Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Украины
Государственное высшее учебное заведение
«Приднепровская государственная академия
строительства и архитектуры»
Кафедра «Прикладная математика»
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
Методические указания
Днепропетровск-2011
Системний аналіз. Методичні вказівки з дисциплін: «Системний аналіз та проектування комп'ютерних iнформацiйних систем». Для студентів спеціальності «Комп'ютерні науки», магістрів і аспирантів академії / Н.М. Єршова. – Дніпропетровськ: ПДАБА, 2011. – 76 с. – рос. мовою
Укладач: Єршова Н.М.
Вiдповiдальний за випуск: Н.М. Єршова Н.М., д.т.н., проф., зав.кафедрою прикладної
математики ПДАБА
Рецензент: Л.В. Цибрій, к.-ф.-м.н., доц.. ПДАБА
Затверджено
на засiданнi кафедри
прикладної математики,
*протокол №5 від 05.01.2011 р.
Затверджено
на засiданнi методичної
ради ПДАБА,
*протокол №4(57) від 28.01.2011 р.
Введение……………………………………………………………4
Краткие сведения из теории вероятностей
и математической статистики…………………………………………4
Сводка наиболее распространенных
в практике законов распределения………………………………….13
Работа 1. Аналитическое исследование входящего потока
заявок системы массового обслуживания………………..……....17
Краткие сведения из теории………………………………..…….17
Методика решения задач……….…………………………….…..21
Работа 2. Статистический анализ входящего потока
заявок систем массового обслуживания…………………..…….26
2.1. Статистическая обработка данных наблюдений..…………….27
2.2. Обработка данных наблюдений с помощью метода
наименьших квадратов………………………………………………39
2.3.Технология работы с надстройкой «Поиск решения»…….…..41
2.4. Технология подбора теоретической кривой путем
построения линии тренда……………………………………………44
Работа 3. Определение оптимального числа
контролеров в цехе…………………………………………..……48
3.1. Постановка задачи выборочного контроля
качества продукции………………………………………………….48
3.2. Краткие сведения из теории……………………….. ………….49
3.3. Методика расчета…………………………………………...…..53
Работа 4. Моделирование процесса функционирования
СМО в среде электронных таблиц с помощью
метода Монте-Карло………………………………………..……63
Список литературы……………..…………………...……………76
ВВЕДЕНИЕ
Теория систем – это наука об общих свойствах систем любой природы.
Системный анализ – это совокупность научных методов и практических приемов решения сложных проблем: технических технологических, экономических, экологических и др. Методология системного анализа предлагает общий подход к решению проблемы независимо от ее специфики.
В методических указаниях приведены четыре работы, которые позволяют изучить аналитические и статистические методы исследования систем массового обслуживания (СМО), выбора их оптимальных параметров, моделирования СМО с помощью метода Монте-Карло и ознакомиться с отдельными этапами системного анализа.
Краткие сведения из теории вероятностей
и математической статистики
Математическая статистика – специальная наука, занимающаяся разработкой методов регистрации, обработки и анализа данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. Математической основой этой науки является теория вероятностей.
Основные понятия.
Событие – всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
Вероятность события А (математическая вероятность) – отношение числа случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу случаев: где - число случаев, благоприятствующих событию А; - общее число случаев.
Частота события А в данной серии опытов (статистическая вероятность) – отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов: где - число опытов, в которых появилось событие А; - общее число произведенных опытов. При большом числе опытов частота события сходится по вероятности к вероятности события в отдельном опыте (закон больших чисел).
Случайная величина (СВ) – такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (ДСВ) и непрерывной (НСВ). Случайная величина, принимающая только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называется дискретной. Примеры ДСВ: год постройки, срок эксплуатации, дата оценки объекта. Примеры НСВ: площадь, стоимость единицы площади, масса отдельно взятой детали.
Законы распределения СВ. Законом распределения СВ называют всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями этих значений. Простейшей формой задания закона распределения СВ является статистический ряд, т.е. таблица 1, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности.
Т а б л и ц а 1
Статистический ряд
|
… |
||||||
|
… |
Графическое изображение статистического ряда называется многоугольником распределения (рис.1). Ряд распределения и многоугольник распределения существуют только для ДСВ.
Для непрерывных СВ существует понятие плотность распределения, характеризующая как бы плотность, с которой концентрируются и распределяются значения СВ в данной точке. Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения (рис. 2).
Рис.1. Многоугольник Рис. 2. Плотность
распределения распределения
Основные свойства кривой распределения:
Генеральная (статистическая) совокупность – множество объектов одного и того же вида или множество значений какого-либо признака объекта.
Случайная выборка (просто выборка) – совокупность случайно отобранных объектов наблюдения из генеральной совокупности. Часто для исследования СВ при постоянных условиях проводят испытания. Множество полученных значений также называют выборкой и обрабатывают ее статистически, т.е. определяют закон распределения, числовые характеристики и пр.
Каждый отдельный объект выборки представляет собой элемент (единицу) совокупности, а общее число элементов – объем выборки. Например, при изучении цен объектов недвижимости в качестве статистической совокупности может рассматриваться вся совокупность проданных объектов недвижимости. Элементом выборки в этом случае считается каждый объект недвижимости, а их общее число – объемом выборки. Объем генеральной совокупности обозначается , объем выборки - .
Случайная выборка – это такой отбор, при котором элементы извлекаются по одному из генеральной совокупности и каждый из них имеет равный шанс быть отобранным. Требование случайности обеспечивается отбором по таблице случайных чисел. Такая выборка называется собственно-случайной. В таблице случайных чисел встречаются повторяющиеся числа, следовательно, в итоге отбора получается собственно-случайная повторная выборка. При повторном отборе единица наблюдения после извлечения из генеральной совокупности регистрируется и вновь возвращается в генеральную совокупность, откуда опять может быть извлечена случайным образом.
Каждый элемент выборки характеризуется одним или несколькими признаками. Признаки могут быть количественными и качественными. Качественный признак - признак, характеризующий некоторое свойство или состояние наблюдаемой единицы выборки. Количественным признаком является признак, значения которого выражаются числами. Количественные признаки могут быть дискретными (ДКП) и непрерывными (НКП).
ДКП – признак, принимающий только отделенные друг от друга значения, как правило, целочисленные. НКП – признак, принимающий любые числовые значения в определенных приделах.
Числовые характеристики СВ:
т.е. математическое ожидание определяется аналогично координатам центра масс.
Каждой числовой характеристике СВ соответствует ее статистическая аналогия, которая является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра – определенная числовая характеристика, полученная на основе выборки.
Для математического ожидания такой аналогией является среднее арифметическое всех возможных значений СВ. Эту характеристику называют статистическим средним, выборочным средним или средним значением.
Так как при большом объеме статистического материала частота событий сходится по вероятности к вероятности события, то и выборочное среднее сходится по вероятности к математическому ожиданию СВ.
Когда статистический материал сгруппирован в таблице по разрядам, считают значение СВ в каждом разряде постоянным и равным среднему значению, которое выступает в роли «представителя» разряда. Тогда
где - представитель - го разряда; - частота - го разряда; k – количество разрядов.
Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:
Если математическое ожидание является характеристикой положения СВ, то дисперсия характеризует разброс, рассеянность значений СВ около ее математического ожидания. Слово «дисперсия» означает рассеивание.
Аналогом дисперсии СВ является выборочная дисперсия
Для упорядоченной выборки большого объема выборочная дисперсия определяется по формуле
.
Статистическим аналогом этой характеристики является стандартное отклонение
Если оценка параметра генеральной совокупности определяется одним числом, ее называют точечной оценкой. В качестве точечных оценок используются соответствующие выборочные характеристики.
Выборочное среднее является точечной оценкой генерального среднего. Генеральная дисперсия имеет две точечных оценки: - выборочная дисперсия; - исправленная выборочная дисперсия. Выборочная дисперсия определяется при объеме выборки , а исправленная – при В случае большого объема выборки эти дисперсии практически совпадают. В математической статистике доказывается, что Аналогично используются две точечных оценки генерального среднеквадратичного отклонения.
Интервальной оценкой называют оценку, определяемую двумя числами – границами интервала. В этом интервале с заданной вероятностью (надежностью) должен находиться параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом.
Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность – 0,95, а 5% задает уровень значимости или вероятность ошибки 0,05. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5%, т.е. <0,05. Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания.
Для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочному среднему при и собственно-случайном повторном отборе доверительный интервал определяется соотношением
где - критическое значение - статистики Стьюдента, которое находится с помощью статистической функции СТЬЮДРАСПОБР мастера функций с учетом уровня значимости и числа степеней свободы
Для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочному среднему при и собственно-случайном повторном отборе доверительный интервал определяется соотношением
Таким образом, сущность выборочного метода заключается в том, что из генеральной совокупности извлекается часть элементов – выборка, на основе параметров которой делают выводы о генеральной совокупности. Это можно представить в виде схемы, приведенной на рис. 3. При выборочном методе значительно уменьшаются затраты на исследование.
Рис. 3. Схема выборочного контроля
Кроме математического ожидания, на практике иногда применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.
Модой СВ называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной СВ модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна.
На рис. 4 и 5. приведена мода соответственно для дискретной и непрерывной случайных величин.
Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше . Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 6).
Рис. 4. Мода для ДСВ Рис..5. Мода для НСВ
Рис.6. Медиана для НСВ
Характеристикой асимметрии (скошенности) распределения является асимметричность. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то асимметричность равна нулю. Для характеристики островершинности или плосковершинности кривой распределения используют эксцесс.
Эксцесс для нормального закона распределения равен нулю. Кривые, более островершинные по сравнению с кривой нормального закона распределения, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.
Сводка наиболее распространенных в практике
законов распределения
Закон равномерной плотности. В некоторых задачах практики имеются непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, причем известно, что в пределах этого интервала все значения СВ одинаково вероятны, точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности. О таких СВ говорят, что они распределены по закону равномерной плотности.
Пример 1. Поезда метро идут с интервалом 5 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой СВ, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 5)минут.
Для закона равномерной плотности кривая распределения имеет вид, представленный на рис.1, т.е. на отрезке , вне его
Рис. 1. Кривая распределения закона
равномерной плотности
Так как площадь под кривой равна единице, то
Примером признака, который подчиняется закону равномерной плотности, является время ожидания обслуживания при точно периодическом включении обслуживающего устройства и при равномерно случайном поступлении заявки на обслуживание в этом интервале.
Биномиальный закон распределения. Используется в тех задачах, где по условию производится независимых опытов, в каждом из которых может появиться, а может не появиться некоторое событие А. Вероятность появления события в одном опыте одна и та же и равна
Числовые характеристики этого закона определяются по формулам
Пример 2. Автохозяйство имеет 100 грузовых автомобилей, каждый из которых с вероятностью 0,2 имеет дефект. Случайная величина Х – число дефектных автомобилей. Определить числовые характеристики и диапазон возможных значений СВ Х.
Решение. 100*0,2=20 автомобилей;
100*0,2*0,8=16; 4 автомобиля.
Диапазон возможных значений СВ определяется по правилу трех сигм, т.е. 20±12=32..8, следовательно, в автохозяйстве может быть от 8 до 32 дефектных автомобилей.
Биномиальный закон распределения имеет СВ - число дефектных изделий в выборке из массовой продукции, производимой в стационарном режиме.
Закон Пуассона. Говорят, что СВ Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет, определенное значение выражается формулой где a - параметр закона Пуассона, представляющий собой математическое ожидание. Дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию
Типичным примером СВ, имеющий закон Пуассона, является число отказов сложной аппаратуры за некоторое время, если известно, что отказы независимы друг от друга, в среднем на единицу времени приходится l отказов и отказы наступают по одиночке, т.е. рассматривается простейший поток событий. В этом случае параметр где t – время.
Нормальный закон распределения занимает особое положение среди других законов и наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются все другие законы распределения непрерывных СВ, и проявляется в тех случаях, когда СВ является результатом действия большого числа факторов, например, ошибки измерений, отклонения размеров деталей от номинала, показатели производственно-хозяйственной деятельности предприятий и др. В теории надежности нормальный закон распределения используется при анализе технических систем с постепенными отказами, т.е. в том случае, когда доля внезапных отказов весьма мала. Плотность вероятности этого закона представлена на рис. 2 и записывается в виде
Рис. 2. Кривая нормального закона распределения
Плотность распределения характеризуется двумя параметрами определяемыми через математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение: Параметр s характеризует форму кривой распределения. При увеличении s кривая становится более плоской, при уменьшении – вытягивается вверх.
Закон распределения Релея записывается в виде
График кривой распределения аналогичен нормальному закону, но этот закон используется только в случае положительных значений СВ.
Экспоненциальный (показательный) закон распределения проявляется при анализе сложных технических систем, прошедших период приработки, и для систем, работающих в сложных условиях эксплуатации. В большинстве случаев этот закон характерен для внезапных отказов. В системах массового обслуживания время обслуживания имеет показательный закон распределения.
Непрерывная СВ Х распределена по показательному закону, если ее плотность распределения записывается в виде
и имеет график, соответствующий рис. 3.
Рис. 3. Кривая распределения показательного закона
Числовые характеристики определяются по формуле где l - интенсивность потока событий.
Работа 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ЗАЯВОК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Цель работы. Освоить методику решения основной задачи простейшего потока заявок и компьютерную технологию ее реализации
Работа любой СМО заключается в обслуживании поступающего в нее потока заявок. В качестве заявок могут быть:
Заявки поступают одна за другой в некоторые случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов к приему следующей заявки. Каждая СМО в зависимости от числа каналов и их производительности обладает определенной пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.
Процесс функционирования СМО является случайным процессом. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ней обоснованные требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Этим занимается теория массового обслуживания (ТМО). Предметом ТМО является установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания.
В качестве характеристик эффективности обслуживания – в зависимости от условий задачи и целей исследования – могут применяться различные переменные и функции:
Каждая из этих характеристик описывает степень приспособленности системы к обслуживанию, т.е. пропускную способность. Обычно под абсолютной пропускной способностью понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. На практике часто рассматривают относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших.
Пропускная способность зависит не только от параметров системы, но и от характера потока заявок.
