Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
32
БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”
ЮДЕНКОВ Ю.Т.
Электронная версия курса математика
технического вуза
Часть 1 .
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая
геометрия.
Пособие разработано на основе лекций, читаемых на протяжении ряда лет
студентам специальности АЭП (электропривод)
по дисциплине “ Высшая математика.”
2006 г.
Математика для самообразования
данном пособии в краткой, не очень строгой математической форме изложены основные понятия, методы рассуждения и принципы решения основных задач из приведенных разделов высшей математики, изучаемых студентами указанной специальности в дисциплине “ Высшая математика.” Пособие может быть полезно при начальном знакомстве с курсом математики технического ВУЗа или для более простого восприятия математического аппарата, изложенного в более строгих курсах.
1.3.Системы линейных алгебраических уравнений.
1.4.Формулы Крамера.
1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений
1.6.Матричный метод решения линейной системы.
1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем
1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.
1.9.Линейные операторы и матрицы
1.10.Задача о собственных значениях
В этом разделе рассматриваются основные действия с векторами, изучаемыми в курсе математики технического ВУЗа и применяемыми в специальных дисциплинах.
2.1.Линейные операции над векторами
2.2.Скалярное произведение векторов
2.3.Векторное произведение векторов
2.4.Смешанное произведение векторов
2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
3.Аналитическая геометрия.
Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами , истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.
3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости
3.3.Уравнения первой степени в пространстве
3.4.Уравнения первой степени в пространстве
3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости
3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
3.7.Цилиндры и поверхности вращения
3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
Определение. Матрицей называют таблицу объектов произвольной структуры, расположенных в виде строк и столбцов.
Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами - А, В, .... Допустимо использование правых нижних и верхних индексов - АТ, А-1 и т.д.. Фактический вид матрицы . В этой матрице m строк и n столбцов. Строго следите за порядком - сначала строка, затем столбец! Говорят: матрица А имеет размерность m на n. Это - первая и простейшая классификация матриц. В частности матрица может быть матрицей-строкой. А также матрицей-столбцом.
Выражения aij - называют элементами матрицы и читают “а-и-жи”. Первый индекс - номер строки, в которой расположен данный элемент; второй индекс - номер столбца, в котором расположен этот элемент. При чтении строго называйте индексы в указанном порядке “ строка- столбец” - этим самым элемент однозначно локализуется в матрице.
По содержанию элементов матрицу тоже классифицируют: если элементы - функции, то матрица функциональная; если элементы - числа, то матрица числовая. Примером матрицы может служить платежная ведомость, понижающий или повышающий трансформатор с двумя обмотками.
Важным частным случаем является единичная матрица, обозначаемая всегда Е , имеющая вид квадратной матрицы нужной в данный момент размерности
Следующие классы матриц будут введены по необходимости позднее.
Определение. Две матрицы будем называть равными, если равны их соответствующие элементы.
Это определение указывает, что для сравнения матриц следует:
- проверить равенство конфигураций матриц (подразумевается по умолчанию - “default”);
- сопоставить между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.
Все сказанное символически записывают так : А=В aij=bij i,j.
Определение. Суммой матриц А и В называют матрицу С, для которой справедливо соотношение aij+bij =сij i,j.
Это определение указывает, что для суммирования матриц следует:
- проверить равенство конфигураций;
- суммировать между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.
Определение. При умножении матрицы А на величину следует на эту величину умножить все элементы матрицы.
Символически А aij .
Определение. Матрицы А и В перемножают по правилу
АВ=С сij = .
Это определение указывает, что для умножении матриц следует:
- проверить, чтобы число столбцов первой матрицы-сомножителя было равно числу строк второй матрицы-сомножителя;
- выбрать элемент матрицы С, который нужно вычислить - сij;
- поэлементно перемножить строку i матрицы А на столбец j матрицы В и результаты просуммировать;
- результат занести в матрицу С на требуемое место.
При практической реализации умножения матрицу С заполняют построчно - так привычней и легче контролировать результат.
Следует отметить, что при умножении матриц не всегда справедлив переместительный закон, т.е. не всегда верно АВ=ВА.
Для дальнейшей работы с матрицами и их применению введем
Определителем квадратной матрицы А называют число, символически обозначаемое в компактном виде det(A) или (А). В развернутом виде определитель записывают так .
Число n называют порядком определителя.
Если в определителе вычеркнуть строку i и столбец j, то останется определитель порядка n-1. Этот определитель называют минором элемента aij и обозначают Мij .
Если минор Мij умножить на (1)i+j , то полученный результат называют алгебраическим дополнением элемента aij. и обозначают Аij.
Для вычисления определителя используют формулу (рекуррентную) (А)=
Пример 1. 1. Вычислить определители
Решение. Для первого определителя имеем или
. Заметим, что мы воспользовались двумя различными схемами, так как схема в определении не оговаривается. Результат, естественно, одинаков.
При вычислении определителя во втором случае мы используем обнаруженный факт. И потому увидим , что для вычисления удобно использовать третий столбец элементов. Причина в том. что при этом сумма из определения на первом шаге будет содержать только одно слагаемое. В самом деле
==
=. Из этих примеров вытекает начальный простой алгоритм вычисления определителя:
1-й шаг - просмотри ряды определителя и выбери тот, в котором много нулей;
2-й шаг - используя определение, запиши сумму для вычисления (раскрой определитель по элементам выбранного ряда); получишь n определителей порядка n-1 в каждом слагаемом;
3-й шаг - для каждого из полученных определителей выполни п.п. 1 , 2, 3.
Для дальнейшего упрощения вычислений рассмотрим несколько свойств определителя.
С1. При замене строк определителя соответствующими столбцами (транспонировании) определитель не меняется.
Для доказательства достаточно представить факт транспонирования и затем раскрыть определитель по выбранному ранее ряду.
С2. Все свойства определителя, справедливые для строк, справедливы и для столбцов.
С3. При перестановке двух параллельных рядов местами определитель сменит знак.
Для доказательства, не нарушая общности, проделаем указанное с определителем 2-го порядка. Легко видеть это свойство справедливо. Для произвольного определителя достаточно подсчитать количество смен знаков при перестановке соседних рядов.
С4. Определитель с нулевым рядом равен нулю.
Для доказательства достаточно раскрыть определитель по нулевому ряду , используя определение.
С5. Определитель, у которого два параллельных ряда равны, равен нулю.
Для доказательства переставим местами равные ряды. Тогда по С3 определитель сменит знак. Но он при этом не изменится. Такое возможно только если он равен нулю.
С6. В определителе, у которого элементы ряда имеют общий множитель, этот множитель можно вынести за знак определителя.
Если раскрыть определитель по указанному ряду, то этот множитель можно будет вынести за знак суммы. Затем оставшуюся сумму легко развернуть в определитель , в котором общий множитель будет вынесен за знак определителя.
Пример 1.2.
=2==-4*=-8*11=-88.
Отметим, что после первого знака равенства был вынесен множитель только из 1-й строки. Из второго столбца вынести ничего при этом нельзя, т.к. а12 уже стал равным 1. Далее по определению был раскрыт определитель по 1-й строке. После чего в полученном определителе 2-го порядка можно вынести множитель 2 из 2-го столбца. При этом знак слагаемого установлен устно во всех случаях.
С7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю.
Достаточно из одного из пропорциональных рядов вынести общий множитель и в оставшемся определителе окажется два равных ряда. Далее смотри С5.
С8. Если все элементы некоторого ряда представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей, у которых вместо ряда-суммы будут стоять ряды слагаемых из сумм. Остальные ряды будут одинаковы.
Для доказательства достаточно раскрыть определитель по ряду, состоящему из суммы дыух слагаемых. Затем полученную по определению сумму представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых есть соответствующий определитель.
