Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
УРОК 29
Тема уроку: Обчислення об'ємів тіл.
Мета уроку: Формування умінь учнів застосовувати інтеграл до обчислення об'ємів тіл.
І. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньому уроці.
II. Перевірка домашнього завдання.
Перевірити правильність виконання домашніх вправ.
№ 11 (розділ ІХ).
15) Рис. 116.
= – + 12 – + 48 = 60 - = 60 - 24 = 36.
Відповідь: 36.
16) Рис. 117. Знайдемо абсциси точок перетину ліній у = -x3, у = 8:
-x3 =8; x3 =- -8; x = -2.
Знайдемо абсциси точок перетину ліній y = y = 8:
= 8; =3; x = 9.
= 0 – (-16 + 4) + – 0 = 12 + (72 – 48) = 12 + 24 = 36.
Відповідь: 36.
III. Сприймання і усвідомлення формули знаходження об'єму тіл.
Поняття інтеграла може бути використано для виведення формули об'ємів тіл.
Розглянемо практичний приклад. Припустимо, що нам потрібно обчислити об'єм лимона, який має неправильну форму, і тому використати яку-небудь відому формулу об'єму неможливо. По ступимо таким чином. Розріжемо лимон на тоненькі дольки. Кож ну дольку приблизно можна вважати циліндром, радіус якого можна виміряти. Об'єм такого циліндра легко обчислити за гото вою формулою. Склавши об'єми маленьких циліндрів, ми одер жимо приблизно об'єм всього лимона. Наближення буде тим точ ніше, чим на більш тонкі частини ми зможемо розрізати лимон.
Використаємо аналогічну процедуру для обчислення об'є му тіла.
На рисунку 118 зображено довільне тіло, об'єм якого по трібно обчислити. Припустимо, що дане тіло розташоване між паралельними площинами. Вве демо систему координат так, щоб вісь абсцис була перпенди кулярна цим площинам. Позначимо через S(x) площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі абсцис і яка перетинає її в точці х; функція S(x) неперервна на відрізку [а; b].
Розділимо відрізок [а; b] на n рівних відрізків: x0 = а, х1, x2, ..., хn-1, хn = b і через точки перетину проведемо площини, пер пендикулярні осі ОХ. Ці площини розріжуть дане тіло на n шарів.
Об'єм даного тіла приблизно дорівнює сумі об'ємів шарів з основами S(x0), S(x1), S(x2), …, S(xn-1) і висотою Δx = :
V = Vn = S(x0)·Δx + S(x1)·Δx +...+ S(xn-1) ·Δx = (S(x0) + S(x1)+...+S(xn-1)·Δx.
Точність цього наближення тим вища, чим більше n, тобто, тонші прошарки. Природно вважати, що об'єм даного тіла дорівнює границі об'єму V при n → : . Сума V є інтегральною сумою для неперервної на відрізку [а; b] функції S(x), отже
.
Виведемо формулу об'єму тіла обертання. Нехай криволі нійна трапеція обмежена від різком [а; b] осі абсцис, графі ком функції у = f(x), не від'ємної і неперервної на від різку [а; b], прямими x = а, x = b (рис. 119) обертається на вколо осі ОХ. При обертанні цієї трапеції навколо осі абсцис ут ворюється тіло, об'єм якого можна обчислити за формулою
. Але S(x) = πу2 або S(x) = π(f(x))2, отже,
Виконання вправ
Обчисліть об'єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями:
а) у = 3х, у = 0, x = 2;
б) у = , y = 0, x = 2;
в) у = х2 + 1, у = 0, x = 0, x = 2;
г) у = х3, у = 1, x = 2;
д) y = sin x, у = 0, .
Відповіді: а) 24π; б) 2π; в) 13π; г)17π; д) 0,5π2.
IV. Підведення підсумків уроку.
V. Домашнє завдання.
Розділ IX § 4 (5); Запитання і завдання для повторення розділу IX № 16—17. Вправа № 12 (1—3).
PAGE 1
Роганін Алгебра 11 клас, урок 29