Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Задачи математич. статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативная выборка, повторная, бесповторная.
Основной задачей математической статистики является разработка методов получения вероятностных характеристик случайных явлений на основе результатов эксперимента. Выборка(выборочная совокупность)-множество значений результатов наблюдений над одной и той же случайной величиной при одних и тех же условиях. Генеральной совокупностью называется множество всех возможных наблюдений над случайной величиной при данном комплексе условий. Выборка называется репрезентативной(представительной), если она достаточной хорошо отражает изучаемые свойства генеральной совокупности. Выборка называется повторной, если каждый выбранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Если такого возвращения не происходит, то выборка называется бесповторной.
2.Вариационный ряд, полигон, гистограмма частот и относит. частот.
Пусть имеется выборка объёма n: х1…..хn. Если расположить все выборочные значения в порядке возрастания(точнее, неубывания), то полученная последовательность наз. вариационным рядом.
Полигоном частот(полигоном относительных частот) наз. ломаная линия с вершинами в точках (хi*;ni).
Гистограмма частот(гистограмма относительных частот)- ступеньчатая фигура из прямоугольников, построенных на интервалах группировки и имеющих высоты, равные (ni/h).
3.Эмпирическая функция распределения и её св-ва.
Эмпирическая функция распределения – функция, которая определяется для каждого x как относительная частота наблюдений значений, меньших х: Fn*(x)=сумма по xi<x(ni/h).
Св-ва:1) значения от 0 до 1; 2)неубыв., непрерыв.слева; 3)при х≤хmin Fn*(x)=0 и при х>xmax=1.
4. Как оценить по выборке функцию распределения и плотность распределения?
5. понятие статистики и точечной оценки параметра.Состоятельные,смещённые и несмещённые оценки.Понятие эффективной оценки.Примеры несмещённых оценок для мат.ожидания и дисперсии
Любая функция Ɵп = Ѳᶺп(х1,х2,..., хп), зависящая от выборочных значений, называется статистикой или выборочной функцией.
Точечной оценкой параметра Ɵ называется любая статистика Ѳᶺп, предназначенная для оценивания этого параметра и определяемая одним числом. Подчеркнем, что точечная оценка практически никогда не совпадает с истинным значением параметра, она может только оценивать его с большей или меньшей точностью.
Если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру: МѲᶺ = Ѳ, то такая оценка называется несмещенной. Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.
Оценка Ѳᶺп называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру Ѳ, т. е. если для любого ԑ>0
Р (\Ѳᶺп — Ѳ\ > ԑ)→ 0 при п →∞.
Несмещенная оценка Ѳп называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра Ѳ: DѲᶺп = min DѲᶺп.
Пример для мат.ожидания:х¯, (хmax+xmin)/2
Пример для дисперсии: Dв, s2
6.выборочное среднее и дисперсия. Несмещённые оценки для мат.ожидания и дисперсии
Выборочное среднее является несмещенной состоятельной, а в случае выборки из нормального распределения и эффективной
оценкой для математического ожидания.
Докажем несмещенность выборочного среднего как оценки для математического ожидания. Пусть х1, х2, …, хп — некоторая выборка, т. е. х1, х2,..., хп — независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение. Обозначим Мхi— μ. Надо показать, что Мх¯ = μ. По свойствам математического ожидания,
Пример для мат.ожидания:х¯, (хmax+xmin)/2
Пример для дисперсии: Dв, s2
7. интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность, уровень значимости.
8. построение доверительного интервала для мат.ожидания нормального распределения с известной дисперсией
9. построение довер интервала для мат ожидания в случае выборки из норм распределения с неизвестной дисперсией
Пусть –случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы n-1. Для заданного уровня значимости определим квантиль распределения стьюдента соотношением P(| )=. Плотность распр стьюдента симметрична относительно х=0, поэтому .
P()=1-.
т.к. , то P(|)=1-; P(-)=1-; P()=1-; -дов.интервал для мат.ожид. м неизв.дисперсией, где -заданный уровень значимости, – квантиль распределения стьюдента, удовлетворяющая P(| )= для св , n-1 – число степеней свободы.
10. построение дов.интервала для дисперсии норм. Распределенной св.
P()=
P()=
P
Определим квантиль распределения заданного уровня соотношением P()=. В силу несимметричности графика плотности распределения для построения доверительного интервала будут использованы две квантили и .
P()=1-
Т.к. , то P()=1- ; P()=1-;
-дов.инт. для дисперсии, где -заданный уровень значимости, и – квантили распределения, задаваемые формулой P()= для св , n-1 – число степеней свободы.
