Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО КУРСУ «АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ»
3 СЕМЕСТР
для студентов заочников специальности
Минск 2008
Составители: А.Э.Жигота, старший преподаватель
Г.Л.Петрова, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель
Предназначено для студентов заочного отделения
ПРЕДИСЛОВИЕ
В методических указаниях приведена программа курса «Алгебра и теория чисел» 3 семестра для студентов заочного отделения механико-математического факультета и изложены методы решения типовых задач по всем основным разделам.
В конце каждого раздела приведен список литературы с указанием глав и параграфов, откуда можно почерпнуть все необходимые сведения. Здесь также приведен список задач, рекомендуемых решить дополнительно к контрольному заданию.
Решение каждой задачи необходимо сопровождать подробными объяснениями. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата.
|
Начальная буква фамилии |
Вариант |
Номера задач для контрольной работы № 2 |
|
А,Ф,У,Ш,Х |
1 |
1,7,13,19,25,31,37,43,49,55,61 |
|
В,Г,И,Л,Н |
2 |
2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62 |
|
Д,Е,Ж,З |
3 |
3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63 |
|
К,П,Р,Ц |
4 |
4,10,16,22,28,34,40,46,52,58,64 |
|
С,М,Ю,О |
5 |
5,11,17,23,29,35,41,47,53,59,65 |
|
Т,Ч,Б,Э,Я |
6 |
6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66 |
Программа курса «Алгебра и теория чисел»
3 семестр
§ I. Деление многочленов. Схема Горнера. Наибольший общий делитель.
Пусть обозначает произвольное числовое поле и — многочлены из . Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что .
Теорема о делении с остатком. Для любых многочленов , существуют многочлены и такие, что , причем степень меньше степени или же . Многочлены и определены однозначно.
Многочлены и называются соответственно частным и остатком. Многочлен делит тогда и только тогда, когда .
В частном случае, когда , деление проще осуществить с помощью схемы Горнера.
Пусть . Если — частное, — остаток от деления на , то либо , либо степень равна нулю и, следовательно, .
Нетрудно видеть тогда, что коэффициенты и могут быть получены по формулам:
(1)
Для практического использования схемы Горнера составляют таблицу. Рассмотрим пример.
Пример 1. Найти частное и остаток от деления на .
Решение. Воспользуемся схемой Горнера и составим таблицу, в первой строке которой стоят коэффициенты многочлена , а во второй записываем коэффициенты частного и остаток, вычисляя их по формулам (1):
|
2 |
-1 |
0 |
3 |
|
|
2 |
2 |
3 |
6 |
15 |
Получаем Частное равно , остаток равен 15.
Для решения ряда задач математического анализа и алгебры бывает необходимо представлять многочлен по степеням , то есть представлять в виде: .
Для решения этой задачи используется следующий алгоритм.
Разделим на с остатком. Затем разделим частное на . Затем разделим новое частное на и т.д. Деление осуществляем до получения в частном многочлена нулевой степени:
(2)
Очевидно, степень равна нулю и . Подставим выражение для и выражение для : . Теперь подставим выражение для в выражение для в равенствах (2): .
Продолжая и далее этот процесс, в конечном счете получим: . Теперь ясно, что
(3)
Пример 2. Представить многочлен по степеням .
Решение. Для решения воспользуемся предложенным выше алгоритмом. Деление на будем осуществлять по схеме Горнера и результаты сразу записывать в таблицу:
Из формул (3) следует, что коэффициенты находятся на «ступеньках» таблицы. Получаем — искомое представление многочлена.
Представление многочлена по степеням можно использовать для вычисления значения многочлена и его производных в точке .
В самом деле, пусть
(4)
Тогда, очевидно,
(5)
Эти формулы получаются с помощью дифференцирования правой и левой частей равенства (4) или из формулы Тейлора.
Пример 3. Найти значение многочлена и всех его производных в точке .
Решение. Представим многочлен , по степеням . (См.пример 2) Тогда из формул (5) получаем
Производные более высоких порядков равны нулю.
Если — многочлены из и многочлен делит и (без остатка), то называется общим делителем и .
Наибольшим общим делителем (н.о.д.) многочленов и называется многочлен , удовлетворяющий условиям:
1) является общим делителем и ;
2) делится на всякий общий делитель и ;
3) старший коэффициент равен единице.
Для нахождения н.о.д. применяется алгоритм Евклида. Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида равен н.о.д. с точностью до постоянного множителя.
Литература: — § 20, 21, — § 9.1,9.2., — № 546-551, 554-557.
§ 2. Корни многочленов. Отделение кратных корней.
Если при значении многочлен принимает значение , то число называется корнем этого многочлена.
Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на , т.е. . Если при этом делится на , но уже не делится на , то называется -кратным корнем многочлена . Корни кратности называются простыми корнями многочлена.
Чтобы проверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на , затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится снова на и т.д. до получения ненулевого остатка.
Пример 1. Проверить, является ли число корнем многочлена и найти кратность.
Решение. Деление на осуществляем по схеме Горнера
— корень кратности 2.
Пусть — все различные корни многочлена с кратностями, равными соответственно — старший коэффициент . Тогда .Корень многочлена кратности является корнем кратности для его производной. Поэтому , где — многочлен, уже не имеющий своими корнями. Отсюда н.о.д. многочленов и равен .
Следовательно, многочлен имеет числа простыми корнями.
Теперь для отыскания всех корней многочлена достаточно найти все корни многочлена . Это бывает сделать проще, так как степень меньше степени , когда . Построение многочлена называется отделением кратных корней многочлена .
Пример 2. Отделить кратные корни многочлена .
Решение. . Находим . Для этого делим с остатком на :
делится на остаток . Поэтому . Искомый многочлен, отделяющий кратные корни , равен .
Заметим, что в примере 2 все корни легко вычислить.
Литература: — § 22, — § 9.4;
— № 555-559, 563-566, 569, 570, 585.
§ 3. Вычисление корней многочлена.
Задача вычисления корней некоторого многочлена часто возникает в практике. Согласно основной теореме алгебры, все корни произвольного многочлена с коэффициентами из числового поля содержатся в поле комплексных чисел . Однако не существует какого-либо универсального метода вычисления этих корней. Метод решения этой задачи зависит от степени многочлена и числового поля . Мы перечислим лишь самые основные методы решения задачи вычисления корней многочлена.
Если , то для отыскания всех корней многочлена необходимо решить уравнение
(1)
Разделим обе части (1) на . В результате получим уравнение
(2)
имеющее те же корни, что и уравнение (1). Сделаем теперь замену неизвестного . Эту замену проще всего осуществить, представляя многочлен по степеням с помощью схемы Горнера (§ 1) и делая затем замену . В результате замены получим уравнение
(3)
Корни уравнения (3) находятся по формуле Кардано где, , (корни извлекаются в поле комплексных чисел ). Применяя эту формулу, нужно для каждого их трех значений брать то значение , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).
Если — все корни уравнения (3), то — все корни уравнения (1) и многочлена .
Пример 1. Найти корни многочлена .
Решение. Разложим многочлен по степеням . Полагая , получим уравнение . Его корни находятся по формуле , где или . Значениями корня являются числа . Соответствующие им значения второго корня Отсюда . Корни многочлена , .
Если — многочлен 4-й степени, то для вычисления его корней достаточно иметь способ вычисления всех корней уравнения вида
(4)
Способ Феррари решения уравнения (4) состоит в следующем.
Левую часть (4) представляют в виде
, (5)
а затем подбирают так, чтобы выражение в квадратных скобках стало квадратом двучлена первой степени. Для этого необходимо и достаточно выполнение условия
, (6)
из которого следует, что является корнем вспомогательного кубического уравнения (6). Теперь находим какой-нибудь один корень и, подставляя его значение в (5), разлагаем левую часть (4) как разность квадратов на множители. Задача вычисления корней сведена теперь к решению двух квадратных уравнений.
Пример 2. Найти корни многочлена .
Решение. Составим уравнение
(7)
Представим левую часть (7) в виде
(8)
Подберем так, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в квадратных скобках был равен нулю:
или
.
Можно заметить, что 4 — один из корней этого уравнения. Тогда подставим в (8) и уравнение (7) примет вид:
или
.
Отсюда, решая уравнения и , получим корни нашего многочлена
Литература: — § 38, — № 167, 173, 174.
2. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.
Многочлен имеет те же корни, что и многочлен с целыми коэффициентами, полученный из умножением на общее кратное знаменателей всех коэффициентов .
Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то выполняются следующие условия:
1) — делитель числа ;
2) — делитель числа ;
3) для любого целого числа число является делителем числа .
Поэтому все рациональные корни многочлена (если они существуют) нужно искать среди несократимых дробей, удовлетворяющих условиям 1, 2, 3.
Если , то все рациональные корни являются целыми числами.
Пример. Найти рациональные корни многочлена и определить их кратность.
Решение. Если — несократимая дробь, является корнем , то делит 12, а делит 2. Все делители 12: , а делители 2: 1,2.
Зафиксируем . Тогда по (3) условию . В качестве возьмем и . Тогда и . . . Числа 1 и -1 не являются корнями. Если число — корень, то и . Такому условию удовлетворяют -2, 4. С помощью схемы Горнера выясняем, что число -2 является корнем кратности 2.
Далее, зафиксируем . Тогда и (). Проверять надо лишь взаимно простые с , т.е., . Среди этих чисел условию () удовлетворяют -1, 3. Проверяя по схеме Горнера дроби и выясняем, что корнем является . Итак, — простой корень, — корень кратности 2.
Литература: — § 57, — § 11, 3, — № 649-651.
§ 3. Неприводимые многочлены.
Многочлен степени с коэффициентами из поля называется неприводимым над полем , если он не может быть разложен в произведение многочленов степеней < с коэффициентами из . В противном случае многочлен называется приводимым над полем .
Неприводимость многочлена зависит от поля, над которым он рассматривается . Так, многочлен приводим над полем и над полем
,
но неприводим над полем рациональных чисел .
Многочлен выше 1-й степени, неприводимый над полем , не может иметь корней в поле . Обратное неверно, т.е., из того, что многочлен не имеет корней в поле , не следует, вообще говоря, что он неприводим над полем . Например, не имеет рациональных корней, но является приводимым над .
Для многочленов степени 2 или 3 обратное верно, а именно, справедливо утверждение: многочлен степени 2 или 3 приводим над полем тогда и только тогда, когда он имеет корень в этом поле.
Всякий многочлен , имеющий степень , разлагается в произведение многочленов, неприводимых над полем , причем, если многочлен двумя способами разложен в произведение неприводимых множителей:
,
то и, при соответствующей нумерации, имеют место равенства , где .
Если в разложении многочлена на неприводимые множители из каждого из этих множителей вынести за скобку старший коэффициент, то получится разложение
, (1)
где все являются неприводимыми многочленами со старшими коэффициентами, равными единице. Для всякого многочлена такое разложение уже однозначно с точностью до нумерации множителей. Если неприводимый многочлен встречается в указанном разложении многочлена раз, то называется -кратным множителем многочлена .
Собирая одинаковые неприводимые множители вместе, можно записать в виде
, (2)
где , если . Таким образом, есть — кратный множитель для . Разложение (2) называется каноническим разложением многочлена над полем .
Более подробно рассмотрим вопрос о неприводимых многочленах над полями и . Необходимые рассуждения основаны на следующей теореме.
Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен ненулевой степени над полем имеет хотя бы один корень в поле .
Из этой теоремы следует, что над неприводимыми являются только многочлены первой степени и каноническое разложение многочлена над полем имеет вид:
. (3)
Если многочлен с действительными коэффициентами и — комплексный корень , то сопряженное с число тоже является корнем , причем кратности корней и совпадают. Если в разложении (3) для многочлена перемножить попарно скобки, соответствующие комплексно-сопряженным корням , то получится каноническое разложение над :
. (4)
Квадратные трехчлены, входящие в это разложение, не имеют действительных корней и, следовательно, неприводимы над .
Итак, над полем , кроме многочленов 1-й степени, неприводимыми являются также многочлены 2-й степени, не имеющие действительных корней, а все многочлены выше 2-й степени приводимы.
Пример1. Разложить на неприводимые множители многочлен 1) над полем ; 2) над полем .
Решение. Задача сводится к отысканию корней этого многочлена. Корни этого многочлена найдены в примере 1 (§ 3 пункт 1) и равны . А тогда и есть разложение на неприводимые множители над полем — разложение на неприводимые множители над полем .
Пример2. Разложить на неприводимые множители над полем многочлен .
Решение. Корни найдены в примере 2 (§ 3 пункт 1). Они равны . Поэтому является разложением над . Здесь .
Пример 3. Построить многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами по данным корням: 1 — корень кратности 3; — корни кратности 2; -7 — простой корень.
Решение. .
Пример 4. Построить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами по данным корням: 2 — корень кратности 2; — простые корни.
Решение. .
В примерах 3 и 4 можно перемножить скобки и получить многочлен в обычной записи.
Остановимся еще на вопросе о неприводимых многочленах над полем рациональных чисел . Пусть — многочлен с целыми коэффициентами.
Критерий Эйзенштейна. Если существует простое число , удовлетворяющее условиям:
1) не делит ;
2) делит ;
3) не делит ,
то многочлен неприводим над .
Если , то неприводим по критерию Эйзенштейна . Неприводимыми над являются также многочлены . Отсюда видно, что для всякого натурального существует многочлен степени неприводимый над , в отличие от полей и .
Литература: — §§ 23, 24, 48, 56;
— § 9.3, 9.4, 11.3;
— № 587, 589, 590, 592, 593, 597, 653.
§ 4. Симметрические многочлены.
Многочлен от переменных над полем называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке этих переменных. Чтобы проверить, является ли данный многочлен симметрическим, достаточно проверить, меняется ли он при перестановках любых двух из входящих в него переменных между собой.
Пример 1. Многочлен не является симметрическим, так как, если заменить в нем везде на , а — на , то получится многочлен .
Пример 2. Многочлен является симметрическим.
Симметрические многочлены от переменных
Называются основными симметрическими многочленами.
Если — многочлен от переменной над полем и — все корни (каждый корень записан столько раз, какова его кратность), то значения основных симметрических многочленов на корнях легко получаются из формул Виета:
Основная теорема о симметрических многочленах.
Всякий симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от основных симметрических многочленов, и это представление единственно, т.е., .
Симметрический многочлен называется однородным (формой) степени , если все его члены имеют полную степень по совокупности переменных равную .
Чтобы найти выражение данного симметрического многочлена через основные, нужно сначала разбить этот многочлен на однородные части, собирая вместе все члены многочлена, имеющие одну и ту же степень по совокупности переменных. Затем выразить через основные симметрические многочлены каждую однородную часть отдельно. Чтобы выразить через основные симметрические многочлены однородный симметрический многочлен , надо взять его высший член , выписать набор показателей в нем и составить всевозможные наборы чисел вида со свойствами:
После этого для каждого набора надо составить произведение и многочлен приравнять сумме построенных так произведений, взятых с неопределенными коэффициентами. Если найти эти коэффициенты, придавая различными способами численные значения переменным в обеих частях равенства, то получится выражение через основные симметрические многочлены.
Пример 3. Здесь — уже однородный симметрический многочлен, его высший член — . Составляем наборы показателей:
Тогда . При имеем: , , откуда . При имеем: , , откуда . .
