Написать параметрические уравнения прямой- 1 проходящей через точку ~2;1;~1 и параллельной вектору
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Прямая в пространстве
- Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(–1;2;3) и В(2;6;– 2), и найти ее направляющие косинусы.
3.51. Написать параметрические уравнения прямой: 1) проходящей через точку (–2;1;–1) и параллельной вектору 2) проходящей через точки А(3;–1;4), В(1;1;2).
3.52. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(2;0;–3) параллельно:
1) вектору 2) прямой
3) Оси Ox;
4) Оси Oy;
5) Оси Oz.
- Составить параметрические уравнения прямой проходящей через две данные точки:1)
2)
3)
- Через точки и проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
- Даны вершины треугольника А(3;6;–7), В(–5;2;3) и С(4;–7;–2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.
- Даны вершины треугольника А(1;–2;–4), В(3;1;–3) и С(5;1;–7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
- Даны вершины треугольника , , . Найти канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине .
- Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(2;3;-5) параллельно прямой
- Составить канонические уравнения следующих прямых
- Доказать перпендикулярность прямых:
1) и
2) и .
3.62. Доказать, что прямые и параллельны.
3.63. Доказать, что прямые и пересекаются. Найти точку их пересечения.
3.64. Доказать, что прямые и скрещиваются.
- Определить косинус угла между прямыми:
- Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(–1;2;–3) перпендикулярно к вектору и пересекает прямую
- Найти расстояние точки М(2;-1;3) от прямой
- Найти расстояние между параллельными прямыми
и
- Найти расстояние точки М(3;0;4) от прямой
Прямая и плоскость в пространстве
- Найти угол прямой с плоскостью
- Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1;2;–3) и перпендикулярной к прямой .
- Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М0(3;4;0).
- Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной к плоскости
- Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .
- Найти точку пересечения прямой с плоскостью
- Найти проекцию точки на плоскость
.
3. 77. Найти проекцию точки на прямую
.
3.78. Доказать, что прямая и плоскость параллельны.
3.79. Показать, что прямая лежит в плоскости .
- Найти кратчайшее расстояние между непараллельными прямыми:
1) и
2) и
- Построить плоскость и прямую, проходящую через точки А(0;0;4) и В(2;2;0).Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
- Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1;0;–1) на прямую .
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1;2;–3) параллельно прямым
- Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М1(2;–2;1).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости
3.86. Составить уравнения прямой, проходящей через точку
и пересекающей две данные прямые и .
- Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям и пересекает прямые
Кривые второго порядка. Окружность
- Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
1) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;
2) центр окружности совпадает с точкой С(2;–3) и ее радиус R=7;
3) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6;–8);
4) окружность проходит через точку А(2;6) и ее центр совпадает с точкой С(–1;2);
5) точки А(3;2) и В(–1;6) являются концами одного из диаметров окружности;
6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности;
7) центр окружности совпадает с точкой С(1;–1) и прямая является касательной к окружности;
8) окружность проходит через точки А(3;1) и В(-1;3), а ее центр лежит на прямой ;
9) окружность проходит через три точки А(1;1), В(1;–1) и С(2;0).
- Найти центры и радиусы окружностей:
. Построить окружности.
- Найти угол между радиусами окружности
проведенными в точки пересечения ее с осью Ox.
- Дана окружность . Из ее точки А(a;0) проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место середин этих хорд.
- Показать, что точка А(3;0) лежит внутри окружности и написать уравнение хорды, делящейся в точке А пополам.
- Написать уравнения касательных к окружности
проведенных из начала координат.
- Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой касается прямых
- Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся двух пересекающихся прямых:
- Из точки А(4;2) проведены касательные к окружности Определить угол, образованный этими касательными.
- Окружности заданны уравнениями в декартовых прямоугольных координатах: 1) 2) 3)4) 5) Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ox, а полюс – с началом координат.
Эллипс
- Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны 5 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8;
3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с=10;
4) расстояние между его фокусами 2с=6 и эксцентриситет ε=0,6;
5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ε=0,6;
6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ;
7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с=4;
8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
10) расстояние между его директрисами равно 32 и ε=0,5;
- Дан эллипс . Найти: 1)его полуоси; 2)фокусы; 3)эксцентриситет; 4)уравнения директрис.
- Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет фокус F(2;1) и уравнение соответствующей директрисы
- .Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
- Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3;0) и оси ординат в точке В(0;–4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
- Построить эллипс , найти его фокусы и эксцентриситет.
- Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:
1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3;
2) большая полуось а=6, а эксцентриситет ε=0,5.
- Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой и малой полуосей.
- В эллипс вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой полу оси. Определить координаты двух других вершин треугольника.
- Ординаты всех точек окружности сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
- Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния одного из фокусов от концов большой оси равны 5 и 1.
- Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и А(6;0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния точки М от фокусов.
- На эллипсе найти точку, радиусы векторы которой перпендикулярны.
Гипербола
- Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее оси 2а=10, 2b=8;
2) расстояние между фокусами 2с=10 и ось 2b=8;
3) расстояние между фокусами 2с=6 и эксцентриситет ε=1,5;
4) ось 2а=16 и эксцентриситет ε=1,25;
5) уравнение асимптот и расстояние между фокусами 2с=20;
6) расстояние между директрисами равно и расстояние между фокусами 2с=26;
7) расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
8) расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет ε=1,5;
9)уравнение асимптот y=(3/4)x и расстояние между директрисами равно 12,8.
- Дана гипербола . Найти:
1) полуоси а и b;
2) фокусы;
3) эксцентриситет;
4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.
- Эксцентриситет гиперболы ε=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12;0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
- Составить уравнение гиперболы, зная, что:
1) расстояние между ее вершинами равно24 и фокусы суть F1(–10;2), F2(16;2);
2) фокусы суть F1(3;4), F2(–3;–4) и расстояние между директрисами равно 3, 6;
3) угол между асимптотами равен 900 и фокусы суть F1(4;–4), F2(–2;2).
- Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптоты равно b.
- Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная .
- Построить гиперболу и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.
- Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса
- Найти расстояние фокуса гиперболы от ее асимптот и угол между асимптотами.
- Определить траекторию точки М(x;y), которая при своем движении остается вдвое ближе к прямой x=1, чем к точке F(4;0).
- Найти точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
Парабола
- Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ox, и ее параметр p=3;
2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично оси Ox, и ее параметр p=0,5;
3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично оси Oy, и ее параметр ;
4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Oy, и ее параметр p=3.
- Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) y2=6x; 2) x2=5y; 3) y2=–4x; 4) x2=–y.
- Составить уравнение параболы, которая имеет фокус F(0;–3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Oy.
- Найти фокус F и уравнение директрисы параболы
- Составить уравнение параболы, если дан фокус F(–7;0) и уравнение директрисы x–7=0.
- Составить уравнение параболы, если дан фокус F(2;–1) и уравнение директрисы x–y–1=0.
- Построить параболы, заданные уравнениями: 1) y2=4x; 2) y2= – 4x; 3) x2=4y; 4) x2= – 4y, а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
- Написать уравнение параболы:
1) проходящей через точки (0;0) и (1;–3) и симметричной относительно оси Ox;
2) проходящей через точки (0;0) и (2;–4) и симметрично относительно оси Oy.
- Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой x+y=0 и окружности и симметрична оси Oy. Построить окружность, прямую и параболу.
- В параболу y2=2x вписан правильный треугольник. Определить его вершины.
- Написать уравнения касательных к параболе y2=8x, проведенных из точки А(0;–2).
- Через фокус параболы y2=–4x проведена прямая под углом 1200 к оси Ox. Написать уравнение прямой и найти длину образовавшейся хорды.
Полярные уравнения кривых второго порядка
- Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:
- Преобразовать к полярным координатам уравнения линий:
- Написать канонические уравнения кривых второго порядка:
- Дано уравнение эллипса Составить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе эллипса;
2) в правом фокусе.
- Дано уравнение гиперболы Составить полярное уравнение ее правой ветви, считая, что направление полярной оси совпадет с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в правом фокусе гиперболы;
2) в левом фокусе.
- Дано уравнение гиперболы Составить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе гиперболы;
2) в правом фокусе.
- Дано уравнение параболы y2=6x. Составить ее полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
Геометрические места точек (гмт)
- Написать уравнение траектории точки М(x;y), которая при своем движении остается втрое дальше от точки А(0;9), чем от точки В(0;1).
- Написать уравнение гмт, сумма расстояний, каждой из которых от точек F1(2;0) и F2(-2;0) равна . Построить линию.
- Написать уравнение гмт, равноудаленных от точки F(2;2) и от оси Ox. Построить линию.
- Написать уравнение гмт, разность расстояний каждой из которых от точек F1(–2;–2) и F2(2;2) равна 4. Построить линию.
- Дана окружность Из точки ее А(–2;0) проведена хорда АВ и продолжена на расстояние ВМ=АВ. Определить гмт М.
- Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F(–1;0), чем к прямой .
- Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается втрое ближе к точке А(1;0), чем к прямой x=9.
- Дана точка А(a;0). По оси Oy движется точка В. На прямой ВЕ, параллельной оси Ox, откладываются отрезки ВМ и ВМ1, равные АВ. Определить гмт М и М1.
- Определить траекторию точки М, которая движется так, что остается вдвое дальше от точки F(–8;0), чем от прямой x=–2.
- Из вершины параболы проведены всевозможные хорды. Написать уравнение гмт середин этих хорд.
- Определить гмт центров окружностей, касающихся окружности и оси Oy.
Поверхности второго порядка
- Построить поверхности второго порядка:
- Построить тело, ограниченное поверхностями y2=x, z=0, z=4, x=4 и написать уравнения диагоналей грани, лежащей в плоскости x=4.
- Построить поверхность и найти площади ее сечений плоскостями: а) z=3; б) y=1.
- Построить поверхности: 1) x2+y2–z2=4; 2) x2–y2+z2+4=0.
- Построить гиперболоид и найти его образующие через точку (4;1;–3).
- Построить поверхность и найти ее образующие, проходящие через точку (3;1;2).
- В прямоугольной системе координат изобразить тело, ограниченное указанными поверхностями:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Ответы
3.1. 3.2. . 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. BC: x+2y–1=0; CA: x–y–1=0; mA:x–3=0; mB:x+y–3=0; mC: y=0. 3.9. 3.10. 3x–4y+15=0; 4x+3y–30=0; 3x–4y–10=0; 3.11. 3.12. S=6 ед2. 3.13. 3x–2y–12=0; 3x–8y+24=0. 3.14. S=5 кв.ед. 3.15. d=4. 3.16. 1) 2,5; 2) 3; 3) 0,5; 4) 3,5. 3.17. . 3.18. .
3.19. . 3.20. 3.21. . 3.22.
. 3.23.
. 3.24. или
3.25. 3.26. 3.27. 3.28. 3.29. 3.30. 3.31. 3.32. 3.33. 3.34. 1) 600 и 1200; 2) 450 и 1350; 3) 900. 3.35. 3.36. 3.37. 3.38.
3.39. 3.40. V=8 ед3. 3.41. 3.42. d=4. 3.43. V=8 ед3. 3.44. 3.45. и 3.46. 3.47. . 3.48. . 3.49. . 3.50. cos= =0,3;
3.51.
3.52. 3.53. 3.54. 3.55. 3.56. 3.57. 3.58. .
3.59. . 3.63. .
3.65. 3.66. 3.67. 3.68. 3.69. 3.70. 3.71. 3.72. 3.73. 3.74. 3.75. 3.76. . 3.77.. 3.80. 1) 13; 2) 3.81. 3.82. 3.83. 3.84. 3.85. 3.86. . 3.87. 3.88.
3.89. 3.90. 900.
3. 91. 3.92. 3.93.
3.94. 3.95. и
3.96. 3.97. ; 5) .3.98. или 3.99. и
3.100. 3.101. 3 и 7. 3.102. . 3.103.
3.104. 3.105. 3.106. 3.107. 3.108. или 3.109. 3.110. 3.111. 3.112.
4.113. 10. 3.114. 3.115.
3.116. 3.117. 3.118. 3.119. (0;0) и . 3.122.
3.123. 3.124. 3.125. 3.126. 3.127. 3.128. 3.129. 3.130. 3.131. 3.132. 3.134. 1) эллипс; 2) парабола; 3) ветвь гиперболы; 4) эллипс; 5) ветвь гиперболы; 6) парабола.
3.135.
3.136.
3.137. 3.138. .
3.139. 3.140. 3.141. 3.142. 3.143. 3.144. 3.145. 3.146 3.147. 3.148. 3.149. 3.150. 3.151. и
3.152. 3.154. 3.156.
и 3.157.
33
PAGE 38