С9. Если к некоторому ряду поэлементно прибавить параллельный ряд, умноженный на некоторое число, то определитель не изменится.
Доказательство следует из С8 и С7.
С10. Сумма произведений элементов ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
При составлении алгебраических дополнений элементов параллельного ряда сами элементы в работе не участвуют. Значит вместо них можно взять что угодно, даже и нули(или элементы ряда, по которому производят раскрытие определителя). В любом случае (по С4 или С5) определитель станет равным нулю.
С11. Можно рекомендовать вычислять определитель 2-го порядка по правилу - произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Указанные свойства удобно использовать при вычислении, анализируя состав элементов. Более практичным является прием “изготовления” нулей, используя указанные свойства. В последнем случае придерживаются алгоритма:
- проанализируйте элементы на наличие числа (1 или -1 или другого небольшого числа);
- пусть имеется 1 в строке k и столбце s;
- составляем новый определитель, у которого строка k взята из исходного определителя;
- последовательно умножаем все элементы строки k на некоторые множители и поэлементно складываем с параллельными строками так, чтобы в столбце s во всех строках (кроме строки k) образовались нули;
- раскрываем определитель по элементам столбца s (т.к. в нем только один элемент aks отличен от нуля).
Внимание! Строка k в процессе работы не изменяется, как всякий инструмент, на острие которого расположен рабочий элемент aks.
Пример 1.3. Вычислите определитель
Поясним выполненное. Первая строка умножена на -1 и сложена поэлементно с остальными. Теперь раскрываем определитель по 1-му столбцу. После чего из 2-го строки можно вынести множитель (y-x) , из 3-ей строки (z-x) и из 4-й вынести (t-x). Получаем в результате
(y-x) (z-x)(t-x) Если теперь 2-ю строку умножить на -1 и сложить поэлементно с остальными то получим
= (y-x)(z-x)(t-x) Если теперь раскрыть определитель по 2-му столбцу, а затем вынести из 2-й строки множитель (z-y) и из 3-й строки множитель (t-y) , то получим
(y-x) (z-x)(t-x)(z-y)(t-y) =(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z). Другими приемами вычисление результата в таком простом виде практически нереализуемо. А применяется этот определитель Ван-дер-Монда очень широко.
Отметим, что для вычисления определителей 3-го порядка исполь-зуют частное правило “треугольников”, неприменимое в общем случае.
Определение. Квадратную матрицу, определитель которой не равен нулю, называют невырожденной.
1.3.Системы линейных алгебраических уравнений
Определение системой линейных алгебраических уравнений называют или в развернутом виде (1)
В дальнейшем будем использовать более короткий термин “линейные системы”. Наиболее компактный вид линейной системы АХ=В, где А = - матрица коэффициентов при неизвестных, которые образуют матрицу-столбец Х==(х1 х2 ... xn)Т,а свободные члены образуют матрицу-столбец В==(b1 b2... bm)T.
Как видим, число уравнений в системе не обязательно равно числу неизвестных. При m=n известен из школьного курса математики метод исключения или метод алгебраического сложения для поиска решения этой системы - матрицы-столбца Х, подстановка которого в каждое уравнение обращает это уравнение в верное равенство (тождество). Однако при наличии большого числа уравнений эти методы становятся неприемлемыми с точки зрения объема вычислений. При этом всегда остается вопрос о наличии того, что мы ищем (есть ли вообще искомое решение), а также о количестве таких решений.
Сначала решим вопрос о поиске гарантировано существующего единственного решения.
1.4.Формулы Крамера
Теорема. Если матрица линейной системы невырождена, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам , где j - определитель, полученный из заменой столбца j матрицей-столбцом свободных членов; j=1,2,3,...,m.
Доказательство. Пусть матрица в системе (1) квадратная размерности mm. Умножим в системе первое уравнение на А11, 2-е - на А21 и т.д. последнее - на Аm1. Затем суммируем отдельно левые и правые части всех уравнений. Получим после группировки по общим множителям xj слева x1(a11A11+a21A21+...+am1Am1)+x2(a12A11+a22A21+...+am2Am1)+...
+ xь(a1ььA11+a2ьA21+...+amьAm1) , а справа b1A11+b2A21+...+bmAm1 . В первой скобке записан определитель , вычисленный по элементам 1-го столбца. Во 2-й скобке записан нуль по С10, т.к. там записана сумма произведений 2-го столбца на алгебраические дополнения 1-го столбца. Аналогично записана для остальных скобок слева. А справа записано выражение для этого же определителя, первый столбец которого заменен столбцом свободных членов системы. Таким образом получаем равенство x1=1. Откуда получаем . Теперь можно повторить весь процесс для алгебраических дополнений 2-го столбца. И получим требуемое утверждение теоремы.
Частный случай - однородная система линейных уравнений
всегда имеет решение Х=(0 0...0)Т, которое называют тривиальным.
Перейдем к другим возможным ситуациям.
1.5.Общий алгоритм решения системы линейных уравнений
Определение. Наибольший из порядков не равных нулю миноров матрицы А называют рангом матрицы и обозначают rankA.
Для поиска ранга используют разные методы. Мы используем метод окаймляющих миноров. Выполним реализацию этого метода на примере.
Пример 1.4. Определить ранг матрицы А=. Решение. Т.к. в матрице есть элементы (“определители” 1-го порядка), не равные нулю, то делаем вывод: . рассмотрим элемент а11=1 и записанный в левом верхнем углу матрицы. Если бы там был записан нуль, то всегда можно переставить местами параллельные ряды матрицы так, чтобы на этом месте был записан ненулевой элемент.
Теперь выпишем возможные окаймляющие миноры для элемента а11=1.Это будут миноры , , , , , . Фактически - эти миноры поставляют “забор”, который оградил данный элемент “пролетами” из частей рядов матрицы. Легко видеть, что уже первый из них не равен нулю. Т.е. . Значит предстоит его окаймлять, тем более, что он записан в левом верхнем углу. Получаем окаймляющие миноры для минора М2=. Это будут и . Легко подсчитать. что оба они равны нулю. Т.к. других миноров 3-го порядка, окаймляющих минор М2, нет, то делаем вывод: . При этом М2 назовем базисным минором матрицы А.
Определение. Матрицу А системы (1) называют основной матрицей системы.
Определение. Если к столбцам основной матрицы приписать справа матрицу-столбец свободных членов, то получится матрица, которую называют расширенная матрица системы.
Так А = основная , а
А1 = - расширенная матрицы для системы (1).
Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система (1) имела решение (была совместима), необходимо и достаточно, чтобы ранги основной и расширенной матриц были равны. (Без доказательства).
На базе этой теоремы построен алгоритм решения системы линейных уравнений (1) :
1-й шаг - выписываем основную А и расширенную А1 матрицы системы;
2-й шаг - определяем(находим) ранги и ;
3-й шаг - если = , то переходим к шагу 4, иначе делаем вывод, что система не имеет решения (несовместна);
4-й шаг - выписываем базисный минор;
5-й шаг - отбрасываем уравнения, коэффициенты при неизвестных в которых не вошли в базисный минор;
6-й шаг - неизвестные, чьи коэффициенты не вошли в базисный минор, объявляем свободными (считаем известными величинами) и переносим в столбец свободных членов;
7-й шаг - решаем оставшуюся систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определителем которой является базисный минор, не равный нулю; Метод решения выбираем по необходимости, т.к. система имеет единственное решение;
8-й шаг - записываем решение исходной системы (1).
Пример 1.5. Решите систему, расширенная матрица которой рассмотрена в примере 4, а основная имеет вид А= .
Решение. В данном случае пропущены шаги 1,2,3, т.к установлены ранги основной и расширенной матриц. И эти ранги равны. Поэтому на шаге 4 выписываем готовый базисный минор М2=. Теперь записываем систему, отбросив третье уравнение и положив свободное переменное х3=С: . Получаем решение этой системы
Х= . Его принято называть общим, т.к., полагая разные значения С, получим разные решения системы. Теперь запишем решение исходной системы с расширенной матрицей А1 из примера 4:
Х=. Ответ: система имеет бесчисленное количество решений, определяемых по формуле для Х.
1.6.Матричный метод решения линейной системы.
Определение. Матрицу А-1 называют обратной для матрицы А, если А-1 А=А А-1 =Е.
Из определения следует, что матрицы А и А-1 квадратные и для них
справедлив переместительный закон.
Теорема. Если А невырождена, то обратная матрица существует.
Доказательство. Ограничимся квадратной матрицей 2-го порядка. Пусть имеется некоторая матрица А= . Пусть detA0. Пусть имеется некоторая матрица В=- неизвестная нам. И пусть АВ=Е , где Е=. Тогда после умножения слева по равенству матриц получаем систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными элементами матрицы В : , которая фактически распадается на две автономные системы, каждая из которых имеет один и тот же определитель, равный определителю матрицы А и только по две переменные.: Каждую из этих систем можно решить, например, по формулам Крамера и получить ответ в виде: в числителях каждой дроби записано алгебраическое дополнение соответствующих элементов транспонированной матрицы АТ. Доказательство закончено. И из него вытекает алгоритм поиска А-1 :
1-й шаг - вычисли detA;
2-й шаг - если detA не равен нулю, перейдите к пункту 3, иначе обратной матрицы не существует;
3-й шаг - транспонируйте матрицу А;
4-й шаг - для всех элементов транспонированной матрицы выпишите алгебраические дополнения;
5-й шаг составьте обратную матрицу из отношений .
Используя обратную матрицу легко решить линейную систему, если она имеет единственное решение. В самом деле, пусть дана система АХ=В с невырожденной матрицей А (т.е. detA0). Сформируем матрицу А-1 по вышеприведенному алгоритму. Теперь умножим слева обе части уравнение АХ=В на матрицу А-1. Получим А-1АХ= А-1 В. Но А-1 А=Е, а ЕХ=Х и потому получаем Х= А-1В.
Пример 1.6. Решите систему
Ранг основной и расширенной матрицы этой системы равен 2 и потому система имеет решение. Базисный минор системы равен М2 и приведен в примере 5. Фактически нам предстоит решить систему .На этот раз мы решим ее, используя обратную матрицу для последней системы. Так как матрица последней системы невырождена (detA= М2), легко найти ее обратную матрицу А-1 =, а потому решение принимает вид Х= =. А для исходной системы Х=. Ответ: система имеет бесчисленное количество решений, определяемых по формуле для Х.
1.7.Понятие о приближенных методах решения линейных систем
Рассмотренные примеры решения линейных систем являются чисто учебными. На практике (при решении прикладных профессиональных или научных задач) приходится решать чистемы с сотнями , тысячами и даже сотнями тысяч уравнений. Естественно, что выполнить это можно только специальными численными методами. Понятие о некоторых из них и рассматривается в этом разделе. Сразу следует отметить, что эти методы обеспечивают поиск только единственно существующего решения системы. Вопросы обеспечения наличия или отсутствия решения решает тот, кто собирается решать такую систему.
Для линейных систем с несколькими сотнями уравнений используют метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных в разных вариациях). Для систем с несколькими тысячами уравнений, матрицы которых имеют специальный вид, используют итерационные методы решения(о которых будет сказано ниже). Для большего числа уравнений используют вероятностные методы Монте-Карло).
Пусть систему АХ+В удалось преобразовать к виду Х= А1Х+В1. Если матрица А1 такова, что:
- сумма модулей коэффициентов строки (для всех строк) не превосходит 1;
- сумма модулей коэффициентов столбца (для всех столбцов) не превосходит 1,
тогда можно организовать вычислительный процесс по схеме Х(k+1)= А1Х(k) +В1, где k - номер предыдущего приближения к решению системы. Этот процесс называют итерационным (повторяющимся) и продолжают до тех пор, пока , где - требуемая погрешность решения задачи. В качестве приближенного решения системы берут матрицу-столбец Х(k+1) .
Пример 1.7. Методом итераций решить систему
Решение. переставим в системе первое и второе уравнение. Затем из первого уравнения найдем х1; из второго - х2 и из третьего х3. В результате получим систему вида
Теперь организуем итерационный процесс по схеме
Проверяем выполнение условий сходимости процесса к точному решению системы. Видим ,что сумма модулей коэффициентов при неизвестных в 1-й строке равна 0,8 , что меньше 1. То же самое верно для
2-й и 3-й строк. Т.о. система обеспечивает сходимость приближений к точному решению.
В эту итерационную схему в качестве нулевого (k=0) приближения в правую часть подставим столбец свободных членов (так чаще всего и делают, хотя можно было брать любой набор для неизвестных)
Х(о) = (1 0,2 0,05) Т .Тогда после вычислений справа получим слева первое (k=1) приближение Х(1) = (1,01 0,105 -0,1) Т. Повторим вычисления и получим последовательно Х(2) = (1,081 0,089 -0,053) Т ;
Х(3) = (1,050 0,087 -0,048) Т ; Х(4) = (1,046 0,090 -0,046) Т;
Х(5) = (1,046 0,090 -0,047) Т; Х(6) = (1,046 0,090 -0,048) Т. Мы видим, Что между 6-м и 5-м приближениями расхождение не превосходит 0,001. Поэтому в качестве решения системы может быть принято шестое приближение Х= Х(6) = (1,046 0,090 -0,048) Т .Это значит : х1=1,046; х2=0,090; х3=-0,046.
1.8.Линейное, евклидово и нормированное пространства.
Определение. Множество М элементов x,y,z…любой природы называют линейным (аффинным, векторным) пространством, если выполнены требования:
1-е. Имеется правило, по которому любым двум элементам х и у из М ставится в соответствие третий элемент z из М, называемый суммой и обозначаемый x+y=z.
2-е. Имеется правило по которому любому элементу х из М и действительному числу к ставится в соответствие элемент у из М, называемый произведением числа на элемент и обозначаемый кx=y.
3-е. Указанные правила подчиняются законам (аксиомам):
1* - x+y=y+x: 2* - (x+y)+z=x+(y+z); 3* - существует элемент, называемый нуль элементом и обозначаемый 0, такой, что x+0=x; 4* - для каждого х существует элемент , называемый противоположный и обозначаемый -х, такой что х+(-х)=0; 5* 1х=х; 6* - с(кх)=(ск)х – сочетательный закон для умножения; 7* - (к+с)х=кх+сх – распределительный закон умножения относительно сложения; 8* - к(х+у)=кх+ку - распределительный закон сложения относительно умножения.
Если же природа элементов указана так же как и конкретный вид операций, то множество называют конкретным линейным пространством.
Примеры. Множество всех векторов на прямой (на плоскости, в пространстве) , если сложение определено по правилу треугольника (параллелограмма), а умножение на число как деформация, будет линейным векторным пространством с обозначением V1(V2, V3).
Множество полиномов степени не выше 2 , если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, линейное векторное пространство.
Множество функций, непрерывных на отрезке, множество решений однородной системы и т.д.
В то же время полиномов степени 2 , если правила суммирования и умножения на число определены как обычно, не будет линейным векторным пространством, т.к. возможно потеря старшей степени при суммировании таких полиномов (после приведения подобных).
Элементы линейных пространств принято называть векторами. А т.к. умножение производят на действительное число, то еще и действительными.
Опред. Выражение принято называть линейной комбинацией элементов (векторов) ЛП.
Опред. Элементы (векторы) {xi} называют линейно независимыми , если их обращается в нуль тогда и только тогда, когда все ai =0.
Опред. Множество {xi} ненулевых линейно независимых векторов (элементов) называют базисом ЛП, если для любого х не из этого множества существуют такие { ai } не все равные нулю, что будет справедливо равенство х=. Последнее равенство называют разложением элемента х в базисе(по базису).
Опред. ЛП называют n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых вектора, а n+1 вектор уже будут линейно зависимыми. N называют размерность ЛП и записывают это так dimM=n.
Т.к. иных операций в ЛП не введено, то
Опред. Два ЛП называют изоморфными, если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие ткк, что, если х и у принадлежат ЛП M и им соответствуют x’ , y’ из ЛП M’, то х+у соответствует x’+y’, а кх соответствует кx’ из М’.
Из последнего следует, что единственной характеристикой ЛП является его размерность. Пишут так Mn.
Опред. Подмножество L из ЛП М, в котором справедливы указанные в определении ЛП операции называют линейным подпространством из Mn.
Определение. Действительное ЛП называют евклидовым, если выполнены требования :
Примерами евклидова пространства будут уже упоминаемые ранее V1,V2, V3.
Примером ЕП будет множество упорядоченных совокупностей Аn, если операцию скалярное произведение определить по формуле (х,у)= .
Свойства. Для любых х и у из ЕП справедливо равенство (Коши-Буняковсого) (х,у)2 (х,х)(у,у).
Доказательство. Согласно аксиомы d имеем (кх-у,кх-у)=к2(х,х)-2к(х,у)+(у,у) 0. Для того , чтобы квадратный трехчлен был неотрицателен при любых значениях переменной к требуется , чтобы дискриминант был неположителен . Получаем (х,у)2-(х,х)(у,у) 0. Откуда и следует требуемое.
Опред. ЛП называют нормированным, если выполнены требования :
ЕП будет нормированным, если норму определить так =(корень квадратный из скалярного квадрата).
Опред. n – элементов ei0 образуют ортонормированный базис в ЛП, если:
а – (ei , ei)= . Получение =1 называют нормированием.
Свойство. Если ЛП ортонормированно с базисом { ei }, то (х,у)= .
Док-во. Пусть х и у произвольные из ЕП и { ei } произвольный ортонормированный в нем. Тогда х= и у=. Но тогда (х,у)= (,)=, ввиду ортогональности ei.
Теперь легко выяснить смысл понятия ‘координата’ в ортонормированном базисе. Возьмем произвольный х= и произвольный ei из базиса. Вычислим (х, ei) =(, ei)=xi . Т.е. координата – это произведение вектора х на базисный орт.
в
1.9.Линейные операторы и матрицы
Опред. Оператор А называют линейным оператором, если он подчиняется требованиям: а – аддитивности А(х1+х2)=А(х1)+А(х2) и б – однородности А(кх)=кА(х), где х1, х2 из ЛП и к – действительное.
Примером может служить производная. Вторым примером может служить матрица. В самом деле, пусть дан оператор А и вектор х из ЛП. Пусть в ЛП задан базис { ei }. Тогда воздействуем оператором А на элемент х. Получим новый вектор (элемент ) у=. Т.к. А по условию линеен, тоон установит линейную же связь между координатами векторов х и у. Т.е. получаем соотношения
. Или фактически у= х. Это значит оператор А и матрица А – одно и то же. Такую матрицу называют матрицей отображения ЛП в себя.
Пример 1.8. Оператор зеркального отражения в оси.
Определим его так: любая Р на плоскости соответствует Р’ в той же плоскости так, что расстояние Р от прямой l равно расстоянию P’ от той же прямой; обе точки лежат на одном перпендикуляре к этой прямой, но по разные стороны от него.
Рис 1.1. Зеркальное отражение в оси.
Руководствуемся Рис 1.1. Пусть имеем базис е1 и е2 . Тогда легко получить соотношение между координатами точек (элементов пространства) Р(х1,х2) и P’(у1,у2) :
Отсюда следует , что дает у=х. Матрицей (оператором) отражения в оси будет матрица А=. Ее характерный признак – она симметрическая.
Пример 1.9. Оператор поворота плоскости на угол ф.
Определим его так: любая Р плоскости переходит в Р’ в той же плоскости путем поворота вектора ОР на угол ф до совпадения векторов ОР и ОР’. Руководствуемся Рис 1.2. Пусть имеем базис е1 и е2 . Тогда легко получить соотношение между координатами точек (элементов пространства) Р(х1,х2) и P’(у1,у2) , исходя из таких действий. Пусть ОР= ; х = = =
Рис 1.2. Поворот плоскости на угол ф.
Тогда OP’=y=== И т.к. =, то получаем окончательную связь между координатами векторов
. Т.е. оператором поворота будет матрица поворота вида - симметрическая, невырожденная с определителем, равным 1.
1.10.Задача о собственных значениях
Ограничимся в рассуждениях ЛП размерности 3, евклидовым, с ортонормированным базисом (е1 е2 е3). Договоримся вектором (элементом ЛП) называть матрицу-столбец = ( х1 х2 х3)T. Как уже известно, умножение квадратной матрицы А на вектор дает матрицу-столбец – новый вектор из того же ЛП.
Определение. Ненулевой называют собственным вектором оператора А (матрицы А), если выполняется равенство А=к, где к – некоторое действительное, которое называют собственным значением оператора А (матрицы А).
Равенство А=к эквивалентно равенству (А-кЕ) =0, которое после выполнения действий слева фактически будет иметь вид однородной системы линейных уравнений. Однородная система имеет ненулевые (нетривиальные) решения , только если ее определитель равен нулю. (См раздел 1.5). Получаем det(A-kE)=0 или для размерности 3
=0. (1.10.1)
Последнее уравнение с неизвестным к называют характеристическим уравнением (в`ековым). Решив уравнение (1.10.1) мы получим собственные значения оператора А (матрицы А). Теперь поступаем так. Берем первое собственное значение и подставляем его в систему (А-кЕ) =0 с неизвестными координатами вектора . Определителем этой системы будет определитель из леовй части уравнения (1.10.1) при заданном к. Решаем эту систему по известному алгоритмы из раздела 1.5. Получаем координаты первого собственного вектора. Далее процесс повторяется для оставшихся собственных значений.
Пример 1.10. Найдите собственные значения и собственные векторы оператора (матрицы) А=. Решение. Уравнение (1.10.1) имеет вид =0. Или к3-6к2+11к-6=0. Его решения (корни): к1=1; к2=2; к3=3. Берем к1=1 и составляем систему с неизвестными координатами первого собственного вектора 1. Получаем систему . По алгоритму раздела 1.5 ранг матрицы этой системы не меньше 1 (т.к. есть элементы , не равные нулю) и не больше 3 (т.к. определитель системы это левая часть характеристического уравнения). И потому rancA=2. Легко видеть , что базисным минором может служить минор =8, не равный нулю. Отбрасываем третье уравнение. Положим неизвестное х3=2 (или любому другому не равному нулю числу) и после решения системы получаем первый собственный вектор 1=( 1 1 2)T. Аналогичным образом находим остальные собственные векторы : 2=( 1 0 1)T для собственного значения к=2 и 3=( 1 2 2)T для собственного значения к=3.
Комментарии. Как видим, сама задача распадается на три отдельные крупные математические задачи. Первая – составление характеристического уравнения. Записать определитель достаточно просто, но вычислять его при большой размерности очень трудно. Вторая – поиск решений (корней) уже полученного уравнения – одна из труднейших задач математики. В данном случае использована теорема о том, что корнями полинома с целыми коэффициентами могут быть делители свободного члена. И третья задача – поиск ненулевого решения решения однородной линейной системы.
Однако решать задачу нужно, т.к. она является базовой в приложениях при исследовании устойчивости линейных систем (не обязательно математических, но и систем передачи переменных напряжений от источника к потребителю).
Опред. Матрицу называют симметрической, если aij=aji. Для всех i,j.
Теорема. Собственные значения симметрической матрицы – действительные числа, собственные векторы – ортогональны.
Док. Ограничимся матрицей размерности 2. Имеем А=. Характеристическое уравнение имеет вид к2-(а11+а22)+(а11а22-а122)=0. Его дискриминант равен (а11+а22)2-4(а11а22-а122)= (а11-а22)2+4а1220. А это значит – корни квадратного уравнения действительные числа.
Рассмотрим случай разных корней . Тогда по Виету имеем к1+к2= а11+а22, и к1к2= а11а22-а122 .С другой стороны для к1 найдем собственный вектор 1 из системы Как известно, в этой системе одно из уравнений лишнее, т.к. rancA=1. И потому мы отбросим , например, второе уравнение в системе и возьмем х2=а11-к1 . Тогда получим собственный вектор 1=(-а12 а11-к1)T . Из аналогичных рассуждений найдем 2=(-а12 а11-к2)T . Теперь вычислим их скалярное произведение 12=а122+(а11-к1)(а11-к2)= а122+а112- а11(а11+ а22)+ а11а22-а122 =0.
Если же корни равны, то это происходит только тогда, когда одновременно а12=0 и а11- а22=0. Но это может быть только если к1= к2 = а11. Но тогда в качестве 1 можно взять 1=(1 0)T ,а в качестве 2 можно взять 2=(0 1)T . И все равно они будут ортогональны.
Пусть в ЛП размерности 2 задан =( х1 х2)T в нормированном евклидовом ортогональном базисе i,j.
Опред. Выражение ф(х1,х2)= а11х12+2а12 х1 х2 +а22х22=0 где aij - действительные числа, называют квадратичной формой двух переменных х1,х2. Ее можно записать иначе ф(х1,х2)= (а11х1+а12х2) х2+(а12 х1+а22х2)х2. Затем, используя умножение матрицы на вектор получить ф(х1,х2)= =((), )=(Ах,х), причем матрица А – симметрическая и , как известно, ее ее собственные векторы ортогональны. Пусть это будут векторы 1 и 2 . Тогда их можно нормировать и принять в качестве базисных в ортонормированном евклидовом ЛП. Построим единичные векторы в новом базисе (базисе собственных векторов матрицы А). Получаем и - новые единичные . И в этом новом базисе вектор =( х’1 х’2)T. Но в этом случае и квадратичная форма примет новый вид ф(х1,х2)= (А(х’1+ х’2), х’1+ х’2). Но т.к. и - собственные для А, то получаем ф(х1,х2)=( (х’1 к1+ х’2 к2), х’1+ х’2)= к1(х’1)2+ к2(х’2)2 . Получен новый вид квадратичной формы, в котором отсутствует произведение текущих координат. Такой вид носит название – канонического вида квадратичной формы.
Т.о. в декартовом базисе собственных нормированных векторов матрицы квадратичной формы сама форма принимает канонический вид.
Остается важная задача: установить связь между координатами вектора =( х1 х2)T начального базиса i,j и координатами того же вектора
=( х’1 х’2)T в новом базисе нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.
Мы имеем = х1i+х2j = х’1I+х’2J . Но I и J тоже векторы, правда единичной длины. И потому I=iCos +jCos(90-), J= iCos +jCos(90+). Или после подстановки полученного вместо координат х’1,х’2 получим связь между старыми и новыми координатами = ( х’1 х’2)T, которая соответствует матрице поворота плоскости на некоторый угол.
В этом разделе рассматриваются основные действия с векторами, изучаемыми в курсе математики технического ВУЗа и применяемыми в специальных дисциплинах.
2.1.Линейные операции над векторами
(Обзор и дополнения)
Определение. Вектором в математике принято называть направленный отрезок.
Обозначают вектор либо , либо , если использовать его начало А и конец В (порядок букв в записи не нарушать).
Вектор характеризуют направлением и длиной (модулем). Последний обозначают или просто АВ.
В приложениях векторной алгебры используют три вида векторов: сободные (только они изучаются в данном разделе), которые остаются неизменными при параллельном переносе; скользящие (физика), которые можно перемещать только вдоль их линии приложения и связанные (теоретическая механика), которые рассматривают только для точки их приложения.
Для свободных справедливо =, если точки А и С совпадают как и точки В и D. Фактически, это – определение равных векторов.(действие, операция равенства).
Договоримся (определим) называть суммой двух векторов вектор, соединяющий начало одного слагаемого с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого(правило треугольника).
Можно определить сумму векторов по правилу параллелограмма. Первое определение оказывается более удобным при суммировании большого числа векторов. Оно же удобно при построении векторных диаграмм при расчете электрических цепей переменного тока.
Противоположными будем называть векторы, совпадающие своими концами , но направленные в разные стороны.
Если векторы расположены параллельно одной прямой, то их называют коллинеарными.
Произведением вектора на константу с называют вектор, модуль которого равен с и который коллинеарен вектору . При этом при положительном с направления и с совпадают, при отрицательном – направления противоположны.
Определение. Линейной комбинацией векторов называют выражение =+++…+. - некоторые действительные константы. Это - обобщение линейных операций.
Определение. Векторы называют линейно-независимыми, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
В противном случае векторы называют линейно-зависимыми. В этом случае один из них можно представить линейной комбинацией остальных, т.к. уравнение +++…+=0 оказывается разрешимым относительно вектора, перед которым записан ненулевой коэффициент.
Определение. Множество линейно-независимых ненулевых векторов называют векторным базисом.
В этом случае имеется возможность любой вектор, который не входит в базис представить линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициенты такой линейной комбинации называют координатами вектора в данном базисе. Для пространства и плоскости такое действие в физике называют разложением вектора по направлениям составляющих векторов. В математике – разложением по базису (в базисе) Рис 2.1.
Рис 2.1. Разложение вектора в базисе и.
Если анализировать разложение на Рис 2.1, то видно, что =, а = из условия коллинеарности. И тогда по правилу параллелограмма при суммировании получаем =+=+ - о чем и было сказано выше.
Наиболее простым и широко распространенным является декартов базис – три взаимно перпендикулярных вектора ,, , такие что ===1. Если с этими векторами связать соответственно координатные оси Ох,Оу,Oz и расположить их общее начало в точке О, то и будет получен декартов базис. Это очень удобно, т.к. термин “координаты векторa” в таком базисе совпадает с термином “координаты точки”. Следует быть осторожным в использовании этих терминов, т.к. оба они полностью совпадают только для радиуса-вектора , начало которого всегда в точке О. В новых терминах запишем обозначение вектора в декартовом базисе =ax+ay+az. Или в компактном виде
( ax;ay;az)
Используя разложение вектора в декартовом базисе (далее будем говорить – координатную форму вектора или просто координаты вектора), найдем модуль вектора как диагональ прямоугольного параллелепипеда =. А, используя действие умножения вектора на действительное число, получим единичный вектор направления вектора . Его обозначим . И он равен = (ax+ay+az)=Cos+Cos +Cos . Координаты единичного вектора называют направляющими косинусами. Направляющие косинусы обладают важным свойством
Cos2+Cos2 +Cos2=1, т.к. сумма слева есть длина единичного вектора. Это свойство обобщает известное основное тригонометрическое тождество.
Отметим попутно важное практическое правило – линейные операции, выполняемые над векторами, эквивалентны тем же операциям, выполненным над соответствующими координатами векторов.
Это правило удобно применять, если возникает вопрос о том, будет ли данный набор векторов образовывать базис, а также при разложении вектора, заданного в декартовом базисе по произвольному базису из векторов, заданных своими декартовыми координатами.
Термином (билинейные операции над векторами) иногда называют операции скалярного и векторного произведений двух векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называют величину Cosф , где ф – угол между векторами. Обозначения или ( ,).
По этому определению двум векторам ставится в соответствие скаляр, который можно истолковать как работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути.
Из определения вытекают простейшие свойства такого произведения.
для ненулевых векторов, если векторы ортогональны (перпендикулярны).
Можно получить формулу для вычисления скалярного произведения,
если векторы заданы в координатной форме (своими координатами). Пусть =ax+ay+az и =bx+by+bz. Тогда = ax bx +ay by +az bz. Т.к. при перемножении по свойству 3 с учетом определения остальные слагаемые будут равны нулю.
Из последнего соотношения следует, что =2 .Читается – скалярный квадрат равен квадрату модуля.
Из определения и полученных соотношений вытекают другие формулы. Например, для проекции одного вектора на другой получаем =. Условие перпендикулярности векторов axbx+ayby+azbz=0.
2.3.Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением двух векторов и называют вектор , который:
-имеет модуль, равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла меду ними - = sinф;
-ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов и (т.е. плоскости с векторами и );
-вместе с векторами и в порядке , , образует правую тройку векторов. Обозначают векторное произведение или [ , ].
Комментарий. Классическое понятие правой тройки векторов , , в указанном порядке: если наблюдать с конца любого вектора поворот от следующего за ним к предыдущему в направлении против часовой стрелки, то тройка векторов правая. В противном случае – левая.
Примером правой тройки будет набор декартовых базисных векторов ,, . А в бытовом понятии правую тройку связывают с правым буравчиком (правой резьбой), когда при вращении по часовой стрелке буравчик (винт, гайка) продвигается вглубь от вращающего.
Т.к. sinф, то геометрически определение говорит о том, что площадь параллелограмма, построенного на множителях и равна модулю вектора .
К определению
В качестве механической интерпретации векторного произведения может быть взят момент силы (постоянной по величине и направлению), приложенной к точке А относительно точки О. Вектор направлен так, что образует правую тройку с перемножаемыми векторами и численно равен величине Sinф.
Механическая интерпретация .
Справедливы следующие свойства векторного произведения.
С1.Для коллинеарных векторов и справедливо =0.
С2. =.
С3. =l().
Координатная форма вычисления . Пусть =ax+ay+az и =bx+by+bz. Тогда =(ax+ay+az)х(bx+by+bz). Далее используем взаимное расположение векторов ,, и свойство 3 получим по определению
axbxх+aybxх+azbxх+aхbух+aуbyх+azbух+ +axbzх+ay bz х+az bzх= (aхbу-aybx)+( azbx- axbz)+
+( ay bz - azbу) =. Полученная символическая формула не противоречит ни свойствам определителя о смене знака при смене местами параллельных рядов, ни свойству векторного произведения о смене знака при смене порядка множителей. Из нее получается простое правило проверки коллинеарности векторов – равенство отношений (или пропорциональность координат).
2.4.Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведения трех векторов :
(( ,), ) – уже известное нам произведение скаляра на вектор – и потому ничего нового;
[[ ,],] - двойное векторное произведение, которое имеет узкое приложение в механике;
([ ,],) – векторно-скалярное (смешанное) произведение, которое имеет широкое применение в математике и приложениях.
Анализируя известное произведение [ ,] по Рис.2.2, можно получить геометрическую интерпретацию для смешанного произведения
([ ,],). Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях и равной =. Если теперь перемножить скалярно векторы и , то получим отрезок ОВ, равный высоте параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях ,, как на ребрах. Т.о., модуль ([ ,],) численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах множителях.
К определению ([ ,],)
Используя координатную форму векторного произведения, получаем координатную форму смешанного произведения
([ ,],)= ( сx+сy+сz)=(( aхbу - aybx )+( azbx- axbz)+( ay bz - azbу) ) ) ( сx+сy+сz)=( aхbу - aybx ) сx +( azbx- axbz) сy +( ay bz - azbу) сz = =. Если в последнем определителе переставим местами 1-ю и 3-ю строки, то определитель не изменится и мы получим более удобную запись координат перемножаемых векторов в порядке их следования в произведении.
Из последней формулы для вычисления смешанного произведения следует возможность проверки компланарности (параллельности одной плоскости) трех векторов – если ([ ,],)=0, то векторы-множители компланарны. И следствием последнего равенства будет условие линейной зависимости трех векторов в пространстве .
2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
Деление отрезка в данном отношении k.
Определение. Пусть дан отрезок АВ и точка М на нем или его продолжении. Говорят, сто М делит АВ в отношении к, если k=АМ/MB. При этом знак + берут, если векторы и сонаправлены и знак --, если противоположно направлены.
Решение задачи. Из определения следует соотношение =к. Но точно таким же соотношением связаны соответствующие координаты указанных векторов. Получаем из которой следуют формулы для вычисления координат делящей точки хМ = и т.д.
Получение единичного вектора данного направления . Дан вектор (ах, ау, az) – своими координатами. Найти вектор единичной длины и того же направления.
Решение. Интересующий нас вектор равен
= (ax+ay+az)=Cos+Cos +Cos.
Угол между векторами Cos ф=.
Проверка параллельности и перпендикулярности векторов.
Вычисление площадей многоугольников, разбиением их на треугольники и используя равенство из геометрической интерпретации векторного произведения. Имеем =0,5 .
Расстояние от точки Мо(хо;уо) до прямой с вектором .
d=.Используя рисунок, видно, что числитель – это площадь,
а знаменатель – это основание параллелограмма со сторонами и .
3.Аналитическая геометрия.
Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами , истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.
Опред. Множество (совокупность, семейство) точек плоскости с введенной системой декартовых координат, координаты каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0, называют линия на плоскости, а само уравнение – уравнением этой линии.
Комментарий. Даже в случае отсутствия фактической линии в аналитической геометрии уравнение принято называть уравнением линии. Например, уравнение х2+у2+9=0 только внешне похоже на уравнение окружности, а фактически таковой не представляет. И тогда его называют уравнением мнимой окружности.
Следуя определению, можно рассматривать два типа задач:
1-й тип – дано уравнение и требуется изобразить линию;
2-й тип – дано описание линии и требуется по этому описанию составить(вывести, получить) уравнение линии.
Первый тип частично решен еще в школьном курсе и частично будет решаться в разделах 3 и 4. Второй тип решается всегда по одной и той же схеме:
1-й шаг – берем произвольную точку М(х;у) и предполагаем, что она принадлежит искомой линии;
2-й шаг – математическими средствами связываем координаты точки М и характеристики линии из ее описания и получаем уравнение линии.
В некоторых случаях вместо указанных двух этапов используют готовые шаблоны уравнений. Делают это если такие шаблоны есть в наличии (см. 6.2,6.4).
Пример 6.1. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от концов отрезка АВ, где А(-1;0), В(3;0).
Решение. Из геометрии известно, что искомая линия – серединный перпендикуляр. Получим его уравнение. Возьмем М(х;у). Пусть М принадлежит искомой линии. Тогда справедливо равенство АМ=ВМ. Фактически мы уже записали уравнение линии. Остается его преобразовать к виду F(x,y)=0. Известно, что АМ=. Аналогично ВМ=. Получаем =. Полученное гораздо ближе к требуемому. Остаетс преобразовать его и получить окончательно х=1.
Опред. Множество точек пространства с введенной системой координат, координаты каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z)=0 , называют поверхностью. А уравнение – уравнением поверхности в пространстве.
Для этого определения справедливы те же задачи, что и выше как и схема их решений.
Опред. Систему принято называть уравнениями линии в пространстве.
Как видим, для линии следует говорить ‘уравнения линии’.
Опред. Алгебраическими линиями(поверхностями) называют линии (в пространстве или на плоскости), уравнения которых представлены полиномами от переменных.
Опред. Порядок линии (поверхности) – это суммарная наивысшая степень переменных в каждом слагаемом полинома.
3.2.Уравнение 1-й степени на плоскости
Пусть в декартовой системе координат на плоскости задано уравнение
Ax+By+C=0. (6.1)
Выясним соответствующий ему геометрический образ.
3. Если A 0, B =0, то из (6.1) получаем у= уо . Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Оу.
Т.о. уравнение прямой для любых коэффициентов А и В. Само (6.1) называют – общее уравнение прямой на плоскости.
Для других нужд в аналитической геометрии используют уравнения прямой, записанное в других видах – шаблоны. Каждый из таких шаблонов является решением задачи тип 2 и существенно упрощает решения более крупных задач. Следует иметь представления об этих шаблонах и знать возможные переходы между ними(преобразование одного шаблона в другой).
Уравнение прямой, проходящей через данную точку Мо(хо;уо ) перпендикулярно данному вектору (А;В). Его легко получить решая задачу типа 2 : вектор Ммо ортогонален вектору N. А потому имеем в координатной форме условие ортогональности А(х-хо)+В(у-уо)=0. Переход от этого уравнения к (6.1) прост – раскрыть скобки и привести подобные. И тгда становится ясно, что числа А и В в (6.1) – координаты нормального вектора к прямой. А сисло С – характеризует точку, через которую проходит прямая.
Уравнение прямой , проходящей через две заданные точки Мо(хо;уо ) и
М1(х1;у1 ). Легко получается при решении задачи тива 2, в которой использовано условие коллинеарности векторов М Мо и Мо М1 . Получаем , где m,n – координаты вектора .
Каноническое уравнение прямой – прямой, которая проходит через данную точку Мо(хо;уо) параллельно вектору (m;n).
Нормальное уравнение прямой . xCos+ySin-p=0.
Каждый из этих шаблонов используют при решении разных задач. Например, требуется вычислить расстояние от точки Мо(хо;уо ) до прямой Ax+By+C=0. Для решения используем Рис 6.1. Пусть - нормаль, а - единичная нормаль к прямой Ах+Ву+С=0. Тогда расстояние d от Мо до прямой можно найти так :
Мо М1 =d====
Рис 6.1. К расстоянию от точки до прямой
3.3.Уравнения первой степени в пространстве
Опред. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка) называют уравнение вида
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+a41x+a42y+a43z+ a44=0 (6.3)
Мы познакомимся только с уравнением (6.3), в котором отсутствуют произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.
Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.
Реализуем метод при построении поверхности ++=1.Рассечем поверхность плоскостями z=h. Тогда в сечении получим
+=1- , Из этой системы видно, что h не может превышать
z=h. с. Что означает – поверхность расположена между двумя
плоскостями – выше h=-c и ниже h=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскости z=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.
Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.
3.4.Уравнения первой степени в пространстве
Всякую плоскость в пространстве геометрически однозначно задать:
-точкой Мо(хо;уо ,zо;) на плоскости и вектором (А;В;С) нормальным к ней;
-точкой Мо(хо;уо ,zо;) и расстоянием d от начала координат до плоскости;
-тремя точками на плоскости;
-двумя точками на плоскости и вектором, параллельным ей и т.д.
Во всех случаях – это задачи 2-го типа и решаются они по одной схеме. Пусть плоскость задана точкой Мо(хо;уо ,zо;) и вектором (А;В;С) нормальным к ней. Тогда возьмем на плоскости точку М(х;у;z). И тогда векторы М Мо и будут ортогональны и получим А(х- хо)+В(у- уо)+С(z- zо)=0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0. Из этого уравнения видно, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными – уравнение плоскости в пространстве. Можно рассматривать частные его случаи в зависимости от значений коэффициентов А,В,С,D.
Типовые задачи на плоскость в пространстве.
1.Разные виды уравнений и переходы от одного к другому виду.
2.Расстояние от точки до плоскости.
3.Угол между плоскостями (и взаимное расположение плоскостей).
4.Точка пересечения плоскостей.
5.Пучок плоскостей и др. более сложные задачи.
Комментарий. Следует запомнить жестко наиболее простую для аналитической геометрии ситуацию : для поиска уравнения плоскости следует указать точку, через которую полоскость проходит, и вектор, нормальный плоскости.
Прямую линию в пространстве в аналитической геометрии задают в виде
пересечения двух плоскостей или .
Можно того же результата добиться, задав прямую проходящей через две заданные точки Мо(хо;уо ,zо) и М1(х1;у1;z1). Тогда из условий параллельности(коллинеарности) векторов ММо и МоМ1 получим . Если же обозначить вектор МоМ1= (m;n;p), то получим канонические уравнения прямой в пространстве . В последних двух способах задания прямой в пространстве “потеряны” уравнения двух плоскостей. Комментарием к этому может служить такое указание – мы имеем равенство трех отношений. Так что , фактически, мы имеет даже три плоскости вместо двух (если сравнивать по два разных отношения, то всегда получится уравнение первого порядка в пространстве – уравнение плоскости). Особенностями этих плоскостей будет следующее – каждая из них является проектирующей данную прямую на некоторую координатную плоскость (в каждом уравнении плоскости только две переменные – значит плоскость перпендикулярна координатной плоскости).
Важно уметь делать переход от одного вида уравнения к другому и понимать смысл этих математических действий в геометрии.
Пример 6.2. Найти, если таковая имеется, точку пересечения трех плоскостей 2х+2у+z=19,
x+2y+4z=31, Решение.Сразу видно, что ранг основной и расширен-
4x+6y+9z=-2. ной матриц не болше 3 и не меньше 2. Для уточнения вычислим ==0. Т.о. rancA=2. Для расширенной матрицы имеем =0. Т.е. rancA’=3. Система противоречива – точки пересечения нет. Геометрически это говорит в данном случае о такой ситуации: параллельных плоскостей нет; следовательно плоскости попарно пересекаются и образуют подобие треугольной призмы.
При взаимном расположении прямой и плоскости следует учитывать, что: полскость характеризуется норамлью и точкой Мо(хо;уо ,zо) на плоскости, а прямая – направляющим вектором (m;n;p) и точкой М1(х1;у1;z1) на прямой .
Так, если плоскость параллельна прямой , то имеем всегда =0, а если плоскость перпендикулярна прямой,то всегда коллинеарен . Если требуется найти точку пересечения прямой и плоскости, то систему
Ах+Ву+Сz+D=0
можно (и даже лучше) решать так: последнее отношение приравнять параметру t; затем выразить через параметр переменные x,y,z (x=mt+ хо, e=nt+yо, z=pt+zо; затем найденное подставить в уравнение плоскости и найти значение параметра t для точки пересечения; после этого вычислить координаты точки пересечения через значение параметра.
3.5.Уравнения 2-й степени на плоскости
Опред. Уравнение 2-го порядка на плоскости называют уравнение вида
a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0 (6.2)
Первые три слагаемые образуют квадратичную форму и определяют тип кривой 2-го порядка. Начнем изучение этого уравнения в его каноническом виде.
Опред. Множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют эллисом.
Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F1 (0;-с) и F2(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое уравнение эллипса . В этом уравнении параметры эллипса а, в, с связаны соотношением а2-b2=c2 . Можно рассмотреть геометрический способ построения эллипса – в лист бумаги вколоть две шпильки, связать свободным кольцом нить, одеть кольцо на шпильки, оттянуть карандашом нить и в таком состоянии двигать крандаш вокруг шпилек – он опишет эллипс.
Точки пересечения эллипса с осями координат называют вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин называют полуосями эллипса. Полуость, на которой расположены фокусы – а – называется большой полуосью, b – малой.
Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет эллипса. Эксцентриситет (бывший центр) характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой полуоси и может принимать значения от 0 до 1. В первом случае эллипс превращается в окружность (a=b), а во втором – эллипс вырождается в отрезок F1F2. Эллипс – одна из классических кривых 2-го порядка.
Опред. Множество точек плоскости, рсазность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют гиперболой.
Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F1 (0;-с) и F2(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое уравнение эллипса . В этом уравнении параметры гиперболы а, в, с связаны соотношением а2+b2=c2 .
Точки пересечения гиперболы с осями координат называют вершинами гиперболы. Обнаруживается, что гипербола пересекает только ось Ох. Но в аналитической геометрии этот факт истолковывают так : гипербола пересекает ось Ох в действительных вершинах A1(-a;0) и A2(-a;0), а ось Оу в мнимых вершинах В1(0;-b) и B2(0;b). Соответственно, расстояния от начала координат до действительных вершин называют действительными полуосями гиперболы, а расстояния от начала координат до мнимых вершин называют мнимыми полуосями гиперболы. Фокусы расположены на действительной полуоси. Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет может принимать значения от 1 до бесконечности. Гипербола – одна из классических кривых 2-го порядка.
Отметим некоторые особенности построения гиперболы. Из канонического уравнения гиперболы видно, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Построим ее только в первой четвертию Для этого вычислим у из канонического уравнения y=. Если теперь увеличивать х неограниченно, то второй сомножитель со временем преврататся в 1 и изменение у будет полностью связано первым множителем. Иначе говоря, с увеличением х гипербола приближается, не пересекая, к прямой у=bx/a. Такую прямую в аналитической геометрии называют асимптотой.
Теперь можно приниматься за построение кривой в таком порядке:
1-й шаг – на плоскости с введенной декартовой системой координат изображаем фокусы и действительные вершины гиперболы (точки пересечения с действительной остью);
2-й шаг – строят “опорный прямоугольник” со сторонами x= , y=;
3-й шаг – проводят диагонали прямоугольника – асимптоты кривой;
4-й шаг – в первой четверти координатной плоскости , начиная от вершины проводят плавную кривую вне прямоугольника, которая приближается к асимптоте – диагонали и не пересекает ее;
5-й шаг – отражают полученную кривую в координатных осях и получают всю гиперболу.
Опред. Множество точек плоскости, каждая из котрых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы), называется параболой.
Если расположить фокус на оси Ох в точке F(p/2;0), а директрису взять в виде х=p/2 и решить задачу типа 2, то получим каноническое уравнение параболы y2=2px.
Отличие такого уравнения параболы от графика квадратного трехчлена чисто символическое – поменялись оси симметрии.
3.6.Уравнения 2-й степени в пространстве
Опред. Уравнением второго порядка в пространстве (уравнением поверхности 2-го порядка) называют уравнение вида
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+a41x+a42y+a43z+ a44=0 (6.3)
Мы познакомимся только с уравнением (6.3), в котором отсутствуют произведения текущих координат. В этом случае имеется возможность выделить полные квадраты по переменным и получить уравнение поверхности в каноническом виде. Последние и будем изучать более подробно.
Для исследования канонических уравнений поверхностей второго порядка используют метод сечений. В самом простом виде он выглядит так: проводят серии плоскостей, параллельных координатным плоскостям и по результатам (виду сечений) делают вывод о форме поверхности. Эта работа похожа на работу томографа при исследовании внутренних органов человека в медлабораториях или работу топографа при топографической съемке местности.
Реализуем метод при построении поверхности ++=1.Рассечем поверхность плоскостями z=h. Тогда в сечении получим
+=1- , Из этой системы видно, что h не может превышать
z=h. с. Что означает – поверхность расположена между двумя
плоскостями – выше h=-c и ниже h=c. Более того, в сечениях получаются эллипсы, самый большой из которых расположен в плоскости z=0. Чем дальше от плоскости хОу, тем меньше эллипс. И на высоте с эллипс вырождается в точку.
Если провести аналогичные серии плоскостей . параллельных другим координатным плоскостям, то получим похожие выводы. Следовательно, поверхность образована скольжением эллипсов по эллипса и называется трехосным эллипсоидом.
3.7.Цилиндры и поверхности вращения
Из поверхностей, отличных от 2-го порядка рассмотрим два частных случая.
Пусть задано уравнение F(x;y)=0 в пространстве. И требуется установить, как выглядит поверхность.
Комментарий. Т.к. сказано, что уравнение задано в пространстве, то отсутствие в уравнении некоторых переменных не противоречит определению поверхности в разделе 6.1.
Рассуждаем так. Добавим к этому уравнению уравнение z=0. Тогда
Эта система есть линия на плоскости хОу. На ней можно взять точку М(х;у). Если теперь эту точку перемещать вдоль Oz, не меняя х и у этой точки, то уравнение поверхности F(x;y)=0 будет тождественно выполняться, т.к. тождественно выполняется первое уравнение системы. Значит поверхность образована движением прямой, параллельной Oz и пересекающей данную линию на плоскости. Естественно эту поверхность назвать цилиндрической. У нее две характеристики, определяющие ее вид : кривая F(x;y)=0 при z=0 – направляющая цилиндра; и прямая, пересекающая эту кривую, перпендикулярная плоскости расположения кривой и называемая образующей цилиндра.
Вывод : всякое уравнение с двумя переменными в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной отсутствующей координате и направляющей – кривой в плоскости переменных, записанных в уравнении поверхности.
Пусть дана плоская линия для определенности в плоскости хОу уравнениями
На ней можно взять точку М(х;у). Если теперь эту точку вращать около оси Oх, то точка опишет окружность с центром на оси Ох и радиусом, равным у точки М. Уравнение этой окружности Z2+Y2=y2 . В уравнении большими буквами записаны фактически меняющиеся координаты точки на окружности, а малое у – это радиус. Такие же окружности описывают все точки кривой и образуется поверхность вращения. На каждой окружности этой поверхности х=Х. Если из уравнения окружности выразить у и подставить в уравнение кривой, то получим F(Х,)=0. Но последнее уравнение содержит три переменные и потому является уравнением поверхности вращения взятой в начале линии относительно Ох.
Вывод: если в некотором уравнении квадраты двух переменных имеют одинаковые коэффициенты, то это поверхность вращения. А механизм получения уравнения поверхности , образованной вращением некоторой линии относительно координатной оси, представлен выше.
3.8.Упрощение кривых 2-го порядка
Известно общее уравнение кривой 2-го порядка a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0
Известны виды возможных кривых, если кривые заданы каноническими уравнениями. Рассмотрим более общий случай уравнения a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0
Пусть a12=0. Тогда в общем уравнении отсутствует произведение текущих координат. Можно выделить полные квадраты по переменным. Тогда уравнение примет несколько модифицированный вид, но близкий к каноническому. Построить кривую будет возможно, если использовать известный принцип сдвига кривой вдоль осей координат.
Если же a12 не равен нулю, тогда механизм упрощения уравнения кривой несколько усложняется и может быть выполнен в такой последовательности.
1-й шаг – по виду старших слагаемых выписываем матрицу квадратичной формы переменных (см. раздел 1.12);
2-й шаг – составляем и решаем характеристическое уравнение для поиска собственных значений матрицы квадратичной формы; собственные значения всегда действительные числа и они укажут нам ти кривой второго порядка (см. раздел 1.11); при этом квадратичная форма принимает канонический вид – в ней не будет произведения текущих координат; следует заметить, что порядок собственных значений не влияет на тип кривой;
3-й шаг – для известных собственных значаний находим собственные векторы; нормируем их и получаем новый ортонормированный базис и матрицу поворота плоскости для перехода к новому базису(см. раздел 1.9);
4-й шаг – строим старый декартов базис и в нем новый декартов базис из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы;
5-й шаг – выписываем формулы преобразования координат для перехода к новому базису и преобразуем с их помощью линейные слагаемые в уравнении кривой;
6-й шаг – теперь в уравнении кривой отсутствует произведение текущих новых координат и остается выделить полные квадраты по переменным и построить кривую в новой системе координат.