Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 3.1. Понятие функции
Функцией , определенной на числовом множестве , называется правило, которое позволяет для каждого числа из множества построить единственное число , обозначаемое символом . Тогда называется значением функции на элементе . Множество называют областью определения функции, и ее обозначают символом , а называют независимой переменной или аргументом функции.
Множество всех значений функции на точках множества называется множеством значений функции и обозначается символом . Функцию называют также отображением множества на множество и пишут .
Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, у которых первая координата , а вторая координата .
Наиболее распространенными способами задания функции являются аналитический, табличный и графический.
Для математического анализа основным способом задания функции является аналитический, т.е. задание функции при помощи одной или нескольких формул. В последнем случае область определения функции разбивается на промежутки и в каждом промежутке функция задается одной формулой.
Если область определения функции является конечным множеством, то используется табличный способ.
Функцию можно задать графиком только в том случае, когда прямая пересекает график ровно в одной точке. Чтобы найти значение функции в точке , надо через точку провести прямую, параллельную оси , до пересечения с графиком в точке . Ордината точки является значением функции в точке .
Примеры
1. ; 2. ; 3. (читается сигнум ). ●
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .
Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .
Заметим, что график ограниченной сверху (снизу) функции расположен ниже (выше) прямой , а график ограниченной функции расположен между прямыми и .
Функция называется возрастающей (неубывающей) на множестве , если для любых двух точек , , принадлежащих множеству , из условия следует .
Функция называется убывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых двух точек , , принадлежащих множеству , из условия следует .
Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на множестве , а убывающие и возрастающие — строго монотонными функциями.
Если одна из функций , является убывающей (невозрастающей), то другая функция будет возрастающей (неубывающей).
Инъективная и обратная функции
Функция , заданная на множестве и принимающая на разных точках множества разные значения, т.е. если , то , называется инъективной. Примером инъективной функции является строго монотонная функция на множестве .
Свойства инъективных функций. Пусть на множестве задана инъективная функция . Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Для каждого найдется такой единственный элемент , что .
В самом деле, хотя бы один такой элемент во множестве найдется, потому что . Из инъективности функции следует, что двух таких различных элементов во множестве быть не может.
Функция , определенная на множестве , называется обратной к функции, определенной на множестве , если выполняются тождества
, (2.1)
. (2.2)
Как правило, функцию обозначают через , а аргумент через . Изменяя обозначения в обратной функции на общепринятые обозначения, получим:
.
. 2. Функция , определенная на множестве , имеет обратную функцию , определенную на множестве , тогда и только тогда, когда является инъективной функцией.
Необходимость. Дано, что выполняются тождества
; .
Докажем инъективность функции . Если , а , то , т.е. . Противоречие.
Достаточность. Построим , определенную на множестве . Если элемент , то из первого свойства следует существование единственного элемента , для которого . Полагая , получим функцию, определенную на множестве , и ее множество значений совпадает с множеством определения функции .
Из определения функции следует, что тождества (2.1) и (2.2) выполняются.
Функцию, обратную к функции обозначают символом .
3. Если функция является обратной к функции , то функция является обратной к функции .
Из определения обратной функции следует, что . Следовательно, функция определена на множестве и выполняются тождества ; .
4. Строго монотонная функция имеет обратную функцию. Если функция является возрастающей (убывающей) на множестве , то функция также является возрастающей (убывающей) на множестве.
Так как строго монотонная функция является инъективной, то из свойства 2 следует существование обратной функции .
Докажем, что если является возрастающей на множестве , то функция также является возрастающей на множестве . Предположим противное, т.е. пусть <, но . Так как функция является возрастающей на множестве , то
,
что противоречит неравенству . ■
Примеры
4. Доказать, что функция является обратной к функции .
Решение. Запишем функцию в виде . Рассмотрим эту функцию на множестве , которое совпадает с множеством . Проверим справедливость тождеств (2.1) и (2.2):
, если ;
, если .