Поток заявок называется регулярным, если заявки поступают в систему через строго определенные промежутки времени. На практике такие потоки встречаются очень редко.
Поступающие в систему заявки образуют входящий поток, а покидающие систему (обслуженные или не обслуженные) заявки – выходящий поток. Поток может быть стационарным или нестационарным. Стационарным называется поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Стационарный поток имеет постоянную плотность (интенсивность) – среднее число заявок в единицу времени. Если для любых, не перекрывающихся отрезков времени число заявок, поступивших в течение одного из них, не зависит от числа заявок, поступивших в другие отрезки времени, то такой поток называется потоком без последействия.
Поток называется ординарным, если заявки поступают по одной.
Поток заявок, обладающий стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия, называется простейшим потоком.
Четвертое свойство простейшего потока – вероятность поступления в течение промежутка времени длительности ровно заявок принимает наибольшее значение в момент времени
Основная задача исследования простейшего потока – найти вероятность поступления заявок на интервале , т.е.
Случайная величина - число заявок, поступающих на интервал времени - имеет закон распределения Пуассона с параметром
Задача 1. В аварийную службу поступают вызовы с плотностью вызовов в сутки. Считая, что входящий поток вызовов является простейшим, определить вероятность того, что за часов:
Кроме того, для данных своего варианта проверить четвертое свойство простейшего потока вызовов.
Задача 2. В гибком автоматизированном цехе (ГАЦ) необходимость ремонта, наладки и переналадки оборудования с ЧПУ (числовое программное управление) характеризуется простейшим потоком заявок с плотностью в час. Требуется найти вероятность того, что за неделю (5 рабочих дней в две смены, по 8 ч в смену):
Кроме того, для данных своего варианта проверить четвертое свойство простейшего потока заявок.
Задача 3. В качестве входящего потока рассматривается поток, состоящий из заявок на обслуживание станков. Станок остановился - поступила заявка на обслуживание. Обслуживание состоит в устранении причины остановки станка. Поток заявок на обслуживание станков является простейшим и имеет плотность заявок в час. Рассчитать вероятность отказа в течение времени час различного количества станков (. Построить график этой вероятности.
Задача 4. Поток, состоящий из заявок на обслуживание станков, является простейшим. Среднее время обслуживания одного станка задано. Определить вероятность того, что за время остановится не меньше двух станков. Рассчитать вероятность того, что за время остановится 2, 3, …, 6 станков. Плотность потока заявок на обслуживание взять из задачи 3. Построить соответствующий график.
Задача 1. Пусть =2 вызова в сутки и количество часов =15.
Расчет при =15 является контрольным.
Расчетные формулы и размещение информации представлены в таблице 1, результаты расчета - на рис. 1 и в таблице 2.
Таблица 1
Расчетные формулы
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
|
1 |
T |
a |
|||||
|
2 |
2 |
15 |
=a2/24 |
=c2*b2 |
=EXP(-d2) |
=1-e2 |
|
|
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
4 |
P(t)= |
=* |
|||||
|
5 |
=c3/$c$2 |
||||||
|
6 |
=d4+e4 |
=1-(c4+c6) |
|||||
|
7 |
t |
a |
|||||
|
8 |
5 |
=$c$2*a8 |
=* |
||||
|
9 |
10 |
||||||
|
… |
|||||||
|
18 |
Примечания. 1. В ячейку С4 записана формула =$d$2^c3*EXP(-$d$2)/ФАКТР(c3), в ячейку С8 - =$b8^c$3*EXP(-$b8)/ФАКТР(c$3).
2. Стрелки и означают копирование в эти ячейки.
Таблица 2
Результаты расчета
Рис.1. Иллюстрация 4-го свойства простейшего потока вызовов
Анализ результатов. Полученные результаты позволяют сделать некоторые предварительные выводы. Вероятность того, что в течение 15 часов поступит:
Следовательно, через каждые 15 часов можно ожидать один-два вызова на выполнение аварийных работ. Более чем два вызова в среднем будут поступать в 13 случаях из ста. На основе этого можно предположить численный состав аварийной службы в данном случае, т.е. при плотности потока 2 вызова в сутки.
Задача 2. Интервал времени определяется по формуле Среднее число заявок, поступивших за это время,
Далее расчет выполняется аналогично задаче 1.
Задачи 3 и 4. Размещение информации для решения задач 3 и 4 представлено в таблице 3. Результаты решения приведены на рис. 2-3 и в таблице 4. Расчет выполнялся для =12 мин.
Таблица 3
Размещение информации
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
|
|
1 |
t |
a |
|||||||
|
2 |
0,5 |
10 |
=a2*b2 |
||||||
|
3 |
m= |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
4 |
P(t)= |
=* |
|||||||
|
5 |
=1-i4 |
||||||||
|
6 |
|||||||||
|
7 |
мин |
ч |
a |
||||||
|
8 |
12 |
=a8/60 |
=a2*b8 |
||||||
|
9 |
m |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
10 |
P() |
=* |
Примечание. В ячейки В4 и В10 соответственно записаны формулы: =$c$2^b3*EXP(-$c$2)/ФАКТР(b3); =$c$8^b9*EXP(-$c$8)/ФАКТР(b9).
Таблица 4
Результаты расчета
Рис.2. Вероятность остановки в течение 10 часов различного количества станков
Рис.3. Вероятность того, что за 12 мин остановится
не меньше двух станков
Анализ результатов расчета. Наиболее вероятно, что после 10 часов работы потребуют обслуживание 4 или 5 станков (рис.2). Более 6 станков могут потребовать обслуживание в 24 случаях из ста, так как =0,2378. Вероятность того, что за 12 мин обслуживания остановится не меньше двух станков, равна т.е. вероятность эта мала. Следовательно, можно надеяться, что за это время остановится один станок или ни одного.
Работа 2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ЗАЯВОК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Цель работы. Освоить методику сбора и обработки данных наблюдений при анализе производственных процессов системы массового обслуживания
В теории массового обслуживания при анализе реальных потоков заявок и доказательстве близости их к простейшему потоку чаще всего исследуют не моменты появления заявок, а промежутки между этими моментами (рис.1).
Рис. 1. Изображение на оси времени моментов поступления заявок и промежутков между ними
Признаком близости исследуемого реального потока заявок к простейшему является распределение по показательному закону случайных величин промежутков времени между моментами появления заявок на обслуживание и времени обслуживания. Данные наблюдений потока заявок и времени их обслуживания заносятся в ведомость, приведенную в таблице 1, в которой фиксируются: время начала наблюдений, моменты появления заявок, время начала и окончания обслуживания.
Таблица 1
Форма ведомости для проведения наблюдений потоков,
близких к простейшему
|
№ п/п заявок |
Момент появления заявки |
Начало обслуживания |
Конец обслуживания |
Период времени между заявками |
Время обслуживания |
|
Начало наблюдений 7ч. 00 мин |
|||||
|
1 |
7ч. 10 мин |
7ч. 10 мин |
7ч. 14 мин |
10 мин |
4 мин |
|
2 |
7ч. 15 мин |
7ч. 15 мин |
7ч. 24 мин |
5 мин |
9 мин |
|
3 |
7ч. 18 мин |
7ч. 24 мин |
7ч. 25 мин |
3 мин |
1 мин |
|
4 |
7ч. 20 мин |
7ч. 25 мин |
7ч. 36 мин |
2 мин |
11 мин |
|
5 |
7ч. 40 мин |
7ч. 40 мин |
7ч. 43 мин |
20 мин |
3 мин |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Момент появления заявки не всегда совпадает с началом обслуживания. В случае занятости обслуживающего аппарата (канала обслуживания) обслуживание начинается лишь после его освобождения.
Пример 1. При анализе организации наладки оборудования проводилась фотография моментов вызова наладчиков, на основе которой были определены промежутки времени между этими моментами, минимальное и максимальное значения промежутков Зафиксировано вызовов. Данные в упорядоченном виде представлены в таблице 2. Требуется по данным наблюдений подобрать теоретический закон распределения промежутков времени между вызовами наладчиков.
Упорядочение заданного объема статистических данных
Данные в том виде, как они получаются в результате наблюдений или эксперимента, представляют собой беспорядочный набор информации. Для научного исследования их необходимо упорядочить. Первым шагом при этом является сводка данных, в результате которой получается статистический ряд или таблица распределений. При сводке данных находят минимальное и максимальное значения случайной величины (СВ) и определяют количество разрядов, в которые можно объединить все имеющиеся значения СВ.
Чтобы ясней выступали характерные особенности СВ, количество разрядов обычно принимают равным разряда. Длина каждого разряда определяется отношением и округляется до ближайшего удобного числа. Примем тогда Начинаем заполнять расчетную таблицу 2. Составляем статистический ряд, для чего определяем границы разрядов, их середины и подсчитываем численность разрядов, т.е. абсолютную частоту разрядов
Таблица 2
Результаты расчета
|
Середины разрядов , мин |
|||||||
|
10 |
88 |
0,5028 |
0,0251 |
5,028 |
0,0237 |
0,4752 |
0,0016 |
|
30 |
42 |
0,24 |
0,012 |
7,2 |
0,0122 |
0,2452 |
0,000112 |
|
50 |
17 |
0,0971 |
0,0048 |
4,857 |
0,0063 |
0,1265 |
0,00683 |
|
70 |
19 |
0,1085 |
0,0054 |
7,6 |
0,0032 |
0,0653 |
0,0286 |
|
90 |
4 |
0,0228 |
0,0011 |
2,057 |
0,0008 |
0,0336 |
0,00348 |
|
110 |
2 |
0,0114 |
0,0005 |
1,257 |
0,0004 |
0,0174 |
0,002042 |
|
130 |
3 |
0,0171 |
0,0008 |
2,228 |
0,0002 |
0,0089 |
0,00744 |
|
175 |
1 |
30,22 |
1 |
Построение эмпирической плотности распределения (гистограммы). Определяем относительную частоту каждого разряда Сумма абсолютных частот равна объему выборки сумма относительных частот равна 1.
Для дискретной случайной величины (ДСВ) строят полигон частот, для непрерывной СВ строят эмпирическую плотность распределения , определяемую отношением относительной час тоты разряда к его длине
Графическое изображение эмпирической плотности распределения называют гистограммой распределения относительных частот. Гистограмма строится следующим образом. По оси времени Т откладываем границы разрядов (рис.2) и на каждом из разрядов как на основании строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте данного разряда, т.е. высота прямоугольника равна эмпирической плотности распределения каждого разряда. Площадь всей гистограммы равна 1.
Следовательно, для построения гистограммы необходимо выполнить в таблице 2 расчет относительных частот и эмпирической плотности распределения разрядов.
Подбор теоретической кривой распределения (выравнивание статистических рядов). Задача выравнивания статистических рядов заключается в том, чтобы подобрать плавную теоретическую кривую распределения, которая наилучшим образом описала бы статистический ряд. Принципиальный вид теоретической кривой выбирается чаще всего по виду гистограммы. Для рассматриваемого примера по виду гистограммы можно предположить, что эмпирическая плотность распределения описывается показательным законом.
Теоретический закон распределения зависит от некоторых параметров, в данном случае от параметра Поэтому задача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора параметров, при которых расхождения между теоретической кривой распределения и статистическим распределением будут минимальными. Для этой цели используют метод моментов, согласно которому параметры выбираются так, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Следовательно, необходимо определить по выборке выборочное среднее и определить параметр показательного закона распределения.
Определяем по таблице 2 выборочное среднее
Тогда
Продолжаем заполнять таблицу 2, в которой определяем значения плотности распределения для представителей разрядов По этим значениям строим теоретическую кривую распределения на рис.2.
Рис. 2. Гистограмма и кривая распределения
Проверка согласованности теоретического и статистического распределений. После того как построена теоретическая кривая распределения, необходимо решить вопрос о согласованности теоретического и статистического распределений. Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и гистограммой распределения будут расхождения. Возникает вопрос: расхождения эти случайны вследствие малого объема выборки или подобранная кривая плохо выравнивает гистограмму и нужно подбирать новую теоретическую кривую.
Для ответа на этот вопрос служит критерий согласия - специально подобранная переменная, по величине которой устанавливают на принятом уровне значимости согласие или несогласие принятой гипотезы с данными наблюдений.
Имеется несколько критериев согласия:(хи-квадрат) Пирсона, Колмогорова, Романовского, Смирнова и др.
Проще всего выполнять проверку по критерию Романовского
где -- мера расхождения Пирсона, определяемая соотношением
- число степеней свободы распределения.
Число степеней свободы распределения равно разности между количеством разрядов и количеством наложенных на частоты связей S и показывает, сколько разрядных клеток может быть заполнено произвольно, если учесть число наложенных связей. Число наложенных связей зависит от закона распределения.
Для всех законов распределения требуется, чтобы сумма относительных частот была равна 1, т.е. Часто требуется при подборе теоретического закона совпадения теоретического и статистического математического ожидания. Для показательного закона , т.е. для показательного закона распределения число наложенных связей S=2. Тогда
Меpy расхождения считаем также в таблице 2. Выполняем проверку согласованности по критерию Романовского:
|8,782 -5|/= 1,196 < 3 ,
т.е. расхождения случайны, и нет причин отвергать гипотезу о том, что промежутки времени между появлениями вызовов подчиняются показательному закону распределения.
Размещение информации и результаты решения представлены в таблице 3, расчетные формулы - в таблице 4.
Таблица 3
Размещение информации на рабочем листе ЭТ
Таблица 4
Расчетные формулы
|
Адреса ячеек |
Формула |
Адреса ячеек |
Формула |
|
C2 |
=b2/$b$9 |
E9 |
=СУММ(e2:e8) |
|
D2 |
=c2/$b$10 |
G9 |
=СУММ(g2:g8) |
|
E2 |
=a2*c2 |
H9 |
=СУММ(h2:h8) |
|
F2 |
=$e$10*EXP(-$e$10*a2) |
E10 |
=1/e9 |
|
G2 |
=f2*$b$10 |
H10 |
=b9*h9 |
|
H2 |
=(g2-c2)^2/g2 |
H11 |
=ABS(h10-b12)/КОРЕНЬ(2*b12) |
|
B9 |
=СУММ(b2:b8) |
B12 |
=b11-2 |
|
C9 |
=СУММ(c2:c8) |
Примечание. Ячейка В9 содержит объем выборки, для рассматриваемого примера объем выборки равен 175.
Так как величина мала, то для избежания больших погрешностей поступают следующим образом: подбирают теоретическую кривую по данным наблюдений различными методами и определяют среднее значение этого параметра.
Пример выполнения задания
В таблице 8 приведены 690 значений случайной величины (СВ) – промежутка времени между моментами появления заявок. Требуется подобрать теоретический закон распределения СВ по случайной выборке объемом 100 значений, сформированной из заданной таблицы. Случайную выборку получить с помощью инструмента «Выборка» пакета анализа.
Рис. 3. Диалоговое окно инструмента Выборка
Рис. 4. Диалоговое окно функции ЧАСТОТА
Перед вызовом функции ЧАСТОТА необходимо выделить диапазон ячеек, в которые будут записаны значения абсолютных частот разрядов. Для фиксации значений частот в выделенном диапазоне нажать сочетание Ctrl+Shift+Enter. В таблице 5 представлен статистический ряд распределения абсолютных частот.
Т а б л и ц а 5
Предварительные расчеты
Рис. 5. Гистограмма абсолютных частот
Таблица 6
Результаты расчета
Значение критерия Романовского меньше 3, следовательно, промежуток времени между моментами появления заявок подчиняется показательному закону распределения и входящий поток заявок – простейший. На рис.6 приведена кривая показательного закона распределения.
Рис. 6. Кривая показательного закона распределения
2.2. Обработка данных наблюдений с помощью метода наименьших квадратов
Пусть в результате наблюдений получена таблица значений параметра при изменении другого параметра в заданных пределах. Требуется установить зависимость . Для этого наносят на плоскость Y0X точки, координаты которых соответствуют значениям данных наблюдений, и проводят кривую, расположенную как можно ближе ко всем точкам. По внешнему виду этой кривой записывают ее аналитическое выражение в общем виде, т.е. в виде функции .
В математике замена истинной зависимости некоторой приближенной , при которой отклонение от на рассматриваемом отрезке было бы возможно малым, называется аппроксимацией. Функция называется аппроксимирующей функцией. Следовательно, задача сводится к установлению аппроксимирующей функции .
Для аппроксимации абсолютных частот (пример 1) принимаем функцию вида
(1)
Возникает задача определения коэффициентов наилучшим образом, т.е. установления таких значений этих параметров, при которых построенная по формуле (1) кривая имела бы минимальные отклонения от всех точек наблюдений.
Существует много методов определения параметров аппроксимирующей функции, но чаще всего используют метод наименьших квадратов. Рассмотрим суть этого метода.
Запишем разность между значениями аппроксимирующей функции и таблично заданной функцией для каждого таблично заданного :
(2)
Эта разность называется отклонением аппроксимирующей функции от ее табличного значения. В методе наименьших квадратов сводят к минимуму сумму квадратов отклонений, т.е.
(3)
где n - количество данных наблюдений.
Условие минимума суммы самих отклонений, а не их квадратов, не решает проблемы, так как сумма отклонений может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонения очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.
Так как и известны, то сумма (3) есть функция параметров Обозначим ее через Эта сумма всегда положительна и имеет минимум. Для рассматриваемого случая сумма имеет вид:
(4)
Выражение (4) представляет собой математическую запись метода наименьших квадратов.
Для оценки согласованности полученной функции с данными наблюдений используют среднеквадратичную ошибку
(5)
Если , то аппроксимирующая функция согласуется с данными наблюдений. Здесь - допустимая погрешность аппроксимации.
Следовательно, задача аппроксимации относится к оптимизационным задачам: в качестве целевой функции выступает сумма квадратов отклонений; ограничений и граничных условий для определяемых параметров нет, так как могут принимать любые значения. Для ее решения целесообразно использовать надстройку «Поиск решения» приложения Excel.
Размещение информации приведено в таблице 7.
Таблица 7
Размещение информации на рабочем листе ЭТ
Как видно из таблицы 7, в диапазон ячеек A4:B10 введены данные статистического ряда. Для размещения значений параметров аппроксимирующей функции выделены ячейки A2:В2, значения самой аппроксимирующей функции после оптимизации будут находиться в ячейках С4:С10 (mp - обозначение аппроксимирующей функции) и значение целевой функции в ячейке D2.
Для расчета аппроксимирующей и целевой функций нужно ввести формулы:
Чтобы при копировании не изменялись адреса ячеек, записывают их абсолютные адреса.
В ячейку С4 запишется нуль, так как перед оптимизацией значения неизвестных параметров равны нулю. Кроме того, необходимо ввести формулы для расчета среднеквадратичной погрешности в ячейки:
Формулы, записанные в строку 4, скопировать совместно в диапазон ячеек С5:Е10.
В мастере функций имеется функция СУММКВРАЗН – сумма квадратов разностей. Для её выбора и работы с ней следует:
2.3. Технология работы с надстройкой Поиск решения
Рис.9. Диалоговое окно “Результаты поиска решения”
Полученные значения параметров аппроксимирующей функции запишутся в ячейки A2:B2, значения аппроксимирующей функции - в ячейки C4:C10, значение целевой функции - в ячейку D2. Следовательно, аппроксимирующая функция имеет вид:
(6)
Среднеквадратичная погрешность значительно меньше значений абсолютных частот статистического ряда, т.е. можно считать, что аппроксимирующая функция подобрана удачно.
путем построения линий тренда
Рис.10. Точечная диаграмма
Рис. 11. Диалоговое окно Линия тренда
Рис.12. Диалоговое окно Параметры/Линия тренда
В итоге на графике (рис.13) появится уравнение аппроксимирующей функции, получаемое по методу наименьших квадратов, и значение достоверности аппроксимации . Чем ближе это значение к единице, тем точнее аппроксимация.
Рис.13. Линия тренда
Сравнивая уравнение линии тренда на диаграмме с уравнением (6) отмечаем, что аппроксимирующая функция может быть не единственной. Поэтому для решения задач оптимизации определяют среднее значение параметра показательного закона распределения. Для рассматриваемого примера , и Следовательно,
Таблица 8
Промежутки времени между моментами поступления заявок, мин
Продолжение таблицы 8
Продолжение таблицы 8
Работа 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА КОНТРОЛЕРОВ В ЦЕХЕ
Цель работы. Освоить методику решения задач оптимизации теории массового обслуживания и технологию их реализации в среде электронных таблиц.
3.1. Постановка задачи выборочного контроля качества продукции
Пусть в конце сборочной линии находится пункт контроля качества с одним или несколькими контролерами. Собранные изделия поступают на контроль не равномерно, а в случайные моменты времени. Возможные причины: квалификация и темп работы сборщиков; ритм поступления деталей из других цехов; качество поступающих деталей и пр. Контролю подвергается не каждое изделие. Если к моменту поступления изделия на контрольный пункт свободен хотя бы один из контролеров, то изделие проверяется. Если все контролеры заняты, изделие проходит на склад готовой продукции без осмотра, т.е. заявка получила отказ и выбыла из системы не обслуженной. Длительность обслуживания случайна и зависит от опыта контролера, характера выявленных дефектов или брака и др.
Задачи:
Критерий минимума себестоимости продукции чаще всего используется при решении задач оптимизации, когда в качестве источников заявок на обслуживание выступают рабочие, станки или механизмы основного производства, а роль обслуживающих устройств (каналов обслуживания) играют вспомогательные службы и хозяйства фирмы или цехи (ремонтные подразделения, инструментальные кладовые, транспортные службы и пр.). Хотя вспомогательные службы непосредственного участия в основном производстве не принимают, но от оптимальности их организации существенно зависят результаты работы фирмы.
Из различных вариантов организации обслуживания оптимальным считается тот, при котором себестоимость выпускаемой продукции минимальна. В этом случае себестоимость рассматривают в виде функции от варианта организации обслуживания при постоянном значении прочих факторов. Варианты организации обслуживания обычно задаются количеством каналов обслуживания. Следовательно, критерий оптимизации может быть записан в виде зависимости себестоимости единицы выпускаемой продукции от числа каналов обслуживания
(1)
где - себестоимость единицы продукции, - число каналов обслуживания.
Себестоимость продукции определяется отношением где З – затраты на производство, В – объем продукции, выпускаемой за фиксированный период.
Теория массового обслуживания позволяет определить длительность простоя рабочих мест при различном числе каналов обслуживания. Для СМО с ожиданием при ограниченном потоке заявок и конечном числе каналов обслуживания такими показателями являются:
Предположим, что при существующей организации обслуживания имеется каналов обслуживания и коэффициент простоя рабочих мест равен . При изменении числа каналов до и неизменных остальных параметрах системы обслуживания величина изменится до значения . Тогда коэффициенты нахождения рабочих мест вне системы обслуживания, т.е. на рабочих местах осуществляется выпуск продукции, будут соответственно равны и .
Объем выпускаемой продукции пропорционален времени работы рабочих единиц основного производства. Поэтому влияние числа каналов обслуживания на объем выпускаемой продукции можно выразить соотношением
(2)
где - соответственно объемы выпускаемой продукции при существующей и новой организации обслуживания.
Число каналов обслуживания влияет и на величину затрат. Затраты на выпуск продукции делятся на переменные и условно постоянные расходы, т.е. общие затраты на производство равны сумме переменных и условно постоянных расходов
(3)
Переменные расходы зависят от объема выпускаемой продукции, т.е. пропорциональны времени работы
(4)
где - соответственно переменные расходы при существующей и новой организации обслуживания.
Условно постоянные расходы включают в себя расходы на содержание вспомогательных служб и при изменении организации обслуживания меняются лишь в части заработной платы обслуживающих рабочих с соответствующими отчислениями. Если эти расходы составляют в среднем на одного рабочего денежных единиц, то изменение условно постоянных расходов будет равно и условно постоянные расходы можно представить в виде
(5)
где - соответственно условно постоянные расходы при существующей и новой организации обслуживании.
Таким образом, вычислив ряд значений себестоимости при различном числе каналов обслуживания, можно выбрать оптимальный вариант организации обслуживания.
Рассмотрим систему массового обслуживания при следующих допущениях:
Расчет вероятностей различных состояний системы, т.е. вероятности того, что в системе будет находиться ровно заявок на обслуживание при существующей численности каналов и других возможных вариантах организации системы .
Чтобы получить эти вероятности, предварительно рассчитывают их отношение к вероятности нулевого состояния т.е. вероятности того, что все каналы обслуживания свободны. Расчетные формулы зависят от числа заявок на обслуживание:
Расчет выполняют до тех пор, пока значения отношений станут ничтожно малыми относительно принятой точности расчетов или пока не станет равной
Таблица отношений является вспомогательной и служит для определения вероятностей всех возможных состояний системы при различных вариантах ее организации. При расчете их используют свойство, что вероятность полной системы событий равна 1, т.е. для каждого Пользуясь этим свойством и имея сумму отношений вероятностей для каждого легко определить вероятность нулевого состояния системы для каждого варианта ее организации
Умножая каждое из значений отношений вероятностей на вероятности нулевых состояний, можно получить вероятности для каждого варианта организации обслуживания системы.
Полученные данные являются основой для расчета других показателей качества функционирования и экономических показателей хозяйственной деятельности фирмы.
По этим характеристикам определяются коэффициенты:
Для анализа деятельности участка контроля качества продукции с целью ее улучшения можно использовать методы теории массового обслуживания. Методику расчета рассмотрим на примере 1.
Пример 1. В цехе в одну смену работают контролера, которые обслуживают 54 рабочих места. В среднем ежедневно поступает поток заявок от 49-ти рабочих мест и имеется еще 4 источника появления требований (заявок) – проверка качества заготовок, технической документации и др. Таким образом, общее количество источников, от которых поступает поток заявок равно . Расходы на содержание одного контролера составляли в среднем за последние месяцы
Выпуск продукции цеха в исследуемом месяце составил Затраты на выпуск продукции были следующими: переменные (пропорциональные) расходы условно-постоянные Цех работает в три смены.
Определить оптимальное количество контролеров для данного цеха.
Определение характера потока заявок на контроль качества продукции. Проведены наблюдения моментов вызова одного контролера на все виды работ, т.е. исследуемый поток составляет четвертую часть общего потока заявок.
В результате статистической обработки данных наблюдений получено уравнение плотности распределения т.е.
Уравнение теоретической кривой абсолютных частот, полученное с помощью метода наименьших квадратов, имеет вид:Следовательно,
Выравнивание гистограммы абсолютных частот путем построения линии тренда дало уравнение т.е. Для расчета принимается среднее значение Так как наблюдаемый поток составляет четверть общего потока, то заявок/мин. Считая источники появления заявок примерно однородными, по общему параметру потока можно определить интенсивность единичных потоков от каждого из 53 источников
Во время наблюдений за работой контролера фиксировалась продолжительность выполнения им отдельных контрольных операций. Статистические данные обработаны. Теоретическая плотность распределения времени обслуживания:
Теоретическая кривая, полученная для абсолютных частот с помощью метода наименьших квадратов, имеет вид: Уравнение, полученное путем построения линии тренда: Для расчетов принимается среднее значение интенсивности времени обслуживания
Таким образом, исследуемые потоки можно отнести к простейшему потоку.
Для определения необходимого количества контролеров в цехе недостаточно знать только средний промежуток времени между вызовами и среднее время выполнения контрольных операций. Требуется рассчитать:
На основе анализа результатов расчета выбрать оптимальный вариант и разработать мероприятия по его внедрению.
Расчет вероятности различных состояний системы, т.е. вероятности того, что в системе будет находиться ровно заявок на обслуживание при существующей численности контролеров в смене и других возможных вариантах организации системы, например,
Чтобы получить эти вероятности, предварительно рассчитывают их отношение к вероятности нулевого состояния т.е. вероятности того, что все обслуживающие каналы свободны. Расчетные формулы зависят от числа заявок на обслуживание:
Результаты расчета представлены в таблице 1.
Расчет выполняют до тех пор, пока значения отношений станут ничтожно малыми относительно принятой точности расчетов или пока не станет равной Так как имеем разные формулы для расчета отношений, то в ячейку В4 записываем логическую функцию ЕСЛИ:
=ЕСЛИ($a4=0;1;ЕСЛИ($a4<=b$2;ФАКТР(53)/(ФАКТР($a4)* ФАКТР(53-$a4))*($i$3/$j$3)^$a4;ФАКТР(53)/(b$2^($a4-b$2) *ФАКТР(b$2) *ФАКТР(53-$a4)*($i$3/$j$3)^$a4))
и копируем ее в диапазон ячеек B4:H23.
Таблица отношений (таблица 1) является вспомогательной и служит для определения вероятностей всех возможных состояний системы при различных вариантах ее организации. При расчете их используют свойство, что вероятность полной системы событий равна 1, т.е. для каждого Пользуясь этим свойством и имея сумму отношений вероятностей для каждого легко определить вероятность нулевого состояния системы для каждого варианта ее организации
Таблица 1
Отношение вероятностей различных состояний СМО к вероятности нулевого состояния при различных вариантах ее организации
В ячейку В24 записываем формулу расчета суммы вероятностей с помощью кнопки автосуммирования стандартной панели инструментов =СУММ(b4:b23) и копируем ее в диапазон ячеек C24:H24.
Умножая каждое из значений отношений вероятностей таблицы 1 на вероятности нулевых состояний, можно получить вероятности для каждого варианта организации обслуживания системы.
Расчетные формулы записываем в ячейки:
и копируем первые две формулы в остальные ячейки соответствующих строк, а третью формулу в диапазон ячеек B30:H48.
Формулы для продолжения расчетов приведены в таблице 5.
Результаты расчета представлены в таблице 2, которая является продолжением таблицы 1.
Таблица 2
Вероятности различных состояний СМО
Данные таблицы 2 являются основой для расчета других показателей качества функционирования и экономических показателей хозяйственной деятельности цеха.
Результаты расчета этих характеристик приведены в таблице 3.
Таблица 3
Расчет характеристик качества функционирования
Среднее число заявок в системе обслуживания и средняя длина очереди при различных вариантах организации приведены соответственно в строках 50 и 71 таблицы 3.
Анализ показывает, что при:
Результаты расчета остальных характеристик приведены в таблице 4.
В строке 82 выполнен расчет среднего количества незанятых контролеров, свидетельствующий о том, что с ростом общей численности контролеров в смене их простой увеличивается.
По этим характеристикам определяются коэффициенты:
Расчет экономических показателей:
Таблица 4
Результаты расчета экономических показателей
В таблице 5 приведены расчетные формулы.
Таблица 5
Расчетные формулы
|
Адрес ячейки |
Обозначение переменной |
Формула на языке электронных таблиц |
|
B49 |
Ar*P0=1 |
=b24*b$29 |
|
B50 |
M |
=СУММПРОИЗВ($a$29:$a$48;b29:b48) |
|
B51 |
M1k |
= ЕСЛИ(($a29-b$27)<=0;0;( $a29-b$27)*b29) |
|
B71 |
M1 |
=СУММ(b51:b70) |
|
B73 |
M2k |
=ЕСЛИ((b$27-$a29)<=0;0;(b$27-$a29)*b29) |
|
B82 |
M2 |
= СУММ(b73:b81) |
|
B83 |
u |
=b50/53 |
|
B84 |
1-u |
=1-b83 |
|
B85 |
d |
=b71/53 |
|
B86 |
h |
=b82/b27 |
|
B87 |
B |
=$a$93*b84/$d$84 |
|
B88 |
K |
=$c$93+$b$95*(b27-$b$93)* $c$95 |
|
B89 |
П |
=$d$93*b84/$d$84 |
|
B90 |
З |
=b88+b89 |
|
B91 |
c |
=b90/b87 |
График зависимости себестоимости от числа контролеров приведен на рис. 1.
Рис. 1. График себестоимости
Анализ графика свидетельствует о том, что в смене должно быть три контролера.
Работа 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СМО В СРЕДЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Краткие сведения из теории
Во всех предыдущих задачах поток заявок был простейшим и время обслуживания имело показательное распределение. Поэтому для их решения использовались аналитические методы теории массового обслуживания. Однако реальные системы часто отличаются от упрощенных систем теории массового обслуживания. Обслуживающие каналы и источники, посылающие требования могут быть неоднородными. Поток требований может оказаться не простейшим и время обслуживания может иметь любой характер распределения. Следовательно, не всегда можно использовать аналитические методы ТМО. В таких случаях для исследования процесса, протекающего в СМО, можно воспользоваться универсальным методом моделирования случайных процессов – методом имитационного моделирования (статистических испытаний или Монте-Карло).
Смысл метода Монте-Карло заключается в том, что задается случайная величина , математическое ожидание которой равно искомой величине , т.е.
. (1)
Затем проводится серия независимых испытаний этой случайной величины, в результате которых получаются . Приближенно считается, что
. (2)
В соответствии с (1) при любом натуральном
. (3)
Если дисперсия конечна, то
. (4)
При достаточно большом (практически при 10) согласно (3), (4) и правилу «трех сигм» имеем
,
т.е. неравенство выполняется с вероятностью, достаточно близкой к единице.
На практике, если неизвестна, но конечна, то ее оценивают при 10 по формуле
.
Идея метода очень проста и состоит в следующем. Вместо того чтобы описывать процесс с помощью дифференциальных или алгебраических уравнений, производится «розыгрыш» случайного явления. Случайные события и величины, выражающие в количественной форме воздействие на данный процесс случайных факторов, моделируются («разыгрываются») специальным образом. В результате «розыгрыша» всех учитываемых факторов получают «реализацию» изучаемого процесса со случайным исходом. Проводя такую имитацию процесса много раз, получают отличающиеся друг от друга по результатам варианты «реализаций» случайного процесса, которые дают необходимые статистические данные. Обрабатывая полученные данные при большом числе вариантов, получают устойчивые числовые характеристики изучаемого процесса (вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т.д.)
Следует помнить, что метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы, но оправданным он становится тогда, когда процедура «розыгрыша» проще, а не сложнее аналитического расчета. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, организаций) и случайные факторы в них сложно переплетены, где процесс явно немарковский, метод Монте-Карло нередко оказывается единственно возможным.
Единичный жребий и формы его организации. Следовательно, основой статистических испытаний является одна случайная реализация, многократное повторение которой обеспечивает получение необходимых статистических данных. Каждый раз, когда в ход опыта вмешивается случай, то его влияние учитывается не расчетом, а бросанием «жребия».
Будем называть единичным жребием любой опыт со случайным исходом, который отвечает на один из следующих вопросов:
Любая реализация случайного явления методом Монте-Карло строится из цепочки единичных жребиев, сочетающихся с обычными расчетами, учитывающими влияние исхода жребия на дальнейший ход событий. Единичный жребий может быть разыгран разными способами, но есть один стандартный механизм: достаточно получить случайное число , все значения которого от 0 до 1 равновероятны.
Процедура розыгрыша значения приведена на рис. 1.
Разыгрывается число от 0 до 1 и для него определяется такое значение , при котором функция распределения .
Рассмотрим, как с помощью такого числа можно разыграть любой из четырех видов единичного жребия.
Для ответа на этот вопрос нужно знать вероятность события . Разыграем случайное число от 0 до 1, и если оно оказалось меньше , то будем считать, что событие произошло (если равно , то можно попеременно считать за «больше» или за «меньше» - от этого результат моделирования практически не зависит).
Пусть события несовместны и образуют полную группу событий, тогда . Разделим интервал (04 1) на участков длиной . На какой из участков попало число , то событие и появилось.
Условимся процесс нахождения значения какой-либо случайной величины путем преобразования одного или нескольких значений называть разыгрыванием случайной величины . Если случайная величина дискретна, т.е. принимает значения с вероятностями , то розыгрыш сводится к предыдущему случаю. Если случайная величина непрерывна и имеет заданную плотность вероятности , то для того, чтобы разыграть ее значение, нужно перейти к функции распределения , затем найти обратную ей функцию , далее разыграть случайное число и взять от него эту обратную функцию: . Полученное значение имеет распределение .
Рис. 1. Розыгрыш значения
Если случайные величины независимы, то достаточно повторить раз описанную в третьем пункте процедуру. Если они зависимы, то каждую последующую надо разыгрывать на основе ее условного закона распределения с учетом того, что все предыдущие величины приняли те значения, которые дал розыгрыш.
Генерирование равномерно распределенной в интервале (0, 1) случайной величины. В процессе имитации сложных систем приходится моделировать различные случайные воздействия, которым всегда подвергается система в реальных условиях. Кроме того, процесс функционирования любой системы тоже носит случайный характер, и имитация его требует выработки большого числа случайных чисел.
Алгоритмы формирования последовательностей случайных чисел, распределенных по некоторому закону, предполагают наличие некоторой базовой последовательности случайных чисел. В качестве такой принята последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1). Действуя на эту последовательность специально подобранными функциями, можно получить случайную величину с любым заданным законом распределения.
Для закона равномерной плотности кривая распределения имеет вид, представленный на рис. 2, т.е. на отрезке , вне его
Рис. 2. Кривая распределения закона
равномерной плотности
Так как площадь под кривой равна единице, то
Тогда плотность вероятности и функция распределения равномерно распределенной в интервале (0, 1) случайной величины имеют вид
Идея формирования равномерно распределенной случайной величины заключается в следующем. Для закона равномерной плотности (рис. 1)
.
Из этого равенства получаем алгоритм моделирования случайной величины , распределенной по закону равномерной плотности . Если и , то , где - случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0, 1). На основе этих чисел можно моделировать случайные числа, распределенные по другим вероятностным законам.
Для показательного закона плотность вероятности имеет вид , где - интенсивность или плотность потока событий. При этом или . Тогда логарифмируя это равенство по основанию натуральных или десятичных логарифмов, получаем , где - случайные числа, распределенные по закону равномерной плотности в интервале (0, 1).
Имитационное моделирование случайных потоков. Потоки событий моделируются с использованием законов распределения случайного времени между двумя соседними событиями. Если рассматриваемый поток стационарный и известна плотность или функция распределения времени между событиями, то методами имитации случайных величин вычисляются значения случайного времени между событиями. Тогда момент наступления - го события вычисляется по формуле
, где должно быть задано.
Пример 1 [12]. При обработке экспериментальных данных было установлено, что время, затрачиваемое на станции технического обслуживания (СТО) автомобилей на замену двигателей, распределено по показательному закону. Среднее время замены одного двигателя =2,985 часа.
Требуется путем имитационного моделирования установить для данных условий среднее время замены одного двигателя.
Для показательного закона распределения интенсивность потока обслуживания двигателя в час. Случайные числа будем получать с помощью инструмента Генерация случайных чисел пакета анализа, диалоговое окно которого представлено на рис.3. Время замены одного двигателя вычисляем по алгоритму моделирования случайной величины с показательным законом распределения: . Тогда среднее время замены одного двигателя равно , где - количество двигателей.
Моделирование выполняем в среде ЭТ. Результаты моделирования для разного количества реализаций (двигателей) приведены в таблице 1.
Т а б л и ц а 1
Моделирование среднего времени замены одного двигателя
Среднее время замены одного двигателя определяем с помощью статистической функции СРЗНАЧ мастера функций.
Анализ результатов моделирования показывает, что с увеличением количества двигателей уменьшается отклонение между средними значениями, полученными разными методами.
Пример 2. Выполнить имитационное моделирование работы мастерской автосервиса, рассматриваемой в виде простейшей одноканальной СМО, т.е. обслуживающий персонал мастерской не делится на бригады. Входящий одномерный поток заявок имеет показательный закон распределения, интенсивность которого =1,5 машины в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и составляет в среднем =2,5 часа на одну машину. Время работы мастерской 10 часов. В результате моделирования необходимо определить следующие характеристики качества обслуживания:
Процесс функционирования СМО будем исследовать в интервале времени (0, ), где =10 ч. – время моделирования. Это означает, что заявки, поступившие в момент времени , в систему не попадают и не обслуживаются. Если время поступления заявки , но время окончания обслуживания (время освобождения канала) , то такая заявка получает отказ.
Рис.3. Диалоговое окно инструмента Генерация случайных чисел
Характеристики качества обслуживания системы определяются по формулам:
Результаты имитационного моделирования работы мастерской в течение одного рабочего дня представлены в таблице 2.
Т а б л и ц а 2
Моделирование работы мастерской автосервиса
Продолжение таблицы 2
Моделируем промежутки времени между двумя прибывающими машинами по алгоритму показательного закона , где - случайные числа, получаемые с помощью инструмента Генерация случайных чисел пакета анализа.
Зная промежутки времени между двумя прибывающими машинами, вычисляем моменты их прибытия в мастерскую , где =0. По такому же алгоритму моделируем время обслуживания заявки . Интенсивность обслуживания .
В таблице 2 обозначено: - соответственно время начала и конца обслуживания заявки; - счетчик количества еще не обслуженных машин; - номер заявки, принятой на обслуживание; - время работы мастерской по обслуживанию заявки.
Так как перед началом процесса обслуживания определены время поступления всех заявок и время обслуживания всех заявок (смотри размещение информации в таблице 2), то моделирование процесса обслуживания легко осуществить непосредственно, работая в среде ЭТ.
Анализ результатов имитационного моделирования:
Пример 3. Исследуем работу СТО автомобилей, в которой две бригады занимаются ремонтом. Характеристики входящего потока заявок, времени обслуживания соответствуют мастерской автосервиса примера 2. Требуется определить значения характеристик качества обслуживания СТО при 10 – часовом рабочем дне.
Моделирование выполнено непосредственно на рабочем листе электронной таблицы при работе в среде ЭТ. Результаты моделирования приведены в таблице 3.
Т а б л и ц а 3
Моделирование работы СТО автомобилей
Продолжение таблицы 3
Последовательность обслуживания заявок каналами (бригадами) указывается в столбце , номер обслуживающей бригады – в столбце «канал». Обозначение остальных переменных соответствует таблице 2.
Анализ результатов имитационного моделирования:
Следовательно, для данных условий работы эффективно иметь две бригады ремонтников. Характеристики качества обслуживания СТО автомобилей получены при анализе одного рабочего дня. Для уточнения значений этих характеристик необходимо выполнить моделирование работы СТО хотя бы в течение одной недели.
Список литературы
PAGE 3