Оценка параметров моделей, эконометрия, статистика

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Лабораторная работа №1
Оценка параметров моделей, эконометрия, статистика

Цель работы: на основе заданных статистических данных научиться оценивать параметры простейших моделей; на основе заданных статистических данных линейной регрессией оценить параметры однофакторной и двухфакторной модели зависимости объемов продаж от затрат на рекламу и цены.

Теоретические сведения

Постановка задачи

Компьютерная модель - это инструмент экономиста для анализа и подготовки прогнозов и планов. Модель элементарного объекта - это математическое выражение, связывающее входные (независимые) переменные с выходными (зависимыми) переменными с помощью математических операций и параметров. Для вычисления показателей прогнозов и планов необходимо в виде исходных данных иметь численные значения параметров.

Параметры экономической модели - это постоянные величины, связывающие зависимые переменные (функции) с влияющими на них независимыми переменными (факторами, аргументами). Например, зависимость объема продаж от затрат на рекламу можно выразить функцией (моделью)

Y =а1 *X + а0,

где Y - объем продаж, зависимая переменная (функция); X - затраты на рекламу, независимая переменная (фактор); а1 и а0 - параметры модели.

Модель используется для прогнозирования объема продаж в зависимости от затрат на рекламу продукции. Параметры модели имеют конкретные числовые значения. Для выполнения с помощью моделей прогнозных и плановых расчетов при различных значениях факторов надо заранее знать величины параметров, предварительно определить их.

Определением параметров моделей в экономике занимается эконометрия, регрессионный анализ. Математики называют это приближением, сглаживанием и аппроксимацией функций, иногда эволюцией (от англ. evaluation). Инженеры по системам управления используют термин "оценка параметров моделей". Цели, методология и технология вычисления параметров моделей у всех специалистов одинаковы. Разная терминология сложилась исторически из-за недостаточной интеграции и диктатуры стандартов в науке.

Для установления параметров прогнозирующих и плановых моделей чаще всего используются нормативные, экспертные и статистические методы.

Нормативы задаются законами, например ставки налогообложения; административными и регулирующими органами, например нормы амортизации и сроки строительства, коэффициенты ликвидности и риска активов банков, страховых компаний и пенсионных фондов.

Экспертные методы используют субъективные заключения авторитетов, экспертов-профессионалов в данной отрасли. Не исключаются рекомендации гадалок, колдунов и гороскопа.

Статистические методы наиболее научно обоснованы и обеспечены методиками и компьютерными программами. Они применяются, когда удается собрать статистическую числовую информацию об экономических показателях. Предыдущие методы также используют статистический материал, например нормативы регулирования деятельности банков международной торговли, установленные Базельским комитетом Кука, разработаны на основе анализа балансов и портфелей множества обанкротившихся банков.

Влияние рекламы на объем продаж, однофакторная линейная модель

Анализ, прогнозирование и планирование объема продаж - важнейшие функции менеджера и маркетолога. В планах должны стоять конкретные цифры, которые лучше брать не с потолка, а вычислять с помощью моделей. Числовые параметры моделей лучше определять на основе практической статистики. Учебники насыщены массой факторов и теорий, объясняющих движение объемов продаж, но в лабораторной работе рассмотрим лишь простейшие примеры, обеспеченные статистическими данными.

Задание: на основе статистических данных построить математическую модель зависимости объемов продаж от затрат на рекламу и численно оценить параметры модели.

Методика выполнения задания

Параметры  однофакторной  линейной  модели  оцениваются методом наименьших квадратов с использованием графопостроителя Мастера диаграмм.

Порядок выполнения задания

Загрузить Excel, назвать открывшуюся книгу Lin_rgr и ввести на первом листе  книги  исходные данные  аналогично  показанному в левой части рис. 1.1. В правой части этого рисунка показан примерный вид получаемого решения данной задачи.

Столбцы чисел представляют статистические данные за прошедший период по затратам на рекламу и объемам продаж продукции.

Построить график статистических данных

Выделите обе колонки исходных данных. Вызовите Мастер диаграмм: меню Вставка  Диаграмма... Вызывается диалоговое окно Мастера диаграмм (рис. 1.2).

Рис. 1.1. Таблица с исходными данными, графиком и формулой с оценкой параметров линейной модели зависимости объемов продаж от затрат на рекламу

Для первичного анализа статистики обычно рекомендуется выбирать тип диаграммы Точечная. Затем многократно нажимаем кнопку Далее. По желанию заполняем поля диалогового окна или отвечаем на вопросы. Когда кнопка Далее исчезнет, нажмем кнопку Готово.

