тематического факультета за 2011-2012 учебный год Определение линейных пространств
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Вопросы к экзамену по предмету «Функциональный анализ»
для студентов 3-го курса прикладного отделения механико-математического факультета
за 2011/2012 учебный год
- Определение линейных пространств. Примеры. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Изоморфизм линейных пространств. Выпуклые множества в линейных пространствах.
- Метрические пространства. Примеры. Теорема Бэра. Принцип сжатых отображений, его применение.
- Компактность множеств в метрических пространства (Теорема Хаусдорфа), теорема Арцела-Асколи.
- Теорема Вейерштрасса о функционалах, непрерывных на компакте.
- Пополнение метрических пространств.
- Нормированные пространства. Полнота. Ряды в банаховых пространствах.
- Лемма Рисса. Некомпактность шара в бесконечномерных пространствах.
- Гильбертовы пространства. Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества. Достижимость расстояния.
- Разложение гильбертова пространства в прямую сумму подпространств.
- Ортонормированные системы в гильбертовых пространствах. Замкнутость, полнота, ортогонализация. Существование полной ортонормированной системы в гильбертовом пространстве.
- Ряды Фурье. Экстремальные свойства рядов Фурье. Неравенства Бесселя. Равенство Парсеваля. Критерий сходимости ряда фурье к элементу x.
- Теорема Рисса-Фишера. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
- Линейные операторы. Непрерывность, ограниченность линейных операторов. Норма линейного оператора. Эквивалентные выражения для норм. Расширение линейного оператора по непрерывности.
- Пространство линейных ограниченных операторов [X, Y]. Полнота пространства [X, Y].
- Принцип равномерной ограниченности.
- Теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространств линейных операторов в смысле поточечной сходимости.
- Применение теоремы Банаха-Штейнгаузена.
- Обратный оператор. Критерий существования, ограниченность обратного оператора.
- Теорема Банаха об обратном операторе.
- Обратимость оператора, близкого к единичному.
- Принцип открытости отображения (формулировка).
- Спектр и резольвента линейного оператора. Теорема о спектре ограниченного оператора.
- Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала. Следствие.
- Общий вид функционала в ℝn, H, C[a, b], lp, Lp.