тема управления субъект Объект управления ~ некий элемент состояние которого нас интересует и на кото.html
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Введение. Виды систем автоматического управления (САУ)
В процессе управления выделяют два элемента:
1) объект управления
2) система управления (субъект)
Объект управления – некий элемент, состояние которого нас интересует, и на который мы можем целенаправленно воздействовать, изменяя его состояние.
Система управления (субъект) – источник сигналов и целей, реализуемых в объекте управления. Сигналы и цели могут зависеть как от внутренних потребностей системы, так и под влиянием среды.
Управление – процесс целенаправленного изменения состояния объекта.
Объект – все то, о чем могут быть собраны сведения.
Y = F(X, U, E) – модель объекта управления.
Х – входное воздействие, указывающее на желаемое состояние.
Y – реальные значения (состояния) объекта.
U – управляющее воздействие, которое предназначено для целенаправленного изменения состояния.
Е – помеха (неконтролируемое влияние внешней среды).
Классификация систем управления.
- По принципу управления:
а) разомкнутое
Условия применимости:
- наличие достаточной модели объекта управления;
- неизменность свойств объекта управления в процессе работы;
- незначительность или полное отсутствие помех.
Информация о состоянии среды и объекта не используется.
б) замкнутое
Позволяет обеспечить высокое качество управления в условиях неопределенности относительно свойств объекта управления и помех.
Используется информация о состоянии объекта управления.
в) комбинированное
Лучше применять такую систему, если:
- есть точное описание системы
- есть уверенность в постоянстве свойств объекта
- незначительность или отсутствие помех.
Достоинства:
- дешевизна
- проста в реализации
- надежная
Недостатки:
- низкая точность
- ошибка, возникающая в процессе управления всегда неизвестна.
Такая система не знает состояния среду и своего объекта.
Принцип компенсации (управление по возмущению)
Недостатки:
- необходимо постоянное измерение или априорного задания возмущения
- информация о состоянии объекта не используется
Регулируемая величина – управляемый параметр.
Задающее воздействие определяет значение к которому должна стремится регулируемая величина.
Возмущающее воздействие - влияет на процесс (объект управления) нежелательным и, в большинстве случаев, непредсказуемым образом.
Воздействие, которое оказывает регулирующий орган на объект управления через исполнительный механизм.
- По назначению:
- система автоматической стабилизации – система, в которых задающее воздействие x(t) = const
- система программного управления – система, в которой сигнал x(t) есть заранее известная функция времени
- следящая система – система, в которой сигнал x(t) заранее неизвестная функция времени
- По способу математического описания:
- линейные
- нелинейные
- По виду сигналов:
- непрерывные
- дискретные
Основная задача создания системы управления – выполнение шагов при проектировании.
Функциональная схема системы управления:
В общем виде процесс управления предлагает наличие двух объектов:
- объекта управления
- системы управления или регулятора
Регулятор представляет собой набор определенных устройств и объектов, которые отличаются по функциональному признаку и часто имеют определенное положение в регуляторе.
Развернутая схема регулятора назначается функциональной САУ:
- Задающее устройство вырабатывает сигнал функции, связанный с регулируемой величиной.
- Сравнивающее устройство вырабатывает сигнал ошибки ε(t); в результате сравнения сигнал на входе с сигналом главной обратной связи.
- Преобразующее устройство преобразует сигнал одной физической природы в другую, т.е. перемещение тока (напряжения).
- и 8) Корректирующие устройства (последовательные, параллельные) предназначены для коррекции (улучшения) свойств системы (улучшение устойчивости, точности, быстродействия и др.)
- Вспомогательное сравнивающее устройство. Сравнивает сигнал в промежуточной точке основной цепи, передача данных сигналом местной обратной связи.
- Усилительное устройство. Предназначено для усиления сигнала по мощности и уровню.
- Исполнительное устройство. Оказывает непосредственное воздействие на объект управления через регулирующий орган. Если исполнительное устройство непосредственно связано с регулирующим органом и оказывает механическое воздействие, то его часто называют сервомотором.
- Чувствительный или измерительный элемент, предназначенный для преобразования регулируемых величин или помех в сигналы, удобные для дальнейшего использования в контуре управления.
- Элемент главной обратной связи. Вырабатывает сигнал, находящийся в определенной функциональной зависимости от регулируемой переменной.
Реальные технические устройства могут выполнять несколько функций (усиление, изменение, сравнение)
- часть системы, которая выражает сигнал ошибки – датчик регулятора.
- Часть системы, которая выражает регулирующее воздействие, называемое сервомеханизмом.
Прямое/непрямое регулирование. Астатическое/статическое регулирование. Несвязанные/связанные САР.
Прямое и непрямое регулирование.
Любая САР состоит из объекта регулирования и регулятора. Регулятор имеет чувствительный элемент, который измеряет отклонение регулируемой величины от требуемого закона изменения. Чувствительный элемент воздействует на регулирующий орган, изменяющий параметр таким образом, чтобы значение регулируемой величины стало равно заданному. В простейших регуляторах чувствительный элемент непосредственно осуществляет перемещение регулирующего органа. Такие САР, где чувствительный элемент воздействует непосредственно на изменение положения регулирующего органа, называются системами прямого регулирования, а регуляторы – регуляторами прямого действия Рис. 1
В этих регуляторах энергия, необходимая для изменения положения регулирующего органа, поступает непосредственно от чувствительного элемента. Реакция на чувствительный элемент снижает чувствительность этого элемента, в результате чего ухудшается качество регулирования.
Рис. 1
Достоинства:
- простота;
- надежность.
Недостатки:
- низкая точность;
- энергия, выработанная чувствительным элементом должна быть достаточной для осуществления регулирования.
В системах непрямого регулирования для перемещения регулирующего органа используются вспомогательные устройства, которые работают от дополнительного источника энергии. При этом чувствительный элемент воздействует на управляющий орган вспомогательного устройства, а вспомогательное устройство осуществляет перемещение регулирующего органа Рис. 2
Системы непрямого регулирования необходимо применять в тех случаях, когда мощность чувствительного элемента недостаточна для перемещения регулирующего органа и необходимо иметь высокую чувствительность измерительного элемента.
Рис. 2
Достоинства:
- высокая точность;
- меньшие габариты.
Недостатки:
- возможны потери устойчивости;
- требуется дополнительная энергия.
Астатическое/статическое регулирование.
Сар подразделяют на статические и астатические в зависимости от того, имеют ли они или нет ошибку в установившемся состоянии при определенного рода воздействиях.
Статическая система – это система, в которой всегда присутствует ошибка управления.
Основные характеристики: равновесие системы статического регулирования может быть при различных значениях регулируемой величины; каждому значению регулируемой величины соответствует единственное определенное значение регулирующего органа; контур регулирования системы должен состоять из статических звеньев, осуществляющих зависимость хвых = f(xвх)
Примером статической системы является Рис. 1 (см. выше)
Астатическая система – это система, в которой ошибка управления стремится к нулю.
Основные характеристики: равновесие системы астатического регулирования имеет место при единственном значении регулируемой величины, равной заданному; регулирующий орган в астатической системе должен иметь возможность занимать различные положения при одном и том же значении регулируемой величины.
Примером астатической системы является Рис. 2 (см. выше)
В астатических системах обязательно присутствует астатический элемент, которому безразлично положение равновесия. На Рис. 2 таким элементом является двигатель.
Следует различать системы статические и астатические по отношению к возмущающему и управляющему воздействиям. В системах, статических по отношению к возмущающим воздействиям, не одинаковым по постоянной величине, возмущающим воздействиям соответствует различное значение регулирующей величины. В астатических системах по отношению к возмущающим воздействиям значение регулируемой величины не зависти от величины возмущающего воздействия. Значение регулируемой величины остается постоянным, равным заданному.
Переходные процессы в статической (кривая 1) и астатической (кривая 2) системах по отношению к возмущающему воздействию.
Переходные процессы в статической (кривая 1) и астатической (кривая 2) системах по отношению к управляющему воздействию.
Несвязанные/связанные САР
В связанных САР для регулирования различных величин применяют регуляторы, связанные друг с другом. В таких системах связи могут быть таковы, что изменение одной из регулируемых величин не приводит к выключению остальных регуляторов. Такие САР называют автономными.
В несвязанных САР регуляторы не связаны друг с другом, хотя имеют общий объект управления.
Несвязанные САР бывают: зависимые и независимые. В независимых изменение одного из параметров не приводит к изменению остальных величины. В зависимых – приводит.
Виды типовых воздействий. Основные типы.
Для анализа работы САУ на их вход подают сигналы, соответствующие нормальным или экстремальным условиям работы. При этом используют два основных типа воздействия:
- единичный ступенчатый скачок
- дельта-функция или импульсное воздействие
Для специфичных систем могут применяться другие воздействия.
При поступлении на вход системы какого-либо воздействия в системе начинают происходить процессы, связанные с управлением или изменением регулируемой величины.
В результате на выходе будет фиксироваться график переходящего процесса. Переход из предыдущего положения к новому или возвратом к предыдущему.
А – величина перерегулирования.
В зависимости от свойств системы, реакция системы на ступенчатый сигнал в виде переходной характеристики может иметь 4 вида:
- колебательный переходной процесс. Характеризуется наличием 2–х или более числа перерегулирования. Это системы, которые в своем составе содержат маятники, пружины и катушки индуктивности.
- Малоколебательные системы. Системы с одним перерегулированием.
- Апериодические системы. Системы без перерегулирования.
- Монотонные системы. Системы, в которых за время регулирования tp переходный процесс не превышает требуемого значения регулируемой величины.
Реакция системы на импульсное воздействие (или А-функцию) называется импульсная переходная система. Классифицируется аналогично с переходной.
Время регулирования определяется при достижении графика переходного процесса 95% значения регулируемой величины.
Еще одним входным типовым воздействием является гармонический сигнал.
Математическое описание.
Как правило, математическая модель САУ является дифференциальным или интегрально-дифференциальным уравнением. Уравнения бывают двух видов:
- уравнение динамики (переходные процессы)
- уравнение статики (статические характеристики)
Уравнения статики получают из уравнения динамики. Для этого все производные сигналов приравнивают к нулю, либо к постоянной (const). В результате уравнение опишет связь между входом и выходом.
ώ
ώ1
Статическая характеристика
U1 U
Для составления математической модели САУ ее разбивают на отдельные элементы, для каждого из которых легко составляется и находится собственное уравнение. При этом необходимо учесть, что входной сигнал на какой-то элемент, есть выходной с предыдущего.
Поэтому получается система уравнений, решая которую получается математическая модель САУ, которая зависит от входного сигнала или выходного.
Методика составления математической модели:
- После разбивания на отдельные элементы необходимо для каждого элемента выявить тот физический закон, который определяет его поведение. Это закон Ньютона, закон сохранения энергии и другие фундаментальные законы физики. Запись осуществляется в дифференциальной форме, например: F = ma, F = m
- Определяются факторы, от которых зависят переменные, входящие в исходное уравнение и установленное выражения, характеризующего эту зависимость. Эти зависимости могут быть выражены аналитически или графически. Подстановка их в исходное уравнение дает нам, как правило, нелинейное уравнение элемента САУ, после чего, чаще всего, проводят линеаризацию, т.е. замену реальных свойств на упрощенные линейные зависимости. Но линеаризация должна быть допустимой.
Формы записи нелинеаризованных уравнений САУ
Линеаризованное дифференциальное уравнение:
где: y(t), x(t) – выходная и входная величины элемента
an, bn – постоянные коэффициенты
n – порядок уравнение, (n≥m)
Данное уравнение получается из решения системы уравнений.
Введем символ дифференцирования p =
(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0), y(t)
D(P)
(bmpm+bm-1pm-1+…+b0), x(t)
N(P)
D(P) и N(P) – полиномы
D(P)y(t) = N(P)x(t)
Для записи уравнений САУ используют несколько разных форм.
Выходные величины и ее производные = Выходные величины и все остальные члены
Выходная величина y(t) должна иметь коэффициент равный 1
Разделим левую и правую части на a0:
(TnPn+Tn-1pn-1+…+T1p1+1)y(t) = (kmpm+km-1pm-1+…+k1p1+k0)x(t)
Все коэффициенты Tn…T1 – постоянные времени. Измеряются в [c], характеризуют инерционные свойства системы.
km – коэффициент передачи.
Вторая стандартная форма записи.
Для нее применяют операторный метод или метод Лапласа. Решение дифференциальных уравнений сводится к алгебраическим действиям. В дифференциальном уравнении:
- вместо реальных функций времени записать их изображения по Лагранжу;
- в полиномах символ дифференциала P заменить на оператор Лапласа S
применим преобразование Лапласа:
D(S)Y(S)=N(S)X(S) + M(S)F(S)
Где S – оператор Лапласа (полином)
Y(S), X(S), F(S) – изображения по Лапласу выходной и входной величин элемента и внешнего воздействия
F(S) – дополнительный вход
Так как в реальных системах входов может быть много, то много и слагаемых. Однако, при анализе САУ применяют принцип суперпозиции. Он означает, что реакция системы (выход) представляет собой сумму реакций на каждом из входных воздействий. Поэтому можно рассматривать САУ последовательно с каждым входом.
Оператор Лапласа представляет собой комплексную величину:
S = c*jώ
с = Res – абсцисса абсолютной сходимости; вещественная часть комплексного числа.
Для перехода от реальной функции времени – оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот вводят прямое интегральное преобразование
Обратное интегральное преобразование
В результате преобразований Лапласа мы получаем алгебраическое уравнение изображения функции времени по Лапласу.
Введем обозначения:
- передаточные функции по входному сигналу x и f
Передаточная функция – отношение изображения выходного сигнала к входному.
Если индекса у функций нет, то предполагается, что есть только один входной сигнал X.
Так как выходной сигнал, как правило, нам известен или мы можем его задать в виде входного типового воздействия свойства системы, также известны (передаточная функция), то всегда стоит вопрос о нахождении изображения выходного сигнала.
Данную форму записи можно представить в виде структурной схемы:
Для того, чтобы применить преобразование Лапласа удобнее всего пользоваться специальными таблицами.
Данные таблицы применяются для так называемых причинных систем.
Причинная система – это динамическая система, для которой выполняется принцип причинности, т.е. выход такой системы Y(T) в какой-то момент времени t0 зависит только от значения входного сигнала x(t) в момент времени t меньше и равным моменту t0. Таким образом, в таких системах вектор фазовых координат и выходное значение зависит только от прошлого и текущего значения выходного сигнала.
В реальном мире все системы являются причинными.
S – корни характеристических уравнений.
Линеаризация дифференциальных уравнений.
Так как большинство систем является нелинейными, то необходимо найти нелинейную зависимость:
∆y
∆y x(t) = x0+∆x(t)
y(t) = y0+∆(t)
y0
∆x y = yn+Rx
∆x R = - коэффициент угла наклона касательной
x0
В рабочей точке с координатами (x0;y0) система постоянно работать не может, так как существует малое отклонение ∆y, ∆x. Касательная в рабочей точке показывает, что величина ошибки замены в качестве функции системы нелинейной на линейную не велика при малости ∆x.
1 – реальный график
2 2 – касательная к графику
1
Стандартные формы записи дифференциальных уравнений.
Применив к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа, получим: D(S)X(S) = N(S)X(S)+M(S)F(S), где S – оператор Лапласа.
Y(S); X(S); F(S) – изображение по Лапласу.
Ы – оператор Лапласа, представляет собой комплексную величину s=c+jώ, где s – корень характеристического уравнения (полином); с – вещественная часть комплексного числа или абсцисса абсолютной сходимости; ώ – угловая частота, разрядность [рад/с]
Для перехода от реальной функции времени, то есть от их оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот вводят прямое интегрируемое преобразование:
Обратное интегральное преобразование:
В результате преобразований Лапласа мы получаем алгебраическое уравнение изображающее функцию времени по Лапласу.
Введем обозначения:
Это выражение называют передаточным по входному сигналу X или F.
То есть передаточная функция – отношение изображения выходного сигнала к входному.
D(s)X(s) = N(s)X(s)
Если индексов у передаточной функции нет, предполагается только один входной сигнал x. Выход один, то, следовательно, и знаменатель будет один. Так как входной сигнал, как правило, известен, либо мы его можем задать в виде входного типового воздействия свойства системы также известны и представляются в виде передаточной функции, то всегда стоит вопрос по нахождению изображения выходного сигнала, то есть
, где Y(s) – реакция системы.
Данную форму записи можно представить в виде структурной схемы:
Для того чтобы применить преобразование Лапласа удобнее всего пользоваться специальными таблицами. Данные таблицы применяются для причинных систем.
Причинная система – это динамическая система, для которой выполняется принцип личности, то есть вход такой системы y(t) в какой-то момент времени зависит только от значений входного сигнала x(t) в момент времени t меньше или равное t0. Таким образом в реальном мире все системы – причинные, так как невозможно получить отклик системы на еще не приложенное воздействие.
Характеристики САУ
Далее будем рассматривать только линейные системы, подвергнутые линеаризации, с проведенной касательной.
Чаще всего система представляет собой набор легких динамических звеньев, которые есть модель устройства любого физического вида. В качестве входных воздействий применяют типовые и единичный ступенчатый скачок, дающие на выходе звена временные характеристики (переходная и импульсная), а гармонический входной сигнал – частотные характеристики на входе. Рассмотрим импульсную или весовую функцию звена, она есть реакция звена на w(t), дельта
Весовая функция обозначается ω(t) или w(t), которая зависит от передаточной функции и оказывается, что ω(t) есть:
Зная весовую функцию можно найти реакцию звена на любое входное воздействие x(t), разложение которого на -функции имеет вид
Интеграл свертки
(вычисляем из всей площади площадь всего без первого сигнала)
Тогда сигнал на входе линейного звена определяется так:
- вспомогательное время интегрирования.
Зная весовую функцию звена w(t) можно определить его передаточную функцию:
, где w(s) – функция веса (на сколько он весом)
Переходная функция звена h(t) есть реакция на единичный ступенчатый скачок:
y(t) = h(t), где h(t) – переходная функция.
Между типовыми и входными воздействиями и реакциями на них, есть связь
Весовая и временная функция называется временными, либо расчетным путем. Частотные характеристики звена являются реакцией звена на входной гармонический сигнал, который представляет собой вынужденные синусоидальные колебания, если на вход подать гармонический сигнал.
то после окончания переходного процесса на выходе установится сигнал вида:
, где x0 и y0 амплитуда входного сигнала, как правило x0 ≠ y0; ω – частота гармонических колебаний; - это фаза.
[Закладка 1]
Выходной сигнал отличается по амплитуде и фазе, но полностью совпадает по частоте. Оказывается, что выходной сигнал зависит от свойств системы и изменяется в зависимости от частоты входного сигнала; выделяют:
- Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ). Она обозначается как: . A1 – амплитуда входного сигнала; A2 – амплитуда выходного сигнала. АЧХ показывает на каком диапазоне частот происходит усиление выходного сигнала или его ослабление.
- Фазово-частотную характеристику (ФЧХ). Обозначается φ. , где - фаза выходного сигнала; - фаза входного сигнала. Показывает отстает или опережает выходной сигнал входной:
Показывает фазовые сдвиги, выносимые звеном на различные частоты.
ЛЧХ – логарифмические частотные характеристики.
Для удобства анализа системы управления, а так же их проектирования применяют две характеристики: ЛАЧХ (логарифмическая амплитудно-частотная характеристика) и ЛФЧХ (логарифмическая фазо-частотная характеристика). По оси x откладывается частота в логарифмическом масштабе, единицей измерения служит декада (десятикратное измерение частоты). На ЛФЧХ откладываются значения по следующей формуле:
Единицы измерения Децибелы [Дб]
ЛАЧХ и ЛФЧХ, как правило стоят вместе, для этого строят общую ось частот. По оси Y ЛФЧХ откладывают сдвиги фазы в градусах или радианах (равенство декад обязательно)
L(ω) L(ω) > 0 (усиление амплитудного сигнала)
60
40
20 с3
0,1 с1 1 с2 10 100 1000
-20 декада
-40 -
-60
Как правило ЛФЧХ стоят в виде асимптот, т.е. прямолинейных отрезков, заменяющих реальную ЛАЧХ, причем эти отрезки проводят кратными 10 Дб на декаду.
Точки изломов ЛАЧХ происходят на частотах сопряжения. Там, где ЛАЧХ пересекают ось частот, находится частота среза.
1 бел соответствует увеличению мощности в 10 раз; 2 бела в 100 раз. 1 Дб = 0,1 бел
- вещественная составляющая передаточной функции.
- мнимая составляющая передаточной функции.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ)
p – резонансная частота, т.е. частота на которой АЧХ достигает максимума, т.е. достигается максимальное значение сигнала.
ср – частота среза, на этой частоте АЧХ = 1, т.е. сигнал выходной по амплитуде равен входному по амплитуде ЛАЧХ = 0.
п – частота пропускания, полоса пропускания частот, на этой частоте АЧХ = ????
Если ФЧХ меньше, то сигнал отстает (сдвиг по фазе)
Если ФЧХ больше, то сигнал опережает.
Большинство реальных систем идут с отставанием.
Частотная передаточная функция:
при нулевых начальных условиях X и равных 0 воздействиях.
Из сравнения преобразований Фурье и Лапласа частотную передаточную функцию звена легко получить из его передаточной функции путем…..??????????
Структурные схемы
Структурная схема показывает алгоритм преобразований сигналов.
Структурные схемы состоят из линий, связи, узлов. Линии связи только однонаправленные. В узле считается, что сигнал определяется одинаковым образом.
В структурных схемах выделяют типовые соединения:
- последовательные – для такого соединения можно найти результирующую или эквивалентную передаточную функцию, которая есть производная всех передаточных функций.
- параллельные соединения
- схемы с обратной связью
3.1) с гибкой обратной связью = 0, отключаемая обратная связь
3.2) с жесткой обратной связью, W2(s) обратная связь бывает ≠ 0, если =1, то жесткая точка.
Жесткая связь часто бывает единичная W2(s) = 1, или чаще всего в обратной связи элемент не изображается. Она может быть как положительной так и отрицательной.
Результирующая для такого соединения находится:
Положительная для отрицательной обратной связи и отрицательная для положительной обратной связи.
В структурных схемах иногда содержатся перекрещивающие связи, которые не позволяют выявить перечисленные соединения, тогда пользуются специальными правилами преобразования (для получения больших степеней выше второго порядка)
Типовые динамические звенья и их характеристики.
В структурных схемах изображается, как правило, элементарные или типовые звенья. Элементарные – это звенья, которые показывают такой алгоритм преобразования сигналов, который нельзя заменить более простым. Такие звенья имеют не выше чем второй порядок и их делят на следующие группы:
1) инерционные и безинерционные
2) алгебраические и трансцендентные (неалгебраические)
3) минимальнофазовые и неминимальнофазовые
Безинерционные звенья:
- Пропорциональные (идеально усилительное) звенья. Передаточная функция такого звена:
, где k – коэффициент передачи или усиления. Импульсная и переходная характеристики представляют собой усиленные в k-раз единичный ступенчатый сигнал или дельта-функция.
- Дифференциальное звено. Описывается: ; передаточная функция
- Интегрирующее звено (безинерционные). Описывается двумя уравнениями: - упрощена (начальные условия). Интегрирующее звено зависит от начальных условий.
h(t)
t
Передаточная функция
- Инерционные звенья:
Апериодическое звено первого порядка: - периодическая функция. T – постоянная времени, характеризует инерционность устройства, описываемая как апериодическое звено. Чем больше T, тем больше длительность переходного процесса.
Для дифференцирующего звена W(s) = ks
ФЧХ
ЛАЧХ
Интегрирующее звено
ФЧХ
ω
φ(ω)
ЛАЧХ
L(ω)
Ω
1) АФЧХ
U(ω)
ω=0
v(ω)
ω
2) АЧХ
A(ω)
k
ω
3) ФЧХ
(частота сопряжения)
ω
φ(ω)
4) ЛАЧХ
Т.к. частоты, на которых работает устройство могут быть очень велики, то во втором вычитаемом влияние единицы велико и можно воспользоваться упрощенным уравнением:
Такое уравнение позволяет воспользоваться ассимптотичесим ЛАЧХ.
Ассимтотическая ЛАЧХ:
L(ω)
3Дб – ошибка
20lg k
При анализе САУ такой ошибкой (3Дб) пренебрегают (т.е. в 30 раз)
Таким звеном описываются фильтры низких частот (звенья, которые эффективно отрабатывают низкие сигналы), RC цепочки, нагревательные объекты (теплообогреватели), двигатели.
Колебательное звено.
ξ – параметр затухания колебаний, лежит в пределах: 0 < ξ < 1
Чем меньше ξ, тем выше колебательность системы.
Временные характеристики представляют собой затухающие колебания.
[Закладка 2]
|
Преобразование |
Исходная схема |
Эквивалентная схема |
|
1. Перенос узла ветвления через звено. а) по направлению передачи сигнала |
|
|
Колебательное звено АФЧХ
IM
ω=∞ ω=0
ω
АЧХ
А(ω) ξ = 0,1
ξ = 0,3
ξ = 0,4
ξ = 0,5
ξ = 0,8
ω
ωp
Колебательное звено характеризуется наличием резонансной частоты, однако, резонансная частота, явно присутствует только для малых коэффициентов затухания.
ФЧХ
ω
ξ = 0,9
π
ξ = 0,1
φ(ω)
ЛАЧХ
L(ω) ξ = 0,1
ωср ξ = 0,9
ω
ωс=
Реальная ЛАЧХ может резко отличаться от асимптотической, т.е. ошибка будет более 3 Дб в зависимости от величины коэффициента затухания. В пределах от 0,4 до 0,7 можно пользоваться асимптотической ЛАЧХ.
Для других значений необходимо проводить уточнение в окрестностях ωс (частоты сопряжения) Описываются устройства с пружинами, маятниками, катушками индуктивности и т.д.
Консервативное звено (частный случай колебательного звена, когда ξ = 0):
Передаточная функция:
АФЧХ
Im
ω
k Re
ω = 0
ω = ∞
АЧХ
A(ω)
k
ωр ω
ФЧХ
ω
-π
φ(ω)
у консервативного звена ωрез = ωсопряжения
Переходной процесс для единичного ступенчатого сигнала и дельта функции представляет собой не затухающие колебания, равные частоте собственной колебаний системы.
ЛАЧХ
L(ω)
ξ = 0,1
ω
При анализе СУ часто выделяют специальные звенья, которые не являются элементарными, но позволяют упростить анализ системы:
- форсирующее звено первого порядка
, где τ – постоянная дифференцирования.
АФЧХ
Переходная и импульсная функции
,
Группа инерционных звеньев
Звенья похожи, как зеркальные.
ЛАЧХ
L(ω)
ω
Т.е. форсирующее звено – это опережение сигнала, усиление.
- Форсирующее звено второго порядка
φ(ω)
ω
K
2kTξs
kTs kTs
L(ω) форсирующее звено
II порядка
ω
колебательное звено
- Апериодическое звено второго порядка
При большой дисперсии (рассеивание энергии в пространстве) энергии в объекте коэффициент затухания системы может оказаться больше единицы, и, тогда, колебательное звено, ведет себя как апериодическое звено второго порядка.
1)
Представляет собой интегрирующее и форсирующее звенья первого порядка
- Интрегрально-дифференцирующее звено
Все перечисленные звенья являются алгебраическими.
Трансцендентные звенья. Основным и элементарным элементом этой группы является звано чистого запаздывания. Если выходная величина повторяет входную с некоторой задержкой во времени, то в идеальном случае описывается следующим образом
, где τ – время запаздывания.
Используется в любых транспортных системах.
ЛАЧХ и АЧХ такого звена совпадают с характеристиками пропорционального звена.
АФЧХ: ФЧХ:
Im
Re
ωτ
φ(ω)
Построение АЧХ разомкнутой цепи звеньев.
Передаточную функцию можно привести к
Для построения асимптот ЛАЧХ выполняют следующие правила (правила приведены не последовательно!):
- Частотная область разбивается на диапазоны в соответствии с уравнением . Число сопрягаемых частот равно числу постоянной времени в передаточной функции системы, поэтому число диапазонов больше на 1.
- Низкочастотная асимптота проводится под наклоном -(20*r) Дб/дек, где r – порядок астатизма системы (число интегрирующих звеньев). Она проходит через точку с координатами ω=1 Гц, на высоте 20lgk [Дб] точка начала построения ЛАЧХ.
- На сопрягающих частотах ωс ЛАЧХ изменяет наклон в соответствии с тем, какому из звеньев соответствует постоянная времени сопрягающей частоты. В числителе звенья дают «+» изломы (+20Дб/дек – для форсирующего звена 1-го порядка; +40Дб/дек – для форсирующего звена 2-го порядка). Если передаточная функция в знаменателе, то наклон «-» (-20Дб/дек – для апериодического звена; -40Дб/дек – для колебательного звена).
- Каждая новая асимптота идет до следующей сопрягающей частоты.
- Низкочастотная асимптота проводится под наклоном -(20*r) Дб/дек, где r – порядок астатизма системы (число интегрирующих звеньев). Она проходит через точку с координатами ω=1 Гц, на высоте 20lgk [Дб] точка начала построения ЛАЧХ.
Для построения ЛФЧХ необходимо построить ЛФЧХ каждого из звеньев входящих в исходную передаточную функцию, а затем провести графическое сложение.
Сначала производится расчет максимального сдвига фаз в системе. Для этого все сдвиги фаз звеньев складывают, при этом звенья в числителе дают положительные сдвиги фаз, а в знаменателе – отрицательные. Перегиб равен
Неминимально-фазовые звенья.
Все рассмотренные ранее звенья являются минимально фазовыми, кроме звена частого запаздывания. Неминимально-фазовые звенья, это такие звенья, которые, в отличие от обычных типовых звеньев, имеют большие фазовые сдвиги при равенстве АЧХ соответствующего им звена.
Звено с положительным полюсом.
(неустойчивое апериодическое звено)
АЧХ и ЛАЧХ такого звена только совпадают с АЧХ и ЛАЧХ апериодического звена
A(ω) L(ω)
ω
ω = 0 ω = ∞
Re
-π
Звено с положительным нулем
Существует также неустойчивое колебательное звено, которое так же содержит отрицательные слагаемые в знаменателе, и в отличии от колебательного звена на низких частотах имеет сдвиг фаз
Закон регулирования
Под законами регулирования или управления понимают алгоритм или функциональную зависимость, определяющая управляющее воздействие на объект. Чаще всего управляющее воздействие обозначается как u(t)
Линейный закон описывается следующее формулой:
отсюда, т.к. данный закон есть сумма элементарных звеньев, то законы управления или регулирования описывают чувствительность регулятора пропорциональной, интегральной или дифференциальной составляющей.
Выделяют следующие регуляторы или законы управления (любой закон реализуется при помощи подключенных соответствующих элементарных звеньев):
P – пропорциональный закон
I – интегральный закон
PI – изодромный закон
PD – пропорционально-дифференциальный закон
И более сложные PID, PIID, PIDD и т.д.
Самые распространенные это PID регуляторы.
Анализ САУ
Анализ включает в себя определение способности системы эффективно функционировать и выполнять требования, предъявляемые к этой системе (быстродействие, колебательность и т.д.)
Способность функционировать оценивается по понятию устойчивости, для чего применяются критерии устойчивости. На первом этапе оценивается устойчивость линейной системы. Если система оказывается на границе устойчивости, то необходимо обязательно учесть нелинейность системы и после чего сделать вывод об устойчивости системы. Для нелинейных систем, оценка устойчивости проводится в большом и малом. Линейные системы оцениваются по устойчивости только в малом, т.е. при малых входных воздействиях.
Понятие устойчивости.
Устойчивость – свойство системы, характеризующее способность системы возвращаться в равновесное состояние после снятия внешних сил, которые вывели ее из данного состояния равновесия.
устойчивая система
неустойчивая система
безразличная система
А В
А В
устойчивость в малом, неустойчивость в большом
u(t)
u2
u1
t1 t2 t
I
t
∞
II
t
III
t1 t2 t
I – устойчивая система, в момент времени t2 переходной процесс может еще не закончится
II – неустойчивая система, переходной процесс как-то продолжается
III – безразличная система, положение равновесия (на границе устойчивости)
Графики могут быть и колебательные.
Математическое условие устойчивости.
Т.к. по графику переходного процесса можно однозначно провести оценку устойчивости системы, следовательно необходимо найти выходной сигнал системы, который определяется из дифференциального уравнения САУ:
Решение данного уравнения дает нам слагаемые (Ув и Уп)
Ув – вынужденная составляющая выходного сигнала.
Уп – переходная составляющая выходного сигнала.
При чем Уп определяет поведение системы после снятия нагрузки (или сил), следовательно, зная Уп можно определить устойчивость системы, при этом Уп полностью определяется полиномом D(p), который равен:
а этот полином определяет вид знаменателя передаточной функции (по нему можно определить устойчивость системы). Решение данного полинома в общем виде:
, где s1–sn – корни данного полинома, они же корни характеристики этого уравнения, т.е. корни знаменателя передаточной функции С1-Cn – постоянные интегрирования.
Допустим, что у нас уравнение первого порядка, при чем корень вещественный, возможно, что отрицательный или положительный.
2
Неустойчивый
C1es1t
1
Устойчивый
0
Если система II-го порядка, то в ней возможно появление комплексных сопряженных корней (возможны три случая):
- корни содержат отрицательную вещественную часть В этом случае график представляет собой затухающие колебания (т.е. устойчивая система);
- если корень с положительной вещественной частью, то получим расходящиеся колебания, т.е. система неустойчивая;
- корни имеют нулевую вещественную часть (получим затухающие колебания), т.е. безразличную систему (система находится на границе устойчивости)
Для систем любого порядка, в которых корни могут быть комбинацией предыдущих случаев оказывается, что даже одна положительная вещественная часть какого-либо корня приводит к неустойчивому переходному процессу.
Математическое условие устойчивости:
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех корней характеристического уравнения была отрицательна, если имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то система неустойчива.
Im
+jB2
+jB3
-α3 -α2
Re Устойчивая система
α1
-jB3
-jB2
Im
+jB2
-α2
Неустойчивая система
+α4 Re
-jB2
Если в системе имеется хотя бы один нулевой корень (s = 0)? То система находится на апериодической границе устойчивости. Если есть хотя бы одна пара чисто мнимых корней, т.е. (α = 0) то система находится на колебательной границе устойчивости. Для таких систем ничего нельзя сказать об устойчивости, поскольку математическая модель и математическое описание для линейных систем имеет ряд упрощений и допущений.
Т.к. нахождение корней характеристического уравнения высокого порядка является затруднительным (все математические пакеты позволяют найти корни только приблизительными методами, следовательно не обладают 100% точностью) поэтому были разработаны специальные критерии оценки устойчивости, без нахождения корней. Существует две группы критериев: 1) алгебраические; 2) частотные.
Алгебраические критерии устойчивости:
Не решая самого характеристического уравнения можно судить о знаках действительной или вещественной части корня по косвенным признакам. На основе этих косвенных признаков были разработаны критерии устойчивости Гурвица.
Для данного критерия составляется некий ряд неравенств, которые связывают коэффициенты характеристического уравнения системы:
λ – корни характеристического уравнения.
(где a0>0)
Составим для такого полинома определитель Гурвица; он имеет n строк на n столбцов, где n – порядок уравнения.
Матрица (определитель)
Правила:
- По главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от an-1 до a0.
- От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы увеличивались сверху вниз.
- На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Условие устойчивости заключается в требовании положительности определители Гурвица и всех его диагональных миноров.
Критерии Гурвица:
Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры были больше нуля. Необходимым условием устойчивости является требование чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
Если a0 = 0, то система находится на апериодической границе устойчивости.
Интегрирующее звено – больше всего изменений в САУ.
Если =0, то система находится на колебательной границе устойчивости.
Недостаток критерия – трудности расчетов для систем высокого порядка.
Поэтому были предложены критерии Льенара-Шепарда, который говорит, что для устойчивости линейных САУ необходимо и достаточно чтобы были положительными четные или нечентые миноры определителя Гурвица.
Критерий устойчивости Рауса.
Этот критерий предполагает использование коэффициентов характеристического уравнения по которым составляется таблица Рауса по определенному алгоритму. В первой строке записываются четные коэффициенты an, an-2, an-4, во второй нечентые an-1, an-3 и т.д. Для остальных строк используется следующая формула:
где i больше или равно s (номер строк)
k – номер столбца.
Число строк таблицы равно n+1, где n – порядок уравнения.
Критерий Рауса.
Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно чтобы коэффициент первого столбца таблицы Рауса (c11, c12, c13 …) были положительны. Если есть хотя бы один отрицательный, то система неустойчива. Количество переменных знаков в первом столбце определяет число первых корней.
Частотные критерии устойчивости.
Данные критерии относятся к графическо-аналитическим методам и по виду частотных характеристик позволяет судить об устойчивости.
Достоинства: простота построения для систем любого порядка, наглядность, возможность оценивать устойчивость замкнутых систем по частотным характеристикам разомкнутой системы.
Недостатки: неточность (приблизительность) графиков.
Запишем характеристический полином САУ в виде
Для такого уравнения можно применить принцип аргумента, который основан на понятии поворота векторов корней уравнения при изменении частоты ω
Im
λ-λ1
jβ
λ1
- частота, т.е. вектор вращается
α Re
Представим характеристическое уравнение системы разомкнутой по теореме Безу. Получим:
, где (i = 1,2,3…n) – нули или корни полинома Q(A)
Если частота ω изменяется, то вектор или вращается по часовой или против часовой стрелки в зависимости от того с какой стороны от мнимой оси он расположен.
Для системы любого порядка необходимо оценить не только направление вращения результативного вектора (вектор вращается против часовой стрелки, если корень левый и по часовой если корень правый) для определения угла поворота необходимо сделать следующее
Если l нулей (корней) полинома Q(λ) расположен в правой полуплоскости а остальные (n-l) нулей, в левой то при изменении частоты ω от 0 до +∞ аргумент вектора изменится на угол (n-2l) или
Критерий устойчивости Михайлова
Основан на исследовании связи между расположением корней характеристического уравнения и годографом данного полинома на комплексной плоскости. Для исследования берется знаменатель передаточной функции, для которого строится частотная характеристика, которая называется годографом Михайлова.
Для устойчивости системы n-ого порядка необходимо и достаточно чтобы вектор годографа Михайлова при изменении частоты от 0 до +∞ повернулся бы против часовой стрелки не обращаясь в ноль, вокруг начала координат на угол , где n – порядок уравнения.
Im
n=2
n=5
0 Re
n=3
n=4
Im
0 Re
n=3
n=3
-∞
S=jω
Если =0, то годограф из начала координат и находится на границе устойчивости. Значит в системе интегрирующее звено (ошибка стремится к нулю)
Im
2 1 ω 3
a0=kкр
a0 Re
kкр
n=3 n=3 n=3 a0=0
При 3– система на кол-ной границе устойчивости (чисто мнимый корень)
Т.к. чаще всего a0 – коэффициент есть коэффициент усиления системы, то годограф Михайлова позволяет определить его критическое значение kкр
Часто можно определить устойчивость системы без построения графика, для этого используется условие премежаемости корней.
Im
ω1
ω2 ω0 Re
ω3
n=4
Из вещественной части уравнения находят частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось U(ω)=0, эти частоты находят как корни уравнения им присваивают нечетные индексы (ω1, ω3, ω5 и т.д.) аналогично для мнимого уравнения по частотам дают частные индексы (ω0, ω2, ω4 и т.д.) Если выполняется условие ω0<ω1<ω2< ω3<… то условие выполнено и система является устойчивой.
Критерий устойчивости Найквиста (для разомкнутой системы)
Данный критерий позволяет оценивать устойчивость замкнутой системы ( с учетом обратной связи) по передаточным функциям разомкнутой системы которая в большинстве случаев проще замкнутой. Как и в случае с Михайловым так же рассматривается угол поворота некого вектора на комплексной плоскости который зависит от корней.
Замкнутая система:
В результате такой подстановки можно убедиться что порядок заменяемой замкнутой системы совпадает с порядком разомкнутой системы, но отличается по коэффициентам. Если для такой системы определить угол поворота по принципу аргумента, то окажется что он также зависит от количества левых и правых корней в системе. При этом возможны два случая: 1- разомкнутая система устойчива; 2- разомкнутая система неустойчива, при этом замкнутая система может быть как устойчива так и неустойчива. Годограф по которому определяется вращение – годограф Найквиста, который можно найти из следующего уравнения
если s = jω, то
где - годограф Найквиста, а - АФЧХ разомкнутой системы
Т.к. один годограф от другого отличается на 1, то рассмотрим АФЧХ разомкнутой системы относительно точки с координатами (-1;j0) (-1;0)
Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивой разомкнутой системы необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывало точку с координатой (-1;j0)
Im Im
ω=0 ω=0
-1 -1
Re Re
устойчивая разомкнутая неустойчивая
неустойчивая замкнутая разомкнутая система
устойчивая замкнутая
II случай – если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывало точку (-1;j0) l/2 раз, где l – число правых корней характеристического уравнения.
Если АФЧХ системы проходит через точку (-1;y0), то система находится на границе устойчивости.
-1 ω
Логарифмический критерий Найквиста
Как и для способа определения устойчивости по АФЧХ разомкнутой системы можно оценить устойчивость и по другим частотным характеристикам разомкнутой системы. Наиболее удобные – логарифмические.
L(ω)
L(ω)<0
L(ω)>0
ωср Lπ2 ω
Lπ1
θ0
-π
1 2 3
φ (ω) «-» «+» «-»
Hπ2 Hπ1 Im
R=1
2 (-1)
3 1800 Re
θ0
ω
Если рассмотреть АФЧХ и ЛЧХ, то можно увидеть четкое соответствие. Так на отрицательном направлении вещественной оси, там, где находится точка (-1;y0) можно найти точки пересечения графика с этой осью при этом оказывается, что годограф на этих точках получает поворот -1800. Следовательно, эти точки на ЛФЧХ находятся на том же угле. Т.к. точка (-1;y0) годограф может охватывать только при условии, что он >1, то на ЛАЧХ нас интересует диапазон частот, где l(ω)>0. На частоте среза (ωср) вектор единичен, но именно на ней по ЛФЧХ определяется степень удаленности его от линии –π
Формулировка критерия Найквиста: Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ на диапазоне где L(ω)>0 имела нулевое число переходов через именно –π
Критерий Найквиста, кроме оценки устойчивости позволяет определить так называемый закон устойчивости – на сколько обеспечена устойчивость системы, при возможных изменениях ее свойств. Выделяют два запаса устойчивости: 1) запас устойчивости по фазе; 2) запас устойчивости по амплитуде.
По фазе определяется величина угла на частоте среза (ωср) как разница угла –π и значения ЛФЧХ на этой частоте. Запас по амплитуде определяется по частоте на которой ЛФЧХ имеет сдвиг фазы –π, а величина ЛАЧХ на этой частоте дает запас по амплитуде. Если ЛФЧХ на частоте срезу имеет сдвиг фазы –π, то система находится на границе устойчивости.
Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо чтобы ЛФЧХ пересекло линию -π раз. Где L – число правых корней характеристического уравнения.
\
Устойчивая астатическая система.
Im Im
ω=∞ ω=∞
-1 -1
0 Re 0 Re
первый порядок астатизма второй порядок астатизма
На данных рисунках разомкнутая система находится на границе устойчивости, но т.к. точка (-1;j0) не охвачена, то замкнутая система устойчива.
Критерий Найквиста для систем с запаздыванием.
Рассмотрим апериодическое звано II порядка
Построив для нее АФЧХ можно убедиться, что система является устойчивой для любых T, если ввести в систему звено чистого запаздывания, то АФЧХ разомкнутой системы будет определяться по следующему уравнению:
Т.е. новая характеристика будет отличаться от первоначальной только сдвигом фаз на каждой частоте. Он будет увеличиваться на величину –ωt, где t – время запаздывания.
Hπ
φ(ω)
Из-за значений увеличивается отставание по фазе. Такое звено резко ухудшает устойчивость системы и значения уменьшает запас. При наличии такого звена всегда требуется определить приблизительное время запаздывания.
Области устойчивости
D – разбиение.
При анализе системы часто стоит вопрос не только оценить устойчивость системы при определенных ее характеристиках, но и найти некие границы, в которых могут измениться эти параметры без потери устойчивости системы. Наиболее просто из них способ – способ определения параметров, при которых система будет находится на границе устойчивости. Чаще всего для этого используют алгебраические критерии устойчивости.
Однако, найденные границы никаким образом не позволяют дать оценку по качеству, т.е. при каких значениях система более устойчива, при каких менее, т.е. либо устойчива либо нет. Некоторую качественную оценку дает критерий Найквиста, при помощи запаса устойчивости. Выделяют два способа определения границы устойчивости: 1) в плоскости одного параметра; 2) в плоскости двух параметров. Эти два способа позволяют определить не только границы устойчивости, но и области параметров, при которых система является устойчивой. Такие области называют областями устойчивости.
Корни, при изменении параметров каким-то образом, двигаются на комплексные плоскости и могут попасть на мнимую ось, что и будет соответствовать выходу на соответствующую границу устойчивости. В этом случае сама мнимая ось является границей области устойчивости движения корней. Если для построения областей устойчивости применить критерий Михайлова, в котором один иди два параметра могут быть заданы как варьируемые, то полученный новый годограф, будет представлять некую область устойчивости, а весь метод называется D-разбиением.
Для такого D-разбиения необходимо получить передаточные функции замкнутой системы, в который входит варьируемый параметр. После разбиения на вещественную и мнимую составляющие системы, мы получим систему из двух уравнений, из которых мы и находим области устойчивости при изменении частоты от -∞ до +∞.
Im(B)
ω = +∞
II
I III
Re(A)
т.е. мнимая ось ω = +∞
изогнутая
область
область III – область устойчивости в данном случае.
Количество правых корней равно количеству областей (+1)
В результате получаются от двух и более областей.
Далее необходимо определить какая из областей является областью устойчивости. Для этого в случае построения в плоскости первого параметра необходимо взять любую точку внутри интегрирующей области и по значениям этой точки провести оценку устойчивости по любому известному критерию. Если для данной точки система оказывается устойчивой, то в этой области по ее границе наносится штриховка внутрь с продолжением ее в другой области.
В случае построения области устойчивости в плоскости 2-х параметров нанося штриховку по следующему принципу:
Если при возрастании частоты будет положителен определитель
то штриховку наносят слева, если отрицателен – справа.
Структурная устойчивость САУ
Если устойчивость системы может быть достигнута путем изменения ее параметров не меняя ее структуры – такая система называется структурно устойчивой, в противном случае структурно неустойчивой. В случае отсутствия скрещивающихся связей при последовательном соедини различного набора элементарных звеньев (если интегрирующее звено только одно), то такая система может быть структурно устойчивой. Если же интегрирующих звеньев два и более, то добиться устойчивости такой системы без изменения ее структуры невозможно.
Случай многоконтурной системы управления. Удобным является провести оценку устойчивости по всем контурам по отдельности. И если каждый из них оказывается устойчивым, то такая система является так же устойчивой.
1 2 4 5 6
3
7
I контур содержит звенья 1,2,4,5,6,7
II контур содержит 2,3 звенья
III контур содержит 4,5 звенья
Контур содержит обратную связь и элемент сравнения.
Достоинства такого метода:
Возможность определения того контура, который оказывает отрицательное влияние на устойчивость системы и в дальнейшем нужно обеспечить устойчивость данного контура. Для таких систем можно применять все известные критерии, при этом в случае применения частотных критериев результатом будет серия частотных критериев.
2. философии бытия будет рассматриваться ветвь современной европейской философии которую можно пожалуй п
3. мертвых источников когда для раздувания библиографии в список использованной литературы заносятся все из
4. Государственный бюджет- проблемы формирования и использования
5. Реферат на тему- Життя і творчість Остапа Вишні 13 листопада 1889 ~ 28 вересня 1956 Письменник унікаль
6. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата юридичних наук Ха
7. Тема. Методы социальной психологии
8. Философия очной формы обучения Тюмень ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЮМЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИ
9. В задачи статистики населения входит изучение и анализ численности размещения состава воспроизводства и
10. Антивирусные программы
11. чужой религиозную рознь и нетерпимость
12. Сборник упражнений по интеллектуальному тренингу
13. Заходи з охорони праці при очищенні і зберіганні зерна Охорона праці керується великою кількістю но
14. Киевская Русь роль православия
15. Реферат- Филология
16. Применение методов сетевого планирования при составлении плана закупок материально-технических ресурсов.html
17. тема бюджетирования и внутрихозяйственной отчетности
18. правовым формам их регистрация и ликвидация формы собственности
19. а любовь к родине; привязанность к месту своего рождения
20. Белстройлицензия;Оставить пустым 5 оценки При каком виде коррозии бетона происходит раствор