Рис. 1.2. Диалоговое окно Мастера диаграмм

На экране появляется точечная диаграмма. Известными методами выбираем удобное место и размер диаграммы.

Построить линию тренда и уравнение с оценкой параметров

Левой кнопкой мыши щелкнуть на любой статистической точке диаграммы.

Правой кнопкой мыши вызвать контекстное меню, в нем - команду Добавить линию тренда. На экране появляется диалоговое окно линий тренда (рис. 1.3). Выберем линейную линию тренда и пометим галочкой опции показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2).

Рис. 1.3. Диалоговое окно линий тренда

На экране (см. рис. 1.1) появляется уравнение с числовыми параметрами и коэффициент достоверности оценки параметров.

Анализ результатов

В результате обработки статистических данных графическими методами и алгоритмом наименьших квадратов получено уравнение зависимости объема продаж от затрат на рекламу. Получены числовые значения параметров и оценка их достоверности. С увеличением затрат на рекламу объемы продаж увеличиваются. Наша маленькая модель готова для применения в прогнозировании и планировании.

Влияние цены на объем продаж, однофакторная регрессия. Определение проблемы

В теории и практике экономического равновесия макро- и микроэкономик всегда рассматриваются функции зависимости спроса и предложения от цены товаров. Предполагается, что функцию платежеспособного спроса достаточно точно отражает статистика объемов продаж в зависимости от цены при условии, что предложение всегда не меньше спроса. Имея данные за предыдущий период по объемам продаж и ценам, можно построить модель и оценить ее параметры. В дальнейшем модель используется для прогнозирования и планирования объемов продаж.

Методика выполнения задания

Полностью совпадает с представленной выше методикой оценки параметров модели зависимости объема продаж от затрат на рекламу.

Анализ результатов

В результате обработки статистических данных графическими методами и алгоритмом наименьших квадратов получено уравнение зависимости объема продаж от цены товара. Получены числовые значения параметров и оценка их достоверности.

С увеличением цены объемы продаж уменьшаются, сокращается платежеспособный спрос. Наша маленькая модель готова для применения в прогнозировании, планировании и исследовании рыночного равновесия.

Пример однофакторной модели влияния затрат на рекламу и цены на объем продаж изображен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Таблица с исходными данными, графиками и формулами с оценкой параметров линейных однофакторных моделей зависимости объемов продаж от затрат на рекламу и цены товара

Совместное влияние затрат на рекламу и цены на объем продаж, оценка параметров двухфакторной линейной модели

Методика выполнения задания

Параметры линейной многофакторной модели оцениваются в Excel с помощью статистической функции LINEST (linear estimation - линейная оценка), в русской версии программы она называется ЛИНЕЙН.

Порядок выполнения задания

Загрузить Excel, открыть третий лист вашей книги и ввести в него исходные данные в соответствии с рис. 1.5.

Слева в таблице расположены исходные статистические данные. Вверху колонок - названия показателей, внизу, в рамке обозначения факторов, X1 -затраты на рекламу, Х2 — цена товара и функция Y — объем продаж.

Справа в колонках E:G показан синтаксис функции ЛИНЕЙН. Ниже даны обозначения параметров модели а2, al, а0 и их вычисленные значения. Затем представлено итоговое уравнение модели.

Рис. 1.5. Таблица с исходными данными и применением функции ЛИНЕЙН для оценки параметров модели зависимости объемов продаж от затрат на рекламу и цены товара

Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда данных с применением метода наименьших квадратов. Функция вычисляет массив параметров и задается в виде формулы массива. Вы должны выделить диапазон в котором желаете отобразить результаты, ввести функцию и нажать Ctrl + Shift + Enter. Формула массива заключается в фигурные скобки. Эту формулу вы видите на экране (см. рис. 1.5) в строке формул. ЛИНЕЙН может также отображать дополнительную регрессионную статистику. Выделенный диапазон для отображения результатов должен содержать количестве клеток в первой строке не менее количества определяемых параметров. Ее ли вы желаете получить дополнительные статистические оценки регрессии то диапазон массива должен содержать не менее пяти строк.

Синтаксис функции:

ЛИНЕЙН(известные_значения_у;известные_значения_х;конст;статистика)

В нашем примере Y задается диапазоном продаж С2:С19, статистические данные факторов рекламы и цены задаются матрицей А2:В19.

Конст - это логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа свободный член а0 была равна нулю. Если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то а0 вычисляется обычным образом. Если конст имеет значение ЛОЖЬ, то а0 полагается равным нулю.

