 0,6

0

0,18

20,3

4

0,12

zi

0 1 2 4

pi

0,3 0,2 0,38 0,12

Spi = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1

M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44

M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9

M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6

M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44.

Ответ:

 

Zi

0 1 2 4

Pi

0,3 0,2 0,38 0,12

Задача 5

 

Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

0 при х < -1,

F(x) = (х + 1)2 при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие .

Решение:

Найдем плотность распределения

0 при х < -1,

f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

М(х) =  

- математическое ожидание.

Р(х £ ) = Р( -1 £ х <  ) = F() – F( -1) =

Ответ: М(х) =  и Р(х < ) =

 

Контрольная работа № 4

 

Задача 1

 

При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту

Возраст (лет) Менее 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Более 70 Итого Количество пользователей (чел.) 8 17 31 40 32 15 7 150

Найти:

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);

б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.

Решение:

Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:

i

[xi;xi+1]

xi

ui

ni

ui;ni

u2i;ni

ui +1

(ui + 1)ni

1 10 – 20 15 -3 8 -24 72 -2 32 2 20 – 30 25 -2 17 -34 68 -1 17 3 30 – 40 35 -1 31 -31 31 0 0 4 40 – 50 45 0 40 0 0 1 40 5 50 – 60 55 1 32 32 32 2 128 6 60 – 70 65 2 15 30 60 3 135 7 70 – 80 75 3 7 21 63 4 112 S 315 0 150 -6 326 7 464

a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки

Искомая доверительная вероятность

б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли

Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t = 2,17

Предельная ошибка выборки для доли D = 2,17*0,0376 = 0,08156

Искомый доверительный интервал

0,4733 – 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156

0,3918 £ р £ 0,5549

в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t = 2,5

человек.

Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)max = 0,25

 человек.

Ответ: а) ; б) 0,3918 £ р £ 0,5549 ; в) 190 человек

Задача 2

 

По данным задачи 1, используя критерий c2 – Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Выдвигается гипотеза Н0: случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d2 = 217,17.

Для расчета рi используем функцию Лапласа

Дальнейшие расчеты покажем в таблице

i

[xi;xi+1]

ni

pi

npi

(ni – npi)

1 10 – 20 8 0,0582 8,7225 0,522 0,0598 2 20 – 30 17 0,1183 17,738 0,5439 0,0307 3 30 – 40 31 0,2071 31,065 0,0042 0,0001 4 40 – 50 40 0,2472 37,073 8,5703 0,2312 5 50 – 60 32 0,2034 30,51 2,2201 0,0728 6 60 – 70 15 0,1099 16,478 2,183 0,1325 7 70 – 80 7 0,0517 7,755 0,57 0,0735 S 150 0,9956 149,34 0,6006

Фактическое значение c2 = 0,6006 Соотносим критическое значение c20,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.

Так как c2 < c20,05;4, гипотеза Н0 согласуется с опытными данными. Выполним построение:

Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.

 

Задача 3

 

Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:

у

х

1,25 1,5 1,75 2,0 2,25 Итого 80 – 130 1 2 3 6 130 – 180 1 4 3 8 180 – 230 4 8 3 1 16 230 – 280 2 5 4 11 280 – 330 3 4 2 9 Итого: 5 3 16 9 7 50

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние xj и yi и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.

Решение:

1) Составим корреляционную таблицу

х

у

xi

1,25 1,5 1,75 2 2,25

ni

уi

80 – 130 105 1 2 3 6 2,0833 130 – 180 155 1 4 3 8 2,0625 180 – 230 205 4 8 3 1 16 1,7656 230 – 280 255 2 5 4 11 1,5456 280 – 330 305 3 4 2 9 1,4722

nj

5 13 16 9 7 50

xj

285 255 220,63 160,56 140,71

Построим эмпирические линии регрессии

2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;

а) Вычислим среднее значение

Найдем уравнение

ух = byx(x – x) + y,

где byx =

ух = - 0,0036(х – 214) + 1,75

ух = - 0,0036х + 2,5105

ху - х = byx(у – у),

где bху =

ху = - 157,14(х – 1,75) + 214

ху = - 157,14х + 489

б) Коэффициент корреляции

 

связь обратная и тесная;

Статистика критерия

При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0.

в) Используя ху = - 157,14у + 489

х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14

Ответ: а) ух = - 0,0036х + 2,5105; ху = - 157,14х + 489.

б) k = - 0,7473.

в) х = 96,14 при у = 2,5




1. Die Apokalyptischen Reiter
2. НАУКОВОТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ ТЕМПЕРАМЕНТУ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
3. Социология общественного мнения
4. Диалекты немецкого языка
5. РЕФЕРАТ ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА Сальвадора та Фінляндії
6. тема знаний и представляла собой изначально стихийное знание о природе обществе и мышлении
7. д А вот свой тип кожи порой определяет ошибочно либо во все не задумываясь приобретает различные косметиче
8. Лабораторная работа 1 Исследование однофазных схем выпрямления и фильтров
9. Школа для тех кто хочет стать миллионером.
10. Творчество Филиппа Малявина
11. Задание 1Исправьте лексические ошибки 1
12. Рациональное использование подземных вод в криолитозоне Одной из важнейших составляющих проблемы охра.
13. .М. Поняття і завдання кримінального процесу Історичні форми кримінального процесу Стадії крим
14. метод сущностьсвязь есть- метод проектирования баз данных IFIP ~это Международная федерация по обр.html
15. тема класс электронных устройств обладающих способностью длительно находиться в одном из двух устойчивых
16. Профиль исполнителя на бирже выглядит довольно просто но в то же время в нем очень удобно представлена вся н
17. I Государство и право франков Глава II
18. ть определяется на всех уровнях упрния общым производством и оценивается по различным критериям
19. Опыт и реализация стратегии социально-экономического развития муниципального образования
20. Секрет гения Дюма