5. Найти функцию, обратную к функции
, если . (2.3)
Решение. Разрешим уравнение (2.3) относительно аргумента :
, .
Функция является обратной для данной функции, так как
она определена на множестве , и
;
.
6. Доказать, что функция , заданная на множестве , имеет обратную функцию.
Решение. Функция будет иметь обратную к ней функцию, если доказать инъективность функции на множестве . Инъективность же функции будет вытекать из ее строгой монотонности. Докажем что функция монотонно возрастает на множестве :
> . ●
Сложная и параметрически заданная функции
Пусть на некотором промежутке определена функция , а на промежутке определена функция . Если , то определена функция , которая называется сложной функцией (а также композицией или суперпозицией) и . Она определена на множестве .
Дана система уравнений
,
и выполняются условия:
1. область определения принадлежит области определения , т.е.
;
2. функция имеет обратную функцию .
При этих условиях на множестве определена сложная функция
.
В этом случае говорят о параметрически заданной функции .
Примеры
7. , ;
8. ; .
9. . ●
Задачи
1. Найти и .
а) , ; б) , .
2. Найти обратную функцию и ее область определения:
а) ; б) ; в)
г) ; д) ; е) .
§ 3.2. Определение предела функции одной переменной
Пусть функция определена на множестве . Если точка является предельной точкой множества , то из теоремы 2.17 следует, что во множестве найдется последовательность точек , , , которая сходится к числу :
, (1)
Тогда можно рассмотреть последовательность
. (2)
Если функция перерабатывает произвольную последовательность (1), сходящуюся к числу , , в последовательность (2), сходящуюся к числу , то число называется пределом функции в точке .
Предел функции в точке будем обозначать символом . Тогда , где произвольная последовательность, которая сходится к числу , .
Замечание
1. Если и последовательность , то .
2. Функция не имеет предела в точке , если, хотя бы для одной последовательности (1), последовательность (2) не имеет предела, или разные последовательности, сходящиеся к числу , функцией перерабатываются в последовательности, сходящиеся к разным пределам.
3. Если произвольная числовая последовательность сходится к числу , , а или , то в этом случае пишут или ▲
При дальнейшем изучении предела функции будем считать само собой разумеющимся следующее:
1. предел функции рассматривается только в предельной точке области определения функции ; функция может быть не определена в самой точке , поэтому рассматриваются только такие последовательности , элементы которых не равны ;
2. члены произвольной числовой последовательности , которая сходится к , принадлежат множеству и при любом .
Примеры
1. Найти предел функции .
Решение. Возьмем произвольную последовательность и найдем предел , используя теоремы 2.6, 2.7 и следствия из этой теоремы:
.
Из определения предела следует, что
.
2. Доказать, что следующие пределы не существуют:
a); б), где
Решение
а) Рассмотрим последовательность при . Функция перерабатывает ее в последовательность , которая не имеет предела. Следовательно, не существует.
б) Рассмотрим две последовательности: и . Предел этих последовательностей равен 1 при . Функция «перерабатывает» их в последовательности:
при ,
при .
Так как последовательности и имеют разные пределы, то функция не имеет предела в точке . ●
Задачи
Найти пределы:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. .
Односторонние пределы
Если ограничиться в определении предела функции в точке только последовательностями, элементы которых больше (меньше) , то придем к определению односторонних пределов функции в точке .
Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если произвольную последовательность , , функция перерабатывает в последовательность .
Правый (левый) предел функции в точке будем обозначать символом .
Если правый и левый пределы функции в точке не равны, то функция не имеет предела в этой точке, так как две последовательности, сходящиеся к точке , перерабатываются функцией в последовательности, сходящиеся к разным пределам. Если же правый и левый пределы функции в точке равны, то из нижеследующей теоремы следует, что функция имеет предела в этой точке.
Теорема 3.1. Равносильны следующие условия.
1. Функция имеет предел справа и слева в точке и
.
2. Функция имеет предел в точке и .
