Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
II ТАРАУ
ВЕҚТОРЛЫҚ АЛГЕБРА
§ 2.1. Негізгі ұғымдар
Кез келген сандар математикада, физикада, механикада т. б. екі шамамен анықталады. Егер кез келген шама оң немесе теріс санмен анықталса, онда ол скаляр шама деп аталады. Мысалы, көлем, масса, аудан, уақыт, температура — скаляр шама. Кейбір шамаларды анықтау үшін олардың сандық мәнімен қоса бағытын да білу қажет, олар векторлық шама деп аталады. Мысалы, үдеу, жылдамдық, күш— векторлық шамалар.
А н ы қ т а м а. Вектор дегеніміз бағытталған кесінді. Берілген вектор үлкен екі латын әріпімен немесе қіші бір латын әріптерімен белгіленеді. Егер вектор екі әріппен белгіленсе, онда бірінші әріп вектордың бастапқы нүктесі, ал екіншісі —
соңғы нүктесі деп аталады. Мысалы, — вектор, А нүктесі осы вектордың бастапқы нүктесі, ал В — соңғы нүктесі, стрелка
вектордың бағытын сипаттайды, яғни вектордың бағыты А нүктеден В нүктеге бағытталған (27-сурет). Егер вектор кіші бір әріппен белгіленсе, онда әріптің төбесіне тек сызықша ғана
қойылады. Мысалы, векторын а деп те белгілеуге болады.
Берілген векторының ұзындығы немесе модулі деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтамыз және ол былай белгіленеді;
27-сурет
28-сурет
| | немесе |ā|. Модульдері бірге тең векторлар бірлік немесе орт вектор деп аталады. Берілген ā векторының орт векторы ā° деп белгіленеді және оның бағыты ā векторының бағытымен бір бағыттас болады. Жалпы, ā векторының орт векторын ё деп те белгілейді (28-сурет).
А н ы қ т а м а. Екі вектор тең деп аталады, егер:
а) олар параллель болса (параллель түзулердің бойында немесе бір түзудің бойында жатса),
ә) олардың бағыттары бір бағыттас болса,
б) олардың модульдері тең болса (28-сурет).
Екі ā мен векторының теңдігін былай көрсетеміз:
ā =
А н ы қ т а м а. Егер екі вектор бір түзудің бойында немесе параллель түзулердің бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп аталады (29-сурет). Егер вектордың бас нүктесі мен соңғы нүктесі бір нүктеде үйлессе, онда мұндай вектор нөл вектор деп аталады және былай белгіленеді:
немесе , . Нөл векторлардың бағыттары анықталма-
ған, модульдері нөлге тең және олар өзара тең. — нөл векторы А нүктесінен ететін кез келген түзулердің бойында жатады, сондықтан нөл вектор кез келген вектормен коллинеар деп айтуға болады. Кез келген вектор өзіне-өзі коллинеар бола алады.
29-сурет
30-сурет
Егер ā мен векторлары параллель және де модульдері тең, ал бағыттары қарама-қарсы болса, онда мұндай векторлар қарама-қарсы бағыттас векторлар деп аталады (30-сурет). Қарама-қарсы векторлардьщ байланысын былай көрсетеміз: ā= — ā векторының қарама-қарсы векторын — ā деп белгілеуге болаалады.
Егер ā мен векторларынын, модульдері ғана тең болса, онда бұлардың өзара теңдігі жайлы ешқандай тұжырым айтуға болмайды, яғни олар жалпы жағдайда тең немесе тең емес болуы да мүмкін. Қөп жағдайларда бірнеше векторларға қосу, алу амалдарын орындауға болады. Ол үшін оларды ортақ бас нүктеге үйлестіру керек. Мысалы, берілген ā, , , , және m век-торларын ортақ бас нүктеге үйлестірелік. Ол үшін жазықтықта жақтан кез келген 0 нүкте алып, осы нүктеден а векторына тең
вектор тұрғызамыз. Осы сияқты, қалған =, = , =, = = векторларын тұрғызамыз (31-сурет). Сонымен,
0 нүкте берілген, ā, , , , және векторларынын, ортақ бас нүктесі деп аталады.