11. планирование эксперимента при построении интервальных оценок.
Задача заключается в том, чтобы определить объем выборки, необходимый для достижения заданной точности оценивания параметра при фиксированной доверительной вероятности . Рассмотрим случай оценивания мат ожид по выборке из норм распред с неизв дисперсией. Заданная точность оценивания означает, что с вероятностью разность между параметром и его оценкой по модулю не должна превышать . Т.к. дов интерв имеет вид P()=1-, эта разность с вероятностью не превышает половины дов интерв, т.е. . Выразив n, получим . Это неравенство означает, что для того чтобы с вероятностью оценить мат ожид с точностью , необходимо произвести не менее наблюдений, где n-объем выборки, по результатам которой делается вывод, - несмещенная оценка дисперсии, рассчитанная по этой выборке.
12. основные понятия теории проверки гипотез.
Осн задача проверки гипотез: требуется по выборке принять или отвергнуть некоторое предположение о распределении, из которого извлечена выборка. Статистическая гипотеза-любое предположение о виде или параметрах неизвестного распределения.
Простая статистическая гипотеза-гипотеза, которая полностью определяет функцию распределения, в противном случае-сложная гипотеза.
Нулевая гипотеза-проверяемая и альтернативная гипотезы. нулевая и альтернатив. Гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки гипотез. Правило, которое позволяет по выборке принять или отвергнуть проверяемую гипотезу, называется статистическим критерием.
Область принятия гипотезы и критическая область. Статистический критерий обычно основывается на некоторой статистике , для которой известно ее точное или приближенное распределение. Множество всех возможных значений этой статистики разбивается на 2 непересекающихся подмножества: S- область принятия нулевой гипотезы и W-критическая область(область отклонения нулевой гипотезы).
Ошибки 1-го и 2-го родов. Уровень значимости и мощность критерия. Вероятность ошибки 1-го рода, т.е. вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна, называется уровнем значимости стат. критерия (обозначается ): Р()=Р()=. Вероятность ошибки 2-го рода, т.е. вероятность ошибочно принять нулевую гипотезу(обознач. ): Р()=Р()=. Мощность критерия-вероятность отклонить проверяемую гипотезу , когда она неверна: Р()=1-. Выбор критической области (критерий проверки гипотезы) определяется: 1)выбором нулевой и альтернативной гипотез; 2)заданием уровня значимости; 3) выбором статистики, на которой основан критерий.
17. Критерии значимости. Проверка гипотез о математических ожиданиях двух зависимых и независимых нормальных выборок.
Пусть но выборке объема п получена некоторая оценка θ(с крышкой) для параметра θ и есть основания полагать, что истинное значение параметра θ есть θ0. Тогда проверяется нулевая гипотеза H0: θ = θ0 в сравнении с альтернативой H0: θ ≠θ0
Если даже нулевая гипотеза H0 верна, выборочное значение θ(с крышкой) обычно не совпадает точно с θ0, поэтому возникает вопрос, насколько значимо это отличие, как сильно θ(с крышкой) должно отличаться от θ0 чтобы можно было достаточно обоснованно отвергнуть гипотезу H0.
Если известно распределение оценки θ(с крышкой) в предположении, что гипотеза H0 справедлива, то можно найти такой интервал (θ1; θ2) ,что P(θ1< θ^< θ2)=1- α
для некоторого заданного уровня значимости α.
Интервал S = (θ1; θ2) является областью принятия гипотезы.
Замечание. В отличие от доверительного интервала (θ1^; θ2^), границы которого определяются по результатам наблюдений, границы области принятия гипотезы задаются до проведения эксперимента и определяются выбором H0, H(с чертой), α.
Нормальное распределение имеет два параметра: математическое ожидание µ и дисперсию σ2, которые оцениваются с помощью выборочного среднего и выборочной дисперсии соответственно.
Выборочное среднее является оценкой для среднего значения измеряемой величины и может служить оценкой того или иного показателя качества. Дисперсия характеризует разброс экспериментальных значений, а следовательно, служит мерой точности. Например, если произведено несколько измерений одной и той же величины, то дисперсия может характеризовать точность прибора, метода измерения и т. д.
Сравнение двух средних в случ.независимых норм.распред-ных признаков H0:µ1=µ2;H: µ1≠µ2
1.Если дисперсия известна, гипотеза H0 на уровне значимости α принимается, если
2.Если дисперсии не известны,но на основании проверки по критерию Фишера признаны однородными, то гипотеза H0 на уровне значимости α принимается, если
,
3.Если дисперсии не известны и на на основании проверки по критерию Фишера признаны неоднородными, то гипотеза H0 на уровне значимости α принимается, если
,
Замечание. При сравнении двух средних в случае неизвестных дисперсий возникает необходимость проверки двух различных гипотез по одним и тем же данным. Сперва проверяют гипотезу о равенстве дисперсий, а затем гипотезу о равенстве средних.
18.Классификация ошибок измерений. Отсев грубых наблюдений в случае выборок из нормального распределения.
Отклоненпе результата измерения от истинного значения измеряемой величины называется ошибкой опыта. В соответствии с причинами, которые вызывают ошибки, различают ошибки трех видов:
Случайные ошибки вызываются действием многочисленных факторов, которые проявляются нерегулярно и действие которых пе может быть выявлено и устранено. Например, на результат взвешивания будут влиять в числе других такие факторы как вибрация чашек и весов в целом, колебания освещенности рабочего места, изменения в состоянии органов чувств человека, осуществляющего измерения, и т. и.
Полностью исключить случайные ошибки нельзя, поскольку их причины изменяются от опыта к опыту и не могут быть учтены. Для уменьшения случайных ошибок одно и то же измерение повторяют многократно.
Систематические ошибки постоянны по всей серии опытов либо изменяются по определенному закону. Систематические ошибки, как правило,
определяются спецификой используемых измерительных приборов и методами измерения. Если величина систематической ошибки становится известной исследователю, в результаты вносят соответствующие поправки.
Для нейтрализации влияния неизвестных систематических ошибок используется рандомизация эксперимента, т. е. все запланированные опыты проводятся в случайном порядке.
Грубые ошибки, или промахи, возникают вследствие резкого нарушения условий эксперимента, ошибки в действиях исследователя. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине от остальных наблюдений и должен быть отброшен (исключен из выборки) на основании проверки, поскольку наличие в выборке грубых наблюдений сильно влияет на выборочные среднее и дисперсию, а следовательно, на все выводы, основанные на выборке. Для выборок из нормального распределения отсев грубых наблюдений может быть осуществлен с помощью следующей процедуры.
Пусть имеется выборка объема п и элемент х* вызывает сомнение. Для выявления сомнительных элементов следует построить точечную диаграмму, которая позволит зрительно оценить, содержит ли выборка выбросы.
Сомнительный элемент временно исключают из выборки, а по оставшимся п — 1 наблюдениям рассчитывают При заданном уровне значимости а проверяется гипотеза не является выбросом (грубым наблюдением), при альтернативе
Значение х* признается грубым наблюдением, если .
20.Нормальное распределение,также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:
где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ — стандартное отклонение(σ² -дисперсия) распределения.
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданиемμ = 0 и стандартным отклонением σ = 1
Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки.
Например, для товара известна его хар-ка ᵹ.Известно,что ᵹєN(µ˳; σ ˳)
Как влияет на кач-во товара новый способ его производства?
Н1:µ=µ˳; σ = σ ˳
Н2: µ˃µ˳; σ = σ ˳
Н3: µ=µ˳; σ ˂ σ ˳
- доверительным интервалом называется интервал вид
а где такой, что
Число называют доверительной вероятностью.
доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью .
21.Распределение (хи-квадрат) с степенями свободы — это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.
Критерий согласия Пирсона[1] , или критерий согласия (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки объёмом некоторому теоретическому закону распределения .
Критерий может использоваться при проверке простых гипотез вида
,
где известный вектор параметров теоретического закона, и при проверке сложных гипотез вида
,
когда оценка скалярного или векторного параметра распределения вычисляется по той же самой выборке.
Расчетная формула критерия равна
ϰ2 = Σ(ni-npi)2/npi
22.Распределение Фишера – это распределение случайной величины
где случайные величины Х1 и Х2 независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободыk1 и k2 соответственно. Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики.Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных.
Заданы две выборки .
Обозначим через и дисперсии выборок и , и — выборочные оценки дисперсий и :
;
,
где
— выборочные средние выборок и .
Дополнительное предположение: выборки и являются нормальными. Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.
Нулевая гипотеза
Статистика критерия Фишера:
имеет распределение Фишера с и степенями свободы. Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий. Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера, что соотвествует альтернативной гипотезе .
Критерий (при уровне значимости ):
если или , то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативы .
если , то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативы ;
где есть -квантиль распределения Фишера с и степенями свободы.
23.Проверка однородности дисперсий нескольких независ. норм. выборок
24.Планирование эксперимента при проверке гипотез