Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Основные правила работы в лабораториях
кафедры прикладной физики
1. На каждое лабораторное занятие студенты должны приносить с собой:
а) лабораторный журнал (тетрадь в клетку не менее 48 листов);
б) несколько листов миллиметровой бумаги формата А4;
в) клей для бумаги для вклеивания графиков;
г) калькулятор для инженерных расчетов (можно один на несколько человек);
д) ручку, карандаш и резинку;
е) линейку длиной 25 – 30 см.
2. Студенты должны быть подготовленными к выполнению каждой лабораторной работы:
а) необходимо знать тему и название выполняемой работы, изучить теоретический материал по теме выполняемой работы и знать физическую сущность изучаемого явления;
б) подготовить лабораторный журнал к выполнению лабораторной работы.
3. Оформление лабораторного журнала:
а) на новой (правой) странице журнала должны быть написаны номер и название лабораторной работы, перечень приборов и принадлежностей, цель работы и дата проведения работы;
б) далее следует изложить краткую теорию лабораторной работы, включая вывод основной рабочей формулы и формулы для оценки погрешностей результатов эксперимента.
4. Все записи в журнале выполняют аккуратно ручкой (не карандашом) на правой странице лабораторного журнала (левая предназначена для выполнения расчетов);
а) отчет о лабораторной работе должен сопровождаться схемой экспериментальной установки;
б) таблицы вычерчивают карандашом по линейке. Желательный размер клетки 1,5 х 2,5 см. Таблица выполняется в полном объеме для соответствующего количества измерений. В пособии к лабораторной работе изображается лишь заготовка таблицы (верхняя и нижняя ее часть). Каждую таблицу желательно вычерчивать на новой странице, оставляя место над таблицей (5см)
и под таблицей (10 см). Над таблицей указывают названия приборов, класс точности и цену деления прибора.
Место под таблицей необходимо для повторных измерений, если потребуется, некоторые из них можно повторить.
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Выполнение работы начинают с детального изучения лабораторной установки. Необходимо записать заводские номера измерительных приборов, их технические характеристики, цену деления шкалы приборов. Включать приборы разрешается только после проверки установки преподавателем или лаборантом;
2. Все записи необходимо делать только в лабораторном журнале и только ручкой;
3. Проведению серии измерений предшествуют пробные замеры, с помощью которых проверяют соответствие результатов измерений ожидаемым результатам, после чего приступают к основным экспериментам;
4. Данные основной серии измерений записывают в таблицу чернилами, не допуская сплошного зачеркивания, замазывания корректором или стирания результатов. Запись отсчетов производится в делениях шкалы измерительного прибора. В верхней строке таблицы указывают единицы измеряемых величин, включая множитель, на который установлен переключатель чувствительности измерительного прибора. Если был записан ошибочный результат, то его следует аккуратно зачеркнуть (так, чтобы его можно было прочитать) и записать рядом верный;
5. После выполнения измерений необходимо произвести расчеты искомых величин и их погрешностей, построить необходимые графики. Все черновые записи делаются на левой стороне листа лабораторного журнала;
6. Окончательный результат представляют в стандартном виде с указанием среднего значения измеряемой величины, абсолютной и относительной погрешностей, вычисленных по методу Стьюдента, и надежности измерений. Например, результат измерений плотности твердого тела в стандартном виде.
ρ= (6,5 ± 0,3) 103 кг/м3 , ε = 5% при α = 0,95,
где ρ – обозначение плотности твердого тела, 6,5 – среднее значение плотности (среднее значение величины обозначается чертой над символом, либо угловыми скобками), 0,3 – абсолютная погрешность измерения (округляется до первой значащей цифры или до первых двух, если первая значащая цифра – единица), 103 – общий множитель, ε = 5% – относительная погрешность
(ε = 0,3/6,5٠100% ~ 5%), α = 0,95 – коэффициент надежности.
Правила построения графиков
Результаты измерений и вычислений во многих случаях удобно представлять в графическом виде. Графики строятся на миллиметровой бумаге карандашом. Размер графика - не менее половины страницы лабораторного журнала. На лист наносят координатные оси. Независимая величина (аргумент) откладывается, как правило, по горизонтали. На концах осей указывают обозначения физических величин и их размерности. Затем на оси наносят масштабные деления с удобным для прочтения интервалом. Порядок масштаба (10±п) выносится на конец оси. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по одной или обеим осям.
Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы а) линия графика заняла все поле графика (рис. 1); б) наклон линии был близок к 45°. После выбора начала отсчета и масштаба по осям на лист наносятся экспериментальные точки. Их обозначают маленькими кружками, крестиками, треугольниками и т. п., размеры которых могут соответствовать погрешности измерений в масштабе графика. После этого строится собственно график, т. е. проводится плавная кривая так, чтобы она проходила как можно ближе к нанесенным точкам. График сопровождается подписью и вклеивается в лабораторный журнал. На рис.1 в качестве примера показан график зависимости степени поляризации света Р от числа стеклянных пластинок N.
