Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
С. Ф. Горбов, Г. Г. Микулина, О. В. Савельева
Обучение математике. 1 класс: Пособие для учите ля четырехлетней начальной школы (Система Д. Б. Элькони-на — В. В. Давыдова). — 2-е изд. — М.: Вита-Пресс, 2002. — 128 с. - ISBN 5-7755-0438-0
В пособии содержится методический комментарий к учебнику: Давыдов В. В., Горбов С. Ф., Микулина Г. Г., Савельева О. В. Математика. 1 класс.
Показано, как с помощью системы учебных задач развить у ребен ка способность действовать не по образцу, а самостоятельно, как на учить его находить новые способы действия, изобретать собственные средства для достижения целей обучения. Подробно рассказано о том, как через построение графических и знаковых моделей раскрыть детям основные свойства математических отношений и таким обра зом ввести в мир математических понятий.
Пособие будет полезно студентам педвузов и педучилищ, а также учителям, работающим по другим программам.
Учебное издание Горбов Сергей Федорович Микулина Генриетта Глебовна Савельева Ольга Владимировна
ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В 1 КЛАССЕ
(Система Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова)
Пособие для учителя четырехлетней начальной школы
Лицензия ИД № 02033 от 13.06.00
Издательство «Вита-Пресс». 107140, Москва, ул. Гаврикова, 7/9. Тел. 264-83-00, 265-70-87,
264-51-32
E-mail: vitapress@garnet.ru 127410, Москва, Алтуфьевское ш., д. 35, стр. 1
© ООО Издательство «Вита-Пресс», 2001
© Художественное оформление.
ООО Издательство «Вита-Пресс», 2001
Все права защищены
Введение
В соответствии с принципами развивающего обучения по системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова настоящий курс ма тематики ставит своей целью формирование у школьников предпосылок теоретического мышления. Он ориентирован главным образом на формирование научных (математических) понятий, а не только на выработку практических навыков и умений, и предполагает организацию обучения в форме раз вернутой учебной деятельности детей по постановке и реше нию ими системы учебных задач.
Основной задачей курса является формирование у детей понятия действительного числа, опирающегося на понятие ве личины. Поэтому даже натуральное число, изучением которо го ограничивается начальная школа, рассматривается как от ношение величин.
Обучение начинается с изучения признаков предметов. Дей ствуя с различными предметами, пытаясь найти предмет, рав ный данному по некоторому признаку, дети выделяют такие па раметры вещей, которые являются величинами, т. е. свойства, для которых можно установить отношения «равно», «больше», «меньше». При этом выделение каждой конкретной величины (длины, площади, объема, массы и количества) в первую оче редь связано с овладением детьми определенным способом сравнения вещей и лишь во вторую со словом-термином.
Результаты сравнения величин фиксируются сначала на чертежах соответствующими отношениями отрезков, а затем с помощью буквенных записей вида
А = С, А>Б, Б<А.
В ситуации, когда невозможно выполнить непосредствен ное (путем прикладывания полосок бумаги, переливания воды и т. п.) сравнение величин, дети открывают новый способ сравнения с помощью мерки и числа. Таким образом, число вводится как инструмент измерения. Измеряя величины раз личными мерками, дети обнаруживают, что числовая характе ристика величины зависит не только от этой величины, но и от выбранной мерки, т. е. она относительна. Вводятся стандарт ные единицы измерения длины, массы, объема.
Процесс измерения-отмеривания величины отражается в специальной модели — числовой прямой. Далее дети обнаруживают, что предметные измерения при особых условиях мо гут быть заменены действиями с числами на числовой прямой. Если уже измерили одну величину и известно, на сколько ме рок она больше или меньше другой, то значение этой другой величины можно узнать с помощью числовой прямой. Таким образом, вводятся действия сложения и вычитания чисел как присчет и отсчет на числовой прямой. Действия с числами описываются выражениями. В дальнейшем ставится задача получения результатов сложения и вычитания при мысленном движении по числовой прямой. Так начинается этап формиро вания навыка вычислений.