Векторларға алгебралық
амалдар қолдануға болады. Олар: қосу, алу және санды векторға көбейту. Бұл амалдар векторлық алгебрада сызықты амалдар деп аталады. Ал векторды векторға бөлу, көбейту және дәрежелеу амалдары векторлық алгебрада жалпы жоқ. Енді сызықты амалдарға тоқталып өтелік.
2.2. Векторларды қосу
Берілген ā, , ,..., коллинеар емес векторларын былай орналастырайық: ā векторының соңғы нүктесі векторыньщ бас нүктесімен, векторының соңғы нүктесі векторының бас нүктесімен үйлестірейік, осы сияқты қалғандарында тізбектеп ор-наластырайық.
Анықтама. Берілген ā, , ,..., векторларының қосындысы деп бас нүктесі а векторынын, бас нүктесімен үйлесетін, ал соңғы нүктесі векторының оңғы нүктесімен үйлесетін векторын айтамыз (32-сурет). Осы векторлардың қосындысын былай жазамыз:
ā + + + • • •+ =
Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, коллинеар емес ā мен векторларының қосындысын анықталық. Ол үшін ā векторының соңғы нүктесін векторының бас нүктесімен үйлестрейік, сонда ā мен векторының қосындысы деп бас нүктесі ā векторының бас нүктесімен, ал соңғы нүктесі векторының соңғы нүктесімен үйлесетін векторын айтады, яғни ā + = . Берілген ā мен векторларының қосындысын табу үшін параллелограмм
32-сурет
33-сурет
ережесін пайдаланып табуға да болады. Ол үшін жазықтықтағы
0 нүктені берілген ā мен векторларының бас нүктесі етіп ала-
мыз да осы нүктерден ā = мен = векторларын тұрғызамыз. Осы тұрғызылған векторлар арқылы ОАВС параллелогра-
мын саламыз (33-сурет). Параллелограмньщ =диагоналы
берілген векторлардың қосындысы болып табылады, яғни = ā + = болады.
Жоғарыда берілген анықтамадан векторларды қосу амалына мынадай қасиеттер орындалады (34-сурет):
34-сурет
35-сурет
1. ā + =+ ā — ауыстырымдылық заңы;
2. (ā + ) + = ā + ( +,) — терімділік заңы;
3. ā + = ā;
4. кез келген ā векторына қарама-қарсы — ā векторы табылып, мына ā + ( —ā)=теңдігі орындалады.
Енді осы қасиеттерді дәлелделік:
3 және 4 қасиеттердің дәлелденуі берілген анықтамадан алынады.
Ауыстырымдылық заңын дәлелдеу үшін кез келген O нүкте алып, берілген а мен b векторларын ортақ бас О нүктесімен үйлестірелік (35-сурет). ā векторының соңғы нүктесін А, ал векторының соңғы нүктесін В әріптерімен белгілейік және ОАСВ параллелограмын қарастыралық. Параллелограмның қасиеттерінен және векторлардын теңдігінен мына
== ā, ОВ==,
байланыстарын табамыз. Жоғарыдағы анықтамадан және ∆АОС-тан ā мен векторларьшың қосындысын табамыз, яғни
= ā + (2.1)
мұндағы векторы — параллелограмньщ диагоналында, ал ā мен , параллелограмм қабырғаларьшда жатқан векторлар. Енді ∆ОВС-ны қарастыралық, бұдан табатынымыз
=+ ā
Жоғарыдағы (2.1) мен (2.2) теңдіктерін салыстыра отыра дәлелдеу керектігімізді аламыз, яғни ā + =+ ā болады.
Терімділік заңын дәлелдеу үшін ā векторының бастапқы нүктесін 0 нүктесімен, ал соңғы нүк-тесін вектррының бас нүктесімен және векторының соңғы нүктесін векторының бас нүкте-сімен үйлестірелік (36-сурет).
