Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Геометричні властивості
основних кривих другого порядку.
1. Еліпс
На цей момент еліпс означений своїм канонічним рівнянням: (1)
Деякі геометричні властивості еліпса випливають безпосередньо з нього. Наприклад, очевидно, що еліпс є симетричним відносно обох координатних осей, оскільки разом з точкою він обов’язково містить і точки , , , тому всі властивості точок досить розглядати лише в першій чверті. Очевидно також, що всі точки еліпса знаходяться всередині прямокутника Точки , , та називаються вершинами еліпса. Оскільки , то при зростанні від 0 до спадає від до 0. Дослідження першої та другої похідних та дозволяють встановити гладкість еліпса та напрямки опуклості (це ми залишаємо для самостійної роботи читача). Таким чином, форму еліпса повністю з’ясовано – її зображено на рис. 1.
Рис. 1
Розглянемо геометричне місце точок, що мають таку властивість: сума відстаней будь-якої точки від двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величиною сталою. Покажемо, що цим геометричним місцем точок є саме еліпс.
Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОХ співпала з фокальною віссю ( прямою, якій належать фокуси ), а фокуси знаходилися б симетрично відносно початку координат. Розглянемо довільну точку з координатами , яка має вказану вище геометричну властивість. Координати фокусів позначимо відповідно та . Нехай .
1. Означення та називаються фокальними радіусами точки .
Покладемо (2)
( З очевидних геометричних міркувань випливає, що ). Отже, маємо:
,
або . Оскільки обидві частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення:
.
Повторне піднесення до квадрату приводить до рівності:
.
Позначимо та поділимо обидві частини останньої рівності на . Остаточно одержимо – це і є канонічне рівняння еліпса, центр якого знаходиться в початку координат. Залишаємо читачеві можливість самостійно переконатись, що проведені вище перетворення не привносять сторонніх коренів в рівняння (1). Параметри канонічного рівняння еліпса носять цілком природні назви: – велика вісь ( – велика піввісь ) – мала вісь ( – мала піввісь ).
2. Означення Ексцентриситетом еліпса називають відношення відстані між фокусами до великої осі : .
Для еліпса очевидно, що .
Корисними є формули, що зв’язують параметри еліпса з його ексцентриситетом: , або .
Ексцентриситет є мірою «сплюснутості» еліпса – зокрема при одержимо , тобто рівняння (10) задає коло. Цікавим виявляється і «шлях у зустрічному напрямку» – вивести з канонічного рівняння (10) геометричну властивість (11). Дійсно, для довільної точки еліпса маємо:
,
а отже, . (3)
Цілком аналогічно можна одержати, що , (4)
звідки й випливає властивість (2). Формули (3) та (4) дають раціональні вирази для фокальних радіусів та .
Рівняння еліпса часто розглядається в параметричній формі: , де .
2. Гіпербола
Канонічне рівняння гіперболи (5)
дає підстави для наступних висновків: по-перше, гіпербола, так само як і еліпс є кривою симетричною відносно обох координатних осей, по-друге, гіпербола перетинає лише вісь ОХ в точках та – вони називаються вершинами гіперболи, а відрізок – дійсною віссю. З віссю OY гіпербола спільних точок не має, тому відрізок називається уявною віссю. Для всіх точок гіперболи справедлива нерівність . Оскільки , то при зростанні від до в першій чверті також зростає від 0 до . Неважко пересвідчитись, що , тобто гілка гіперболи нескінченно наближається знизу до прямої , але не перетинає її.
3. Означення Прямі називаються асимптотами гіперболи.
Дослідженням першої та другої похідних та читачі самостійно можуть переконатись у гладкості гіперболи та встановити напрямки опуклості її графіка. Графік гіперболи зображено на малюнку (рис. 2).
Рис. 2.
Покажемо, що точки гіперболи мають видатну геометричну властивість – модуль різниці відстаней будь-якої точки гіперболи від двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є сталою величиною.
З цією метою розглянемо ПДСК, початок якої знаходиться посередині відрізку, кінцями якого є фокуси, а фокальна вісь збігається з віссю ОХ. Нехай точка має координати . Координати фокусів позначимо відповідно та , а фокальні радіуси точки – та . Покладемо
(6)
Припустимо спочатку, що , тоді . Отже з рівності (6) маємо:
,
або . Оскільки обидві частини рівності додатні, піднесемо рівність до квадрату і виконаємо очевидні скорочення:
, звідки випливає
.
Позначивши остаточно одержимо: – канонічне рівняння гіперболи. Йому задовольняють і точки, для яких . Початок координат є центром гіперболи, так само як і у випадку з еліпсом.
4. Означення Ексцентриситетом гіперболи називається відношення .
Для гіперболи . Очевидні також формули зв’язку параметрів гіперболи з її ексцентриситетом:, або .
Пропонуємо переконатись самостійно, що для точок правої гілки гіперболи справедливі формули:
; , (7)
а для точок лівої гілки –
; (8)
Гіпербола, яка задається рівнянням , має за дійсну вісь відрізок на осі ОY, а за уявну – відрізок на осі ОХ. Вона називається спряженою до гіперболи (5).
3. Парабола
Повернемось до рівняння параболи: (9)
Оскільки , то очевидно, що параболі належать пари точок симетрично розташованих відносно осі ОХ: та , для яких . Кажуть , що вісь ОХ є віссю параболи, а точка – її вершиною.
Покажемо, що для точок параболи характерна наступна властивість: відстань будь-якої точки до деякої прямої, що зветься директрисою, рівна відстані цієї точки до фокуса.
Введемо в розгляд ПДСК, вісь ОХ якої перпендикулярна директрисі, а початок координат є серединою відрізка проведеного від фокуса до директриси (див. рис. 3.).
Рис. 3.
Нехай точка має координати . Відстань від директриси до фокуса позначимо . Тоді координати фокуса – точки . Позначимо і одержимо:
, (10)
або , звідки і випливає рівняння (9). Щоб узагальнити певним чином рівняння всіх трьох кривих, вважають ексцентриситет визначеним і для параболи і покладають його в цьому випадку рівним одиниці: . Рівняння директриси параболи: .
Фокальні властивості кривих другого порядку.
Спорідненість всіх трьох кривих проявляється і в спільних так званих фокальних властивостях. Введемо спершу поняття директрис для еліпса та гіперболи.
5. Означення Директрисами еліпса або гіперболи називаються прямі, перпендикулярні фокальній осі еліпса або гіперболи, симетрично розташовані на відстані від центру кривої (випадок кола, коли , тут не розглядається).
Таким чином і еліпс, і гіпербола мають по дві директриси (як і по два фокуси), які задаються рівняннями . Поняття директриси параболи і її рівняння були означені вище. Неважко помітити, що директриси всіх трьох кривих не перетинають самих кривих. Дійсно, для еліпса , отже, , тобто директриси еліпса розташовані зовні його (див. рис. 4).
Рис. 4.
Для гіперболи ж , отже, , тобто директриси розміщені між гілками гіперболи. Для точок параболи , директриса знаходиться в півплощині , а ексцентриситет параболи вважають рівним 1: .
Основна фокальна властивість кривих другого порядку визначена наступною теоремою.
6. Теорема Відношення довжини фокального радіуса кожної точки довільної кривої другого порядку до відстані цієї точки до односторонньої з фокусом директриси є величиною сталою, рівною ексцентриситету кривої тобто (11)
Доведення Позначимо, як і раніше, фокальні радіуси довільної точки еліпса або гіперболи та , а відстані цієї точки до відповідних директрис – та . Отже, для лівого фокуса і лівої директриси еліпса маємо:
.
Цілком аналогічно для правого фокуса та правої директриси еліпса :
.
Для гіперболи необхідно окремо розглянути точки лівої та правої гілок. Отже, для точок лівої гілки маємо:
; .
Аналогічно, для точок правої гілки маємо:
; .
Для параболи безпосередньо з рівняння (10) випливає , що цілком виправдовує визначення ексцентриситету параболи.
Полярне рівняння кривих другого порядку.
Нагадаємо, що дослідження загального рівняння кривої другого порядку визначило три основних канонічних рівняння, які описують не вироджені дійсні криві другого порядку – еліпс, гіперболу та параболу. З іншого боку, використання історично відомих геометричних властивостей саме цих кривих та вдало вибрана декартова система координат привели нас до тих самих канонічних рівнянь. Розглянемо ці криві тепер з іншого боку – визначимо їх рівняння в полярній системі координат. Справа в тому, що дуже багато кривих в давній геометрії вивчались саме в полярній системі координат тому, що і рівняння виглядали, як правило, просто та привабливо, і властивості кривих, описаних цими рівняннями, було видно, як на долоні. Згадаємо як приклад хоча б рівняння відомої спіралі Архімеда: .
Отже, наша цікавість до полярних рівнянь кривих другого порядку має законне підґрунтя. Перейдемо до вибору полярної системи координат. Випереджаючи події, зазначимо, що всі три криві будуть описуватись одним і тим самим полярним рівнянням, що ще раз підкреслить їх спорідненість. Тому і розташування полюсу вибиратимемо таким чином, щоб форма всіх трьох кривих принаймні в околі полюса була схожою.
Отже, розглянемо параболу, еліпс та лише праву (поки що) гілку гіперболи, направивши полярну вісь вздовж фокальної осі кривих (в додатному напрямку декартової осі ОХ) і розташувавши полюс відповідно в фокусі параболи, лівому фокусі еліпса та правому фокусі гіперболи. Таким чином фрагменти всіх кривих матимуть вигляд, наведений на рис. 5:
рис. 5.
Тут – полюс кривої, точка – довільна точка однієї з названих кривих. Позначимо довжину її полярного радіусу , а полярний кут – . Вертикальна пряма на малюнку – це директриса кривої (найближча до даного фокусу). Відрізок хорди кривої, що проходить через полюс перпендикулярно до полярної осі вважатимемо параметром полярного рівняння і позначимо через . Скористаємось основною фокальною властивістю кривих другого порядку для точок та , позначивши їх відстані до директриси відповідно та : , . Оскільки ,
одержимо , або
(12)
Це і є полярне рівняння кривої другого порядку, у випадку коли полюс обраний саме так, як зазначено вище. Якої саме кривої з трьох можливих – визначає величина ексцентриситету .
Пропонуємо самостійно переконатись, що полярним рівнянням еліпса з полюсом, розташованим у його правому фокусі буде наступне: , а також вивести рівняння правої і лівої (окремо) гілок гіперболи з полюсом у кожному з фокусів.
Повернемось до розгляду рівняння (12), а саме: з’ясуємо зв’язок його параметрів та з параметрами канонічних рівнянь кривих. Найпростіша ситуація у випадку гіперболи. З її означення безпосередньо випливає, що при , – це параметр канонічного рівняння параболи. Якщо ж в рівнянні (21) , то маємо гіперболу. Тоді декартові координати точки . Підставимо їх в рівняння (14): , звідки . Аналогічно при рівняння (12) описує еліпс. Підставимо точку в канонічне рівняння (1): . Легко одержати, що і в цьому випадку .
7. Приклад. Записати канонічне рівняння кривої, заданої полярним рівнянням: (13)
Запишемо це рівняння у вигляді . Отже, , , тобто полярне рівняння задає еліпс. Параметри його канонічного рівняння та можна одержати з виразів для та , ми ж поступимо іншим чином. Підставимо в рівняння (13) значення полярного кута 0 та : , . З мал. 1 неважко побачити, що тоді , , тобто , . Отже, канонічне рівняння даного еліпса: .
8. Приклад. Дано рівняння гіперболи . Скласти рівняння її правої гілки, вважаючи, що напрямок її полярної осі збігається з додатним напрямком осі ОХ, а полюс розташований у правому фокусі.
З рівняння гіперболи випливає, що . Отже, , . Таким чином, полярне рівняння даної гіперболи є таким: , або .
Дотичні до кривих другого порядку.
Гладкість кривих другого порядку забезпечує існування дотичних до них в усіх точках. Будемо спиратись на відомий з курсу математичного аналізу факт: якщо деяка точка належить гладкій кривій, що задається рівнянням , то дотична до цієї кривої в даній точці задається рівнянням:
(14)
(За винятком дотичних, паралельних осі ОY).
1. Нехай точка належить еліпсу. Диференціюючи рівняння еліпса (1), маємо , звідки (для тих точок еліпса, для яких ). Отже, дотична до еліпса в точці задаватиметься рівнянням: , або . Враховуючи, що координати точки задовольняють рівняння еліпса (10), остаточно отримаємо рівняння дотичної до еліпса в точці :
(15)
2. Розглянемо точку , що належить одній з гілок гіперболи. З рівняння гіперболи (5) одержимо вираз для похідної гіперболи : . Тоді рівняння дотичної (14) в цьому випадку матиме вигляд: , або . Звідси приходимо до рівняння дотичної до гіперболи в точці : (16)
3. І нарешті, у випадку параболи (9) рівняння її похідної буде таким: (для тих точок параболи, для яких ). Рівняння (14) дотичної до параболи в точці набуває вигляду: , або , звідки, беручи до уваги, що , отримаємо рівняння дотичної до параболи:
(17)
PAGE 6