Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
41
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
БОМБА Андрій Ярославович
УДК 517.95+519.63.001.57+532.5
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЗБУРЕНЬ ПРОЦЕСІВ ТИПУ “ФІЛЬТРАЦІЯ-КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ” З ПІСЛЯДІЄЮ
01.05.02 –Математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук
Київ - 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Рівненському державному гуманітарному університеті Міністерства освіти і науки України.
Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАНУ СКОПЕЦЬКИЙ Василь Васильович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ГРИЩЕНКО Олександр Юхимович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики;
доктор технічних наук, професор НОВІКОВ Олексій Миколайович, Національний технічний універcитет України “КПІ”, директор фізико-технічного інституту;
доктор технічних наук, професор БУЛАВАЦЬКИЙ Володимир Михайлович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник.
Провідна установа: Чернівецький державний університет ім. Юрія Федьковича, факультет комп’ютерних наук.
Захист відбудеться “ 23 ” вересня 2005 р. о 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, м. Київ 187, пр. Академіка Глушкова, 40.
Із дисертацією можна ознайомитись у науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Автореферат розісланий “ 5 ” липня 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. При моделюванні еко-енергосистем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у схильних до деформації середовищах за умов оптимізації відповідних параметрів виникає необхідність врахування: зворотного впливу (взаємовпливу) визначальних факторів процесу (наприклад, градієнтів напору, величини струму, різного роду концентрацій “забруднюючих” середовище речовин ін.) на характеристики середовища (коефіцієнт провідності, коефіцієнт конвективної дифузії, опір і т.д.); впливу додаткових компонент на процес (наприклад, вплив явищ дифузії на конвективно-фільтраційних фонах); впливу зміни вільної границі середовища на потік та впливу на нього додаткових (як внутрішніх, так і примежових) джерел на характер течії.
При дослідженні, зокрема, процесів фільтрації (наприклад, у навколодренному середовищі) досить актуальне на сьогоднішній день врахування явища втрати фільтраційної міцності ґрунтів внаслідок перевищення діючими градієнтами допустимого критичного їх значення для даного ґрунту, що може супроводжуватись суттєвими змінами питомої витрати та значно вплинути на роботу всієї дренажної системи, навіть вивести меліоративну систему з ладу. При моделюванні ж такого роду процесів, де важливим моментом є розв’язання крайових задач теорії фільтрації з урахуванням суфозії, взаємовпливу градієнтів напору, фільтраційних характеристик середовища та ін., дослідники, як правило, пропонують нові за суттю постановки задачі, які відрізняються від попередніх напрацювань. Реалізація відповідних моделей на практиці часто виявляється надто ускладненою; у цьому криється причина їх низької поширеності. На відміну від такого підходу, автором дисертаційної роботи запропоновано нову методологію побудови моделей вказаних процесів шляхом збурення вихідних фільтраційних фонів, що дозволяє не відкидати, а ефективно використовувати усі попередні досягнення та напрацювання. Реалізація такого загального ідейного підходу, зокрема, приводить до постановки відповідних нових нелінійних крайових задач з післядією, задач про стабілізацію середовища, задач фільтрації у випадку формування збурених зон змінним коефіцієнтом фільтрації із врахуванням нерівномірного заповнення пористого простору та ін.
При розв’язанні такого типу задач для областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, виникає проблема однозначності нелінійного обернення крайових задач на конформні та квазіконформні відображення за умов збурення, зокрема, проблема виявлення так званих “ключових” задач на знаходження тих значень потенціалу керування, які забезпечують оптимізацію певних функціоналів (витрат, витоків, перетоків тощо).
Зазначимо також, що на сьогоднішній день не вирішеною лишається актуальна проблема обернення просторових нелінійних крайових задач теорії потенціальних та квазіпотенціальних полів, а саме відшукування спеціальних типів просторових аналогів конформних і квазіконформних відображень зв’язаних з моделюванням фільтраційних процесів, що важливо при дослідженні більш складних процесів (наприклад, поширення забруднень на таких фільтраційних фонах).
Вирішення проблеми “обернення” крайових задач на конформні та квазіконформні відображення створює основу для розширення меж застосування розробленої автором методики розв’язання типових крайових задач для сингулярно збурених параболічних та еліптичних рівнянь, суттєвого його розвинення (побудови пограншарових поправок стосовно нових типів областей комплексного потенціалу із змінною у часі ділянкою границі області) з метою вирішення не менш важливих й актуальних проблем моделювання процесів конвективної дифузії (міграції забруднень) на фільтраційних фонах, деформацій граничних (вільних) поверхонь (русел) турбулентним водним потоком, розробки ефективних методів розв’язання збурених нелінійних задач для параболічних рівнянь дифузії у випадку, коли їх коефіцієнти залежать не тільки від шуканої функції, але й від положення вільних ділянок границі області.
Зв’язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності із планами держбюджетних науково-дослідних робіт на теми: “Математичне моделювання нелінійних збурень еко-енергосистем” (№ державної реєстрації 0100U004897); “Чисельно-асимптотичні методи в задачах екології” (Державний фонд фундаментальних досліджень ДКНТ України, проект № 1/778 від 4.05.92 та № 11.3/91), а також пов’язана із науково-дослідними роботами: “Математичні моделі нелінійних стаціонарних і нестаціонарних фільтраційних і гідравлічних процесів, проблеми взаємозв’язку та врахування локальних неоднорідностей” (№ І-34 на підставі рішення експертної комісії НУВГП від 10 січня 1995 р., протокол №4 до наказу ректора від 12 січня 1995 р. за №6); “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів у ґрунтових греблях із врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища” (№ 2-62, НУВГП, 17.05.03).
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методології моделювання, дослідження та оптимізації параметрів нелінійно-збурених систем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у деформівних середовищах за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища та врахування впливу зміни вільної границі, додаткових джерел та явищ на основний процес. Для її досягнення визначені наступні завдання дослідження.
. Розробити новий підхід до моделювання фільтраційних процесів із урахуванням взаємовпливу більших за критичні градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації та розв’язання відповідних нелінійних крайових задач із післядією. На основі модифікації закону Дарсі побудувати локально нелінійні моделі процесів фільтрації у зернистих середовищах, де при великих градієнтах напору мають місце суфозійні деформації, та розвинути методи розв’язання відповідних крайових задач про стабілізацію середовища. В рамках моделей, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, розробити алгоритми для знаходження значення фільтраційної витрати. Встановити співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та відповідного середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку і конструктивних характеристик гідроспоруд.
Виходячи з проблем оптимізації конструктивних параметрів в залежності від характеристик ґрунту та гідродинамічної дії фільтраційного потоку, розробити критеріальні моделі формування зон збурення середовища (за рахунок процесів типу суфозії, кольматажу і ін.) з урахуванням нерівномірного заповнення порового простору та зворотного впливу.
. Розробити методологію числового розрахунку потенціальних і квазіпотенціальних течій у деформівних середовищах, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу на основі розв’язання відповідних нелінійних задач на конформні і квазіконформні відображення.
. Розробити методику нелінійного обернення крайових задач на конформні та квазіконформні відображення (на основі модифікації методу Р-трансформацій та інших методів) в областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями за умов збурення на ділянці однієї із ліній течії. З метою системного вивчення такого класу задач проаналізувати та описати всі можливі випадки формування течії залежно від значень потенціалу збурення (керування) і виділити типи задач (“ключових”) на знаходження тих його значень, які забезпечують оптимізацію певних функціоналів (витрат, витоків, втоків, перетоків тощо).
Відповідну методику системного дослідження перенести на випадки тризв’язних областей із потенціалом керування на одному із внутрішніх контурів.
. Розробити числово-асимптотичну методику: розв’язування нелінійних сингулярно збурених задач –математичних моделей типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, зокрема, методику побудови відповідних асимптотичних поправок в околах ліній розділу течії; асимптотичного розвинення розв’язків періодичних задач стосовно багатозв’язних областей, сингулярно збурених задач із запізненням та аналогічних задач для інтегро-диференціальних рівнянь при врахуванні різного роду взаємовпливу.
На основі розв’язання крайових задач на обернені конформні та квазіконформні відображення розробити методику системного підходу до побудови асимптотичних розвинень розв’язків сингулярно збурених задач типу “конвекція-дифузія” на відповідних фільтраційних фонах за умов керування.