Специальные предметные задачи позволяют ввести отно шение целого и частей для величин. Дети обнаруживают, что целое можно найти, сложив части, а часть — вычтя из целого другую часть. Таким образом расширяется смысл арифметиче ских действий сложения и вычитания. Отношение целого и ча стей фиксируется и изучается с помощью чертежей. Работа с этими моделями позволяет учащимся понять, как простой текст («рассказ») преобразуется в несколько задач, каждую из которых можно рассматривать как задачу поиска значения це лого или части.
Навык вычислений формируется на основе действий при счета и отсчета (с числами в пределах 20) и через освоение со става чисел (в пределах первого десятка).
Описанное содержание присутствовало и в трехлетнем кур се обучения математике. В новом его варианте перенесены на второй год обучения разделы, связанные с изучением принци пов: а) построения и решения уравнений и б) позиционной за писи многозначных чисел. С одной стороны, сокращены раз делы, посвященные изучению свойств отношений величин (входящие в дочисловой период обучения), хотя, как и раньше, с буквенным обозначением величин учащиеся работают до введения понятия числа. С другой стороны, теперь во вводном разделе дети знакомятся не только с такими признаками пред метов, как цвет, форма, размер, но и с взаимным расположени ем предметов в пространстве (слева, внизу и т. д.), учатся нахо дить объект по отрицательной характеристике: не красный, не ниже и т.п. Кроме того, больше внимания уделено преобразо ваниям предметов и связанным с ними изменениям или сохра нению тех или иных величин. Расширен геометрический мате риал.
Форма учебника-тетради позволяет, с одной стороны, пред ставить логику учебного предмета, а с другой — обеспечить вы полнение учащимися действий по усвоению этой логики. По следнее обстоятельство особенно важно при организации обу чения в форме развернутой учебной деятельности, при которой логика предмета не может задаваться в виде готовых образцов, как это имеет место в традиционной системе обучения, а долж на открываться самими школьниками. Одним из основных ме тодических требований курса является организация действий учащихся, таких, как подбор или изготовление объектов, рав ных или неравных по заданному параметру, измерение вели чин, выполнение разного рода построений. При этом операции с реальными или рисованными объектами должны быть как бы повторены на условном графическом или знаковом материале, в результате чего создается модель изучаемого объекта, фикси рующая его сущность. Определенные пространственные ори ентиры для выполнения таких действий должны быть заданы не в словесной, а в графической или знаковой форме. Эту воз можность обеспечивает форма учебника-тетради.
Во многие упражнения заложена «ловушка» — задание, на первый взгляд обычное, но на самом деле либо не имеющее решения, либо допускающее разные решения, либо требующее уточнения. На полях учебника-тетради такие задания отмечены специальным знаком. Как показывает опыт, дети с удовольствием ищут «ловушки». Но кроме повышения учебной мотивации, эта работа важна для формирования у де тей контрольных действий и полноценного представления об условиях выполнения того или иного способа действия.
Предусматривается, что вычислительные умения складыва ются на основе понятий, однако процесс перевода умений на уровень навыка имеет свои особенности. Сначала школьник учится «понимать», а затем «запоминать». Такое различие фик сируется тем, что вычислительные разделы представлены от дельным блоком в конце третьей тетради. При этом они содер жат достаточно большое число упражнений, которые имеют разнообразную и часто занимательную форму. В ряде заданий ученикам предлагается работать парами, при этом дети учатся выделять трудные для себя случаи и тренироваться в преодоле нии трудностей.
Отдельным же блоком даются и упражнения по выработ ке графических навыков (тетради 1 и 2). В процессе их выполнения учащиеся оценивают, проставляя специальные значки, заданные образцы написания цифр (среди кото рых обязательно есть неправильные) и свои собственные запи си, выделяют цифры, требующие дополнительной отработки.