Берілген векторларының соңғы нүктелерін сәйкес А, В, С әріп-
терімен белгілейік.
ā =, =, =. Енді ∆АОВ мен ∆ОВС-ны қарастыралық, бұдан:
(ā + )+ =(+)+ = + = (2.3)
болады.
Енді ∆АВС мен ∆ОАС-ны қараетыралық, бұдан:
ā +( +)=)=+=.
(2.4)
болады. Сонда, (2.3) пен (2.4) теңдіктерін салыстыра келе дәлелдеу керектігімізді аламыз, яғни
(ā + )+= ā + ( +).
2.3. Векторлардың айырымы
А н ы қ т а м а. Берілген ā мен векторларыньщ айырымы деп үшінші векторын айтамыз, егер мен векторларының қосындысы ā векторына тең болса және ол былай белгіленеді
ā — =.
Осы анықтаманы пайдаланып, берілген ā мен векторларынын ā — — айырымын табайық. Ол үшін ā мен векторла-
рын ортақ бас 0 нүктесімен үйлестірелік (37-сурет), яғни =b,= ā.
∆ ОАВ-дан және жоғарғы анытқамадан мына теңдікті аламыз:
+=.
немесе
+= ā.
Сонда = ā — , болады.
Сонымен берілген ā мен векторларының айырымын табу үшін алдымен осы векторларды ортақ бас 0 нүктесіне үйлестіремiз де бастапқы нүктесі векторының соңғы нүктесімен үйле-сетін, ал соңғы нүктесі ā векторының соңғы нүктесімен үйлесетін
векторын тұрғызамыз,сонда векторы ā мен векторларының айырымы болады, яғни
ā — = — =
Векторлардың айрымын табу үшін қосу амалын пайдаланып та табуға болады. Ол үшін мен — векторларының қосындысын анықтасақ жеткілікті, яғни +( — )=— (38-сурет).
37-сурет
38-сурет
Т е о р е м а. 2.1. Берілген екі вектордың айырымы әрқашанда бар және ол тек біреу ғана.
Дәлелдеуі. Алдымен берілген мен векторларының — — айырымы бар болуын дәлелдейік, яғни кез келген мен векторлары үшін векторы табылып, + = теңдігі орындалатынын көроетелік.
Берілген мен векторларын ортақ бас O нүктесімен үйлестірелік (39-сурет):
= , = ' (2-5)
Осы векторлардың қосындысы векторы болады, яғни +=.
Осыдан және (2.5) формуладан
+= (2.6)
Енді векторын әрпімен белгілейік, сонда (2.6) теңдігін былай жазуға болады:
+ = (2.7)
Сонымен, алғашқы дәлелдеу керек тұжырым дәлелденді.
Енді мұндай векторы тек біреу ғана екенін дәлелделік. Ол үшін қарсы тұжырым жасайық, яғни (2.7) теңдігі орындалатын мұндай векторы екеу деп ұйғаралық. Сонымен, векторынан басқа векторы табылып, осы векторлар үшін (2.7) теңдігі орындалсын делік:
+= (2.8) 39-сурет
Сонда (2.7) мен (2.8) теңдіктерінен
+ = +
теңдігін аламыз. Осы теңдіктің екі жағына да — векторын қосайық, яғни
— + + )= — ++)
Соңғы теңдіктің екі жағынада векторлардың терімділік зақын пайдалансақ, онда
(— + )+ = ( — + )+. немесе + =+
болды. Енді Осыған векторлардың қосу амалының 3-қасиетін пайдаланайық, сонда
=
болады. Теорема толық дәлелденді.
Мысалдар. 1. Берілген мен векторлары арқылы оларды тізбектеп орналастыру әрі параллелограмм ережесін паидаланып, мына векторларды тұрғыз: + , — + , , және қарама-қарсы бағыттас әрі коллинеар векторларды ата.
Ш е ш і м і. Тізбектеп орнадастыру арқылы 40-суретте, ал параллелограмм ережесі бойынша 41-суретте көрсетілген.
