Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
11.5. Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к. х, то , т.к. b = const, то .
Тогда , следовательно,
.
Т.к. , то , следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:
y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
11.6. Общая схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < -, y < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y < 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y > 0, кривая вогнутая
< x < , y > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
- < x < -, y > 0, функция возрастает
- < x < -1, y < 0, функция убывает
-1 < x < 0, y < 0, функция убывает
0 < x < 1, y < 0, функция убывает
1 < x < , y < 0, функция убывает
< x < , y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-; ).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
. Видно, что у 0 при любом х 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.
y = 0 при х =0 и y = при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.
Пример: Исследовать функцию и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
; y = 0 при х = 2, у = при х = 0.
y > 0 при х (-, 0) – функция возрастает,
y < 0 при х (0, 2) – функция убывает,
у > 0 при х (2, ) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.
> 0 при любом х 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.
6. Построим график функции.
Пример: Исследовать функцию и построить ее график.
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
- наклонных асимптот не существует.
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число
х = 1. Тогда:
4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1
4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1
- 5x2 + 6x
- 5x2 + 5x
x - 1
x - 1
0
Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:
Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
|
(- ; ¼) |
1/4 |
(¼; ½) |
1/2 |
( ½ ; 1 ) |
1 |
(1 ; ) |
|
|
f(x) |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
0 |
+ |
|
f(x) |
убывает вып. вниз |
min |
возрастает вып. вниз |
перегиб |
возрастает вып. вверх |
перегиб |
возрастает вып. вниз |