Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическое занятие № 8
Тема: «Решение нелинейных уравнений»
Постановка задачи. Вычисление корней уравнения - одна из важнейших математических задач. Сравнительно редко удаётся найти точные значения корней. Поэтому важное значение приобретают способы приближённого нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.
Пусть дано уравнение с одним неизвестным вида
(1)
где - непрерывная функция переменной x. Требуется найти корень этого уравнения. Представить решение этого уравнения в виде конечной формулы оказывается невозможным, поэтому мы откажемся от поиска точного значения корней и займёмся их приближённым вычислением с заданной точностью.
Основные этапы решения. Решение задачи отыскания корней осуществляется в два этапа. Первый этап называется этапом отделения (локализации) корней, второй - итерационного уточнения корней.
Известно, что если функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a,b] значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого промежутка имеется хотя бы один корень уравнения.
Геометрически это означает, что график непрерывной функции, расположенной по разные стороны оси OX, пересекает эту ось, по меньшей мере, в одной точке.
Отрезок [a,b], содержащий только один корень уравнения f(x), называется отрезком локализации корня. Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждых подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации.
К сожалению, универсальный метод локализации не представляется возможным. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод. Часто применяется построение таблиц значений функций вида yi= f(xi), i=1,2,… и при этом о наличии корня на отрезке [xi, xi+1], судят по перемене знака функции на концах отрезка.
Пример 1. Локализуем корни уравнения
4-2x2-ex=0.
Для этого преобразуем уравнение к виду 4-2x2= ex и построим графики функций y=4-2x2 и y=ex. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения. Из графика, изображенного на рис. 1, видно, что уравнение имеет два коня, расположенные на отрезках [-2,-1] и [0,1].
Рис. 1
Пример 2. Локализуем корни уравнения
x3- 1.1x2-2.2x+1.8=0.
Для этого составим таблицу значений функции F(x)= x3-1.1x2-2.2x+1.8 на отрезке [-2,2] с шагом 0.4.
|
-2 |
-1.6 |
-1.2 |
-0.8 |
-0.4 |
0 |
|
|
-6.2 |
-1.592 |
1.128 |
2.344 |
2.44 |
1.8 |
|
0.4 |
0.8 |
1.2 |
1.6 |
2.0 |
|
|
0.808 |
-0.152 |
-0.696 |
-0.44 |
1 |
Из таблицы видно, что функция f меняет знак на концах отрезков [-1.6, -1.2], [0.4, 0.8], [1.6, 2.0]. Поэтому каждый из этих отрезков содержит, по крайней мере, один корень. Учитывая, что f(x) - многочлен третьей степени, который не может иметь более трех корней, то задача локализации решена.
После локализации корней производится итерационное уточнение каждого корня одним из методов. Рассмотрим метод половинного деления.
Метод половинного деления. Пусть дано уравнение (1), причем функция f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)f(b)<0. Для вычисления корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [a,b], найдем середину этого отрезка . Если , то для продолжения вычислений выберем ту из частей данного отрезка [a, x0] или [x0, b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим через a1 и b1.
Новый отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим те же рассуждения и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (1), или же бесконечную последовательность вложенных отрезков [a, b], [a1, b1],…, [an, bn], таких что
f(an)f(bn)>0 (n=1,2,…), (2)
(3)
Число - общий предел последовательностей {an} и {bn} - является корнем уравнения f(x)=0.
Оценку погрешности на n-ом шаге вычислений можно получить из соотношения (3) в виде
. (4)
Здесь с точностью , не превышающей .
Если требуется найти корень уравнения с точностью , то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью.
Задачи
Отделить корни уравнения и найти их с точностью =0,01 методом деления пополам. Сделать чертеж.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.