5. Побудувати просторові аналоги крайових задач на конформні відображення. На цій основі отримати розв’язки сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” для просторового криволінійного паралелепіпеда.
6. Розробити підхід до моделювання та дослідження процесів “руйнування” окремих ділянок границь областей (деформації дна, вимивання частинок, руйнування свердловин, дрен та ін.), а також методику наближення розв’язків мішаних сингулярно збурених нелінійних задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними ділянками меж, де коефіцієнт, що характеризує проникнення частинок в рідину, залежить від змінної в часі ділянки границі області.
Об’єкт дослідження –різнокомпонентні нелінійні процеси типу “фільтрація-суфозія-конвекція-дифузія” в середовищах схильних до деформації. Предмет дослідження –математичні моделі нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія-конвекція-дифузія” за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища, впливу додаткових компонент на процес, впливу зміни вільної границі середовища на потік та впливу додаткових джерел на характер течії.
Методи дослідження –при моделюванні процесів, що досліджуються використовуються ідеї методу послідовних наближень, асимптотичні методи, методи теорії функцій комплексної змінної (конформних і квазіконформних відображень) в комбінації із різними чисельно-аналітичними методами (зокрема методом Р-трансформацій). При переході від “незбурених” задач до “збурених” (нелінійних) ставилась вимога: класичні форми законів, що описують дані процеси (руху рідини в пористих середовищах, конвективної дифузії та ін.) залишити початково прийнятими, та, не починаючи “спочатку”, отримані “незбурені” розв’язки доповнювати різними поправками; при моделюванні та дослідженні процесів із післядією (при врахуванні зворотнього впливу) кожне з послідовних наближень розв’язків відповідних нелінійних задач повинно відображати певний “часовий” стан до стабілізації процесу.
Наукова новизна одержаних результатів. Проведені теоретичні дослідження дозволили отримати такі нові результати.
. Розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів з урахуванням взаємовпливу визначальних факторів процесу та характеристик деформівного середовища. На основі модифікації закону Дарсі, як узагальнення апробованих та експериментально підтверджених базових моделей взаємовпливу градієнту напору та характеристик середовища для осесиметричної фільтрації створені нові локально-нелінійні моделі та підходи до розв’язання задач про стабілізацію процесів типу “фільтрація-суфозія” із встановленням відповідних зон збурення в одно та багатозв’язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями.
. Створена нова ефективна методологія чисельного наближення розв’язків нелінійних задач типу “фільтрація” на конформні та квазіконформні відображення в чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, а також у двозв’язних областях, обмежених еквіпотенціальними лініями, з використанням ідеї їх обернення, яка поширена на випадки неоднорідних, шаруватих, анізотропних середовищ та задачі в областях з вільними межами та особливостями.
. В результаті виконаного системного аналізу (евристичного опису з наступним логічним обґрунтуванням) всіх можливих випадків формування течії в залежності від заданих значень потенціалу керування на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії чотирикутної криволінійної області, а також на одному з внутрішніх контурів тризв’язної області, розв’язана проблема неоднозначності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення та розроблена процедура автоматизованого вибору відповідного випадку.
На цій основі запропоновано постановки та методику розв’язання крайових задач на конформні відображення при невідомому значенні потенціалу на ділянці збурення однієї із граничних ліній течії за відомою схемою формування течії як задачі на керування.
. Вперше побудовано асимптотичні розвинення розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” у криволінійних областях, зокрема для многочленної та інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації, з урахуванням запізнення та інших форм взаємовпливу характеристик середовища (коефіцієнтів фільтрації та дифузії) та процесу.
. Запропоновано методологію побудови асимптотики розв’язків сингулярно збурених задач в чотирикутних криволінійних областях за умов збурення на ділянці однієї із ліній течії та відповідних періодичних задач для тризв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями, до якої уведено нового типу пограншарові поправки вздовж ліній розділу течії, а регулярна частина конструюється нестандартно в залежності від шуканого значення потенціалу керування.
. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і, на цій основі, вперше одержано асимптотичний розклад розв’язку сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії в криволінійному паралелепіпеді.
Достовірність одержаних в дисертації результатів і висновків забезпечена строгістю математичної постановки задач, обґрунтованістю структури розв’язків відповідних систем диференціальних рівнянь еліптичного та параболічного типів, застосуванням збіжних числових, асимптотичних та числово-асимптотичних методів, а також високим рівнем співпадання результатів числових експериментів, проведених за різними розробленими автором методиками та аналітичними розв’язками відповідних спеціальних типів автомодельних тестових задач.
Адекватність представлених у роботі математичних моделей підтверджена відповідністю результатів проведених числових експериментів з даними фізичних досліджень, проведених в спеціалізованих лабораторіях Національного університету водного господарства та природокористування (м. Рівне), а також на основі їх порівняння з даними окремих натурних спостережень.
Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень дають змогу переглянути діючі держстандарти щодо фільтраційних розрахунків з метою їх уточнення при прогнозуванні та проектуванні дренажних споруд та інших гідросистем.
На основі виконаних досліджень знайдені залежності для розрахунку фільтраційної витрати в середовищах, що деформуються. Реалізація розрахункових алгоритмів дозволяє враховувати вплив суфозійних явищ на питому витрату із зволожувача та притік до дрени. Крім того, за відповідними алгоритмами пропонується розраховувати параметри (коефіцієнт фільтрації, товщина) фільтрів (засипок), які найбільш доцільні при наявності фільтраційних деформацій придренного середовища. Розроблені на цій основі рекомендації щодо фільтраційного розрахунку питомої витрати та стоку до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища використані при проектуванні модуля дослідно-виробничої автоматизованої осушувально-зволожувальної системи Дубенського району Рівненської області. Робота меліоративної системи протягом 1996 - 1999 років забезпечувала запроектовані питомі витрати.
Запропоновані в роботі моделі та покрокова процедура числово-асимптотичного наближення розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними ділянками їх границь дозволяють ефективно розраховувати форму вирви розмиву та зону активного відкладення наносів із урахуванням зміни епюр швидкостей у процесі деформації піщаного русла турбулентним водним потоком та можуть бути використані і при побудові моделей процесів конвективного теплопереносу у відповідних областях. Розроблені рекомендації прийняті інститутом “Львівдіпроводгосп” до впровадження у проектах берегоукріплень передгірських ділянок річок Івано-Франківської та Закарпатської областей.
Результати роботи впроваджені в Національному університеті водного господарства та природокористування при виконанні науково-дослідної роботи “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів в ґрунтових греблях з врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища, зокрема запроваджені у Державному акціонерному товаристві “ДАК “Укргідроенерго” (м. Вишгород Київської області), як вихідна модель фільтрації в земляних греблях для визначення надійності їх роботи. А саме: розроблені в роботі методи використані при моделюванні та прогнозуванні фільтраційно-деформівних процесів в земляних греблях, зокрема –для розрахунку впливу суфозійно-деформівних явищ на сумарний потік. Також результати роботи використані у МКП “Рівневода” при моделюванні та прогнозуванні фільтраційно-деформівних процесів навколо водозабірних свердловин (водозабір Гощанський, водозабірний майданчик “Новий Двір”, ін.) при зміні режимів їх експлуатації, зокрема –для розрахунку впливу суфозійно-деформівних явищ на дебіт свердловин (результати проведених у роботі досліджень підводять до необхідності перегляду тих стандартів, що пов’язані із фільтраційними розрахунками при прогнозуванні та проектуванні земляних гідроспоруд, з метою їх уточнення). Крім цього, окремі результати використані у сумісній розробці (співавтори Плетюк О.В. та Сівак В.М.) “Гідравлічний аератор із змінним масообміном кисню (Держ. патент України: заявка №99031432 від 16.ІІІ.1999р”) та при виконанні теми “Способи ліквідації прихвату колони труб” в Івано-Франківському національному технічному університеті нафти і газу (використані у навчальному підручнику: Мислюк М.А., Зарубін Ю.О. Моделювання явищ і процесів у нафтогазопромисловій справі. –Івано-Франківськ: ЕКОР, 1999. –Розділ 5.6. Двовимірна фільтрація в’язкої рідини в зоні прихвату колони труб, –С. 215–, для студентів вищих закладів освіти, що навчаються за спеціальностями “буріння” та “видобування нафти і газу”).
