Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 75. Взаимная индуктивность. Энергия взаимодействия токов. Коэффициент взаимной индукции катушек с общим сердечником
Подобно тому как явление самоиндукции количественно характе ризуется индуктивностью L цепи, явление взаимной индукции кон туров (§ 70, рис. 340 и 341) определяется взаимной индуктив ностью М проводящих цепей. Под величиной взаимной индуктивности или коэффициента взаимо индукции М контуров 1 и 2 понимают общий для этих контуров поток магнитной индукции (т. е. число тех ли ний магнитной индукции, кото рые пронизывают площади, ог раниченные обоими контурами), когда в одном из контуров протекает ток, равный еди нице (рис. 360).
Рис. 360. Взаимная индуктивность про водников измеряется общим пото ком магнитной индукции, который соз даётся током I1=1 в одном из провод ников и пронизывает площади, ограни ченные контурами обоих проводников.
Поскольку напряжённость магнитного поля в любой точке пропорциональна величине тока, создающего поле, то и магнитный поток Ф1, создаваемый током I1, который протекает в контуре 1, пропорционален току I1 [причём коэф фициент пропорциональности согласно формуле (5) представляет собой индуктивность L1 контура 1]. Часть Ф1, 2 упомянутого магнит ного потока, пронизывающая контур 2, очевидно, также пропорцио нальна току I1:
Ф1.2=M1,2I1,
причём коэффициент пропорциональности M1,2 представляет собой взаимную индуктивность контуров 1 и 2 (M1,2=Ф1,2 при I1=1).
Поскольку через контур 2 проходит ток I2, то для величины общего магнитного потока, создаваемого током I2 и пронизывающего контур /, рассуждая аналогично, мы можем написать выражение
Ф2,1=M2,1I2
Нетрудно доказать, что коэффициент пропорциональности в этой формуле тождествен коэффициенту пропорциональности в предыду щей формуле, т. е. представляет собой ту же самую взаимную ин дуктивность контуров: M2,1=M1,2. Чтобы убедиться в этом, опре делим работу, которая может быть совершена силами магнитного поля при сближении контуров из бесконечности до рассматриваемого положения. Эта работа, как мы знаем (§ 66), равна произведению величины тока в контуре на приращение магнитного потока, прони зывающего этот контур. Если первый контур с током I1 мы оставляли неподвижным и в магнитном поле, которое создаётся током I1, приближаем до заданного положения второй контур с током I2, то, учитывая, что магнитный поток, пронизывающий контур 2, увеличи вается от нуля до Ф1,2, для работы, совершаемой силами поля, получаем выражение
W1, 2=I2Ф1,2=I2M1.2I1
Очевидно, что ту же работу мы получим, если неподвижным будет оставаться второй контур с током I2, а приближать мы будем первый контур с током I1. Поскольку магнитный поток, пронизы вающий приближаемый первый контур и создаваемый током I2, уве личивается от нуля до Ф2,1, то работа будет равна:
W1,2=I1Ф2,1=I1M2,1I1
Сопоставляя два полученных выражения для работы сближения контуров, обтекаемых токами I1 и I2, мы убеждаемся, что
M1,2= М2,1=М.
Этим оправдывается приведённое выше определение взаимной индуктивности, в котором не было оговорено, какой из контуров мы считаем имеющим ток I=1.
Если взаимная индуктивность контуров измерена не в абсолютных единицах — сантиметрах, а в генри и ток в амперах, то в соответ ствии с преобразованием формул (5) в (6)
(16)
При изменении тока I1 в одном из контуров во втором контуре согласно закону Фарадея индуцируется электродвижущая сила
вольт, (17)
где М выражено в генри и I в амперах.
Аналогично, когда изменяется ток I2, то в первом контуре инду цируется электродвижущая сила
вольт. (17')
Из этих формул следует, что взаимная индуктивность двух проводников равна электродвижущей силе, которая индуцируется в одном из проводников, когда ток в другом проводнике изме няется на единицу величины в 1 секунду.
Согласно сказанному выше энергия взаимодействия токов I1 и I2 (т. е. работа, которая может быть совершена силами магнитного поля токов при удалении проводников с токами I1 и I2=const из рассматриваемого положения в бесконечность) равна:
W1,2=MI1I2 (18)
Если М выражено в сантиметрах, а величины токов в абсолют ных магнитных единицах, то энергия взаимодействия токов полу чается выраженной в эргах. Когда взаимная индуктивность выражена в генри, а величины токов в амперах, то формула (18) даёт значение W1,2 в джоулях. Очевидно, что полная энергия магнит ного поля двух токов равна:
(19)
В заключение подсчитаем взаимную ин дуктивность катушек, имеющих общий ферромагнитный тороидальный сердечник (рис. 361).
Рис. 361. К вычислению взаимной индуктивности катушек без учёта «маг нитной утечки».
В этом случае почти весь (при ближённо мы будем считать, что весь)
магнитный поток, создаваемый током в первой катушке, пронизывает вторую катушку. Если L1 — индуктивность (в генри) первой катушки и n1 — число витков в ней, то магнитный поток в сердечнике Ф при величине тока в первой катушке I1 ампер, умноженный на число, показывающее, сколько раз каждая линия индукции охватывает линию тока I1, т. е. на n1, равен:
n1Ф=L1I1•108.
Каждая из Ф линий магнитного потока в сердечнике n2 раз охва тывает провод второй катушки (где n2 — число витков в ней); это равносильно тому, что n2Ф линий индукции по одному разу охваты вают контур второго проводника. Таким образом,
Сопоставляя это выражение с (16), находим коэффициент взаим ной индукции двух катушек, имеющих общий сердечник:
или, принимая во внимание (13):
генри, (20)
где S — площадь поперечного сечения сердечника и l—его длина.