Статистика - это логическое значение, которое указывает, требуется ли отобразить в массиве результатов дополнительную статистику по регрессии. Если статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику. Если статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущена, то функция ЛИКЕЙН возвращает только коэффициенты аі и постоянную a0. Дополнительная регрессионная статистика включает: стандартные значения ошибок для параметров, коэффициент детерминированности, стандартную ошибку для оценки Y, F-статистики и др.

Неприятная особенность функции, что она принимает последовательность независимых переменных в порядке увеличения их номера (столбца) а параметры выводит в обратном порядке.

Анализ результатов

В результате обработки статистических данных функцией ЛИНЕЙН методами и алгоритмом наименьших квадратов получены числовые значения параметров и оценка их достоверности. Получено уравнение зависимости объема продаж от цены товара и затрат на рекламу.

С увеличением цены объемы продаж уменьшаются, сокращается платежеспособный спрос, а с увеличением затрат на рекламу продажи увеличиваются.

Наша маленькая модель готова для применения в прогнозировании, планировании и исследовании рыночного равновесия.

Контрольные вопросы

1.  Почему актуальна проблема оценки параметров моделей?
2.  Сформулировать цель работы.
3.  Написать примеры формул моделей и пояснить их элементы.
4.  Рассказать о порядке выполнения работы в Excel.
5.  Дать характеристику исходных данных для оценки параметров моделей.

Индивидуальные задания

Задание 1. На основе статистических данных построить однофакторную математическую модель зависимости объемов продаж от затрат на рекламу. Выбрать модель с наибольшей величиной достоверности. Определить параметры модели.

Задание 2. На основе статистических данных построить однофакторную математическую модель зависимости объемов продаж от цены товара. Выбрать модель с наибольшей величиной достоверности. Определить параметры модели.

Задание 3. На основе статистических данных построить двухфакторную математическую модель совместного влияния объемов продаж от затрат на рекламу и цены товара. Выбрать модель с наибольшей величиной достоверности. Определить параметры модели.

Вариант №1

X1	1200	1100	1400	1450	1350	900	1100	1200	1300	1100	1500	1600	1400	1400
X2	15	11	14	16	15	14	13	14	12	12	13	18	16	15
Y	12500	14220	18900	16400	18100	11200	15000	15940	19005	18800	21000	17800	19240	22125

Вариант №2

X1	800	950	1200	1300	900	950	900	1300	1350	1250	1400	1500	1450	1400
X2	25	22	21	26	25	24	22	23	24	22	20	21	23	20
Y	45000	48000	52000	51500	50100	51400	52100	53250	53000	53100	56000	57900	55800	56300

Вариант №3

X1	1000	1100	1150	1200	1400	1500	1200	1000	900	1200	1250	1200	1300	1100
X2	15	17	16	14	13	20	19	19	14	15	14	14	13	15
Y	24500	22100	23450	26700	31000	29800	27800	25000	27900	28100	29000	29200	29900	27500

Вариант №4

X1	12000	13500	14500	15000	15500	12800	13500	14200	14500	15500	15900	15500	15000	15250
X2	95	90	91	88	97	98	91	92	90	88	85	90	93	90
Y	52100	55090	55900	58125	54900	52350	57000	59000	61300	64000	67000	62400	59000	64500

Вариант №5

X1	3000	3150	3300	3350	3800	3900	3500	3400	3600	3700	3300	3250	3700	3750
X2	62	60	59	56	57	68	66	63	62	64	61	57	58	56
Y	22250	24100	26200	27800	28350	26400	25100	27900	28560	27500	28125	29000	31200	32300

Вариант №6

X1	2880	2640	3360	3480	3240	2160	2640	2880	3120	2640	3600	3840	3360	3360
X2	36	27	34	39	36	34	32	34	29	29	32	44	39	36
Y	30000	34128	45360	39360	43440	26880	36000	38256	45612	45120	50400	42720	46176	53100

Вариант №7

X1	1030	1220	1540	1670	1160	1220	1160	1670	1730	1600	1800	1920	1860	1800
X2	32	29	27	34	32	31	29	30	31	29	26	27	30	26
Y	57600	61440	66560	65920	64130	65800	66690	68160	67840	67970	71680	74120	71430	72070

Вариант №8

X1	2900	3200	3400	3500	4100	4400	3500	2900	2700	3500	3700	3500	3800	3200
X2	44	50	47	41	38	58	56	56	41	44	41	41	38	44
Y	71100	64100	68100	77500	89900	86500	80700	72500	81000	81500	84100	84700	86800	79800