При подготовке к уроку учитель должен обязательно прочи тать методические указания к разделам, а не ограничиться лишь просмотром страниц учебника. Текст методического по собия раскрывает содержание каждого раздела учебника и описывает способы постановки и решения учебной задачи. В общих чертах обучение организуется следующим образом. Сначала перед учащимися ставится предметная задача, поиск решения которой убеждает детей в том, что прежний способ действия в похожих ситуациях теперь оказывается или невоз можным, или слишком трудоемким. В результате выполнения определенного предметного преобразования обнаруживается отношение, лежащее в основе нового класса задач и определя ющее новый и при этом общий для всего класса способ дейст вия. В процессе фиксации произведенных предметных дейст вий в условной (модельной) форме происходит абстрагирова ние отношения. Посредством преобразования модели изуча ются свойства выделенного отношения, на основе которых учащиеся выводят систему частнопрактических задач, решае мых общим способом.
Самые первые шаги в постановке учебной задачи чрезвы чайно трудно представить в учебнике. Ведь учебник содержит готовые образцы решений, а нужно, чтобы дети сами открыва ли способы действия. Как это сделать, и описывает методиче ское пособие. Нередко процесс взаимодействия учителя и уче ников передается в пособии с помощью прямой речи.
Показывается, как можно организовать в классе дискуссию, как учитель должен сам «ошибаться» и отстаивать неправиль ный ход рассуждения, чтобы дети аргументированно опровер гли его.
Учителю предоставлена свобода в построении урока и опре делении объема материала, который будет на уроке пройден. Вместе с тем указано примерное число уроков, отводимое на каждую тему, при этом предусмотрен некоторый запас учебно го времени на проведение контрольных работ и на непредви денные обстоятельства.
1. Признаки предметов (9-10 уроков)
1.1. Цвет. Форма
В этом разделе рассматриваются знакомые детям признаки предметов — цвет и форма (хотя слово форма они могут и не знать). Однако важным является не формальное умение детей различать (выделять) предметы по цвету и форме (это они в ос новном и так умеют), а использование ими признаков для по иска (выбора) подходящего для каких-то целей предмета. Таким образом, центральным моментом данного раздела (и следующих) является построение (формирование) поискового действия детей, для которого применение признаков — лишь средство. Поэтому большое внимание здесь уделено правиль ной постановке вопросов детьми сначала учителю, а затем се бе, связанной с рациональной стратегией поиска.
1. Вводное задание. На доске бумажный макет недостроен ного здания (не хватает одной колонны) и набор колонн, различающихся по цвету и форме. Надо подобрать недо стающую колонну.
Скорее всего, дети сразу сделают правильный выбор. Одна ко нужно обсудить и неправильные варианты. Поэтому учи тель предлагает использовать другие колонны:
У.' Один мой знакомый ученик считает, что сюда подойдет колонна б — она самая красивая!
'Здесь и далее при воспроизведении диалога приняты следующие обозначения: У. — учитель, Д. — дети.
Д. Нет, она не такой формы.
У. Ну, тогда подойдет колонна а.
Д. Нет, она другого цвета.
У. Значит, одна колонна не подходит по форме, а другая — по цвету. А что вы скажете о колонне г?
Д. Она не подходит и по форме, и по цвету. Только колонна (в) подходит и по форме, и по цвету.
Учитель интонацией подчеркивает выделенные в тексте слова, чтобы дети привыкали к ним.
2. В классной комнате нужно найти предметы, одинаковые по цвету или форме.
3. Учебник, ч. 1, с. 3. Упр. 1—3.
4. Игра «Угадай фигуру» (введение вопросно-ответной формы). Один участник (сначала это учитель) загадывает одну фигуру из набора, а остальные за наименьшее чис ло вопросов должны отгадать загаданную фигуру.
1) На фланелеграфе набор фигур одного цвета и различной формы.
Учитель загадывает одну из них. Дети должны узнать, какую фигуру из набора он задумал. Для этого они могут задавать лю бые вопросы.