Пример 4. .
Разбиваем на однородные части и . Для набор показателей . Это дает . Полагая , находим . Таким образом, .
Пользуясь основной теоремой о симметрических многочленах, можно найти значение любого симметрического многочлена от переменных при значениях входящих в него переменных, равных корням многочлена -ой степени от одного переменного, не зная самих этих корней.
Пример 5. Найти сумму кубов корней многочлена . Берем симметрический многочлен и выражаем его через основные симметрические. . При значениях переменных имеем . Отсюда .
Литература: — § 51, 52; — § 10.1, 10.2; — § 693-697, 699-702.
§ 5. Векторные пространства.
Пример 1. Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем относительно операций сложения матриц и умножения матриц на число.
Найти его базис и размерность.
.
Решение. является непустым подмножеством пространства матриц размерности . Докажем, что является подпространством в , пользуясь критерием подпространства. Пусть
и
произвольные матрицы из . Рассмотрим их сумму
.
Очевидно . Произведение на любое число
также принадлежит . Итак, является подпространством пространства , а значит, само является пространством.
Найдем базис этого пространства.
Ясно, что в базис можно включить, например,
, так как .
Так как , то нельзя получить в виде . Поэтому в качестве второго базисного вектора можно взять . Рассмотрим вектор . Его нельзя представить в виде линейной комбинации и , так как . Поэтому в качестве третьего базисного вектора возьмем . Всякий другой вектор можно представить в виде линейной комбинации .
.
Следовательно, система векторов является системой образующих пространства . По построению, эта система линейно независима. Значит, она является базисом.
Пример2. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.
Решение. Пусть , где — некоторые числа. Подставляем в это равенство векторы .
.
После выполнения операции над векторами получаем
, откуда
Эту систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:
.
Получилась трапецеидальная система уравнений. Она является неопределенной и потому имеет ненулевые решения (кроме нулевого). Таким образом, система линейно зависима. Найдем коэффициенты линейной зависимости. Для этого решаем однородную систему линейных уравнений, приведенную к трапецеидальному виду
Общее решение этой системы имеет вид .
Найдем частное решение, придавая произвольное значение, отличное от нуля, например, -3. Получим . Таким образом, . Очевидно, коэффициенты линейной зависимости определяются неоднозначно.
Пример 3. Найти какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.
Решение. Составим матрицу , столбцами которой являются данные векторы, и найдем ее ранг. Будем делать элементарные преобразования только над строками.
Первую строку, умноженную на соответствующие числа -2, -1, -3, прибавили ко второй, третьей, четвертой. Третью строку, умноженную на соответствующие числа -2, -4, прибавили ко второй и четвертой. И наконец, третью, умноженную на 2, прибавили к четвертой. Так как минор третьего порядка
Отличен от нуля, а определитель четвертого порядка равен нулю, то ранг последней матрицы, а значит, ранг матрицы равен 3. Отсюда следует, что ранг данной системы равен 3.
Три вектора входят в максимальную линейно независимую подсистему данной системы. Очевидно, что это векторы .Действительно, выразим вектор через : . Подставим в это уравнение выражения векторов . После выполнения операций над векторами получим: . Приравнивая соответствующие координаты, получим систему линейных уравнений:
.
Решаем эту систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу
.
Эта матрица совпадает с матрицей . Так как мы проделываем элементарные преобразования над строками матрицы , то эта система эквивалентна системе линейных уравнений, соответствующей последней матрице:
, то есть системе , откуда , а следовательно, .
Пример 4. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Так как система любых трех линейно независимых векторов является базисом 3-мерного пространства, то достаточно доказать, что система линейно независима. Для этого составим матрицу , столбцами которой являются координаты векторов , и найдем ее ранг.
.
Определитель этой матрицы , а значит, по теореме о ранге, ранг матрицы равен 3, что доказывает линейную независимость системы . Таким образом, образуют базис и -матрица перехода от базиса к базису . Для нахождения координат вектора в базисе воспользуемся формулой преобразования координат, приведенной в :
, где — матрица перехода от базиса к базису ; — координаты вектора в базисе ; — координаты вектора в базисе . Так как здесь
, то ,
Откуда , то есть .
Пример 5. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на векторы
Решение. Базис линейного подпространства совпадает с максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (доказать!). Найдем эту подсистему, для чего составим матрицу, столбцами которой являются векторы .
.
Найдем базисный минор этой матрицы. Так как минор второго порядка , то рассмотрим минор 3-го порядка, его окаймляющий
.
Теперь рассмотрим минор 4-го порядка, окаймляющий минор 3-го порядка, отличный от нуля. Это определитель матрицы .
.
Он равен нулю. Значит, является базисным минором, то есть минором наибольшего порядка, отличным от нуля. А тогда образуют максимальную линейно-независимую подсистему системы и тем самым образуют базис рассматриваемого подпространства, причем размерность подпространства равна 3.
Пример 6. Определить размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство размерности , где — число неизвестных системы, а — ранг матрицы этой системы. Базис образует система из любых линейно независимых частных решений. Такая система решений называется фундаментальной. Находим общее решение системы методом Гаусса, для чего составляем матрицу системы:
.
Ранг матрицы равен трем. Следовательно, размерность пространства решений равна 2 . Данную систему уравнений заменим эквивалентной системой:
В качестве свободных неизвестных можно взять . Тогда
Общее решение системы имеет вид . Находим два линейно независимых частных решения. Для их нахождения мы два раза придаем и произвольные значения, но так, чтобы определитель второго порядка, составленный из этих значений, был отличен от нуля. Положим , а затем и найдем
Мы получим один из базисов пространства решений данной однородной системы уравнений.
Пример 7. Найти базис и размерность пересечения подпространств и , натянутых на системы векторов и соответственно, если векторы заданы координатами в некотором базисе пространства.
Решение. Вектор тогда и только тогда, когда линейно выражается через и через . А для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
был равен рангу матрицы
и ранг матрицы
был равен рангу матрицы
.
Выберем базисные миноры
и
матриц и соответственно. Для того, чтобы и , необходимо и достаточно, чтобы был базисным минором в , а — в . Приравнивая нулю все миноры и , окаймляющие соответственно и , содержащие столбец и имеющие порядок на единицу выше, чем и , получим систему линейных уравнений.
Решаем эту систему методом Гаусса.
. Общее решение имеет вид . Фундаментальная система состоит из одного вектора . Следовательно, вектор образует базис подпространства .
Литература: 3 — §17, 18
5 — №№ 608-613, 624-626, 636-650, 652-655, 661-669, 672, 674, 681, 689-695, 702-704, 712-714, 724-727, 1277-1293, 1296-1305, 1309-1311, 1317, 1318, 1320, 1321.
Контрольная работа 2
Найти значение многочлена и всех его производных в точке .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Найти рациональные корни и определить их кратность.
7.
8.
9.
10.
11. .
12. .
Разложить на неприводимые множители над полем .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
Найти каноническое разложение многочлена над полем путем отделения кратных корней.
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
Найти значение симметрического многочлена на корнях многочлена .
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем . Найти его базис и размерность.
31. .
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Найти какую-нибудь максимальную независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
55. 57.
56. 58.
59. 60.
Найти базис пересечения подпространств и , натянутых на векторы и соответственно, если все векторы заданы своими координатами в некотором базисе пространства.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
ЛИТЕРАТУРА
Учебное издание
ЖИГОТА АЛЛА ЭДУАРДОВНА
Методические указания и контрольные работы
по курсу «Алгебра и теория чисел»
III семестр
Ответственный за выпуск Жигота А.Э.
Уч.-изд. Л. — 1,95
Белгосуниверситет, 220050, Минск, пр.Независимости, 4.