Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 5
НТУУ «КПІ»
Кафедра математичної фізики
Студентка гр. ОМ-71
Турчина Наталія Іванівна
Застосування спеціальних функцій до розв`язування задач математичної фізики
Курсова робота
з навчальної дисципліни
«Рівняння математичної фізики»
Керівник роботи
професор Івасишен С. Д.
асистент Рева Н.В.
Київ 2011
Зміст
Вступ...................................................................................................................................3
1. Теоретичні відомості про спеціальні функції.................................................................4
Література.........................................................................................................................31
Вступ
Мета роботи розібрати та скласти реферат на тему теоретичні відомості про спеціальні функції, навчитись розв`язувати задачі, а саме потрібно розв`язати наступні задачі:
Задача 1. [1, 7.С4] Знайти температуру нескінченного кругового циліндра радіуса , якщо його початкова температура дорівнює а на поверхню зовні, подається з моменту тепловий потік густини .
Задача 2. [1, 9.О7] Знайти функцію, гармонічну зовні кулі і таку, що
Теоретичні відомості про спеціальні функції
1.1. Загальне рівняння теорії спеціальних функцій. Означення спеціальних функцій
При розвязуванні задач матемитачної фізики методом відокремлення змінних в областях з круговою, циліндричною або сферичною симетріями виникає необхідність використання спеціальних функцій – Бесселя, поліномів Лежандра, приєднаних поліномів Лежандра та сферичних функцій.
Звичайне диференціальне рівняння
, (1)
Де -стала; ,,,-неперервні функціїї на , причому - обмежена на , називається загальним рівнянням теорії спеціальних функцій.
Спеціальні функції – розвязки задачі Штурма-Ліувілля для деяких частинних випадків рівняння (1).
1.2. Означення та властивості функції Бесселя
Якщо , то задача Штурма-Ліувілля для рівняння (1) має вигляд
(2)
(3)
Рівняння (2) за допомогою заміни зводиться до рівняння Бесселя
()
Відомо , що частинними розвязками рівняння () є функції Бесселя першого роду відповідно порядку або :
Ці функції є лінійно незалежними при нецілих на всій числовій осі. Якщо ж -ціле, то вони є лінійно залежними і тоді будують функцію Бесселя другого роду -го порядку
,
Яка є лінійно незалежною з на . Тому загальний розвязок рівняння () має вигляд
(4)
Доведено,що функція є обмеженою на при цілих , а - необмеженою при .
Правильними є такі рекурентні співвідношення:
(5)
. (6)
Звідси, зокрема, випливає, що
(7)
При інтегруванні функцій Бесселя треба мати на увазі, що
зокрема, (8)
(9)
. (10)
Опишемо основні властивості функції Бесселя.
(11)
, (12)
Де коефіцієнти обчислюються, згідно з (11), за формулою
(13)
Якщо , - корені рівняння в якому , то коефіцієнти розкладу (12) визначаються за формулами
. (14)
У випадку , розклад (12) треба замінити таким:
(15)
де ,
а коеціцієнти , обчислюються за формулами (14).
Розглянемо тепер задачу (2),(3). Загальний розвязок рівняння (2), згідно з (4), має вигляд
(16)
Задовольнивши функцією (16) умови (3), дістанемо,що , оскільки функція не обмежена при , і .Коефіцієнт , бо нас цікавить ненульовий розвязок, а тому . Звідси випливає, що , де,- додатні корені рівняння .
Отже, власними числами задачі (2), (3) є , а власними функціями
1.3. Поліноми Лежандра та їх властивості
Якщо то задача Штурма-Ліувілля для рівняння (1) набуде вигляду
(17)
(18)
Доведено, що ця задача має розв'язки тоді й тільки тоді, коли і цими розв'язками є поліноми Лежандра
Відомо, що поліноми Лежандра є ортогональними на а саме:
Відзначимо, що всяка функція яка задовольняє умови теореми Стеклова, розкладається в ряд Фур'є за поліномами Лежандра
де обчислюються за формулою
Наведемо вирази для при
Якщо взяти то дістанемо
Правильними є такі співвідношення:
при
1.4. Приєднані поліноми Лежандра
Якщо - ціле, то задача Штурма-Ліувілля для рівняння (1)
має відповідно власні числа і функції
де - приєднані поліноми Лежандра, які визначаються за формулами
Ряд Фур'є за власними функціями у цьому випадку має вигляд
де
і називається рядом Фур'є-Лежандра за приєднаними поліномами Лежандра.
Випишемо декілька приєднаних поліномів Лежандра в явному вигляді, коли
1.5 Приклади розв’язування мішаних задач для гіперболічних рівнянь із застосуванням спеціальних функцій
Приклад 1.
Знайти розв'язок рівняння
(18)
який задовольняє крайові
(19)
і початкові умови
(20)
◄ Розв'язуватимемо дану задачу методом відокремлення змінних. Тоді, підставивши у рівняння (18) і крайові умови (19), дістанемо, що
(21)
(22)
Задача (22) є задачею Штурма-Ліувілля. Рівняння із задачі (22) є рівнянням вигляду (2) з загальний розв'язок якого При функція а тому бо розв'язок повинен бути обмеженим. За умовою а тому бо інакше буде тривіальним розв'язком, тому Оскільки то дістанемо рівняння Дане рівняння має безліч додатних дійсних коренів тому власні числа задачі (22) а власні функції Очевидно, що є також власним числом задачі (20), а власна функція, яка йому відповідає, Якщо підставити замість його значення в рівняння (21), то, розв'язавши отримані рівняння, матимемо
Скориставшись принципом суперпозиції, розв'язок задачі (18) - (20) зобразимо у вигляді
(23)
Задовольнивши початкові умови (20), одержимо
Звідси, згідно з формулою (13), випливає що
бо
Підставивши у (23), дістанемо розв'язок задачі (18) - (20)
►
Приклад 2.
Знайти розв'язок рівняння
(24)
який задовольняє крайові
(25)
і початкові умови
(26)
де - додатний корінь рівняння
◄ Оскільки рівняння (24) неоднорідне, то розв'язок слід шукати у вигляді суми двох функцій де функцію вибираємо так, щоб вона задовольняла рівняння (24) і крайові умови (25), тобто щоб була розв'язком задачі
(27)
Тоді функція буде розв'язком такої задачі:
(28)
Шукатимемо розв'язок задачі (27) у вигляді
(29)
Підставимо у неоднорідне рівняння
(30)
Оскільки є розв'язком рівняння
то з (40) дістаємо
Прирівнюючи коефіцієнти при і у правій і лівій частинах рів ності, одержуємо Отже,
Задачу (28) розв'язуватимемо методом відокремлення змінних. Підставивши у рівняння, дістанемо
(31)
(32)
Загальний розв'язок рівняння (32)
(33)
Задовольнивши функцією крайові умови (28), матимемо
(34)
Тоді
Оскільки то Звідси випливає, що де - додатні корені рівняння тобто власні числа задачі Штурма-Ліувілля (32), (34) а власні функції Підставивши в рівняння (31) і розв'язавши одержане рівняння, дістанемо Складемо ряд
і задовольнимо початкові умови. Матимемо
(35)
З (35) одержуємо, що Отже,
Остаточно розв'язок задачі (24) - (26) запишеться так:
►
1.6. Приклади розв’язування мішаних задач для параболічних рівнянь із застосуванням спеціальних функцій
Приклад 1.
Знайти температуру необмеженого кругового циліндра якщо його початкова температура дорівнює а на бічну поверхню подається зовні, починаючи з моменту постійний тепловий потік з густиною .
◄ Задача зводиться до знаходження розв'язку рівняння
(36)
який задовольняє умови
(37)
(38)
Оскільки крайові умови неоднорідні, то розв'язок задачі (36) - (38) шукатимемо у вигляді де - розв'язок рівняння (36), який задовольняє крайові умови (37). Вигляд крайових умов підказує, що зручно шукати у вигляді Після підстановки у рівняння і крайові умови, дістанемо
або
а це означає, що
(39)
Тоді для матимемо задачу
(40)
(41)
(42)
Задачу розв'язуватимемо методом Фур'є, тобто шукатимемо нетривіальні розв'язки рівняння (40), які задовольняють крайові умови (41), у вигляді Після підстановки у (41) і (42), одержимо
(43)
(43)
У прикладі 1 показано, що власними числами задачі (44) є а власними функціями відповідно де - дійсні додатні корені рівняння Розв'язками рівняння (43) при є функції Складемо ряд
і задовольнимо початкову умову (42)
Звідси одержуємо, що
Тому
(45)
Врахувавши (39) і (45), дістанемо, що розв'язок задачі (36) - (38) має вигляд
►
1.7. Приклади розв’язування крайових задач для еліптичних рівнянь із
застосуванням спеціальних функцій
При розв'язуванні крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними методом відокремлення змінних Фур'є, ми одержуємо задачу Штурма-Ліувілля для звичайного диференціального рівняння вигляду
(1)
Якщо коефіцієнти рівняння (1) мають особливості на кінцях інтервалу (наприклад, або ), то власними функціями задачі Штурма-Ліувілля є спеціальні функції математичної фізики. Зокрема, у випадку крайових задач для рівняння Лапласа в областях циліндричної форми ми маємо циліндричні функції (функції Бесселя), а в областях сферичної форми - сферичні функції (поліноми Лежандра, приєднані поліноми Лежандра).
Крім того, якщо коефіцієнт має в точці нуль першого порядку, тобто де - два лінійно незалежних розв'язки рівняння (1), причому один з цих розв'язків має скінченну границю при то другий розв'язок поблизу точки необмежений Іншими словами, загальний розв'язок рівняння (1) у класі функцій, обмежених на відрізку (а саме такими повинні бути гармонічні функції) містить лише одну довільну сталу, хоча рівняння (1) є рівнянням другого порядку. У цьому випадку умова яка є, очевидно, однорідною, відіграє роль крайової умови.
Приклад 1.
Знайти стаціонарний розподіл температури всередині твердого тіла, яке має форму обмеженого циліндра, якщо до нижньої основи підведено сталий тепловий потік а бічна поверхня і верхня основа підтримуються при нульовій температурі. Розглянути випадок напівобмеженого циліндра.
◄ Задача зводиться до розв'язування рівняння Лапласа в циліндричних координатах
при крайових умовах
Згідно з симетрією розподіл температури не залежить від тому Будемо шукати розв'язок задачі у вигляді Після підстановки цієї функції в рівняння і відокремлення змінних, дістанемо два рівняння:
(2)
(3)
Якщо в рівнянні (2) зробити заміну
то одержимо рівняння Бесселя або тобто Розв'язком цього рівняння є Оскільки нас цікавлять обмежені розв'язки, то покладемо бо при Отже, або Використавши крайову умову дістанемо Корені останнього рівняння позначимо через тоді і Ці функції ортогональні з вагою на Тепер розглянемо рівняння
Розв'язком цього рівняння є
Отже, розв'язок вихідної задачі шукатимемо у вигляді
Для знаходження і використаємо інші дві крайові умови:
Ці рівності справджуються, якщо
Обчислимо інтеграл скориставшись формулою (6) з пункту 1 при Маємо
Тоді для визначення коефіцієнтів і дістанемо систему
Звідси випливає, що
Остаточно маємо
При з останньої формули дістаємо
►
Приклад 2.
Знайти стаціонарний розподіл температури в кулі радіуса частина поверхні якої має сталу температуру а решта поверхні має нульову температуру.
◄ Задача зводиться до інтегрування рівняння Лапласа в сферичних координатах
при крайових умовах
Оскільки то рівняння має вигляд
Будемо шукати обмежений розв`язок цього рівняння методом відокремлення змінних, тобто Тоді
Звідси, відокремивши змінні, дістанемо такі дві крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь:
Розглянемо задачу для Якщо зробити заміну то тоді і, отже, задача запишеться у вигляді
Це є крайова задача для рівняння Лежандра, яка має обмежені розв'язки на тоді й тільки тоді, коли Такими розв'язками є поліноми Лежандра Тоді
Тепер повернемося до задачі для
Обмеженими розв'язками цієї задачі на є функції Отже,
Для знаходження сталих використаємо крайову умову
Звідси
Якщо то і Для скористаємося тотожністю Тоді одержимо
Остаточно маємо
►
Зауваження 1. Якщо розглядати зовнішню задачу Діріхле, коли крайові умови задані на сфері то її розв'язок слід шукати у вигляді
У випадку крайової задачі в кульовому шарі коли крайові умови залежать лише від , розв'язок задачі Діріхле матиме вигляд
Коефіцієнти і визначають із крайових умов.
У багатьох випадках при знаходженні власних функцій крайової задачі для рівняння Лапласа в сферичних координатах ми одержуємо задачу про існування обмежених розв'язків рівняння
(4)
Як описано в п.1, такі розв'язки існують лише при ними є приєднані поліноми Лажандра
(5)
де - поліном Лежандра, а
Приєднані поліноми Лежандра ортогональні на відрізку з вагою тобто
(6)
Довільна гладка функція, яка задовольняє умови теореми Стеклова, розкладається в ряд Фур'є на за приєднаними поліномами Лежандра. Оскільки є многочленом степеня то з (5) випливає, що при
Приклад 3.
Розв'язати задачу Діріхле для рівняння Лапласа в кульовому шарі
◄ Задача зводиться до знаходження розв'язку рівняння
(7)
який задовольняє крайові умови
(8)
Будемо шукати обмежений розв'язок рівняння (7) у вигляді
(9)
Після підстановки (9) у (7), відокремлення змінних і врахування обмеженості й неперервності розв'язку, дістанемо такі дві задачі для звичайних диференціальних рівнянь:
(10)
(11)
Задачу (11) розв'язуватимемо методом відокремлення змінних;
(12)
Як результат одержимо дві задачі для звичайних диференціальних рівнянь:
(13)
(14)
Розв'язки задачі (13) існують при і ними є функції
(15)
У рівнянні із задачі (14) введемо нову незалежну змінну Тоді і тому Звідки дістаємо, що задача (14) набуде вигляду
Порівнюючи дане рівняння з (4), дістанемо, що воно має обмежені розв'язки лише при і цими розв'язками с приєднані поліноми Лежандра, тобто або
(16)
Підставивши (15) і (16) у (12), матимемо
(17)
Рівняння (10) є рівнянням Ейлера. Враховуючи, що знаходимо його розв'язок
(18)
Підставимо (17) і (18) у (9):
Позначивши шукатимемо розв'язок задачі (7), (8) у вигляді
(19)
Цей ряд іноді називають рядом Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів ряду (19) розкладаємо, користуючись (6), праві частини (8) у ряди за функціями і
(20)
Якщо підставити (19) і (20) у крайові умови (8), то дістанемо тотожності
(21)
Звідси знаходимо, що
або
Підставивши знайдені коефіцієнти в (19), дістанемо розв'язок вихід ної задачі, якщо сам ряд і ряди, одержані з нього диференціюванням двічі по і збігаються рівномірно. ►
Зауваження 2. Якщо область, у якій шукається розв'язок задачі, містить початок координат (наприклад, є півкулею), то з обмеженості розв'язку випливає, що в (18) усі
Приклад 4.
Знайти функцію, гармонічну зовні одиничної сфери і таку, що
◄ Як і в прикладі 3, шукаючи обмежений розв`язок у вигляді (9), дістанемо ряд Лапласа (19), але, враховуючи, що одержуємо тобто ряд Лапласа в нашому випадку має вигляд
Враховуючи, що одержуємо, що а оскільки то співвідношення типу (21) для знаходження коефіцієнтів набувають вигляду
Звідси випливає, що
тобто
а всі інші коефіцієнти
Отже, розв`язок поставленої задачі є
►
2. Розв’язування задачі 1
[1,7.С4] Знайти температуру нескінченного кругового циліндра радіуса , якщо його початкова температура дорівнює а на поверхню зовні, подається з моменту тепловий потік густини .
◄ Задача зводиться до знаходження розв'язку рівняння
(1)
який задовольняє умови
(2)
(3)
Оскільки крайові умови неоднорідні, то розв'язок задачі (1) - (3) шукатимемо у вигляді де - розв'язок рівняння (1), який задовольняє крайові умови (2). Вигляд крайових умов підказує, що зручно шукати у вигляді Після підстановки у рівняння (1) і крайові умови (2), дістанемо
або
а це означає, що
(4)
Тоді для функції матимемо задачу:
(5)
(6)
(7)
Задачу (5)-(7) розв'язуватимемо методом Фур'є, тобто шукатимемо нетривіальні розв'язки рівняння (5), які задовольняють крайові умови (6), у вигляді Після підстановки у (6) і (7),та відокремлення змінних, одержимо
(8)
(9)
У прикладі 1 пункт 1.5 ст.11 показано, що власними числами задачі (9) є а власними функціями відповідно де - дійсні додатні корені рівняння Розв'язками рівняння (8) при є функції
Складаємо ряд
, , .
Задовольнимо початкову умову (7)
Звідси одержуємо, що
бо
Тому
(10)
Врахувавши (4) і (10), дістанемо, що розв'язок задачі (1) - (3) має вигляд
►
3. Розв’язування задачі 2
[1, 9.О7] Знайти функцію, гармонічну зовні кулі і таку, що
◄ Задача зводиться до знаходження розв'язку рівняння
(1)
який задовольняє крайові умови
(2)
(2`)
Будемо шукати обмежений розв'язок рівняння (1) у вигляді
(3)
Після підстановки (3) у (1),(2) та відокремлення змінних, дістанемо такі дві задачі для звичайних диференціальних рівнянь:
(4)
(5)
Задачу (5) розв'язуватимемо методом відокремлення змінних;
(6)
Як результат одержимо дві задачі для звичайних диференціальних рівнянь:
(7)
(8)
Розв'язки задачі (7) існують при і ними є функції
(9)
У рівнянні із задачі (8) введемо нову незалежну змінну Тоді і тому Звідки дістаємо, що задача (8) набуде вигляду
Порівнюючи дане рівняння з рівнянням (4) пункту 1.6 ст.21, дістанемо, що воно має обмежені розв'язки лише при і цими розв'язками с приєднані поліноми Лежандра, тобто або
(10)
Підставивши (9) і (10) у (6), матимемо
(11)
Рівняння (4) є рівнянням Ейлера. Враховуючи, що знаходимо його розв'язок
(12)
Підставимо (11) і (12) у (3):
Позначивши шукатимемо розв'язок задачі (1), (2) у вигляді
(13)
але, враховуючи, зауваження1 пункт 1.7 ст. 20, одержуємо тобто ряд Лапласа в нашому випадку має вигляд
(14)
Після підстановки (14) в (2`) отримаємо співвідношення для знаходження невідомих коефіцієнтів.
Враховуючи, що одержуємо, що
А оскільки то співвідношення для знаходження коефіцієнтів набувають вигляду
,
;
Звідси
А отже,
а всі інші коефіцієнти
Отже, розв`язок поставленої задачі є
►
Література
1. Лавренчук В. П., Івасишен С. Д., Дронь В. С., Готинчан Т. І.
Диференціальні рівняння математичної фізики. – Чернівці: Рута, 2008. 192 с.