40-сурет
41-суре
42-сурет
+ мен — , — + мен , мен —, мен — қарама-қарсы әрі коллинеар векторлар.
2. Берілген , , векторлары арқылы оларды тізбектеп орналастыру әрі параллелограмм ережесі бойынша мына векторларды тұрғыз: + +, — + , —+ +, — — —.
Ш е ш і м і. Параллелограмм ережесі бойынша 42-суретте, ал тізбектеп орналастыру арқылы 43-суретте көрсетілген.
-С
38
43-сурет
2.4. Векторларды скаляр санға көбейту
А н ы қ т а м а. Берілген векторын скаляр λ санына көбейту деп мына үш шартты қанағаттандыратын = λ •векторын айтамыз:
1.||=| λ | • ||
2. мен векторлары коллинеар:
3. егер λ >0 болса, онда мен векторларынын бағыттары бір бағыттас, егер λ <0 болса, онда олардың бағыттары қарама-қарсы бағыттас.
Осы анықтамадан мынадай тұжырым аламыз:
егер λ =0 немесе = 0 болса, онда = λ • — нөл вектор;
егер λ =1 болса, онда мен векторлары беттеседі;
кез келген векторы үшін 1 • = теңдігі орындалады;
кез келген векторы мен λ саны үшін тек бір ғана λ • векторы анықталады.
Векторларды скаляр санға көбейту амалына мына қасиеттер орындалады:
1. λ ( + ) = λ + λ;
2. ( λ + μ )= λ + μ
3. λ ( μ )=( λ μ ).
Енді осы қасиеттерді дәлелделік. Бірінші қасиеттің дәлелдемесі. Дәлелдеу үшін λ 0 деп алып екі жағдайды карастыралық.
1 - ж а ғ д а й. мен векторлары коллинеар емес және λ деп ұйғарамыз. векторын 0 нүктесімен, ал векторын
векторының соңғы нүктесімен үйлестірелік (44-сурет): = ,
=. Сонда = + болады. Енді жоғарыда берілген анық-
таманы пайдаланып, = λ және ОD = λ (+ ) векторларын тұрғызайық. ∆ОСD мен ∆ОАВ ұқсас үшбұрыштар, сондықтан
= λ.
∆ОСD – дан: + = немесе λ λλ (+ ).
Сонымен, 1-жағдай дәлелденді.
2-жағдай. мен векторлары коллинеар делік және анықтық үшін λ>О болсын. Берілген векторлар коллинеар болғандықтан, олар бір түзудің бойында жатсын. Сон-
дықтан, + = болады (45-су-
рет). векторында жатпайтын О нүктесін алып ОА, ОВ, ОD түзулерін және де АВ түзуіне парал-
лель СҒ түзуін жүргізейік. Салуымыз бойынша =λ, ∆АDО~∆СЕО, ∆DВО~∆ЕҒО, ∆АВО~∆СҒО болады, сондықтан
λ, = λ, = λ
45-сурет
немесе
= λ = λ , EF = λ, = λ (+ ).
векторы мен векторларының қосындысы, салуымыз бойынша
= + ,
Соқғы теңдіктен
λ λ = λ (+ ).
2-жағдай дәлелденді. Біз бұл дәлелдеуде тек λ > 0 болған жағдайды қарастырдық, ал λ <0 болған жағдайды жаттығу ретінде оқырманның өзіне үсынамыз.
Екінші қасиеттің дәлелдемесі. Дәлелдеу үшін үш жағдайды қарастыралық.
1 - ж а ғ д а й. λ, μ — бір таңбалы, яғни екеуі де не оң, не теріс сандар болсын. Бұл жағдайда (λ + μ ) мен λ + μ бір бағыттас векторлар және (λ + ) векторының модулі λ мен ц векторының модульдерінің қосындысына тең (46-сурет). Сон-дықтан 1-жағдай дәлелденді.