Особистий внесок здобувача. Всі приведені в роботі основні результати, які складають предмет дисертації (методологія моделювання, постановки задач та методи їх розв’язання, загальні підходи до побудови обчислювальних процедур тощо) розроблені автором самостійно. В роботах, які виконані у співавторстві, здобувачу, зокрема, належить: загальні принципи побудови математичних моделей процесів фільтраційно-суфозійної взаємодії та розв’язків відповідних осесиметричних задач –[35,36,44]; перенесення та розвинення методології моделювання процесів у деформівних середовищах за умов зворотного впливу для криволінійних чотирикутних та двозв’язних областей, розробка методів розв’язання відповідних нелінійних крайових задач –[9,10,15,17,20,22,23,25-28,30,33,34,37,41,43]; постановка крайових задач на конформні та квазіконформні відображення за умов збурення (керування), системне дослідження і обґрунтування структури розв’язків – [11,12,13,14,18,19,21,24]; розробка загальної методології асимптотичних наближень розв’язків лінійних модельних сингулярно-збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, її розвинення на випадки областей з вільними межами та нелінійних задач, що враховують фільтраційно-суфозійну та фільтраційно-дифузійну взаємодію, інші явища зворотного впливу –[16,29,32,40,42,50,51]. При підтвердженні адекватності та впровадженні запропонованих моделей, отриманні числових результатів для конкретних прикладних задач залучались інші дослідники.
Апробація результатів дисертації. Окремі положення роботи апробувались у доповідях на більше ніж 40 конференціях-семінарах, зокрема: Всесоюзних та Всеукраїнській конференціях “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (м. Дрогобич: 1987-2001 рр.); Республіканській науково-технічній конференції “Роль вычислительного эксперимента при исследовании физико-химических процессов” (Івано-Франківський інститут нафти і газу, червень 1987 р.); на сумісному засіданні семінару з гідродинаміки під керівництвом акад. П.Я. Полубарінової-Кочіної і проф. О.В. Голубєвої при відділі математичних методів механіки Інституту проблем механіки АН СРСР та підсекції гідродинаміки МТДП при Московському державному університеті ім. М. Ломоносова (листопад 1986 р., листопад 1987 р.); Республіканському науково-технічному семінарі “Краевые задачи фильтрации грунтовых вод” (м. Казань, червень 1988 р.); ІІІ Всесоюзному семінарі “Современные проблемы теории фильтрации” (м. Москва, травень 1989 р.); Республіканському семінарі “Проблемы и методы организации социально благоприятной среды при развитии промышленного потенциала в новых экономических условиях” (м. Ужгород, вересень 1990 р.); Республіканському семінарі “Предсказание и математическое моделирование катастрофических явлений и их последствий” (м. Київ, червень 1991 р.); Сьомому всесоюзному з’їзді з теоретичної і прикладної механіки (м. Москва, серпень 1991 р.); Міжнародних конференціях присвячених пам’яті акад. М. Кравчука (м. Київ, 1992, 2000, 2002 рр.); Міжнародній конференції “Нелинейные граничные задачи” (Крим, травень 1993 р.); Всеукраїнських наукових конференціях “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (м. Львів: жовтень 1994 р; вересень 1996 р.); науковому семінарі механіко-математичного факультету та факультету кібернетики КДУ ім. Т. Шевченка присвяченому пам’яті Г. Положого (м. Київ, квітень 1994 р.); семінарі акад. А.М. Самойленка в Інституті математики НАНУ (м. Київ, вересень 1994 р.); науково-практичних конференціях Української державної академії водного господарства (м. Рівне, 1995-1998 рр.); Міжнародній науковій конференції “Крайові задачі термомеханіки” (м. Львів, 1996 р.); міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (м. Львів, травень 1998 р.); міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми теорії фільтрації” (м. Рівне, червень 1998 р.); міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (м. Київ, січень 2001 р.); міжнародній конференції присвяченій 100-річчю від дня народження акад. М.О. Лаврентьєва (м. Київ, жовтень листопад 2000 р.); Українському математичному конгресі (м. Київ, серпень 2001 р.); Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (м. Дрогобич, 2001 р.); Міжнародних конференціях “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (м. Дрогобич, 1987, 1989, 1994, 2001 рр.); Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 2000, 2002 рр.); II Міжнародній конференції “Обчислювальна та прикладна математика”, присвяченій 90-й річниці з дня народження члена-кореспондента НАН України Г.М. Положого (м. Київ, 2004 р.).
У повному обсязі дисертація обговорювалася на розширеному науковому семінарі при кафедрі інформатики і прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету під керівництвом д.т.н., проф. А.О. Сяського; розширеному науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем математики і механіки ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., член-кореспондента НАН України Я.Й. Бурака, д.ф.-м.н., проф. Я.Г. Савули; на розширеному семінарі Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., член-кореспондентів НАН України В.В.Скопецького та А.О. Чикрія; розширеному семінарі факультету комп’ютерних наук Чернівецького державного університету ім. Юрія Федьковича під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Ф.О. Сопронюка.
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображені більш як у 60 наукових працях, з них 31 –у фахових виданнях за напрямком досліджень (з них 6 написані без співавторів).
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, висновків, переліку використаних джерел та додатків. Робота викладена на 360 сторінках (з яких основний зміст викладений на 300), в тому числі 130 рисунків, 15 таблиць, а також 14 додатків. Список використаних джерел містить 313 бібліографічних найменувань. Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 407 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі дисертаційної роботи обґрунтовано актуальність теми, сформульована мета і задачі досліджень, а також наукова новизна отриманих результатів та їх практичне значення.
У першому розділі описано стан досліджень та виконаний огляд літератури з проблем моделювання процесів фільтрації, конвективної дифузії, асимптотичних методів розв’язання сингулярно-збурених крайових задач. Відзначено, що одним з перших питання про закон руху рідин в пористих середовищах поставив та експериментально дослідив французький інженер А.Дарсі. Результати його досліджень вилились у закон, який опубліковано у 1856 р. у вигляді , де V –швидкість фільтрації; І –градієнт напору; k –коефіцієнт пропорційності, що пізніше отримав назву коефіцієнта фільтрації. Основні положення теорії фільтрації розробляли такі видатні вчені, як Ж. Дюпюї, М.Є. Жуковський, П.Я. ПолубариноваКочина, А.М. Костяков, В.І. Аравін і С.М. Нумеров, Н.Н. Веригін, С.Ф. Авер’янов, Н.М. Гeрсеванов, М.Г. Бернардинер, Р. Коллінз, М.М. Павловський, Р.Р. Чугаєв, П.Ф. Фільчаков, І.І. Ляшко, В.І. Лаврик, А.Я. Глущенко, В.В. Скопецький, В.С. Дейнека, В.Н. Монахов, В.Г. Голубєв, Н.Д. Якімов та інші. Нелінійні залежності між швидкістю фільтрації та градієнтом напору для крупнозернистих ґрунтів в залежності від пористості, розміру частинок та інших факторів вперше запропоновані А.Ф. Форхгеймером, ідеї якого стосовно нелінійних процесів фільтрації (що не описуються за допомогою закону Дарсі) зазнали суттєвого розвитку у роботах С.А. Християновича та його учнів. Праці С.В. Ізбаша, А.М.Патрашева, М.І.Хрисанова, В.С.Козлова, С.В.Ковальчука, О.Я.Олійника, О.М.Костякова, Д.М.Мінца, М.Т.Ефендієва, А.П.Вавілова, А.І.Мурашка поклали початок для грунтовного вивчення і дослідження суфозійних явищ та кольматужу. Нелінійні залежності градієнтів напору та швидкості фільтрації розглядались А.П.Власюком, П.М.Мартинюком та В.М.Булавацьким при моделюванні процесів фільтраційної консолідації ґрунтів з урахуванням впливу концентрації сольового розчину.