Рис. 1. График зависимости степени поляризации
света от числа стеклянных пластинок
Если известно из теории, что экспериментальная зависимость должна быть линейная, то по экспериментальным точкам проводится прямая, параметры которой определяются по методу наименьших квадратов (приложение I в конце сборника).
Виды измерений
Измерение физической величины заключается в сравнении ее с однородной ей физической величиной, принятой за эталон.
Различают прямые и косвенные измерения.
При прямом измерении значение измеряемой величины определяют непосредственно с помощью измерительного прибора.
При косвенном измерении значение величины находят на основе данных прямых измерений и подсчета по соответствующей формуле.
Введение в обработку результатов измерений
– Мы, кажется, вступили в область догадок, –
заметил доктор Мортимер.
– Скажите лучше – в область, где взвешиваются
все возможности с тем, чтобы выбрать из них наиболее правдоподобную.
А. Конан-Дойль «Собака Баскервилей»
Если подбросить монетку, то она может упасть либо гербом, либо противоположной стороной. Причем выпадение герба или «решки» будет в среднем происходить почти одинаково часто. Говорят, что и то, и другое – события случайные. Такие события принято характеризовать положительным числом – вероятностью события. В приведенном примере события происходят с одинаковой вероятностью, равной 0,5.
Допустим, что кто-то имеет билет лотереи, в которой на каждые 10 билетов приходится один выигрыш. Можно показать, что в этом случае, при достаточно большом числе билетов в лотерее, вероятность выигрыша для каждого билета составляет 0,1, а вероятность того, что он не выиграет – 0,9.
Теория вероятностей дает возможность подсчитать вероятность различных событий. Возникает вопрос, какой должна быть вероятность события, чтобы его наступление можно было считать возможным в реальных условиях? Ответ на этот вопрос носит в значительной мере субъективный характер и зависит от степени важности ожидаемого события.
Известно, что около 5% назначенных концертов отменяется; несмотря на это, мы все же, взяв билет, обычно идем на концерт, будучи, в общем, уверены, что он состоится, хотя вероятность этого всего 0,95. Однако, если бы в 5% полетов терпели аварию пассажирские самолеты, вряд ли мы стали бы пользоваться воздушным транспортом.
Можно указать события, вероятность которых столь мала, что они вообще в мире не происходят и, видимо, не произойдут. Так, вероятность того, что обезьяна, ударяя пальцами по клавишам пишущей машинки, напечатает осмысленное литературное произведение, как показали расчеты, составляет примерно 10-2600 . Таким же маловероятным (практически невозможным) является так называемое «чудо Джинса» – замерзание воды в чайнике на горячей плите, которое вовсе не противоречит кинетической теории.
Английский математик У. Скарборо предложил модель «случайностей» для экспериментального исследования случайных событий. Лист бумаги нужно разграфить на полосы шириной 1 см, среднюю линию считать «прицельной». Затем взять карандаш двумя пальцами за неотточенный конец и, прицеливаясь в среднюю линию, отпустить (уронить) карандаш с высоты 1м. Карандаш, ударившись о бумагу, оставит след – точку.
Повторяя падение карандаша 25 – 50 раз, получим множество точек, попавших на различные полосы. Построим график разброса точек относительно прицельной линии. Для этого на вертикальной оси отложим число точек, приходящихся на каждую полоску, а по горизонтальной оси – номера полосок (рис.2, а)
Рис.2. Модель «случайностей». Гистограммы распределения точек по
полосам: а – количество падений n = 25 раз,
б – количество падений n = 100 раз
Получившаяся столбчатая диаграмма носит название гистограммы (histos – столб) распределения (в нашем случае – распределения точек между полосами). На вертикальной оси можно также отложить значения частоты () попадания точек на ту или иную полосу.
,
где – число точек, попавших на i-ю полосу;
n – общее число падений карандаша на лист бумаги.
Считается, что при достаточном увеличении числа испытаний (бросаний) величины частот становятся устойчивыми и перестают зависеть от общего числа испытаний. Предельные значения этих частот при увеличении числа испытаний до бесконечности называются вероятностями – . Обратите внимание на то, что сумма вероятностей по всем полоскам .
Если ширину полоски уменьшить, а число падений увеличить, то гистограмма будет несколько иной (рис.2,б). Если продолжить увеличивать число бросков , а ширину полоски уменьшать, то гистограмма перейдет в пределе в непрерывную плавную кривую, изображенную на рис.2,б пунктиром. Эта кривая нормального распределения значений случайной величины. – кривая Гаусса. Функция, графически представленная этой кривой, определяет закон распределения значений случайной величины и называется плотностью вероятности.
На практике часто принимают, что случайные погрешности измерения физических величин подчиняются нормальному закону распределения.
Основные свойства функции Гаусса
1. Немецкий математик К.Ф.Гаусс в 1821 г. получил формулу нормального распределения значений случайной величины:
.
Функция называется плотностью вероятности и равна числу значений, приходящихся на единичный интервал значений случайной величины. Соответственно, равно числу попаданий значений случайной величины в интервал от до .
2. Кривая нормального распределения является симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через ее максимум, т.е. одинаковые отклонения значений, но в противоположные стороны встречаются одинаково часто и имеют одинаковую вероятность.
3. В точке функция имеет максимум, т.е. среднее арифметическое значение случайной величины является наиболее вероятным (рис. 3).
4. Площадь под кривой должна быть равна 1, так как выражает вероятность достоверного события (т.е. значение случайной величины обязательно находится на числовой оси).
5. Точки a и b являются точками перегиба функции , в которых .x1 = <x> – σ и x2 = <x> + σ
Доля всех значений случайной величины, попадающих в интервал (–σ, +σ) составляет 68,3%. В интервале (–2σ, +2σ) находится 95,4% всех значений, а для интервала (–3σ, +3σ) эта доля соответственно уже 99,9%.
Рис. 3. Кривая нормального распределения значений
случайной величины
Величина называется средним квадратичным отклонением, а σ2 – дисперсией, характеризующей рассеяние значений случайной величины (dispersio – рассеяние) относительно ее среднего значения. При уменьшении σ кривые распределения будут иметь иглообразный максимум, а при увеличении σ, наоборот, пологий, размытый.
Площади под кривой, ограниченные этими интервалами (их также называют доверительными интервалами), равны вероятности попадания значения случайной величины внутрь интервала. Эта вероятность называется доверительной вероятностью (надежностью) (рис. 4).
Рис. 4. Доверительные интервалы Δxa = σ, Δxb = 2σ, Δxc = 3σ;
доверительные вероятности, соответственно, равны:
В теории погрешности случайной величиной является результат измерения (а также погрешность измерения).
Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины :
.
Относительной погрешностью называется величина, равная отношению абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению результата измерения,
.
Теперь вспомним то обстоятельство, что экспериментатор имеет дело с ограниченным числом измерений, часто незначительным. При этом распределение случайных погрешностей тем больше отличается от нормального распределения, чем меньше сделано измерений.
Английский химик и математик У. Госсет (1908), публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент (Student), указал на возможность и при малом числе измерений определять доверительный интервал. Он вывел распределение погрешностей, получаемых при малом числе измерений (малой выборке). Кривые распределения Стьюдента (рис. 5) по своей форме напоминают кривую Гаусса, и при числе измерений средняя квадратичная погрешность , а распределение Стьюдента сближается с нормальным распределением.
Рис. 5. Кривые распределения Стьюдента
для различного числа измерений
По Стьюденту, центр доверительного интервала определяется средним арифметическим значением, полученным из измерений:
.
Абсолютная погрешность измерения равна полуширине доверительного интервала для заданной надежности измерения α и определяется соотношением
,
где – среднее квадратичное отклонение.
,
где τα – коэффициент Стьюдента, учитывающий количество измерений n и требуемую надежность α. Значения коэффициентов Стьюдента приводятся в таблицах.
После определения погрешности методом Стьюдента результат прямых измерений записывают в стандартном виде
(единица измерения)
при α = 0,95
.
Надежность измерений (доверительная вероятность) α для научных и инженерных измерений принята равной 95%.
При расчете погрешностей, сопровождающих косвенные измерения, используют следующий алгоритм. Пусть, например, измеряемая величина является функцией величин и , которые измеряются прямым методом. Тогда среднее значение найдем по средним значениям и в соответствии с выражением .
А погрешность найдем по формуле ,
где – погрешности прямых измерений величин ;
– частные производные функции .
Определение числа π методом Бюффона
В качестве примера рассмотрим предложенный Бюффоном эксперимент для определения числа π (игла Бюффона).
Возьмите миллиметровую бумагу или лист тетради в клетку. Сторона клетки (квадрата) – . На этот лист случайным образом бросайте иглу, спичку, спицу и т.п. длиной L (L >). Число линий, которые пересечет или коснется игла в каждом бросании, обозначим mi (рис. 6). Число π вычисляется по формуле
Рис. 6. – размер «иглы», а – размер стороны клетки
Порядок проведения измерений
1. Выполните десять бросаний; число пересечений клеток mi в каждом случае занесите в табл. 1.
2. По данным табл. 1 проведите обработку результатов измерений методом Стьюдента.
Таблица 1
Результаты измерения числа π
,
|
№ п/п |
Число пересечений |
Число πi |
πi – <π> |
(πi –<π>)2 |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
… |
||||
|
10 |
Среднее |
Сумма |
3. Вычислите среднее арифметическое значение <π>
и среднюю квадратичную погрешность измерений
.
4. Вычислите полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность)
= (α,n)Sx ,
где τ(α, n) – коэффициент Стьюдента, значения которого для заданной надежности α = 0,95 и различного числа измерений N приведены в табл. 2.
Таблица 2
Коэффициенты Стьюдента для α = 0,95
|
N |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
∞ |
|
12,7 |
4,3 |
3,2 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
2,4 |
2,3 |
2,3 |
2,1 |
2,0 |
5. Результаты измерения запишите в стандартном виде
Значение Δπ (абсолютную погрешность) следует округлить до одной значащей цифры. Среднее арифметическое <π> округлить так, чтобы последний значащий разряд совпадал с последним разрядом Δπ.
6. Постройте гистограмму распределения случайной величины π.