Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
25. 26. 27.28. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
Простейшая линия на плоскости – прямая.
Уравнение линии на плоскости:
Уравнение с угловым коэффициентом -
Под углом наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси против часовой стрелки ось до ее совпадения с прямой.
Число = tg называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение - уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то и, следовательно, уравнение прямой будет иметь вид .
Если прямая параллельна оси , то , следовательно, = tg=0 и уравнение имеет вид .
Если прямая параллельна оси , то и уравнение теряет смысл, так как для нее угловой коэффициент = tg=tg не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид , где абсцисса точки пересечения прямой с осью .
Общее уравнение – , где , так как нормальный вектор прямой L: не равен нулю и перпендикулярен прямой L.
Возможны два случая.
Если , то уравнение имеет вид , причем , т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси и проходящей через точку .
Если , то получаем уравнение . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом = tg=.
Есть частные случаи общего уравнение прямой:
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки – (при , ).
Пусть прямая проходит через точки М1(x1;y1) и M2(x2;y2). Уравнение прямой, проходящей через точку М1, имеет вид y-y1=k(x-x1), где k- пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку M2(x2;y2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению y2-y1=k(x2-x1). Отсюда находим . Подставляя найденное значение в уравнение y-y1=k(x-x1), получим уравнение прямой, проходящей через точки М1 и M2: .
Параметрическое уравнение –
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую a, указав лежащую на ней точку M1(x1;y1) и направляющий вектор этой прямой .
Возьмем произвольную точку плоскости M(x;y). Мы можем вычислить координаты вектора . Очевидно, что множество всех точек M(x;y) задают прямую, проходящую через точку M1(x1;y1) и имеющую направляющий вектор , тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и записывается в виде уравнения, где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид . Уравнения полученной системы называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости.
Каноническое уравнение –
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Нужно получить уравнение прямой a, если M1(x1;y1) - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a.
Пусть M(x;y)- плавающая точка прямой a. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты . Очевидно, что множество всех точек M(x;y)на плоскости определяют прямую, проходящую через точку M1(x1;y1) и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и - коллинеарны.
Равенство в координатной форме имеет вид .
Если и, то мы можем записать .
Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости. Это уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.
* Уравнение прямой в отрезках –
Пусть прямая пересекает ось в точке М1(), а ось - в точке М2(). В этом случае уравнение имеет вид , т. е. . Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа и указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.
Полярное уравнение – .
Положение прямой можно определить, указав расстояние от полюса О до данной прямой и угол между полярной осью ОР и осью , проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.
Для любой точки М() на данной прямой имеем:
прl=.
С другой стороны,
прl=| |.
Следовательно,
Полученное уравнение и есть уравнение прямой в полярных координатах или полярное уравнение прямой.
Нормальное уравнение прямой -
Пусть прямая определяется заданием и . Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ox за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде , т. е. .
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: , . Следовательно уравнение прямой в прямоугольной системе координат имеет вид .
Это уравнение называется нормальным уравнением прямой.
Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой.
Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью.
Переход из одного вида уравнения в другой.
Приведение общего уравнения прямой к каноническому уравнению прямой: если , то переносим слагаемое в правую часть равенства с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию вида .
Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое, а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки и записываем полученное равенство в виде пропорции .
Переход от общего уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой проводится в два этапа: сначала общее уравнение приводится к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой.
Разберем этот алгоритм при решении примера.
Нужно написать параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнением прямой .
Сначала приведем исходное общее уравнение прямой к каноническому уравнению прямой:.
Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру : .
Из общего уравнения прямой вида получить уравнение прямой с угловым коэффициентом возможно лишь тогда, когда .
Для этого в левой части общего уравнения прямой оставить только слагаемое: . Затем разделить обе части полученного равенства на число B, которое отлично от нуля,.
Чтобы получить уравнение прямой в отрезках вида из общего уравнения прямой переносим число С в правую часть равенства с противоположным знаком, делим обе части полученного равенства на –С, и в заключении переносим в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:
Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если , то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.
Для перехода к общему уравнению от уравнения прямой в отрезках и уравнения прямой с угловым коэффициентом достаточно просто собрать все слагаемые в левой части равенства:
Каноническое уравнение прямой приводится к общему уравнению прямой с помощью следующих преобразований:
От параметрических уравнений прямой следует сначала перейти к каноническому уравнению прямой, а уже потом к общему уравнению прямо:
28*. Прямые (функции) спроса и предложения в экономике.
Закон спроса — при прочих равных условиях, чем ниже цена, тем больше величина спроса, и наоборот, чем выше цена, тем величина спроса меньше. Таким образом, между ценой и величиной спроса существует обратная зависимость.
Между ценой и количеством предлагаемого товара существует положительная (прямая) зависимость: при прочих равных условиях с повышением цены возрастает и величина предложения, и наоборот, снижение цены сопровождается при прочих равных условиях сокращением объема предложения. Эта специфическая связь называется законом предложения.
Равновесная цена —цена, при которой количество товара, на которое предъявляется спрос, равняется количеству товара, которое предлагается к продаже фирмами (предложение).
Ситуацию рыночного равновесия можно представить графически, совместив в одних осях координат графики спроса и предложения:
Точка В на рисунке получила название точки равновесия спроса и предложения, а ее проекции на оси абсцисс и ординат соответственно точками равновесного объема производства (Q0) и равновесной цены (P0). Итак, ситуация равновесия на рынке означает, что товаров произведено столько, сколько требуется покупателю такое равновесие - выражение максимальной эффективности рыночной экономики.
29. Угол между прямыми на плоскости и условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Простейшая линия на плоскости – прямая. Уравнение линии на плоскости - .
Чтобы найти угол между прямыми на плоскости, нужно найти косинус этого угла по формуле: , отсюда .
Пример: Даны три точки А(5;1), В(0;3) и С(-1;-4).
Так как нам известны координаты точек, принадлежащих этим прямым, то мы можем составить канонические уравнения этих прямых. Так (АВ):, а (ВС): . АВ пересекает ВС в точке В, поэтому мы можем воспользоваться формулой . Получаем . Следовательно arccos.
Если прямые, в данном примере АВ и ВС, параллельны, то их нормальные вектора АВ и ВС тоже будут параллельны, следовательно отношение координат первого вектора будет равно отношению координат второго вектора: .
Если прямые перпендикулярны, то их нормальные вектора тоже перпендикулярны и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: АВВС=0 .
Расстояние от точки до прямой на плоскости.
Расстояние d от точки до плоскости:
Пример: Заданы прямая АВ уравнением и точка С(-1;-4). Требуется найти расстояние от точки С до прямой АВ.
Расстояние d от точки С до прямой АВ равно модулю проекции вектора , где M(x;y)- произвольная точка прямой АВ, на направление нормального вектора . Следовательно, d=|пр |= . Так как точка M(x;y) принадлежит прямой АВ, то , т. е. . Поэтому . Подставив значения, получаем d=.
30.31.32.33. Уравнение поверхности в пространстве. Уравнение плоскости.
Простейшая поверхность – плоскость. Уравнение плоскости в пространстве:
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору – , где нормальный вектор плоскости Q: не равен нулю и перпендикулярен этой плоскости.
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором =(A;B;C), перпендикулярным этой плоскости. Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z)и составим вектор .
При любом расположении точки Mна плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.
.
Общее уравнение плоскости - , где нормальный вектор плоскости Q: не равен нулю и перпендикулярен этой плоскости.
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А,В или С не равен нулю, например В0, перепишем общее уравнение в виде .
Сравнивая это уравнение с уравнением , видим, что уравнения и являются уравнением плоскости с нормальным вектором =(A;B;C), проходящей через точку M1(0;;0).
Частные случаи общего уравнения плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки –
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость.
Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т. е. .
Это уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
*Уравнение плоскости в отрезках -
Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy, Oz соответственно отрезки a, b и c,т. е. проходит через точки A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c).
Подставляя координаты этих точек в уравнение , получаем .
Раскрыв определитель, имеем , т. е. или .
Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Нормальное уравнение плоскости – или
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной этого перпендикуляра.
Пусть ОК=, а , и – углы, образованные единичным вектором с осями Ox, Oy и Oz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор .
При любом положении точки M на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно : пр =, т. е. или . Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме.
Зная координаты векторов и , мы можем переписать получившееся уравнение в виде . Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.
34. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол между нормальными векторами =(A;B;C) и =(A2;B2;C2) плоскостей Q1 и Q2 равен углу между этими плоскостями. Поэтому или .
Пример: Заданы две плоскости и (ABM): -4x-5y+5z-12=0.
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные вектора тоже будут перпендикулярны, т. е. . Но тогда , т. е. =0. Это равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.
Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали и . Тогда координаты векторов пропорциональны: . Это есть условие параллельности двух плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости.
Вывод формулы расстояния от точки до плоскости такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.
Расстояние d от точки М до плоскости (ABC) равно модулю проекции вектора , где M1(x1;y1;z1) – произвольная точка плоскости (ABC), на направление нормального вектора =(A;B;C). Следовательно, d=|пр |= . А так как точка M1(x1;y1;z1) принадлежит плоскости (ABC), то , т. е. .. Поэтому d=. Пример: Даны точка М(7;0;8) и плоскость (ABC): x+y-z+2=0.Подставляя данные нам значения в формулу, мы получим d=.
34.35.36 Уравнение линии в пространстве. Прямая в пространстве. Различные виды прямой в пространстве.
Уравнение линии в пространстве:
Каноническое уравнение - , где сонаправленный вектор не равен нулю и параллелен данной прямой.
Пусть вектор – направляющий вектор прямой l и M0(x0;y0;z0) – точка, лежащая на этой прямой. Вектор , где (x;y;z) – произвольная точка прямой l, параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и вектора пропорциональны: . Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Чтобы получить последовательное доказательство, сперва нужно привести доказательство векторного уравнения прямой.
*Векторное уравнение -
Пусть прямая l задана точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором. Возьмем на прямой l произвольную точку (x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M0 и соответственно через и . Три вектора , и связаны соотношением .
Вектор , лежащий на прямой l, параллелен направляющему вектору , поэтому , где - скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки на прямой.
Векторное уравнение прямой можно записать в следующем виде .
Параметрическое уравнение –
Опираясь на предыдущее доказательство, заметим, что = (x;y;z), , , векторное уравнение прямой можно записать в виде . Отсюда следуют равенства .
Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки –
Пусть прямая l проходит через точки M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2). В качестве направляющего вектора можно взять вектор , т. е. . Следовательно , , . Поскольку прямая проходит через точку M1(x1;y1;z1), то, согласно каноническому уравнению, уравнение прямой имеет вид .
Эти уравнения называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.
Общее уравнение прямой в пространстве (как линии пересечения плоскостей) –
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.
Каждое из уравнений системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов и не пропорциональны), то эта система определяет прямую l как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы. Уравнения этой системы называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений можно перейти к каноническим. Координаты точки на прямой l получаем из общих уравнений, придав одной из координат произвольное значение(например, ).
Так как прямая l перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой l можно принять векторное произведение : .
37. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Под углом между этими прямыми понимают угол между их направляющими векторами S1=(m1;n1;p1) и S2=(m2;n2;p2). Тогда, по формуле для косинуса угла между векторами, получаем или .
Пример: Заданы прямые l1: и l2: ; S1=(m1;n1;p1)=(1;-0,5;1) и S2=(m2;n2;p2)=(1;-9;-6).
Подставляем наши значения в формулу: .
Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части формулы следует взять по модулю.
Если прямые перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем . Следовательно, числитель дроби равен нулю, т. е. , так как | S1| и | S2|.
Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие векторы. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. .
38. Угол между прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности их в пространстве.
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью Q и прямой l, а через - угол между векторами =(A;B;C) и . Тогда . При этом : если , то ; если , то .
.
Пример: Даны плоскость Q: x+3y+5z-42=0 и прямая L: .
.
Острый угол между плоскостью и прямой можно найти, взяв в формуле модуль правой части.
Если прямая l параллельна плоскости Q, то векторы и перпендикулярны, а потому , т. е. – условие параллельности прямой и плоскости.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы и параллельны. Поэтому равенства – условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости нужно решить систему, состоящую из уравнений прямой и плоскости. Проще всего это сделать, записав уравнения прямой в параметрическом виде: l:.
Подставляя эти выражения для x, y и z в уравнение плоскости, получаем уравнение или ; , и приведя подобные, мы получаем значение , но при условии, что прямая не параллельна плоскости, т. е. .
Пример: Требуется найти точку пересечения прямой l: с плоскостью Q: x+3y+5z-42=0.
Подставляя найденное значение параметра в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью: , т. е. точка О(4;1;7) – точка пересечения прямой l с плоскостью Q.
Рассмотрим случай, когда :
А) если , то прямая параллельна плоскости и пересекать ее не будет, т. е. уравнение решения не имеет.
Б) если , то уравнению удовлетворяет любое значение , любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Следовательно, прямая лежит на плоскости.
Таким образом, одновременное выполнение равенств является условием принадлежности прямой плоскости.