Скорее всего, дети будут просто гадать, перечисляя все фи гуры, причем в утвердительной форме: Круг. Квадрат. И т. д.
Учитель подчеркивает, что дети должны спрашивать его, и исправляет ответы детей, придавая им вопросительную форму («Это круг?Это квадрат ?» и т. д.). На все вопросы, кроме по следнего (пятого), он отвечает отрицательно, отмечая число задаваемых вопросов (ставя на доске черточки). Фиксируется, что приходится задать много вопросов (пять), чтобы узнать за гаданную фигуру.
У. А можете ли вы задать только один «умный (хороший)» вопрос, чтобы сразу узнать загаданную фигуру?
Дети предпринимают различные попытки:
Д. Круг?
У. Нет. За один вопрос не удалось узнать, надо задавать еще вопросы.
Д. Какая это фигура?
У. Бумажная.
Учитель обращает внимание детей на то, что последний во прос бессмысленный, так как все фигуры бумажные. Другим бессмысленным вопросом будет вопрос: «Какого цвета эта фигура?» (Все фигуры красные.) Вопрос надо задавать о том, что различает фигуры. В данной ситуации «умным» вопросом будет: «Какой формы эта фигура ?»
2) В новом наборе все фигуры одинаковой формы, но разного цвета.
Предлагается узнать загаданную фигуру за один вопрос. В данной ситуации вопрос о форме фигуры будет бессмы сленным, а «хорошим» вопросом будет: «Какого цвета эта фигура?»
3) Предъявляется набор фигур, различающихся и по форме, и по цвету.
Как и раньше, детям нужно отгадать загаданную учителем фигуру за наименьшее число вопросов. Выясняется, что это можно сделать, задав два вопроса (в любой последовательно сти): «Какого цвета фигура? Какой формы фигура?» Каждый из них существенно сужает зону поиска (это можно показать, снимая лишние фигуры после ответа на каждый из вопросов).
4) Задания, аналогичные предыдущему, только и загадывать фигуру, и отвечать на вопросы предоставляется детям.
1.2. Цвет. Форма. Размер
В этом разделе рассматривается новый признак, позволяю щий различать предметы, — размер. Пока представления о размере ограничиваются сравнением только двух предметов одинаковой формы (дихотомия «большой — маленький»).
1. Вводное задание. Игра «Угадай фигуру». На фланелеграфе набор фигур, различающихся не только по форме и цвету, но и размерами («большие» и «маленькие»).
Как и раньше, требуется угадать загаданную учителем фи гуру за наименьшее число вопросов. Так как дети уже умеют задавать «умные» вопросы, они спросят о форме и цвете зага данной фигуры. Однако теперь после ответов учителя оста нется не одна, а две фигуры одинаковой формы и цвета (учи тель специально задумывает один из двух красных кругов, или один из двух желтых треугольников, или один из двух си них квадратов). Таким образом, двух вопросов не хватает для того, чтобы угадать фигуру. Учитель фиксирует на этом вни мание детей:
У. А теперь вы знаете, какая фигура была задумана?
Д. Нет.
У. Но ведь я говорю, какие у нее форма и цвет. Это красный круг.
Д. Но здесь два красных круга, и мы не знаем, какой из них вы загадали.
У. Да, эти фигуры не различаются ни по форме, ни по цве ту, поэтому нужно задать еще один вопрос. А о чем нужно еще спросить? Чем отличаются эти фигуры?
Д. Большая она или маленькая?
У. Правильно, эти фигуры различаются по размеру — одна большая, а другая маленькая. Она большая. Теперь вы знаете, какая это фигура?
Д. Да, это большой красный круг (показывают).
У. Правильно. А какие вопросы помогли вам угадать фигу ру?
Д. Какой она формы? Какого она цвета? Какого она размера?
2. У детей на партах наборы фигур. У учителя свой набор фи гур, не совпадающий с детскими.
Учитель показывает свою фигуру и просит детей показать такую же из их набора. Если дети говорят, что у них нет такой же, то учитель уточняет: «Такую же по форме» (или по цвету). Если дети сразу показывают какие-то фигуры, то учитель про сит детей сравнить их фигуры со своей, отмечая различия и тем самым вынуждая детей уточнять, по каким признакам их фи гуры такие же, как у него.
3. Учебник, ч. 1, с. 4. Упр. 1 — 3. В упр. 1 нужно фигуру-об разец (она находится в левом верхнем углу) соединить с такими же по некоторому признаку фигурами, обведя со ответствующие пунктирные линии.
В упр. 2 при разбиении группы фигур на части по данному признаку надо выделить каждую часть, обведя ее замкнутой линией.
В упр. 3 при изменении фигур надо учитывать не только тот признак, по которому происходит изменение, но и признаки, по которым фигура не меняется.
4. Игра «Угадай фигуру». Предъявляется набор фигур, раз личающихся по форме, цвету и размеру. Как и раньше, дети должны отгадать за наименьшее число вопросов фигуру, загаданную учителем, но теперь ответы на «ум ные» вопросы учитель дает, показывая некоторую фигуру из отдельного набора и говоря: «Такая же, как эта».
1.3. Сверху - снизу. Слева - справа. Между
В этом разделе рассматривается новый способ различения предметов — по их положению относительно других предме тов (отношения сверху — снизу, слева — справа, между).
1. Вводное задание. Игра «Угадай фигуру». На фланелегра-фе набор из семи одинаковых по размеру квадратов, рас положенных вертикально. Четыре квадрата одного цвета (например, синего), чередуются с тремя другими квадра тами, цвета которых различны и отличаются от него (на пример, красный, зеленый и желтый).
Дети должны отгадать загаданную учителем фигуру, задавая ему вопросы (число вопросов не ограничивается, но нельзя показать на фигуру и спросить: «Вот эта?»).
Сначала дети выясняют, какие вопросы в данной си туации являются «умными». Вопросы о форме и разме ре загаданной фигуры здесь бесполезны. Так как един ственным признаком, по которому различаются фигу ры, является цвет, то напрашивается вопрос: «Какого цвета этот квадрат ?»
Учитель отвечает, что загаданный им квадрат синего цвета. Но таких квадратов четыре. Как узнать, какой из них загадан? Все известные детям признаки не могут помочь, нужно воспользоваться чем-то другим, чтобы отличить загаданный квадрат от других. В ходе обсуж дения этой проблемы с детьми выясняется, что синие квадраты отличаются друг от друга только своим поло жением по вертикали, поэтому и вопросы надо задавать об их положении. Учитель помогает детям формулировать такие вопросы. Например: «Где находится этот квадрат, сверху или снизу от красного квадрата ?»
После того как дети отгадают загаданный квадрат, учитель предлагает им рассказать о положении других синих квадра тов, используя речевые обороты: сверху от, снизу от, выше, ни же, над, под, между.
2. Задание аналогично предыдущему, только фигуры (круги) расположены горизонтально.
В ходе выполнения этого задания вводятся речевые оборо ты: справа от, слева от, правее, левее, между.
3. Составление слов из цветных карточек с буквами:
Учитель предлагает детям выкладывать карточки с буквами по его указаниям. Если дети правильно выложат карточки, то можно будет прочитать слово (слева направо по горизонтали и сверху вниз по вертикали). Например:
«Положи круг.
Слева от круга положи синий треугольник.
Справа от круга положи зеленый треугольник. (К О Т)
Сверху от круга положи зеленый квадрат.
Снизу от круга положи синий квадрат. (Н О С)»
4. Учебник, ч. 1, с. 5. Упр. 1-3.
5. (Факультативно.) На фланелеграфе набор фигур, разли чающихся по форме, цвету и размеру.
1) Фигуры расположены горизонтально.
Дети должны описать фигуры по их расположению. Напри мер:
У. