Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 8
ПЕРЕДАЧА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ПО ЛИНИИ
1. Эффективность передачи электроэнергии
Электроэнергия вырабатывается генераторами на электростанциях (тепловых, водных, атомных) и передается потребителям по линиям электропередачи (ЛЭП). Максимальная мощность, которую можно снять с генератора, всегда ограничена и определяется его конструкцией и подводимой к нему механической мощностью. При попытке снять с генератора мощность сверх номинальной, т.е. проектной, его характеристики резко ухудшаются: падает его выходное напряжение, становится нестабильной частота. А если генератор химический (аккумулятор), то такие попытки приводят к его форсированному разрушению.
При передаче электроэнергии от генератора к нагрузке неизбежны частичные потери в линии, так как ее провода имеют некоторое сопротивление и при прохождении по ним тока нагреваются. В качестве критерия эффективности передачи энергии по линии можно принять коэффициент полезного действия (КПД) системы «генератор линия нагрузка»:
,
где Р0 – мощность, вырабатываемая генератором, Р – мощность, получаемая нагрузкой (полезная мощность), ΔР – мощность, рассеиваемая в линии.
Но чаще в качестве такого критерия используется величина ε, называемая потерей мощности в линии и показывающая, какая часть вырабатываемой генератором мощности теряется в линии:
.
Потерю мощности, как и КПД, принято выражать в процентах. Обычно в промышленных ЛЭП потеря мощности ε≤5%.
Потеря мощности в линии зависит от соотношения между сопротивлениями линии и нагрузки. Пусть:
R – сопротивление нагрузки (рис. 1),
r – сопротивление проводов линии,
U0 – выходное напряжение генератора,
Uн − напряжение на нагрузке,
ΔU – падение напряжения в линии,
I – ток в линии и в нагрузке.
Тогда потеря мощности в линии
. (1)
Замечание. При едином токе в линии и в нагрузке
,
т. е. потеря мощности и потеря напряжения в линии – это одно и то же.
Из формулы (1) следует, что для уменьшения потерь ε в линии при ее фиксированном сопротивлении r надо увеличивать сопротивление нагрузки R. Однако при этом уменьшается потребляемая нагрузкой мощность, так как при r≪R
.
Уменьшается также и мощность, вырабатываемая генератором:
,
т. е. генератор используется не на всю мощность, которую он способен выработать. Значит, чтобы сохранить уровни потребляемой и генерируемой мощности, надо увеличивать напряжение генератора U0. Практически так и делают: при передаче электроэнергии на большие расстояния в сотни километров напряжение U0 повышают до 500 кВ, а иногда и выше. Но поскольку непосредственные потребители (осветительные лампы, электродвигатели, электропечи и т. д.) работают при сравнительно низких напряжениях, обычно в несколько сотен вольт, то на местных подстанциях вблизи потребителей принимаемое высокое напряжение понижается трансформаторами в соответствующее число раз.
Сформулируем теперь конкретную задачу расчета выходного напряжения генератора (электростанции) при передаче энергии потребителю.
Задача. Пусть потребителю требуется доставить заданную мощность Р по ЛЭП с сопротивлением r. Надо определить выходное напряжение генератора U0, при котором потеря напряжения ε в линии не превышала бы допустимого значения (обычно ε =2…5 %).
Решение. Так как U0 = ΔU + Uн = ΔU +P/I, то, подставляя сюда I = ΔU/r и ΔU = εU0 и решая получившееся уравнение относительно U0, находим:
U0 =εU0+. Отсюда
. (2)
Замечание. Постановка задачи о передаче электроэнергии по линии может быть и несколько иной: задаётся мощность генератора Р0, сопротивление линии r и допустимые потери напряжения (или мощности) ε. Требуется определить выходное напряжение генератора U0.
Решение. U0=. Отсюда
. (3)
Формулы (2) и (3) следуют друг из друга, так как .
Из (3) видно, что потери напряжения (и энергии) в линии ε~1/U02. Так, повысив напряжение генератора U0 в 10 раз, мы получим уменьшение потерь в 100 раз.
Из (1), (2) и (3) также видно, что снижения потерь в линии можно достичь и уменьшением ее сопротивления r. А это означает, что потребляющие энергию мощные заводы выгоднее строить как можно ближе к электростанциям.
2. Распределение напряжения в линии
Если всю линию разделить на множество равных небольших участков длиной Δх и измерить сопротивление Δr пары проводов на каждом таком участке, то предел отношения
γ =
называется погонным сопротивлением линии. Вообще говоря, γ = γ(х), где х – координата вдоль линии. Если же γ = const по всей линии, то линия называется однородной.
Пусть однородная линия нагружена в конце на некоторое сопротивление R. Тогда легко показать, что напряжение между проводами линии U(х) будет линейно уменьшаться от генератора к нагрузке (рис. 2, сплошная прямая), т. е. зависимость U(х) будет иметь вид:
U(х) = U0 − kx, (3)
где k – коэффициент, зависящий от от сопротивления линии и нагрузки. Величина U(х) называется напряжением в данном сечении линии.
Доказательство. U(х) = U0 –ΔUх= U0 – I rx = U0−. Здесь rx - сопротивление участка линии длиной х, γ=r/l – погонное сопротивление линии.
Если в каком-либо промежуточном сечении линии к ней подключить еще дополнительную нагрузку R', то характер распределения напряжения в линии примет вид ломаной, полностью лежащей под первоначальной прямой (рис. 2, пунктир).
3. Однородная линия с утечкой
Пусть очень длинная (полубесконечная) однородная двухпроводная линия проходит в слабопроводящей среде с погонной проводимостью утечки g =. Это означает, что сопротивление утечки на каждом километре длины линии Rут = 1/G = 105 Ом = 100 кОм (например, воздух очень сырой или слегка ионизирован). Тогда, на отрезке линии dx ток утечки
diут = udG = ugdx,
где u = u(х) – напряжение в данном сечении линии.
И пусть погонное сопротивление проводов линии γ = dR/dx = 0,1 Ом/км (это пара медных проводов диаметром около 22 мм). Тогда, на отрезке dx напряжение в линии падает на величину
du = idR = iγdx.
Пусть к началу линии приложено напряжение u0 = 10 кВ. Определить:
1. Напряжение между проводами u(x) по мере удаления от начала линии.
2. Какой ток i0 будет в начале линии?
3. Закон убывания тока в проводах i(х) по мере удаления от начала линии.
3. Каково сопротивление линии R0 на её входе?
4. На каком расстоянии х напряжение в линии уменьшится вдвое?
Замечание 1. В качестве единицы длины линии будем брать километр.
Замечание 2. Погонные параметры однородной двухпроводной линии – её погонное сопротивление γ и её погонная проводимость утечки g – легко рассчитываются через её геометрию по известным формулам:
γ = R/l,
где R = 2ρl/S – сопротивление пары проводов линии длиной l, S – сечение провода, ρ – удельное сопротивление материала провода. Таким образом,
γ = 2ρ/S. (1)
Погонное сопротивление утечки R0 ут.(Ом/км) двухпроводной линии, проложенной в безграничной слабопроводящей среде выражается через её погонную ёмкость С0 (Ф/км) известной формулой:
R0 =,
где λ – проводимость среды (не путать с погонной проводимостью утечки g), ε0 = 8,85·10−12 Ф/м – электрическая постоянная. Следовательно,
g =.
Сама же погонная ёмкость двухпроводной линии
С0 =,
где r – радиус проводов линии, d – расстояние между проводами. Таким образом, погонная проводимость утечки
g =. (2)
Формулы (1) и (2) и выражают погонные параметры линии через её геометрию и характеристики материалов – удельное сопротивление провода и проводимость среды.
Приступим к решению задачи. Эквивалентная схема полубесконечной линии с утечкой показана на рис. 1.
Выделим мысленно малый элемент линии dх (рис. 2). И пусть в сечении линии х напряжение равно и, а ток (продольный ток) равен i. Тогда убыли напряжения и тока вдоль линии будут такими:
−du = idR = iγdx – это падение напряжения на элементе линии dx,
−di = udG = ugdx – это ток утечки на элементе линии dx.
Деля левые и правые части этих уравнений на dx, получаем пару уравнений, связывающих токи и напряжения в линии:
(3)
Легко видеть, что эта система даёт одно обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно, например, напряжения:
, (4)
где
α ==10−3 км−1.
Известно, что общее решение уравнения (4) имеет вид
, (5)
где коэффициенты А и В определяются граничными условиями, т. е. напряжениями на концах линии. А так как линия полубесконечная, то граничное условие для неё только одно: и(0)=и0. Подстановка его в (5) даёт:
А+В=и0. (6)
Но коэффициент В следует положить равным нулю, иначе, в силу (5), напряжение вдоль линии будет неограниченно расти, чего физически не должно быть. Таким образом, В = 0, А = и0, и решением уравнения (4) будет функция:
и=и0е−αх. (7)
Теперь из первого уравнения системы (3) получаем закон убывания тока в проводах линии с утечкой:
. (8)
Из (8) видно, что:
1) ток в начале линии i0==100 А.
2) сопротивление полубесконечной линии в её нулевом сечении
R0==100 Ом.
Из (7) следует, что напряжение между проводами линии уменьшается в 2 раза, т. е. и/и0=1/2 при х=700 км.
Замечание. Из (7) видно, что параметр 1/α показывает, на каком расстоянии от начала напряжение в линии уменьшается в е=2,718 раз. В данном случае это расстояние равно 1000 км.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Самостоятельно решить аналогичную задачу для линии конечной длины l, разомкнутой на конце. Все параметры и обозначения остаются теми же.
Пусть длина линии l=1000 км. Какое напряжение будет на конце такой линии?
Решение. Отличие от предыдущей задачи только в граничных условиях:
и(0)=и0,
i(l)=0.
Распределение тока вдоль линии сразу получается подстановкой (5) в первое уравнение (3):
, (9)
Так как при x=l ток i=0, то
. (10)
Совместное решение (10) и (6) и даёт выражения для А и В. Подставляя их в (5) и (9), получаем:
, (11)
. (12)
В линии конечной длины напряжение убывает медленнее, чем в полубесконечной. Действительно, если, например, при х=1000 км напряжение в полубесконечной линии уменьшается в е=2,718 раз, то на конце линии (х=l) длиной l=1000 км, согласно (11), напряжение
.
При х=0 ток А.
Сопротивление линии относительно её левого конца R0 = и0/i0 ≈ 130 Ом.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое потеря напряжения (мощности) в линии?
2. Почему при передаче электроэнергии при высоких напряжениях потери в линии уменьшаются?
3. Что такое погонное сопротивление линии? Выразить погонное сопротивление провода γ через удельное сопротивление ρ его материала.
4. Доказать линейную зависимость (1.3) для однородной линии и определить коэффициент k в ней.
5. На рис. 2 пунктиром показано распределение напряжения U(х) в линии при R ≠ 0 и R' ≠ 0. Изобразить аналогичные графики U(х), когда:
а) R = 0 (линия замкнута на конце), R' ≠ 0; б) R ≠ 0 и R' = 0; в) R = ∞ (линия разомкнута на конце), 0 < R' < ∞.
6. Пусть напряжение генератора U0 и сопротивление линии r заданы. Вычислить максимальную мощность Рmax, которую можно получить на нагрузке, и соответствующее сопротивление нагрузки Rm. Изобразить графики зависимостей Р(R), ε(R) и КПД η(R) при 0 ≤ R ≤ ∞.
ЗАДАЧИ
1. От магистрали, в которой поддерживается постоянное напряжение U = 220 В, к дому протянута линия с сопротивлением проводов r = 1 Ом. Определить максимально допустимую мощность Р, потребляемую в доме, если напряжение на приборах в доме не должно падать ниже 200 В.
Ответ. Р=4 кВт.
2. Генератор мощностью Р0 = 5 МВт передает энергию по двум медным проводам заводу, находящемуся на расстоянии l = 250 км. Допустимая потеря мощности в проводах ε = 2 %. Рассчитать диаметр проводов для случаев, когда энергия передается под напряжением U01 = 10 кВ и U02 = 100 кВ. Удельное сопротивление меди ρ = 1,8·10−8 Ом·м.
Ответ. Поставленным требованиям (Р0, U0, ε) отвечает линия с сопротивлением . А так как для двухпроводной линии длиной l: , то после несложных вычислений получаем: D1=163 мм, D2=16,3 мм.
3. Генератор имеет выходное напряжение U0 =2 кВ и передает в линию электропередачи мощность Р=100 кВт. Определить КПД линии , если ее сопротивление r=20 Ом. Каков будет КПД, если r=40 Ом?
Ответ. 50 %.
Решение. По определению, КПД =Рн/Р, где Рн – мощность, рассеиваемая на нагрузке линии (полезная мощность). Но Рн =Р–Рл , где Рл – мощность, теряемая в линии, Рл =i2r, где – ток в линии. Отсюда и ответ.
При r=40 Ом КПД линии =0, т. е. генератор будет работать только на линию при нулевом сопротивлении нагрузки. Если же r>U2/P, то передать в линию мощность Р при напряжении U невозможно.
4. От подстанции с выходным напряжением и0 = 20 кВ требуется доставить к нагрузке на расстояние 8,7 км по паре медных проводов мощность Р = 4 МВт. Рассчитать диаметр проводов, обеспечивающих потерю напряжения в линии ε = 1 %. Удельное сопротивление меди ρ = 1,8·10−8 Ом·м.
Ответ. D=20 мм
Решение. По условию. потеря напряжения в линии Δи=εи0.
Тогда ток в цепи i=Δи/r=εи0/r.
Мощность на нагрузке Р=iuR=i(u−Δu)=iu0(1−ε)=ε(1−ε)u02/r.
Отсюда сопротивление линии r= ε(1−ε)u02/P.
А так как для двухпроводной линии длиной l: , то после несложных вычислений получаем: D==20 мм.
Рекомендуемая литература
1. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники / Л. А. Бессонов. – М.: Высшая школа, 1973. – С. 42 43, 416 419.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Рис. 1.2. Схема цепи
передачи энергии
Рис. 2. Распределение напряжения
в однородной линии (сплошная
прямая) и влияние промежуточной
нагрузки (пунктир)
Рис. 2. К выводу уравнения линии с утечкой
ис. 1. Эквивалентная схема полубесконечной линии