Вариант №9

X1	9000	10200	10900	11300	11700	9600	10200	10700	10900	11700	12000	11700	11300	11500
X2	72	68	69	66	73	74	69	69	68	66	64	68	70	68
Y	39100	41400	42000	43600	41200	39300	42800	44300	46000	48000	50300	46800	44300	48400

Вариант №10

X1	7350	7720	8090	8210	9310	9560	8580	8330	8820	9070	8090	7970	9070	9190
X2	152	147	145	138	140	167	162	155	152	157	150	140	143	138
Y	54520	59050	64190	68110	69460	64680	61500	68360	69980	67380	68910	71050	76440	79140

Лабораторна робота № 2

“Павутиноподібна” модель

Мета роботи: розробити алгоритм “павутиноподібної” моделі та написати програму його реалізації на комп’ютері.

Теоретичні відомості

Як приклад економічної моделі розгляньмо спрощений (ідеалізований) варіант так званої «павутиноподібної моделі», яка описує процес формування попиту і пропозиції певного товару чи виду послуг на конкурентному ринку (випадок досконалої конкуренції).

Ідеться про формалізацію економічного закону попиту та пропозиції, згідно з яким:

•  кількість товару, що його можна продати на ринку (тобто попит), змінюється у напрямку, протилежному зміні ціни товару;
•  кількість товару, який виробляють і доставляють на ринок (тобто пропозиція), змінюється у тому самому напрямку, що й ціна;
•  водночас реальна ринкова ціна формується на рівні, на якому попит і пропозиція наближено дорівнюють одне одному (приблизно збігаються з деякою заданою точністю), тобто перебувають у рівновазі.

Нехай Xt — ціна товару в момент часу t, а Dt і St — кількість товару, купленого і пропонованого відповідно на ринку в той самий момент часу t. Тоді, з урахуванням одного інтервалу часу, необхідного виробникам-продавцям для того, щоб «зреагувати» на ціну X, можна математично сформулювати наведені закономірності:

St = f(Xt–1), Dt = g(Xt),

де f(X) — деяка монотонно зростаюча і g(X) — монотонно спадна функції від аргумента X (тобто від ціни), — рівноважна ціна.

Математичні співвідношення, що відображають закон попиту і пропозиції, можуть бути проілюстровані. Як бачимо на рис. 2.1, процес формування рівноважної ціни почався з призначення в перший (початковий) момент часу ціни на рівні X1. Продовження цього процесу (індексовано стрілками) павутиноподібно прямує до точки перетину кривих g(X) і f(X).

Рис. 2.1. Графік процесу формування попиту і пропозиції

Нехай існує торгівельна фірма, яка реалізує певний товар на ринку. Припустимо, що попит на товар на t–му проміжку часу лінійно залежить (для спрощення) від поточної ціни Xt. Тоді, рівняння попиту на товар матиме такий вигляд: Dt = A – BXt .

Пропозиція на t-му відрізку часу обчислюється з урахуванням навчання системи. Тому вона залежить від ціни на попередніх (t – 1)-му та (t – 2)-му відрізках часу. Отже, для пропозиції залежність матиме такий аналітичний вигляд: St = C + KX(), X() = Xt-1 – (Xt-1 – Xt-2).

де  – ваговий коефіцієнт, що задовольняє умові: 0    1.

Рівняння локальної рівноваги на ринку, що використовується для здійснення ітерацій, матиме вигляд: St = Dt.

Підставивши залежності для Dt, St та Х() у попередню формулу і розвязавши рівняння відносно Хt, отримаємо:

Xt = {A – C – K[Xt-1 – (Xt-1 – Xt-2)]}/B.

Оскільки для обчислення значення ціни  необхідно знати ціни  та  для попередніх проміжків часу, то проводити обчислення можливо лише в тому випадку, коли відомі X1 та X2. Обчислювати (чи задавати) їх можна різними способами. Зокрема, можна прийняти гіпотезу, що на перших двох проміжках часу навчання відсутнє, тобто  = 0. В цьому випадку легко отримати, що:

X2 = (A – C – KX1)/B.

Значення X1 можна обчислити, зокрема, за формулою:

X1 = 2(A – C)/(B + K).

Задача аналізу полягає у дослідженні характеру залежності ціни у часі, з’ясуванні чи буде стійким стан рівноваги, знаходженні рівноважної ціни.

Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є наступна умова:

.

Для відповіді на питання, чи завжди ітераційний процес призводить до рівноваги, розглянемо випадок, коли  = 0, тобто пропозиція залежить лише від ціни Xt-1 (навчання в модель не закладено). У цьому випадку функції попиту і пропозиції матимуть вигляд: , ,

а співвідношення відносно  відповідно набуде вигляду:

,

а достатньою умовою збіжності буде умова

.

Враховуючи умови , обчислюємо

.

Підставляючи у праву частину вирази для , отримаємо

.

Продовжуючи цей процес, отримаємо .

З останньої рівності є очевидним, що:

1.  якщо , то послідовність  збігається, а отже, рівновага на ринку є стійкою і можна визначити рівноважну ціну, яка з часом встановиться на ринку;
2.  якщо , то послідовність  необмежено зростає (ітераційний процес розбігається), а отже, рівновага на ринку є нестійкою і рівноважна ціна на ринку досягнута не буде;
3.  якщо , то ітераційний процес зациклюється, а отже, рівновага буде нестійкою і рівноважна ціна на ринку досягнута не буде.

Ітераційний процес завершується за умови, коли , де  –досить мале задане число.

Приклад. Нехай параметри моделі мають наступні значення:

A	B	C	K	X0
27	0,5	7,5	0,35	7,5

Тоді реалізація «павутиноподібної» моделі в Microsoft Excel представлена на рис. 1.2.

Рис. 2.2. «Павутиноподібна» модель

Контрольні запитання

1.  Основні положення «павутиноподібної» моделі.
2.  Умови збіжності ітераційного процесу формування рівноважної ціни.
3.  Поясніть розбіжності в «павутиноподібних» моделях з урахуванням навчання системи та без урахування.

Індивідуальні завдання

1.  Розробити алгоритм “павутиноподібної” моделі, в якої пропозиція залежить лише від ціни, та провести обчислення, використовуючи задані вхідні дані. Проаналізувати отримані результати та зробити висновки.
2.  Розробити алгоритм “павутиноподібної” моделі, з урахуванням навчання системи, та провести обчислення, використовуючи задані вхідні дані. Проаналізувати відмінності двох моделей.

№ варіанту	A	B	C	K	X0	ρ
1	10	2	8	1,7	0,8	0,54
2	25	4	12	3	5	0,37
3	40	4	30	3	3	0,29
4	10	0,8	5	0,6	2	0,61
5	7	1,1	2	0,8	5	0,58
6	15	1,6	7	1,2	0,5	0,74
7	80	3,7	34	2,9	5,5	0,22
8	135	3	110	2	9	0,65
9	210	3,4	174	2,8	1,5	0,35
10	41	1,8	17	1,4	0,4	0,18
11	10	2	8	1,7	0,1	0,44
12	25	4	12	3	1	0,47
13	40	4	30	3	1	0,59
14	10	0,8	5	0,6	5	0,21
15	7	1,1	2	0,8	1	0,48
16	15	1,6	7	1,2	5,5	0,14
17	80	3,7	34	2,9	9	0,72
18	135	3	110	2	2	0,25
19	210	3,4	174	2,8	9,5	0,55
20	41	1,8	17	1,4	11	0,78

1. Под структурой бухгалтерского аппарата понимаются состав и соподчиненностъ взаимосвязанных организацио
2. А подпись инициалы фамилия ldquo; rdquo; 2013г
3. E3C1 2 D3D2 3 E3E34 F4D2 При работе с электронной таблицей в ячейке ЕЗ записана формула В2СЗ
4. а и руководителя полетов
5. Лабораторная работа 15
6. Тема- Microsoft Word. Ввод и форматирование текста.
7. Сестринское дело Группы 621 622 633 634 635 1 семестр Билет для собеседования включает в себя- Теоре
8. 2014 о~у жылы Философияны~ ~андай б~лімі адам м~селесін зерттейді Антропология ~леуметтік философия
9. Показатель 2
10. ПОЛИТИЧЕСКИЕ ИНСТИТУТЫ Г л а в а IV ПРОДОЛЖЕНИЕ
11. Курсовая работа- Развитие творческого мышления в процессе обучения и воспитания в высшей школе
12. методические основы аудиторской деятельности
13. .87 г Пол- женский Родители МатьГалина Анатольевна 31 год ОтецАлександр Семенович38 лет.
14. Социология науки Социология науки частная социологическая наука и раздел науковедения социология нау
15. Фінансова звітність в Україні
16. Перехід українських земель під литовських князів
17. Реферат- Менеджмент сущность, функции, принципы и модели
18. Тема- Выполнила-
19. Реферат- Синдром токсического шока
20. Концепции маркетинга Классификация рекламы

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе