Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT1
Задачи на составление дифференциальных уравнений
Задача 1. Поглощение света при прохождении через воду
Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. Зная, что при прохождении через слой толщиной 2м поглощается первоначального светового потока, определить, какой процент его дойдет до глубины 12м ?
Решение:
Составим дифференциальное уравнение. Обозначим через световой поток, падающий на поверхность на глубине . При прохождении через слой воды толщиной поглощенный световой поток равен дифференциалу , где – коэффициент пропорциональности ().
Общее решение дифференциального уравнения получаем путем разделения переменных . В результате общее решение имеет вид:
.
По условию задачи при имеем поэтому
откуда и ,
До глубины м дойдет световой поток что составляет 8,78 первоначального светового потока.
Задача 2.
Найти кривую, проходящую через точку, зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат.
Решение:
Пусть - искомое уравнение кривой. Проведем касательную в произвольной точке . Её угловой коэффициент . Согласно условию он в три раза больше углового коэффициента прямой уравнение которой Таким образом . Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение . Так как искомая кривая проходит через точку , найдем
тогда искомое уравнение примет вид .
Задача 3.
Подкасательной кривой в точке называется проекция на ось отрезка касательной к этой кривой, где точка пересечения касательной с осью (рис. 1) Найти семейство кривых, у которых подкасательная имеет длину, равную 2.
Решение:
Пусть - искомое уравнение кривой. Проведем касательную в произвольной точке кривой . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Согласно условию задачи . Учитывая, что а получим дифференциальное уравнение общее решение которого имеет вид
Задача 4.
Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее длины её отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой её точке равна произведению координат точки касания.
Решение:
Пусть - искомая функция. Проведем касательную в произвольной точке кривой Согласно условию задачи .
Из прямоугольного треугольника
Тогда дифференциальное уравнение примет вид ,
Умножая обе части полученного уравнения на дробь получим
.
Преобразуем его.
Возводим обе части в квадрат.
Разделим обе части на (при условим, что ).
откуда
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Задача 5.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку у которой подкасательная равна сумме координат точки касания.
Решение:
Пусть - искомое уравнение кривой. Проведем касательную в произвольной точке По условию задачи длина подкасательной
.
Из прямоугольного треугольника находим т.е.
Решаем полученное однородное уравнение с помощью подстановки откуда
Имеем т.е.
Откуда , или
Интегрируя полученное уравнение, имеем
или
Так как искомая кривая проходит через точку имеем или
Таким образом, искомой кривой является линия, определяемая уравнением
Задача 5.
Сила тока в электрической цепи с сопротивлением коэффициентом индуктивности и электродвижущей силой удовлетворяет дифференциальному уравнению
Найти зависимость силы тока от времени, если изменяется по закону и (),
Решение:
Уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом Бернулли, представляя искомую функцию как . Тогда производная равна а уравнение преобразуется к виду
или (1)
Подберем так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . После интегрирования получаем .
Подставляя найденное функции в уравнение (1), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию
=>
Следовательно, К последнему интегралу применяем метод интегрирования по частям и находим .
Окончательно получаем общее решение: .
Принимая во внимание, что находим значение произвольной постоянной и частное решение .
Задача 6. Вентиляция цеха.
В помещении цеха вместимости 10800 воздух содержит 0,12% углекислого газа. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04% углекислоты, в количестве мин. Предполагая, что концентрация углекислоты во всех частях помещения в каждый момент времени одна и тоже, рассчитать какова должна быть мощность вентиляторов, чтобы по истечении 10мин содержание углекислоты не превышало 0,06%.
Решение:
Обозначим содержание углекислоты в воздухе в момент времени через (%). Составим за промежуток времени мин, протекший от момента , баланс углекислоты, находящейся в помещении. За это время вентиляторы доставили 0,0004 углекислоты, а ушло из помещения 0,01 Значит всего за мин, количество углекислоты в воздухе уменьшилось на
Обозначив через процентное уменьшение содержания углекислоты в воздухе, можно подсчитать это же количество углекислоты другим путем, по формуле (знак минус берется потому, что ).
Приравнивая друг другу оба выражения для , составим дифференциальное уравнение (
Разделяя переменные, найдем . Общий интеграл имеет вид
или . Поскольку.
при то и частное решение имеет вид
Для определения мощности вентиляторов положим и получаем откуда и