46-сурет
47-сурет
2 - ж а ғ д а й. λ, μ — сандарының таңбалары қарама-қарсы болсын деп ұйғаралық (47-сурет). Олай болса λ + μ санының таңбасымен бірдей, егер | λ |>| μ | болса, ал егер | λ | < | μ | болса, онда ол μ санының таңбасымен бірдей. Сондықтан (λ + μ ) векторының бағыты λ мен векторларынын үлкендерінің бағытымен бір бағыттас болады. 2-жағдай дәлелденді.
3 - ж а ғ д а й. Енді λ + μ = 0 болсын деп үйғаралық. Бұл жағдайда (λ + μ ) — нөл вектор болады және λ мен μ векторларының модульдері тең, ал бағыттары қарама-қарсы. Сондықтан олардың қосындысы нөл вектор болады. Сонымен екінші қасиет толық дәлелденді.
Енді үшінші қасиетті дәлелделік. Егер λ = 0 немесе μ =0 не-месе = 0 болса, онда үшінші қасиет дәлелденеді. Сондықтан λ≠0, μ≠0 болсын деп ұйғаралық, онда λ (μ ) мен (λ μ ) векторлардың модульдерін қарастыралық:
| λ (μ ) | = | λ | • | μ | = | λ | • | μ | • | | = | λ μ | • ||,
яғни бүл векторлардың модульдері де тең. Сондықтан, тең векторлардың анықтамасын еске алсақ, дәлелдеу керектігімізді аламыз.
Т е о р е м а 2.2. Егер векторы нөл емес векторына коллинеар болса, онда β нақты саны табылып,
β
тендігі орындалады. Дәлелдеуі. Өзара коллинеар мен веткорларын ортақ
О нүктесімен үйлестірелік: , = . Сонда мен векторлары бір түздуін бойында жатады және де олардың бағыттары бір бағыттас немесе қарама-қарсы бағыттас болады (48-сурет). О нүкте бағытталған ВА кесіндіні белгілі бір қатынасқа бөледі, осы қатынасты β әрпімен белгілейік, яғни
немесе
ОВ = β• ОА, (2.10)
(2.9)
мұндағы ОВ мен ОА бағытталған ОВ және ОА кесінділерінің мәні.
Егер = мен =ОВ векторларынын бағыттары бір бағыттас болса, онда 0 нүкте ВА кесіндіден тысқары жатады. Сондықтан, (2.9) формуладағы <О, ал β > О
болады, Егер мен векторларының бағыттары қарама-қарсы бағыттас болса, онда 0 нүктесі ВА кесіндіде жатады. Сондықтан (2.9)формуладағы
> О, ал, β < О болады.
Енді осы екі жағдайда да мен векторларының теңдігін дәлелделік. Векторды скаляр санға көбейту амалынан және
48-сурет
49-сурет
50-сурет
мен векторларынын коллинеарлығынан мен β векторларының коллинеар болатындығына одай көз жеткізуге болады. Сондықтан, || = | β және егер λ>0 болса, онда мен β векторлары бір бағыттас, ал λ,<0 болса, онда олар қарама-карсы бағыттас болады.
Теорема дәлелденді.
Мысалдар. 1. Берілген мен векторлары бойынша мына векторларды түрғыз:
2–3, –З + 2, 4+ 2, –З–-
Ш е ш і м і. Параллелограмм ережесі бойынша 49-суретте, ал тізбектеп орналастыру бойынша 50-суретте керсетілген.
2. АВСD параллелограмнын —, = АD қабырғалары арқылы , , , ,, , – З — векторларын өрнекте.
51-сурет
Ш е ш і м і. Параллелограмның қасиеттері бойынша (51-су-
рет): =, = , — . мен векторларын тізбектеп
орналастыру арқылы АС векторын аламыз: = + немесе = + , осыдан = — — . Енді векторын λ= ска-
ляр шамаға көбейтіп векторын аламыз, яғни = a —
Векторлардын айырымы бойынша = —
болады. мен векторлары қарама-қарсы векторлар,
сондықтан = — теңдігi орындалады. Осыдан — 3 = 3 – З болады.