Доказательство
12. Докажем, что функция перерабатывает произвольную последовательность в последовательность . Последовательность является объединением своих подпоследовательностей и : подпоследовательность состоит из тех членов последовательности , которые больше (меньше) числа . Тогда и . Из условия 1 следует: , . Так как последовательность является объединением подпоследовательностей и , которые сходятся к одному и тому же пределу , то , поэтому .
2. Возьмем произвольные последовательности , , и , . Так как , то и . Отсюда вытекает, что . ■
Примеры. Найти односторонние пределы в точке :
3. , . 4. , . 5. , .
Решение
3. Возьмем произвольную последовательность и при любом . Теперь
.
Возьмем произвольную последовательность и при любом . Тогда
.
4. Возьмем произвольную последовательность и при любом . Теперь
,
так как последовательность является бесконечно малой и (теорема 2.14).
Возьмем произвольную последовательность и при любом . Тогда
,
так как последовательность является бесконечно малой и (теорема 2.14).
5. Возьмем произвольную последовательность и при любом . Теперь
.
Возьмем произвольную последовательность и при любом . Тогда
. ●
Задачи
Найти односторонние пределы в точке :
8. , . 9. ,.
10. , . 11. , .
Предел функции при
Рассматривается функция, которая определена в окрестности бесконечно удаленных точек , и .
Число называется пределом функции при (, , если эта функция перерабатывает произвольную бесконечно большую последовательность
,
в последовательность
.
В этом случае пишут: , .
Примеры. Найти пределы:
6. , . 7. .
8. .
Решение
6. Возьмем бесконечно большую последовательность . Из теоремы 2.14 следует, что последовательность является бесконечно малой, поэтому последовательность также бесконечно малая. Отсюда
.
7. Возьмем бесконечно большую последовательность . Так как последовательность является бесконечно малой, то из определения предела следует
.
8. Возьмем бесконечно большую последовательность . Так как последовательность является бесконечно малой, то из определения предела
следует
. ●
Задачи
Найти пределы:
12. ; 13. ; 14. ;
15. ; 16. ; 17. .
Свойства предела функции
Теорема 3.2. Функции и имеют предел в точке . Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Функция имеют предел в точке и
.
2. Функция имеют предел в точке и
.
3. Если , то функция имеют предел в точке и
.
Доказательство вытекает из теорем 2.6, 2.7 и 2.9. Рассмотрим произвольную последовательность . Из условия теоремы следует, что последовательности и сходятся. Из теорем 2.6, 2.7 и 2.9 вытекает, что последовательности , и имеют предел и справедливы равенства:
,
,
.
Из этих равенств и определения предела функции следует утверждение теоремы. ■
Следствие. Если существует , то
1. ; 2. .
Доказательство этих утверждений вытекает из 2-го утверждения теоремы. ■
Замечание. Теорема 3.2 остается справедливой, если является одним из символов , или .
§ 3.3. Предел монотонной функции
Теорема 3.3. Пусть функция неубывает на интервале . Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если функция ограничена сверху на множестве , то , где на множестве ;
б) если функция ограничена снизу на множестве , то , где на множестве .
Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность, . Для доказательства теоремы надо установить, что .
Рассмотрим произвольное число . Так как , то найдется та кое , что . Из условий и следует, что найдется такое число , что из условия следует . Функция неубывает и , поэтому . Итак, если , то
.
Отсюда следует, что при всех справедливо неравенство , т.е. .
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. ■
Теорема 3.4. Для невозрастающей функции на интервале справедливы утверждения:
а) если функция ограничена снизу на множестве , то , где на множестве ;
б) если функция ограничена сверху на множестве , то , где на множестве .
Доказательство теоремы 3.3 аналогично доказательству теоремы 3.2. ■
Замечание. Теоремы 3.3 и 3.4 остаются справедливыми, а их доказательства не изменяются, если интервал заменить одним из промежутков: , , .
Примеры. Найти пределы:
1. и . 2. и .
Решение.
1. Функция монотонно возрастает на промежутке , и на этом промежутке , . Из теоремы 3.3 следует, что
, .
2. Функция убывает на промежутке , и на этом промежутке , а . Из теоремы 3.4 следует, что
, . ●
Теорема 3.5. Если функция возрастает на отрезке и отрезок , то , если .
Доказательство. Из условия теоремы следует, что существует возрастающая функция, определенная на отрезке .
Сначала рассмотрим случай когда . Возьмем произвольную последовательность и . Так как , то имеется окрестность . Рассмотрим произвольное , , и докажем, что неравенство справедливо при всех .
Имеем следующую цепочку равносильных неравенств:
. Так как , то . Теперь из следствия
к теореме 2.5 вытекает, что неравенство справедливо при всех . Из условия следует . Отсюда и из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех справедливо неравенство . Полагаем . Тогда при всех справедливо неравенство . Поэтому равносильное ему неравенство также справедливо при всех . Этим установлено, что .
Теперь докажем, что если , , то . Возьмем произвольное , , и рассмотрим следующую цепочку равносильных неравенств:
.
Из условия следует . Отсюда и из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех справедливо неравенство . Поэтому неравенство также справедливо при всех . Этим установлено, что . ■
Следствие. Если функция убывает на отрезке и отрезок , то , если .
Доказательство. Так как функция возрастает на отрезке и отрезок , то
.■
Замечание. Чтобы доказать включение достаточно установить, что уравнение имеет решение при любом .
§ 3.4. Пределы простейших элементарных функций
Следующие функции: , , , , ,, , , , , , будем называть простейшими элементарными функциями.
Теорема 3.6. Если — простейшая элементарная функция и , то .
Доказательство теоремы заключается в проверке выполнения для простейших элементарных функций условий теоремы 5 или следствия из этой теоремы.
Функция . Область определения этой функции является объединением отрезков
,
Отсюда следует, что если точка , то принадлежит одному из
отрезков . На этом отрезке является строго монотонной
функцией, и уравнение имеет решение при любом
,.
Функция . Область определения этой функции является объединением отрезков
,
Отсюда следует, что если , то принадлежит одному из отрезков . На этом отрезке является строго монотонной функцией, и уравнение имеет решение при любом
,.
Функция . Область определения этой функции является объединением интервалов
,
Отсюда следует, что если , то принадлежит одному из интервалов . На этом интервале является возрастающей функцией, и уравнение имеет решение при любом .
Функция . Область определения этой функции является объединением интервалов
,
Отсюда следует, что если , то принадлежит одному из интервалов . На этом интервале является убывающей функцией, и уравнение имеет решение при любом .
Функция . В области определения функция является строго монотонной функцией, и уравнение имеет решение при любом .
Функция . В области определения функция является строго монотонной функцией, и уравнение имеет решение при любом .
Функции . В области определения функция является возрастающей (убывающей) функцией, и уравнение
имеет решение при любом .
Функции . В области определения функция является возрастающей (убывающей) функцией, и уравнение
имеет решение при любом . ■
Замечание. Теорема 3.6 позволяет вычислять пределы элементарных функций, не обращаясь к определению предела функции.
Примеры. Найти пределы:
1. . 2. .
Решение
1. .
2. .
Задачи
Найти пределы:
1.. 2. . 3. . 4.
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. . 11. . 12. .
13. .
§ 3.5. Два замечательных предела
Лемма. Если , то справедливо неравенство: .
Доказательство. Так как и — четные функции, то это утверждение достаточно доказать только для значений . Рассмотрим тригонометрический круг радиуса 1(рис. 3.1),
Рис.3.1.
где , , , длины дуг и равны соответственно и . Площади сектора , треугольника и сектора связаны двойным неравенством . Площади этих фигур равны соответственно, и . Следовательно,
.
1. Первый замечательный предел: .
Доказательство. Пусть произвольная последовательность и , если . Из леммы следует неравенство
, если . (1)
Используя утверждение теоремы 3.6, имеем:
.
Отсюда получаем, что предел последовательностей в левой и правой частях неравенства (1) равен 1, поэтому (теорема 2.11). ■
Теперь перейдем к доказательству второго замечательного предела. Начнем с доказательства леммы.
Лемма. Если и , то
, (2)
где целая часть числа , и
,
Доказательство. Так как , то . Теперь имеем:
. (3) Из первого и последнего неравенств (3) следует:
. Так как последовательность и , то . Следовательно, последовательности и являются подпоследовательностями последовательности , поэтому справедливы равенства
, .
Используя эти пределы, получим далее:
,
. ■
2. Второй замечательный предел: .
Доказательство. Сначала докажем, что . Возьмем произвольную последовательность , при любом . Из леммы следует, что крайние члены в неравенстве (2) сходятся к числу . Из теоремы о трех последовательностях вытекает, что . Отсюда следует, что .
Теперь докажем, что . Возьмем произвольную последовательность , при любом . Введем обозначение: . Отсюда , а .
Так как , то, начиная с некоторого номера , . Отсюда и из соотношений: , , следует, что и . Следовательно, . Используя полученные формулы, имеем:
.
Отсюда вытекает, что .
Итак, . Следовательно, . ■
Следствие. .
Доказательство. Возьмем произвольную бесконечно большую последовательность . Полагая , получим . Теперь из определения предела функции и формулы второго замечательного предела следует:
. ●
Примеры
Вычислить пределы:
1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Решение
1 Введем обозначение: . Так как , то, используя первый замечательный предел, получим цепочку равенств:
.
2. .
3. Положим . Так как , то, используя теорему 3.6 и второй замечательный предел, получим цепочку равенств:
.
4. Выделим целую часть выражения , и введем обозначение: . Так как , то, используя теорему 3.6 и второй замечательный предел, получим цепочку равенств:
●
Задачи
Найти пределы:
1. а) ; б); в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) .
2. а); б); в); г) ;
д).
3. а); б) ; в) ; г) ;
д); е) ; ж).
§ 3.6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Функцию называют бесконечно малой в точке , если .
Бесконечно малые функции наследуют некоторые свойства бесконечно малых последовательностей.
Свойства бесконечно малых функций
1. Если — бесконечно малая функция, а функция является ограниченной, то является бесконечно малой функцией.
2. , где — бесконечно малая функция в точке .
Доказательство.
1. Возьмем произвольную последовательность, сходящуюся к точке . Так как является ограниченной функцией, то — ограниченная последовательность. Из 1-го свойства бесконечно малых последовательностей следует цепочка равносильных утверждений: — бесконечно малая функция — бесконечно малая функция в точке .
2.
, где — бесконечно малая . ■
Бесконечно малые функции и называются эвивалентными в точке , если . В этом случае пишут . Если же предел , то этот факт обозначают символом и называют бесконечно малой функцией более высокого порядка (малости), чем .
Теорема 3.7. Если и — бесконечно малые функции в точке , то справедливы следующие утверждения:
1. ;
2. ;
3.
а) ;
б) .
4. для любой последовательности .
Доказательство.
1. ,
, так как .
2. 1: .
3. а) ;
б) .
4. Возьмем произвольную последовательность, сходящуюся к точке .
. ■
Замечание. 1. Из третьего утверждения теоремы следует, что при вычислении предела функции (последовательности), бесконечно малую функцию (последовательность), которая является сомножителем числителя или знаменателя, можно заменить эквивалентной бесконечно малой функцией (последовательностью).
2. Если в числителе или в знаменателе стоит сумма бесконечно малых функций, то при вычислении предела замена отдельных слагаемых эквивалетными функциями, как правило, приводит к неверному результату. ▲
Теорема 3.8. Если — бесконечно малая функция в точке , то следующие пары бесконечно малых функций эквивалентны в точке :
1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. ; 10. .
Доказательство. Введем обозначение: Тогда .
1. Используя формулу первого замечательного предела, имеем
.
2. Используя первый замечательный предел и утверждение теоремы 3.6, получим:
.
3. .
4. .
5.
6. Положим . Тогда , т.е. последовательность бесконечно малая. Так как , то, используя формулу 5, имеем:
.
7. Формула 7 является частным случаем формулы 6, если .
8. Заметим, что последовательность является бесконечно малой. Поэтому из формулы 7 следует, что . Теперь, применяя формулу 4, имеем:
.
9. Так как , то функция является бесконечно малой. Полагаем , тогда . Теперь, используя формулу 2, имеем цепочку равенств:
.
10. Так как , то функция является бесконечно малой. Полагаем , тогда . Теперь, используя формулу 1, имеем цепочку равенств:
. ■
Замечание. Точка , в которой определяются эквивалентные бесконечно малые функции, может совпадать с одной из бесконечно удаленных точек.
Примеры
Найти пределы:
1. а); б) ; в).
Решение
а) Так как при функции и являются бесконечно малыми, то эквивалентны функции и , и . Следовательно,
;
б) Сначала заметим, что и . Отсюда . Кроме того, . Теперь имеем цепочку равенств:
;
в) Так как при функция является бесконечно малой, то имеем, что . Отсюда вытекает, что
. ●
Задачи
Вычислить пределы:
1. . 2. . 3. .
4. . 5 . 6. ;
7. . 8. . 9 .
10. . 11.. 12. .
13. . 14. . 15. .
Бесконечно большие функции
Если каждую последовательность функция перерабатывает в последовательность , , то функция называется бесконечно большой функцией в точке , и в этом случае пишут , .
Так же вводится определение бесконечно большой функции в точке справа или слева:
, , , .
Бесконечно большие функции и имеют одинаковый порядок роста в точке , если предел . Если же этот предел равен бесконечности, то функция имеет более высокий порядок роста.
Замечание. Функция обратная бесконечно большой является бесконечно малой функцией и наоборот.
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность . Теперь, используя теорему 2.19, имеем:
. ▲
§ 3.7. Предел функции многих переменных
Понятие функции многих переменных
Функцией , определенной на множестве , называется правило, которое позволяет для каждой точки из множества построить единственное число , обозначаемое символом или . Если , то называется значением функции на точке . Множество называют областью определения функции, которую обозначают символом , а называют независимыми переменными. Множество всех значений функции на точках множества называется множеством значений функции . Оно обозначается символом .
Функцию называют также отображением множества на множество и пишут .
Основным способом задания функции является ее задание при помощи одной или нескольких формул. В последнем случае область определения функции разбивается на части и в каждом части функция задается одной формулой.
Функцию двух переменных обозначают символом . Ее можно изобразить в трехмерном пространстве в виде поверхности, состоящей из точек . Эта поверхность называтся графиком функции . На рис.3.2 показаны графики функций (слева) и .
Рис. 3.2.
Примеры
2. Функция называется линейной функцией, числа фиксированы.
3. Функция
называется квадратичной функцией.
4. ●
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .
Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .
Задачи
1. Найти значение функции из примера 4 в точках:
, , .
Сложная функция нескольких переменных
Для функций многих переменных также можно определить понятие сложной функции. Пусть функция определена на множестве . Кроме того, даны функций (ровно столько, сколько аргументов у функции ) , ,…,, , , определенных на множестве . Числа и никак не связаны. Теперь, если выполняется импликация
,
то на множестве определена сложная функция .
Примеры
5. Даны функции и
, , .
В какой области определена сложная функция ?
Решение. Найдем формулу, которой задается сложная функция:
.
Следовательно, все точки области определения функций должны быть решениями неравенства , т.е. множество может совпадать с множеством решений неравенства или быть частью этого множества.
6. Найти вид сложной функции , если
.
Решение. Функция определена при любых значениях переменных . Поэтому . ●
Задачи
2. Найти вид сложной функции , если
,.
В какой части плоскости определена функция ?
Предел функции многих переменных
Пусть функция определена на множестве . Если точка является предельной точкой множества , то из теоремы 2.17 следует, что во множестве найдется последовательность точек , , , которая сходится к точке :
, (1)
Тогда можно рассмотреть последовательность
. (2)
Если функция перерабатывает произвольную последовательность (1), сходящуюся к точке , , в последовательность (2), сходящуюся к числу , то число называется пределом функции в точке .
Предел функции в точке будем обозначать символом . Тогда , где произвольная последовательность, которая сходится к точке , .
Замечание.
1. Если и последовательность , то .
2. Функция не имеет предела в точке , если, хотя бы для одной последовательности (1), последовательность (2) не имеет предела, или разные последовательности, сходящиеся к точке , функцией перерабатываются в последовательности, сходящиеся к разным пределам.
3. Так как последовательность точек , , сходится к точке пространства , если ; ;…; , то
вместо обозначения пишут
. ▲
При дальнейшем изучении предела функции будем считать само собой разумеющимся следующее:
1. предел функции рассматривается только в предельной точке области определения функции ; функция может быть не определена в самой точке , поэтому рассматриваются только такие последовательности , элементы которых не равны ;
2. члены произвольной числовой последовательности , которая сходится к , принадлежат множеству и при любом .
Примеры
7. Доказать, что функция не имеет предела в точке .
Решение. Воьмем две последовательности точек и . Обе последовательности сходятся к точке . Теперь найдем пределы:
; .
Так как разные последовательности, сходящиеся к точке , функцией перерабатываются в последовательности, сходящиеся к разным пределам, то функция не имеет предела в точке .
8. Используя только определение предела функции, найти пределы:
а); б);
в), .
Решение
а) Возьмем произвольную последовательность точек
,
и найдем предел . Так как , , , то
.
Из определения предела имеем: .
б) Возьмем произвольную последовательность точек . Так как , , то
.
в) Возьмем произвольную последовательность точек . Отсюда , . Все точки последовательности , у которых образуют подпоследовательность , причем . Найдем пределы:
; .
Из утверждения 3 в § 2.5 следует, что . Теперь
. ●
Задачи
3. Доказать, что функция не имеет предела в точке :
а) , ; б) , ;
в) ; .
4. Используя определение предела функции, найти пределы:
а) ; б) ; в);
г) ; д) .
Теоремы о пределах функций
Теорема 3.9. Если функции и имеют предел в точке , то справедливы следующие утверждения.
. (3)
2. Функция имеют предел в точке и
. (4)
3. Если , то функция имеют предел в точке и
. (5)
Доказательство вытекает из теорем 2.6, 2.7 и 2.9. Рассмотрим произвольную последовательность . Из условия теоремы следует, что последовательности и сходятся. Из теорем 2.6, 2.7 и 2.9 вытекает, что последовательности , и имеют предел и справедливы равенства:
,
,
.
Из этих равенств и определения предела функции следует равенства (3), (4) и (5). ■
Следствие. Если существует , то
1. ;
2. .
Доказательство этих утверждений вытекает из 2-го утверждения теоремы. ■
Окрестность точки , из которой «выброшена» точка , будем называть ее выколотой окрестностью, и обозначать символом , т.е.
.
Замечание. Если окрестность не содержится целиком во множестве , то окрестностью точки во множестве называется пересечение .▲
Теорема 3.10. Функции , и определены в некоторой окрестности точки , и функции и имеют предел в точке . Справедливы следующие утверждения.
1. Если для всех точек справедливо неравенство , то .
2. Если , и для всех точек справедливо неравенство , то .
Доказательство.
1. Рассмотрим произвольную последовательность точек . Из условия теоремы и теоремы 2.10 следует цепочка импликаций:
.
2. Рассмотрим произвольную последовательность точек . Из определения предела функции и условия теоремы следует, что и . Отсюда и условия следует, что (теорема 2.11), поэтому . ■
Теорема 3.11. Функция имеет предел в точке и . Если , то найдется такая окрестность точки , что положительна (отрицательна) в каждой точке множества .
Доказательство. Допустим противное, т.е. предположим, что в каждой окрестно сти точки найдется точка, в которой функция принимает неположитель ное значение. В каждой окрест ности выберем такую точку , чтобы . Из следствия к теореме 2.15 получаем, что последова тельность . Так как предел в точке , то . Из условия следует, что и (теорема 2.10), что противоречит условию теоремы.
Второе утверждение доказывается точно так же. ■
Примеры
9. Найти пределы:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
Решение
а)
;
б) 1;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .●
Задачи
5. Найти пределы:
а) ; б) ;
в) ; г) .
6. Найти пределы:
а) , где ; б);
в) ; г) ; д) ;
е) .
Предел функции по Коши
Лемма. Если неравенство , где фиксированное число, не выполняется в каждой окрестности точки и существует предел функции в точке , то .
Доказательство от противного, т.е. пусть . Рассмотрим последовательность . Из условия леммы следует, что в каждой окрестности можно выбрать такую точку , что . Из следствия к теореме 2.15 вытекает, что . Так как , то
. Отсюда следует, что неравенство справедливо при всех . Это противоречит неравенству , которое справедливо при всех . ■
Теорема 3.12. Функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда следующие условия равносильны:
1. ;
2. для каждого найдется окрестность точки , в которой справедливо неравенство .
Доказательство
12. Предположим, что условие 2 не выполняется для каждого. Тогда существует хотя бы одно такое число , что не найдется окрестности точки , в которой неравенство справедливо. Отсюда следует, что в каждой окрестности точки не выполняется неравенство . Из леммы следует, , что противоречит условию 1.
21. Возьмем произвольную последовательность и докажем, что последовательность . Для этого рассмотрим произвольное . Из условия 2 получаем, что найдется окрестность , в которой справедливо неравенство .
Так как , то из теоремы 2.15 следует, что при всех точки последовательности принадлежат окрестности . Значит, неравенство справедливо при всех . Этим доказано, что последовательность . Отсюда и из определения предела функции вытекает . ■
Следствие 1. Функция имеет предел в точке и . Тогда найдется такая окрестность точки , что ограничена на множестве .
Доказательство. Возьмем . Из 2-го утверждения теоремы следует, что
найдется окрестность точки , в которой справедливо неравенство
.
Следствие 2. Предел функции в точке равен нулю тогда и только тогда, когда для любого , найдется такая окрестность , что модуль значения функции в любой точке этой окрестности меньше , т.е.
.
Доказательство. Частный случай теоремы 3.12 при значении . ■
Замечание. Утверждение 2 теоремы 3.12 служит другим определением предела функции в точке , которое называют пределом функции по Коши.
Критерий Коши существования предела функции
Теорема 3.13. Функция определена в некоторой окрестности точки . Она имеет предел в этой точке тогда и только тогда, когда для каждого выполняется условие:
найдется такая окрестность точки , что если ,
то справедливо неравенство .
Необходимость. Если , то из теоремы 3.12 следует, что
найдется окрестность точки , в которой справедливо неравенство . Тогда, если точки , то
.
Достаточность. Возьмем произвольную последовательность точек , и докажем, что числовая последовательность сходится.
Из теоремы 2.15 следует, что окрестности принадлежат все точки последовательности , начиная с номера . Отсюда, если и , то имеем цепочку импликаций: последовательность является фундаментальной из теоремы 2.20 следует, что последовательность сходится.
Необходимо еще доказать, что предел последовательности не зависит от выбора последовательности . Пусть последовательности и , а последовательности и сходятся к разным пределам. Тогда, ввиду условия 3 теоремы 2.15, последовательность
сходится к точке , а числовая последовательность
не имеет предела, так как две ее подпоследовательности сходятся к разным пределам. Это противоречит установленному выше утверждению: если последовательность , то последовательность сходится. Этим доказано, что функция имеет предел в точке . ■
PAGE 67