На основі результатів експериментальних лабораторних досліджень, проведених під керівництвом М.М.Хлапука в Національному університеті водного господарства і природокористування (м. Рівне) зроблено висновок про те, що втрата фільтраційної міцності ґрунтів (яка пов’язана зі зміною коефіцієнта фільтрації) в навколодренному середовищі відбувається при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного ґрунту. З метою математичного моделювання такого роду процесів фільтрації з урахуванням взаємовпливу градієнтів напору та коефіцієнта фільтрації нами (сумісно з Хлапуком М.М. і Сидорчуком Б.П.) запропоновано підхід до розв’язання відповідних осесиметричних нелінійних крайових модельних задач, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, одержано аналітичні вирази для знаходження фільтраційної витрати та встановлено співвідношення між характеристиками деформованого середовища та середовища, що деформується, в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних характеристик дренажу, визначені критерії формування різними способами деформованих зон, наведено рекомендації для розрахунку витрати до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища тощо.
Теоретичні дослідження актуальних проблем моделювання (головним чином одновимірних) різного роду процесів масопереносу (конвекція, дифузія, масообмін типу сорбція-десорбція, тощо) на згаданих вище фільтраційних і довільних інших ідеальних та квазіідеальних фонах були зроблені, зокрема, у роботах І.Г.Богуського, А.Н.Патрашева, С.Н.Нумерова, Н.Н.Веригіна, В.Н.Ніколаєвського, Д.Ф.Шульгіна, Б.С.Шержукова, інших. Використання ідеї переходу у рівнянні конвективної дифузії до координат області комплексного потенціалу разом із аналітичними або числово-аналітичними методами дало змогу В.І.Лаврику та його учням отримати точні або наближені аналітичні розв’язки типових двовимірних задач масопереносу при плоско-вертикальній і плановій, усталеній або квазіусталеній фільтрації, що виникають при дослідженні процесів забруднення або засолення ґрунтових вод. Розробці методів чисельного та чисельно-аналітичного розв’язання одновимірних і двовимірних задач волого–і солепереносу, розповсюдження забруднень та суміжних задач геогідродинаміки присвячені роботи І.І.Ляшка, І.В.Сергієнка, В.В.Скопецького, В.С.Дейнеки, В.М.Булавацького, Я.Й.Бурака, Є.Я.Чаплі, О.Ю.Чернухи, Я.Г.Савули, Г.А.Шинкаренка та ін.
Розроблений метод асимптотичного наближення розв’язків сингулярно збурених задач масопереносу при плановій фільтрацї підземних вод у випадку переважання конвективних складових процесу над дифузійними в криволінійних областях, обмежених еквіпотенціальними лініями та лініями течії є ефективним в зв’язку з можливістю розщеплення складної математичної моделі вихідного процесу на послідовність розв’язання простіших задач. Зазначимо, що асимптотичні методи зародились у 18 ст. і широко застосовувались у працях Лагранжа, Лапласа, Лавер`є, Ньютона, Лідштедта, Гільдена та інших. Відомий метод усереднення був розроблений Н.М.Криловим, М.Н.Боголюбовим, Ю.А.Митропольським. Для диференціальних рівнянь із частинними похідними асимптотику розв'язків досліджували В.Штернберг, В.Вазов, Н.Левінсон, М.В.Келдиш, О.А.Олійник, С.М.Каменомостська, Є.П.Жидков, Д.Аронсон, Є.К.Ісакова, М.І.Вішик, Л.Люстернік, М.Джавадов, Л.Бобісуд, Су Юй-чен, Я.А.Ройтберг, Н.С.Бахвалов, Р.I.Мурадов, Л.Чезарі i багато інших. Інтенсивний розвиток теорії сингулярних збурень започаткований відомими роботами А.Н.Тихонова, С.А.Ломова, А.М.Ільїна, Д.Аронсона, Дж.Коул та ін. Ефективний асимптотичний метод розв’язку сингулярно збурених задач запропонований М.І.Вішиком і Л.А.Люстерником, значущою особливістю якого є ідейна простота, “охоплення” основних і другорядних явищ (складових частин процесу) та чутливе реагування на них, застосування до широкого кола задач. В основі цього методу лежать дві ідеї: регулярного перетворення, яка йде ще від Прандтля, а також ідея пограншарових поправок. Модифікуючи цей метод (шляхом введення примежових функцій та розробки спеціальної процедури згладження), В.Ф.Бутузов і А.Б.Васильєва, А.В.Нєстєров отримали асимптотику розв’язків сингулярно збурених задач типу “реакція-дифузія-перенесення” для типових канонічних областей. У випадку недостатньої узгодженості граничних умов А.П.Власюком побудовані відповідні реброві та кутові функції. Н.О.Нікіфорович поширила запропоновану методику на випадки дослідження процесів масопереносу з урахуванням масообміну. Запропоновані підходи розвинено С.В.Барановським при побудові асимптотичних наближень розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях із вільними межами, які виникають при математичному моделюванні та дослідженні процесів розмиву дна русел.
При визначенні ж власних завдань дослідження в роботі наголошено на наявність складної структури взаємозалежностей різних факторів, що визначають процеси у системах типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, які не враховувались у традиційних (класичних) моделях таких систем. Врахування ж різних взаємовпливів, а також різних додаткових факторів, що вносяться до базової моделі з метою глибшого вивчення процесу, часто приводить дослідників до необхідності побудови громіздких, але малоефективних (з точки зору чисельної реалізації і практичного використання) математичних моделей. Проте у багатьох практично важливих випадках при дослідженні таких процесів вдається побудувати узагальнюючу ідеологію математичного моделювання систем типу “фільтрація-конвекція-дифузія” та методологію розв’язання відповідних нелінійних задач з використанням ідей збурень (де врахування нових факторів, явищ здійснюється шляхом збурення добре вивчених класичною теорією вихідних фонів, а не в результаті розв’язання відповідних нових громіздких модельних задач). У роботі нами розглядаються відповідні процеси у середовищах –областях (рис. 1), обмежених еквіпотенціальними лініями та лініями течії (зокрема, вільними кривими), які можуть піддаватися деформаціям (зокрема, фільтраційним) залежно від певних характеристик процесу, що, в свою чергу, зумовлює характер перебігу процесу, тобто є підстави говорити про взаємовплив характеристик середовища та процесу. Крім цього, досліджувані середовища, їх границі можуть містити окремі “ділянки-джерела”, що зумовлюють зміну структури деякої вихідної (базової) течії (зокрема, їх можна розглядати і як джерела забруднень), або ділянки границі, які змінюють свою форму у часі в залежності від розвитку процесу в середовищі (ділянки “розмивання”). Фільтраційна течія розглядається нами ще і як певний фон для конвективного перенесення розчинних речовин (забруднення) з урахуванням малих дифузійних явищ.
Згадані вище процеси в анізотропних, неоднорідних, схильних до деформації середовищах вивчатимемо на основі нелінійних диференціальних рівнянь
, ,
, , .
Задачу для такого типу рівнянь з запізненням зведено до послідовності “відокремлених” (відповідно “конвективно-дифузійних” та “фільтраційних”) задач без запізнення, що дозволяє відповідні “компоненти” процесу в певному сенсі вивчати автономно, концентруючи увагу переважно на конкретних видах “взаємовпливів”.
Відзначено, що розроблені математичні модельні залежності коефіцієнта фільтрації, а також метод послідовних наближень, запропонований для розв’язання нелінійних задач із післядією, які виникають при моделюванні процесів фільтрації у деформованих середовищах, дозволяють розвивати дані процеси і в часі. При переході від “незбурених” задач до “збурених” ставиться вимога, щоб класичні форми законів, що описують ці процеси (руху рідини в пористих середовищах, конвективної дифузії та ін.), залишити початково прийнятими та, відмовляючись розв’язувати останні “з нуля”, отримані “незбурені” розв’язки доповнювати різними поправками. Більш того, моделюючи та досліджуючи процеси з післядією (з врахуванням зворотнього впливу), вимагаємо, щоб кожне з послідовних наближень розв’язків відповідних нелінійних задач відображало певний “часовий” стан (етап) до стабілізації процесу.
У другому розділі представлені: підходи до моделювання нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія” в деформівних середовищах (на прикладах осесиметричних задач); постановки обернених задач про конформні відображення криволінійних чотирикутників на прямокутники та многочленні наближення їх розв’язків; методи чисельного розв’язання обернених нелінійних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення; асимптотичний метод розв’язання сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” в неоднорідному анізотропному середовищі.
Третій розділ присвячено розвитку запропонованої нами методології квазіконформних відображень стосовно моделювання взаємовпливу градієнтів напору (потенціалу) та характеристик середовища для областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями. Ефективність нелінійних обернень крайових задач на квазіконформні відображення при моделюванні впливу градієнтів напору на процес фільтрації в роботі демонструється на прикладі однозв’язної криволінійної області (пласт, що піддається деформації) , обмеженій чотирма гладкими кривими , , , (рис. 2), в якій розглядається типова модельна крайова задача:
; , (1)
де –квазіпотенцiал поля; –відповідна функція течії; Q –повна витрата (невідомий параметр); рівняння (1) є наслідком закону Дарсі (рівняння руху) і рівняння нерозривності ; –напір; –обмежена неперервно диференційовна в області функція, що характеризує провідність середовища та його схильність до деформації; –коефіцієнт фільтрації; –зведений коефіцієнт фільтрації; –швидкість фільтрації, а –її потенціал. Відповідну їй обернену задачу на квазіконформне відображення області на при невідомій витраті отримано у вигляді
, ,
, (2)
.
При цьому відповідні рівняння другого порядку (аналоги рівнянь Лапласа для випадку, коли ) для знаходження функцій () з огляду на залежності коефіцієнта від кожної із них є взаємозв’язаними :
. (3)
В основу розробленого нами методу знаходження розв’язку відповідної різницевої задачі (отриманої за схемами типу “хрест”або “ящик”з масовими операторами) в загальному випадку покладено ідею “почергового заморожування”параметра квазіконформності (де і –параметри рівномірної сітки в ) та граничних і внутрішніх вузлів сітки . А саме, задавши початкові наближення координат граничних вузлів і початкові наближення координат внутрішніх вузлів, знаходимо початкове наближення невідомої величини як зважено (відносно ) усередненого відношення величин сторін елементарних в чотирикутників. Використовуючи дане наближення , проводимо уточнення координат внутрішніх вузлів шляхом обчислення координат вузлів на основі вираження їх значень через відповідні значення координат сусідніх вузлів з різницевих аналогів рівнянь (3). Далі “підправляємо” координати граничних вузлів, виходячи з умов ортогональності сіткової області та знову обчислюємо нові наближення величин () і т.д. Умовами закінчення процесу є стабілізація значень координат граничних вузлів та витрати в процесі ітерації, мінімізація величини відхилення відношення діагоналей від одиниці, інше (при цьому процес може бути закінчений при виконанні однієї із зазначених умов, з можливістю виділення тих ділянок області , де не виконуються інші умови). Якщо ж потрібно збільшити ступінь точності наближеного розв’язку, то збільшуємо кількість і вузлів розбиття сіткової області та розв’язуємо різницеву задачу заново (оптимальність співвідношення між і досягається, наприклад, шляхом оптимізації функціоналів типу Рімана з урахуванням заміни конформної сітки на відповідну квазіконформну).
На основі описаної вище методики проведені численні експерименти з розв’язання тестових та прикладних задач і деякі з одержаних результатів представлені в дисертаційній роботі. Зокрема, розроблена методика застосована для дослідження процесу фільтрації з урахуванням суфозійних деформацій середовища з використанням моделі, в якій коефіцієнт фільтрації середовища приймався сталим у випадку, коли градієнт напору є меншим від деякого його критичного для даного ґрунту значення , і рівним у протилежному випадку. За результатами числового експерименту для тестової області (рис. 3: , , , ) без врахування явищ суфозії () при отримано розрахункове значення повної витрати . Врахування ж взаємовпливу градієнта напору та коефіцієнта фільтрації за вказаним вище законом при , викликало збільшення шуканої витрати до .
Рис. 3. Збурена та незбурена зони у фізичній області та області комплексного потенціалу
На рис. 4, 5 відповідно зображені розрахункові динамічні сітки (з виділенням зон збурення), одержані при дослідженні процесу фільтрації в системі горизонтального дренажу та в земляній греблі, де врахування фільтраційно-суфозійного взаємовпливу призводить до збільшення розрахункової витрати до 20%. При цьому нами розроблено метод “фіктивних ділянок” розв’язання крайових задач на конформні відображення для областей із вільними межами (див. рис. 5).
У роботі запропоновані також деякі спеціальні приклади розширення сфери застосування розробленої методології, які пов’язані з розв’язанням відповідних задач з різного роду особливостями: нелінійні обернення крайових задач на конформні відображуння у трикутних областях (обмежених однією еквіпотенцільною лінією та двома лініями течії); моделювання збурення ідеального поля точковим джерелом, а також еквіпотенціальною ділянкою на граничній лінії течії; крайові задачі для рівнянь дивергентного типу із кусково сталими коефіцієнтами (з розривами вздовж ліній течії та еквіквазіпотенціальних ліній) в L-подібних областях (із використанням методу сумарних представлень Г.М. Положія).
Розроблена в роботі методологія, підходи до моделювання і дослідження нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія” розвинені і узагальнені стосовно розв’язання відповідних задач для двозв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями шляхом введення спеціальних апроксимацій вихідних нелінійних рівнянь навколо умовного розрізу вздовж вибраної лінії течії, що дозволяє створювати ефективні чисельні алгоритми розв’язків такого роду задач. Зокрема, розглядаються модельні нелінійні задачі на знаходження квазігармонiчної функцiї (квазіпотенцiалу) в деякій двозв’язній криволінійній області (пористому пласті, що піддається деформації) (), обмеженій двома замкненими гладкими контурами –внутрішній, –зовнішній:
, , , (4)
де , –симетричний тензор другого рангу, –обмежені неперервно диференційовані функції, що характеризують провідність середовища, його анізотропію та деформівність. Ввівши квазікомплексно спряжену до функцію течії , що задовольняє рівняння , де , зафіксувавши на внутрішньому контурі деяку точку A та здійснивши умовний розріз вздовж відповідної лінії течії приходимо до задачі на квазіконформне відображення утвореної при цьому однозв’язної області на відповідну область квазікомплексного потенціалу з невідомим параметром (повною витратою):
(5)
де AD та BC –“береги” розрізу . Відповідна їй обернена крайова задача на квазіконформне відображення області на та відповідні рівняння другого порядку для функцій і (аналоги рівнянь Лапласа для випадку, коли , ) отримано у вигляді
(6)
(7)
В роботі наведені їх різницеві аналоги, алгоритми розв’язків відповідних дискретних нелінійних задач (особливістю яких є врахування умов “квазіортогональності”, “квазіподібності” тощо), в тому числі специфічні для цих випадків умови зупинки алгоритму, що дозволяють в діалоговому режимі керувати процесом обчислень, та результати числових розрахунків. Так, на рис.6 зображена динамічна сітка, отримана в результаті розв’язання задачі, що описує процес фільтрації із свердловини ( , ) в еліптичний пласт ( , ) при (, ), , , n=40, m=120, . При цьому знайдена повна витрата при максимальній нев’язці , що має місце в деякому околі точки (-15,0), де криволінійні елементарні чотирикутники найбільше відхиляються від квадратів і яка зменшується при збільшенні параметрів розбиття n та m області при умові збереження певного співвідношення між ними (на рис. 6 схематично пунктиром розділені ділянки великих та малих нев’язок відносно деякого значення ).
На рис. 7 проілюстровано один із розроблених нами варіантів моделювання взаємовпливу коефіцієнта фільтрації та градієнта напору () при осесиметричній фільтрації від свердловини радіуса в круговому пласті радіуса , де –незбурена зона (), , –відповідно зона відриву () та зона осідання () суфозійних частинок грунту, n –пористість, –концентрація суфозійних частинок ( –скелету), і є розв’язками рівнянь та відповідно (, –критичні значення градієнта напору стосовно відриву та затримки частинок). Причому значення та визначаються за формулами:
, .
Моделювання в умовах неповних даних щодо параметрів зон відриву та затримки частинок, а також ділянки насичення за умов збереження неперервності коефіцієнта фільтрації та градієнта напору проведено у такий спосіб: при ; при ; при (див. рис.8), де , ,…, –малі (в порівнянні з 1) параметри, які підбираються виходячи з умов гладкості при , та з фізичного експерименту. Тут коефіцієнт є розв’язком рівняння , –значення градієнта напору, при якому має місце максимальний вимив суфозійних частинок з ґрунту, –максимальне значення коефіцієнта фільтрації, яке відповідає повному вимиванню суфозійних частинок. Даною формулою також визначається і мінімальне значення коефіцієнта фільтрації (в зоні затримки частинок), яке відповідає максимально можливому заповненню пор суфозійними частинками.
Рис. 10. Розподіл градієнта напору та коефіцієнта фільтрації вздовж розрізу .
У роботі наведені різного роду узагальнення даного підходу на випадки більш складних конфігурацій криволінійних областей. Зокрема, на рис. 9 представлено результати числового розрахунку вказаних процесів в області фільтрації близької до осесиметричної, що, шляхом порівняння з даними фізичного експерименту, дозволило підтвердити адекватність моделі. На рис. 10 пунктирними та суцільними лініями зображені залежності , () відповідно на початковій () ітерації і на стадії стабілізації процесу (, ). Зауважимо, що у граничному випадку при одержані результати числового експерименту співпали з відповідними аналітичними розв’язками.
Четвертий розділ присвячений проблемі системного дослідження процесів типу “фільтрація-конвекція” у випадках, коли на деякій ділянці однієї із граничних ліній течії фізичної чотирикутної області поміщено джерело збурення вихідної течії (див., наприклад, рис. 11). Оскільки в таких модельних задачах області комплексного потенціалу, що відповідають різним значенням потенціалу збурення, можуть відрізнятися не тільки невідомими параметрами, але і формою, то разом із побудовою алгоритмів наближеного розв’язку відповідної нелінійної оберненої задачі в кожному з конкретних випадків формування течії у фізичній області необхідно розв’язати і проблему її вибору з множини можливих конфігурацій . З цією метою у роботі на основі евристичних міркувань з наступним логічним обґрунтуванням встановлено 23 можливих випадки формування течії при різних скінчених значеннях , визначено відповідні їм області комплексного потенціалу (на рис. 11. для ілюстрації представлені можливі випадки формування течії при ) та розроблено алгоритм їх вибору. Зазначимо, що особливий інтерес тут представляють випадки, які визначаються єдиним значенням (названі нами “ключовими”або “оптимізаційними”). При цьому у роботі відповідні постановки модельних задач вперше формулюються не тільки з врахуванням їх фізичного і геометричного змістів, але і з точки зору оптимізації певних функціоналів (перетоків виду , де –визначені ділянки границі області) відносно як параметра керування, а також наведені приклади розв’язання різних типів конкретних “ключових” та “проміжних” задач (розроблені відповідні обчислювальні алгоритми). В якості ілюстрації, на рис. 12 наведено результати розв’язку модельної задачі знаходження найменшого (оптимізаційного) зі значень керуючого потенціалу , при якому відсутній перетік від ділянки збурення MN до ділянки DC виходу течії з даної області,
значень перетоків відповідно від ділянки входу течії АВ до MN і до DC з побудовою динамічної сітки, яка одержана за , , , , кроків ітерації з “похибкою конформності” в області при , , , , , , і відповідна їй сіткова область комплексного потенціалу .
Розроблену методологію розвинено для задач дослідження збурень ідеальних та квазіідеальних полів у тризв’язних областях (обмежених еквіпотенціальними лініями) із потенціалом керування на одному із внутрішніх граничних контурів (див. рис. 13).
Особливістю постановок задач конвективного переносу для таких фільтраційних схем є неявна визначеність ділянок, на яких задаються граничні умови, а саме –ділянок-витоків.
П’ятий розділ присвячено моделюванню і дослідженню плоских та просторових процесів розповсюдження розчинних речовин (наприклад, забруднень) на побудованих і вивчених фільтраційних (квазіідеальних) фонах у випадках
переважання їх конвективних складових над дифузійними та розробці чисельно-асимптотичних методів побудови розв’язків відповідних нелінійних сингулярно збурених задач за умов взаємовпливу різних характеристик середовища та процесу. На початку розглядаються дві автономні сингулярно збурені задачі: а) конвективної дифузії при нелінійній фільтрації (за умов взаємовпливу градієнтів потенціалу та коефіцієнта провідності середовища); б) нелінійної конвективної дифузії (з післядією). Першу з них в області зведено до задачі:
;
, , , ;
,
де ; , , , –область комплексного потенціалу. У кутових точках , , , , а також вздовж ребер паралелепіпеда функції , , разом з відповідними похідними є узгодженими. Асимптотичний розв’язок даної задачі одержано у вигляді: , де –згладжений вздовж характеристик розв’язок відповідного виродженого рівняння за початкової та “вхідної” граничної умов , , –функція обернена до , тобто –розв’язок відповідної задачі конвективного масопереносу з врахуванням “розмазування” його фронту за рахунок дифузійних процесів. А саме:
,
де –інтеграл помилок, –функція обернена до функції . “Дифузійну” поправку з точністю в усій області отримано як розв’язок рівняння за умов , . Функція типу пограншару в околі призначена для врахування дифузійних процесів вздовж ділянки виходу фільтраційної течії і визначається за формулою
, де , .
Функції і , де призначені для врахування перерозподілу концентрації розчинної речовини в околі граничних ліній течії і за рахунок впливу відповідних джерел забруднень, інших умов. Вони визначаються в результаті розв’язку рівнянь виду які за допомогою заміни зводяться до рівняння зі сталими коефіцієнтами вигляду де –параметр. При цьому .
У роботі також розглядаються різні підходи до моделювання та дослідження явищ зворотнього впливу концентрації розчинних речовин на коефіцієнт дифузії (на побудованих нами вище фільтраційних фонах), зокрема, отримані розв’язки відповідних задач за таких умов залежності коефіцієнта дифузії від концентрації: ; ; ; . Одержані умови для асимптотичних розвинень розв’язків підвищеної точності таких задач та проведено числові експерименти. Зокрема, на рис. 14 представлено розподіл концентрації вздовж характерних ліній для області , обмеженої ортогональними в точках перетину дугами кіл , , на ідеальному фоні за умов , , , ), , , , , .
Особливістю побудови асимптотичних наближень розв’язків сингулярно збурених задач конвективної дифузії у багатозв’язних областях є те, що до них, крім відомих типів примежових функцій, входять нові їх “складові”, зокрема, функції внутрішнього шару в околах ліній розділу течії та інші. При цьому характер побудови асимптотики розв’язку суттєво залежить від значення потенціалу збурення: одна і та ж ділянка границі області з відповідною крайовою умовою в одному випадку задання
а) б)
Рис. 14. Розподіл концентрації вздовж: а) лінії течії при , , , ;
б) еквіпотенціальних ліній при , , , (криві 1-4 відповідно)
значення породжує основну її частину, а в іншому –ту чи іншу поправку (тобто задачі фільтрації та конвекції-дифузії не є достатньо “автономними”). Відповідна методика дослідження нелінійних процесів типу “фільтрація-конвекція-дифузія” в роботі ілюструється для характерних випадків таких областей. Зокрема, для тризв’язної криволінійної області , обмеженої замкнутими гладкими контурами , , (див. рис. 15) розглядається модельна задача типу “конвекція-фільтрація”:
, , , , ; ,
, , , . Значення потенціалу на додатковому “контурі-поповнювачі” є таким, що , а щодо шуканих параметрів , , (відповідно величин перетоків від до ; від до ; від до , де , , ) відомо лише, що
Розріз (, , ) області умовно вибирається уздовж однієї з ліній розділу течії і знаходиться в процесі розв’язку задачі.
Методом характеристик розв’язок “конвективної” задачі одержано у вигляді:
Лінія фронту (розділу “зон впливу” початкової і граничної умов) у фіксований момент часу отримується в результаті розв’язку рівняння , де , якщо і , якщо .
На рис. 15 зображена розрахункова динамічна сітка фільтраційної течії при: , , , , , , , , , , , , (, ), , , , а на рис. 16 –лінії фронту (а) та концентрації розчинної речовини вздовж ліній течії (б).
Нові особливості та проблеми побудови відповідної асимптотики для n-зв’язних областей (n>2), а також підходи до їх вирішення в роботі проілюстровано на конкретних прикладах розв’язання сингулярно збурених задач типу “конвекція-дифузія” у тризв’язній області, зокрема, коли один з обмежуючих її внутрішніх контурів вільно і миттєво “пропускає” вихідний потік через відповідний йому басейн. А саме, побудовано асимптотичне розвинення розв’язку задачі (див. рис. 17):
, ,;
, , , ;
, , , , , ,
де –біжуча точка границі даної області (), , , якщо, і , якщо , , функція повинна бути такою, щоб розв’язок відповідної виродженої задачі був досить гладким уздовж ліній розділу течії, що можливо, наприклад, за умови миттєвого проходження часток через басейн, обмежений контуром .
Процедура побудови асимптотики розв’язку такого типу задач відрізняється від аналогічного алгоритму для чотирикутної області, а також двозв’язної області (з умовним розрізом вздовж деякої лінії течії), як “багатоповерховістю” формул запису членів асимптотики, так і “обов'язковістю” попереднього знаходження точок розділу течії на проміжному контурі . У випадку недостатньої узгодженості початкової і граничної умов, крім “традиційної” процедури згладжування негладкостей основної частини розв’язку вздовж характеристик, що виходять із кутових точок, необхідно робити нового типу згладжування вздовж ліній розділу течії. Отримано рівномірне наближення розв’язку такої задачі в циліндрі , де –об’єднання деяких околів точок , , у яких швидкість перетворюється в нуль.
У роботі побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і на цій основі одержано асимптотичне розвинення розв’язку відповідної сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії в криволінійному паралелепіпеді (див. рис. 18). Просторовий аналог конформного відображення будується шляхом введення пари функцій , , які, стосовно гармонічної функції (потенціалу) , задовольняють наступним умовам: , , , ; , , , , та побудови відповідної фізичній області області просторового комплексного потенціалу , де –потік через довільний поперечний переріз течії ( –потоки через відповідні горизонтальний та вертикальний “одиничні” прошарки).
На основі розробленого методу асимптотичного наближення розв’язку нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними межами, у роботі представлено підхід до моделювання і дослідження процесів деформації русла водним потоком на ділянках планового розширення і повороту русла. При цьому запропонована математична модель процесу деформації незв’язного піщаного русла, в якій відрив та вертикальний підйом частинок ґрунту під впливом водного потоку розглядається як їх дифузія (що характеризується деяким “фіктивним” коефіцієнтом) в області із змінною в часі ділянкою границі (поверхнею дна).
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі розв’язана науково-технічна проблема розробки ефективного методологічного та математичного апарату моделювання, дослідження нелінійно-збурених систем типу “фільтрація-конвекція-масообмін-дифузія” в середовищах схильних до деформацій за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу і характеристик середовища, врахування впливу зміни вільної границі “провідного” середовища на течію, додаткових джерел та явищ на основний процес. Зокрема:
1. Розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища і процесу, зокрема, урахуванням взаємовпливу більших за критичні значення градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації. На основі модифікації закону Дарсі створені нові локально-нелінійні базові моделі та підходи до розв’язання відповідних задач про стабілізацію процесів типу “фільтрація-суфозія” та характеристик середовищ, що деформуються.
. Розроблена нова ефективна методологія чисельного наближення розв’язків нелінійних задач типу “фільтрація” на конформні та квазіконформні відображення в чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, а також у двозв’язних областях обмежених еквіпотенціальними лініями з використанням ідеї їх обернення, що дозволяє на отриманому в результаті побудованої динамічної сітки конвективному фоні ефективно досліджувати розвиток та взаємовплив інших явищ (типу “масообміну”, “конвективної дифузії” і т.п.).
. Апробовані й експериментально підтверджені базові моделі взаємовпливу градієнту напору та характеристик середовища для осесиметричної фільтрації (при роботі дрен як у режимах осушення, так і зволоження) узагальнено на випадки довільних двозв’язних неоднорідних, анізотропних середовищ, обмежених еквіпотенціальними лініями. Розроблений метод перенесено на випадки задач з особливостями; спеціальних типів задач у шаруватих середовищах; в областях з вільними межами та інших нелінійних задач.
. За результатами теоретичних досліджень та числових експериментів розроблено методику прогнозування ділянок деформацій (збурення) середовищ (наприклад, ділянки вимивання та осідання суфозійних частинок) та методику розрахунку зміни інтегральних характеристик течії (витрат) внаслідок таких деформацій. На цій основі пояснено та обґрунтовано невідповідність проектних характеристик дренажних систем, отриманих згідно з прийнятими на даний час стандартами, в галузі фільтраційних розрахунків, результатам їх практичної експлуатації.
. В результаті вперше зробленого евристичного опису та наступного логічного обґрунтування всіх можливих випадків формування течії в залежності від заданих значень додаткового потенціалу на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії чотирикутної криволінійної області розв’язана проблема неоднозначності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення з використанням розробленої процедури автоматизованого вибору відповідного випадку. На цій основі вперше запропоновано постановки крайових задач на конформні відображення при невідомому значенні додаткового потенціалу на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії за відомою структурною схемою формування течії як задач на оптимізацію та керування. Розроблено метод розв’язання такого роду задач, що дає можливість будувати динамічну сітку, знаходити лінії розділу течії та обчислювати різного роду відповідні перетоки (втоки, витоки), який апробовано для окремих проміжних та ключових випадків, зокрема, при умові відсутності стоку з ділянки збурення. Відповідну методику постановки та чисельного наближення розв’язку перенесено на випадки нових крайових задач на конформні відображення із потенціалом керування у тризв’язних, обмежених еквіпотенціальними лініями, областях.
. Побудовано та обґрунтовано підвищеної точності асимптотичні розвинення розв’язків сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія”; вперше побудовано асимптотичні розвинення розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, зокрема для многочленної та інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації, з урахуванням запізнення та інших форм взаємовпливу характеристик середовища (коефіцієнтів фільтрації та дифузії) та процесу; запропоновано підхід до розв’язання сингулярно збурених задач за умов наявності ліній розділу течії в областях з потенціалами збурення. На цій основі отримано розв’язки ряду модельних задач: у чотирикутних криволінійних областях із потенціалом керування на ділянці збурення однієї із ліній течії; у тризв’язних областях.
7. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і, на цій основі, одержано асимптотичний розклад розв’язку сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії в криволінійному паралелепіпеді.
. З огляду на проблеми опису деформацій русла турбулентним потоком на основі розробленої загальної методології збурень розроблено підхід до побудови чисельно асимптотичних наближень розв’язків відповідних нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь типу “конвекція-дифузія” в областях з вільною ділянкою границі.
9. Розроблені методи, підходи та алгоритми постановок та розв’язання модельних задач адаптовано, апробовано та використано для вирішення окремих інженерно-технічних проблем, зокрема, при моделюванні масопереносу в зоні прихвату колони труб, що дозволило уточнити причини виникнення та технологію ліквідації прихвату; а також при моделюванні роботи гідравлічного аератора із змінним масообміном кисню.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ здобувача
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Анотація. Бомба А.Я. Математичне моделювання нелінійних збурень процесів типу “фільтрація-конвекція-дифузія” з післядією.- Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи.-Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2005.
Виходячи з проблем моделювання, дослідження та оптимізації параметрів систем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у деформівних середовищах на основі модифікації закону Дарсі розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів із урахуванням взаємовпливу визначальних факторів процесу та характеристик деформівного середовища, включаючи їх стабілізацію із встановленням відповідних зон збурення. При цьому розроблена нова ефективна методологія чисельного наближення розв’язків нелінійних задач типу “фільтрація” на конформні та квазіконформні відображення в областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з використанням ідеї їх обернення, яка поширена на випадки неоднорідних, шаруватих, анізотропних середовищ та задачі в областях із вільними межами й особливостями. На основі системного аналізу усіх можливих випадків формування течії в залежності від заданих значень потенціалу керування на ділянці збурення однієї із граничних ліній течії чотирикутної криволінійної області, а також на одному із внутрішніх контурів тризв’язної області, розв’язана проблема неоднозначності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення (за різних умов оптимізації та керування). Для дослідження процесів типу “конвекція-дифузія” на таких фільтраційних фонах поставлені відповідні нелінійні сингулярно збурені задачі з післядією та розроблено методологію побудови чисельно-асимптотичних розвинень їх розв’язків, яку, зокрема, перенесено на випадки областей із вільними межами. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і, на цій основі, одержано асимптотичний розклад розв’язку сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії у криволінійному паралелепіпеді.
Ключові слова: нелінійні модельні крайові задачі, просторові конформні відображення, квазіконформні відображення, деформівні середовища, задачі з післядією, сингулярно збурені задачі, асимптотичні методи, фільтрація, конвекція, дифузія, керуючий потенціал, метод сумарних зображень, задачі з вільними межами.
Аннотация. Бомба А.Я. Математическое моделирование нелинейных возмущений процессов типа “фильтрация-конвекция-диффузия” с последействием. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.05.02 –математическое моделирование и вычислительные методы. -Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2005.
Диссертация посвящена разработке методологии моделирования, исследования и оптимизации параметров систем типа “конвекция-массобмен-диффузия” в деформируемой среде при условиях взаимовлияния определяющих факторов процесса на характеристики среды и учет влияния изменения свободной границы “проводимой” среды на поток, дополнительных источников и явлений на основной процесс.
Создана новая методология математического моделирования, исследования и оптимизации систем типа “фильтрация-конвекция-массообмен-диффузия” в предрасположенных к деформациям средах при условиях взаимовлияния определяющих факторов процесса и характеристик среды, с учетом изменения свободной границы “проводящей” среды на течение, дополнительных источников и явлений на основной процесс.
В работе разработан подход нового типа к моделированию фильтрационных процессов с учетом взаимовлияния характеристик среды и процесса, в частности, взаимовлияния больших за критические значения градиентов напора и коэффициента фильтрации. На основании модификации закона Дарси созданы новые локально-нелинейные базовые модели и подходы к решению соответствующих задач о стабилизации процессов типа “фильтрация-суффозия” и характеристик деформируемой среды. При этом разработана новая методология численного приближения решений нелинейных задач типа “фильтрация” на конформные и квазиконформные отображения в четырехугольных областях, ограниченных линиями течения и эквипотенциальными линиями, а также в двухсвязных областях ограниченных эквипотенциальными линиями с использованием идеи их обращения, которая позволяет на полученном конвективном фоне эффективно исследовать развитие и взаимовлияние других явлений (типа “массообмен”, “конвективной диффузии” и т.п.).
Апробированные и экспериментально подтвержденные базовые модели взаимовлияния градиента напора и характеристик среды для осесимметричной фильтрации (при работе дрен как в режимах осушения, так и увлажнения) обобщены на случаи произвольных двухсвязных неоднородных, анизотропных сред, ограниченных эквипотенциальными линиями. Разработанный метод перенесен на случаи задач с особенностями; специальных типов задач в слоистых средах; в областях со свободными границами и других нелинейных задач. Причем в случае зависимости коэффициента проводимости от потенциала скорости переход от прямой к обратной задаче позволило избавиться от проблем нелинейности исходной задачи. По результатам теоретических исследований и числовых экспериментов разработана методика прогнозирования участков деформаций (возмущения) сред (например, участка вымывания и оседания суффозионных частиц) и расчета изменения интегральных характеристик течения (расхода) вследствие таких деформаций, что объясняет несоответствие проектных характеристик дренажных систем (полученных в соответствии с принятыми на данное время стандартами в области фильтрационных расчетов) результатам их практической эксплуатации.
На основании системного эвристического описания (с последующим логическим обоснованием) всевозможных случаев формирования течения в зависимости от заданных значений дополнительного потенциала на участке возмущения одной из граничных линий тока четырехугольной криволинейной области разрешена проблема неоднозначности нелинейного обращения соответствующих краевых задач на конформные отображения. При этом впервые предложены постановки краевых задачи на конформные отображения при неизвестном значении дополнительного потенциала на участке возмущения одной из граничных линий тока (потенциала управления) в соответствии с известной структурной схемой формирования течения как задач теории управления. Разработан метод решения такого рода задач, который дает возможность строить динамическую сетку, находить линии раздела течения и вычислять разного рода перетоки, который апробирован для отдельных промежуточных и ключевых случаев, в частности, в условиях отсутствия стока из участка возмущения. Соответствующую методику постановки и численного приближения решений перенесено на случаи краевых задач на конформные отображения с потенциалом управления в трехсвязных, ограниченных эквипотенциальными линиями, областях.
Впервые построены асимптотические разложения решений нелинейных сингулярно возмущенных задач типа “фильтрация-конвекция-диффузия”, в частности для многочленной и интегральной зависимостей коэффициента диффузии от искомой концентрации, с учетом запаздывания и других форм взаимовлияния характеристик среды (коэффициентов фильтрации и диффузии) и процесса, построены и обоснованы асимптотические разложения повышенной точности решений таких задач. Впервые предложен подход к решению сингулярно возмущенных задач при условиях наличия линий раздела течения в областях с потенциалами управления.
Впервые построен пространственный аналог плоской краевой задачи на конформное отображение криволинейного четырехугольника на прямоугольник и, на этой основании, получено асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных краевых задач конвективной диффузии в криволинейном параллелепипеде.
Исходя из проблем деформаций русла турбулентным течением на основании общей методологии, разработан подход к построению численно асимптотический приближений решений соответствующих нелинейных сингулярно возмущенных задач для уравнений типа “конвекция-диффузия” в областях со свободными участками границы (линий размывов).
Разработанные методы, подходы и алгоритмы постановок и решение модельных задач адаптированы, апробированы и использованы для решения конкретных инженерно-технических проблемных задач, в частности, при моделировании массопереноса в зоне прихвата колоны труб; при моделировании работы гидравлического аэратора с переменным массообменном кислорода.
Ключевые слова: нелинейные модельные краевые задачи, пространственные конформные отображения, квазиконформные отображения, деформируемые среды, задачи с последействием, сингулярно возмущенные задачи, асимптотические методы, фильтрация, конвекция, диффузия, управляющий потенциал, метод суммарных изображений, задачи со свободными границами.
Abstract. A.Bomba Mathematical modelling of nonlinear indignations of "filtration-convection-diffusion" processes with aftereffect.- Manuscript.
The dissertation on reception of a scientific degree of the doctor of technical sciences, speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computing methods.-Institute of cybernetics it. V.M.Glushkov NAS Ukraine, Kyiv, 2005.
The approach to modelling of filtrational processes adjusted for interference of defining factors of process and characteristics of the deformed environment, including their stabilization with an establishment of corresponding zones of indignation, is developed proceeding from problems of modelling, research and optimization of parameters of "convection-mass exchange-diffusion" systems in environments predisposed to deformation on the basis of updating Darcy law. Thus the developed new effective methodology of numerical approach of the decision of nonlinear "filtration" problems on conformal and quasiconformal mappings in areas limited by lines of current and equipotential lines with using of idea of their reference which are widespread to cases of non-uniform, layered, anisotropic environments and problems in areas with free borders and features. On the basis of the system analysis of every possible cases of formation of current depending on preset values of potential of management on a indignation’s site of one of limiting lines of current of quadrangular curvilinear area, and also on one of internal contours of trebly-connected areas, the problem of ambiguity of the nonlinear reference of corresponding regional problems on conformal mappings is solved (under different conditions of optimization and management). For research of "convection-diffusion" processes on such filtrational backgrounds corresponding nonlinear singular indignant problems with aftereffect are put and the methodology of construction numerical-asymptotic developments of their solutions have transferred on cases of areas with free borders is developed. The spatial analogue of a flat regional problem on conformal mapping of a curvilinear quadrangle to a rectangular is constructed and, on this basis, asymptotic decomposition of the singular indignant regional problem’s solution for the equation of convective diffusion in a curvilinear parallelepiped is constructed.
Keywords: nonlinear modelling regional problems, spatial conformal mappings, quasiconformal mappings, deformed environments, problems with aftereffect, singular indignant problems, asymptotical methods, filtration, convection, diffusion, control potential, problems with free borders.
Підписано до друку 23.06.2005 р.
Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman Cyr.
Формат 60х90 1/16. 2,11 ум. друк. арк.
Замовлення № 43/2. Наклад 100 прим.
Віддруковано у редакційно-видавничому відділі
Рівненського державного гуманітарного університету
м. Рівне, вул.. С.Бандери, 12. Тел. (0362) 26-48-83