У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

ТЕМАТИКИ ПРИКЛАДНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ Контрольная работа 2 по дисциплине и методи

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 6.4.2025

ФГБОУ ВПО

ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ПРИКЛАДНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ

Контрольная работа №2 по дисциплине

и методические указания к выполнению

Для студентов специальности

080100, 080100с  -  «Экономика»

заочной формы обучения

ВОРОНЕЖ

2013

УДК 517(1).3 (075.6)

Прикладные разделы математики. Контрольная работа №2 по дисциплине и методические указания к выполнению/ Воронеж. гос. универ. инжен. тех.; Сост.: Д.С. Сайко, Е.А. Соболева, О.Ю. Никифорова.

Воронеж, 2013. 26 с.

Контрольная работа №2 составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению 080100, 080100с - «Экономика» заочной формы обучения. Она предназначена для закрепления теоретических знаний дисциплин математического и естественнонаучного цикла (Б2.Б1) и содержит указания, задания и рекомендации по решению контрольных работ. 

Ил. 8. Библиогр.: 3 назв.

Составители:

профессор

Д.С. САЙКО

ст.преподаватель

Е.А. СОБОЛЕВА

ст.преподаватель

О.Ю.НИКИФОРОВА

Научный редактор профессор В.И.Ряжских

Рецензент доцент ВГУ И.П.Половинкин

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

©

Сайко Д.С.

Соболева Е.А.

Никифорова О.Ю., 2013

©

Воронежская

государственный

университет

инженерных

технологий, 2013

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежской государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.

Цель методических указаний - научить студентов самостоятельно применять формулы простейших задач для использования непосредственно в экономико-математических исследованиях в качестве инструментария. 

Методические указания составлены по программе курса прикладные разделы математики для студентов факультета безотрывной формы обучения Воронежского государственного университета инженерных технологий.

В настоящих указаниях предлагается 2 одинаково организованных контрольных задания. В каждом задании своя нумерация формул и разделов.

В начале каждого раздела приводится название соответствующего раздела контрольной работы, затем - краткие сведения, необходимые для решения задачи, далее - примеры (один или несколько). В конце каждого раздела приводится 40 вариантов заданий.

Выбор варианта задания определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Например, номер 03–127 соответствует 27 варианту. Соответственно следует решать задачи под номерами 27 из каждого раздела. Если номер книжки заканчивается на число большее 40, то номером варианта будет остаток от деления номера зачетной книжки на 40. Например, номер 03–191 соответствует 11 варианту (91 = 402+11). Всего задач в одном варианте контрольной работы шесть - по числу разделов методических указаний.

  1.  Указания к выполнению первого задания: Задача о собственных векторах и собственных значениях матрицы.
    1.  Краткие сведения, необходимые для выполнения и защиты контрольной работы
      1.  Модель Леонтьева многоотраслевой экономики [1]

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами, называемыми таблицами межотраслевого баланса.

Предполагаем, что имеется 3 различных отрасли O1, O2, O3

каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Пусть промежуток времени служит плановый год. Введем следующие обозначения: xi – общий объем продукции отрасли Oi за год (валовой выпуск отрасли); xij –объем продукции отрасли Oi, расходуемый отраслью Oj в процессе производства; yi — объем продукции отрасли Oi, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объем конечного потребления). В yi входят запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей, поставки на экспорт. Указанные величины можно свести в таблицу.

Производственное потребление

Конечное потребление

Валовой выпуск

x11, x12, x13

y1

x1

x21, x22, x23

y2

x2

x31, x32, x33

y3

x3

Балансовый характер этой та6лицы выражается в том, что должно выполняться соотношение баланса

 xi = xi1 + xi2 + xi3 +yi

Экономист Леонтьев сделал допущение (гипотеза линейности): для выпуска любого объема xj продукции Oj необходимо затратить продукцию Оi в количестве aij  xj , где aij - постоянный коэффициент (коэффициент прямых затрат). Вектор = (x1, x2, x3) называется вектором валового выпуска, вектор  = (y1, y2, y3) – вектором конечного потребления, а матрица  – матрицей прямых затрат. Соотношение

 ()

называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией это соотношение (1) называют также моделью Леонтьева. Решение уравнения (1) в матричном виде:

 ()

Матрица A ≥ 0 (принимается, что все элементы матрицы неотрицательны) называется продуктивной, если для любого вектора y ≥ 0  существует решение x ≥ 0 уравнения (1). Известен второй критерий продуктивности: матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E – A)–1 существует и неотрицательна. В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей A, тоже называется продуктивной.

Введем понятие собственных векторов и собственных значений матрицы A. Собственным значением матрицы называется число λ, удовлетворяющее уравнению

  . ()

Число собственных значений матрицы, при условии, что нет совпадающих значений, равно размерности матрицы (в данном случае - трем). Собственным вектором, отвечающим собственному значению (решение уравнения (3)), называется вектор , удовлетворяющий уравнению

     ()

где E - единичная матрица.

Числом Фробениуса F матрицы A называется максимальное из взятых по модулю собственных значений матрицы . Соответствующий этому собственному значению собственный вектор  называется вектором Фробениуса

В частности, можно показать, что матрица A продуктивна при выполнении одного из следующих условий:

  1.  если сумма элементов любого столбца матрицы меньше единицы;
  2.  если число Фробениуса данной матрицы меньше единицы.

Поскольку для определения числа Фробениуса нужно только максимальное собственное значение положительной матрицы, эффективный способ вычисления F и  дает алгоритм Ланцоша [2]. Из уравнения (4) следует, что

   .  ()

Умножив последнее уравнение скалярно на вектор  слева, получим , где круглыми скобками обозначено скалярное произведение. Окончательно,

 ()

Формулы (5) - (6) позволяют организовать итерационную процедуру вычисления собственного вектора и собственного значения. Пусть  - некоторое начальное приближение для вектора Фробениуса. Положим для простоты модуль этого вектора равным 1: . Тогда соответствующее приближенное число Фробениуса вычисляется по формуле (6): . Следующее приближение для вектора запишем в виде (см. (5)) . Делить правую часть на  не обязательно, поскольку вектор, как было условлено ранее, нормируется на 1. Продолжая процесс, получим последовательные приближения к числу и вектору Фробениуса. Заметим, что уравнения (5) и (6) справедливы для любого собственного значения и соответствующего вектора. Однако, в итерационном процессе последовательность значений  сходится к F.    

Зная число F, можно вычислить запас продуктивности матрицы. Запасом продуктивности матрицы A называется такое число  > 0, что все матрицы β A продуктивны, если β ≤ 1 +  и непродуктивны, если β > 1 + . Матрица β A продуктивна, если матрица  и обратная к ней имеют только положительные собственные значения. Поэтому особой точке отвечает такое значение β, при котором матрица B становится вырожденной, то есть имеет собственное значение равное нулю. Соответствующее уравнение   . Поскольку число Фробениуса есть максимальное из всех , постольку при возрастании β число  есть наименьшее, при котором матрица B становится вырожденной. Следовательно,   .

Пример . Задана матрица межотраслевого баланса

 

и одно из собственных значений  этой матрицы. Требуется найти: 1) собственные значения и собственные векторы матрицы, 2) число и вектор Фробениуса матрицы A, используя алгоритм Ланцоша, 3) запас продуктивности матрицы A.

Решение.

Рассмотрим матрицу межотраслевого баланса. Уравнение на собственные значения для этой матрицы имеет вид

()

После разложения определителя получим

()

Пусть нам известен один из корней характеристического уравнения . Тогда, разделив уравнение на выражение , получим

Вычислив корни квадратного уравнения, получим , .

Для того, чтобы найти собственные векторы, выпишем уравнение (4) вычислив коэффициенты с точностью до 3 знака после запятой. Получим

 ()

Подставим по очереди собственные значения в систему ()

  1.  
     ()
    Поскольку система (10) линейно зависима, одну из переменных можно выбрать произвольно. Выберем . Остальные переменные найдем из уравнений (10). Тогда собственный вектор, отвечающий выбранному собственному значению, есть .
  2.  
     ()
    Решая систему (11) также, как и в предшествующем случае, выберем . Собственный вектор, отвечающий собственному значению , есть .
  3.  
     ()
    Решая систему (12) найдем собственный вектор .

Характерный признак собственного вектора, отвечающего максимальному собственному значению, состоит в том, что все координаты вектора положительны. Подставляя вектор  в  уравнение межотраслевого баланса (1), получим для вектора конечного потребления

.  ()

Таким образом, межотраслевой баланс отраслей O1, O2, O3 будет при соотношении валовых выпусков x1 : x2 : x3 = 1.25 : 1.50 : 1. Доля конечного потребления в этом случае определяется формулой (13).

Таким образом, найдено число Фробениуса F = 0.923 и вектор Фробениуса  матрицы A.

Найдем указанные величины, пользуясь алгоритмом Ланцоша. Выберем начальный вектор . Тогда , после нормировки получим вектор в первом приближении . Можно (но не обязательно) также вычислить нулевое приближение для числа Фробениуса . Для получения вектора  следует вычислить вектор  и нормировать его. Вычисления удобно свести в таблицу

Номер итерации i

1

2

3

4

5

Вектор

0.570

0.610

0.549

0.568

0.632

0.526

0.568

0.647

0.507

0.569

0.658

0.494

0.569

0.665

0.483

Число

0.915

0.920

0.920

0.922

0.922

Сравнивая данные таблицы с полученными ранее точными значениями, видим, что , . Однако, следует заметить, что если последовательность  сходится к числу Фробениуса за несколько первых итераций, для нахождения координат вектора с заданной точностью требуется много большее число итераций.

Зная число F, вычислим запас продуктивности матрицы:

 

  1.  Варианты заданий

Задание. Задана матрица межотраслевого баланса и одно из собственных значений   этой матрицы. Требуется найти: 1) собственные значения и собственные векторы матрицы, 2) число и вектор Фробениуса матрицы A, используя алгоритм Ланцоша, 3) запас продуктивности матрицы A.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

  1.  Указания к выполнению второго задания: Элементы линейного программирования.
    1.  Краткие сведения, необходимые для выполнения и защиты контрольной работы
      1.  Транспортная задача [3]

Рассмотрим постановку задачи. Имеются три пункта поставки однородного груза - A1, A2, A3 и три пункта потребления этого груза - B1, B2, B3. В пунктах A1, A2, A3 находится груз в количествах a1, a2 и a3 единиц соответственно. Груз необходимо доставить в пункты B1, B2, B3 в количествах
b1, b2, b3 единиц соответственно. Известны расходы cij на доставку единицы груза поставщиком Ai  к потребителю груза Bj. Положим xij - планируемый объем поставок груза поставщиком Ai  потребителю Bj.  Требуется найти оптимальный план поставок груза при условии минимизации суммарных затрат. Решение этой задачи есть минимизация целевой функции расходов при заданных ограничениях:

,  , ()

, ,  ()

()

Уравнения (14) - (16) являются математической моделью задачи. Ограничения (16) не следуют из условия задачи; они показывают, что транспортная задача замкнута - все заявки на поставку грузов отвечают возможностям поставщиков. Решение задачи осуществляется в следующем порядке: сначала составляется опорный план (неоптимальное решение задачи в нашем случае методом "минимальной стоимости"), а затем его оптимизируют (в нашем случае методом "потенциалов"). По обстоятельствам места приведем пример решения для случая числа поставщиков и потребителей равного 3.

Пример 1. На складах A1, A2, A3 имеются запасы продукции в количествах – 90, 400, 110 тонн соответственно. Потребителям B1, B2, B3 необходима продукция в количествах 140, 300 и 160 тонн соответственно. Найти план распределения продукции с минимальной суммой затрат на перевозки. Расходы по перевозке одной тонны продукции заданы в таблице значений cij:

Поставщики\ потребители

B1

B2

B3

A1

2

5

2

A2

4

1

5

A3

3

6

8

Решение. Составим опорный план методом "минимальной стоимости". Для этого вначале выбираем ту поставку для которой стоимость минимальна (A2 → B2) c22 = 1. В соответствующую клетку выставляем максимально возможный объем поставок min{300,400} = 300. Следующее значение матрицы расходов встречается дважды: c11 = c13 = 2. Выберем первый вариант - все 90 тонн груза поставщика A1 пойдут первому потребителю B1. Следующее значение матрицы c31 = 3. В эту клетку можно проставить не более 50 тонн, поскольку это в сумме с ранее выставленными 90 тоннами составляют объем заказа потребителя B1. Продолжая процедуру, получим вариант опорного решения

bj

140

300

160

ai

2

5

2

90

90

4

1

5

400

300

100

3

6

8

110

50

60

Стоимость перевозки   в этом случае составляет: F = 290 + 1300 + 5100 + 860 = 1610.

Проверим исходное опорное решение на оптимальность методом потенциалов. Опорное решение транспортной задачи является оптимальным, если ему соответствует система действительных чисел  ui, vj  (потенциалов), удовлетворяющих условию:

 ui + vj + cij = 0   для занятых клеток

 ui + vj + cij ≥ 0   для свободных клеток

()

Полагаем u1 = 0, остальные значения находим из условия  (17).

bj

140

300

160

ai

ui

2

5

2

0

90

90

4

1

5

2

400

300

100

3

6

8

-1

110

50

60

vj

-2

-3

-7

Вычислим оценки ui + vj + cij свободных клеток. Получим матрицу:

 

Т.к. , то опорное решение не является оптимальным. Для перераспределения потоков построим цикл для клетки , в который, помимо данной свободной клетки, должны входить только занятые клетки:

У вершин со знаком «–» отнимаем поставки груза в объеме, которые прибавляем к грузам (вершинам) со знаком «+». Получаем опорное решение:

bj

140

300

160

ai

ui

2

5

2

0

90

30

60

4

1

5

-3

400

300

100

3

6

8

-1

110

110

vj

-2

2

-2

Находим потенциалы и соответствующую матрицу:

 

, поэтому решение не оптимально. Построим цикл для клетки :

, произведём перераспределение грузов. Получим новое решение:

bj

140

300

160

ai

ui

2

5

2

0

90

90

4

1

5

-3

400

30

300

70

3

6

8

-2

110

110

vj

-1

2

-2

Новое решение оптимально, т.к. матрица оценок имеет вид:

 

Стоимость перевозки   в этом случае составляет:

 F = 290 + 430 + 1300 + 570 + 3110 = 1280.

Найти опорный план транспортной задачи, заданной следующей таблицей и вычислить соответствующие транспортные издержки.

  1.  Варианты заданий

Задание. Найти опорный план транспортной задачи, заданной следующей таблицей и вычислить соответствующие транспортные издержки. Найти план распределения продукции с минимальной суммой затрат на перевозки.

№

a1

a2

a3

b1

b2

b3

cij
  1.  

396

216

108

260

260

200

  1.  

342

228

190

200

320

240

  1.  

320

400

440

319

377

464

  1.  

180

495

135

306

252

252

  1.  

217

93

62

144

120

108

  1.  

451

82

287

320

300

200

  1.  

273

351

273

230

253

414

  1.  

396

432

252

390

300

390

  1.  

290

232

232

234

234

286

  1.  

205

492

369

390

312

364

  1.  

441

490

588

372

589

558

  1.  

322

552

552

372

589

465

  1.  

123

82

328

234

169

130

  1.  

315

280

70

171

285

209

  1.  

90

540

270

360

300

240

  1.  

296

74

370

260

280

200

  1.  

184

276

184

252

252

140

  1.  

564

141

329

352

374

308

  1.  

70

175

315

192

144

224

  1.  

200

400

450

336

378

336

  1.  

369

123

492

336

360

288

  1.  

451

82

410

345

276

322

  1.  

588

441

490

465

527

527

  1.  

333

370

185

240

240

408

  1.  

186

186

62

126

154

154

  1.  

396

432

180

448

308

252

  1.  

135

90

360

234

234

117

  1.  

450

495

270

513

432

270

  1.  

506

138

322

357

378

231

  1.  

430

172

473

375

275

425

  1.  

357

612

255

432

336

456

  1.  

450

225

405

456

288

336

  1.  

440

320

200

288

408

264

  1.  

408

238

170

264

312

240

  1.  

136

170

102

108

168

132

  1.  

200

80

400

187

204

289

  1.  

258

344

516

364

494

260

  1.  

245

245

147

247

156

234

  1.  

400

280

400

270

486

324

  1.  

245

245

140

162

216

252

Библиографический список

  1.  Математика в экономике. В 2-х ч. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. М.: Финансы и статистика, 2000.  – Ч.1 - 224с.
  2.  Матрицы и вычисления. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. – М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 320 с.
  3.  Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. для вузов М.: ЮНИТИ.2001. – 407 с.
  4.  Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч./ П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1996. –ч.1 - 304с.; ч.2 -416с.

Учебное издание

ПРИКЛАДНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ

контрольная работа №2 по дисциплине

и методические указания к выполнению

Для студентов специальности 080100, 080100с

заочной формы обучения

Составители:

САЙКО Дмитрий Сергеевич

СОБОЛЕВА Елена Александровна

НИКИФОРОВА Ольга Юрьевна

Редактор Н.А.Сотникова  

Корректор Н.В.Бургонова

Компьютерный набор и верстка Д.С.Сайко

ЛР N 020449 от        .  Подписано в печать     .     .2013.

Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Ризография.

Гарнитура Times New Roman, 11.

Усл. печ. л. 1,7. Уч.-изд. л. 1,5 . Тираж 100 экз.

Заказ .  C.   .

Воронежский государственный университет

инженерных технологий (ВГУИТ)

Участок оперативной полиграфии ВГУИТ

Адрес университета и участка оперативной полиграфии:

394036,  Воронеж, пр. Революции, 19.

 




1. і Це означає що усі вони ґрунтуються на фактах тобто на даних або явищах що спостерігаються і піддаються пе
2. Учимся рисовать животных.html
3. Основные типы Архитектура ПК
4. Нетнет ответила королева Эмберли со смехом.
5. Проект строительства линейных сооружение районной АТС
6. . Паспортная часть Ф
7. Характеристики строительных материалов влияющие на теплопроводность- влажность плотность пористость мат
8. Фиалка на 20122013 учебный год Ф
9. Проектирование горизонтального цилиндрического редуктора
10. Сексуальность в ХХI веке

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе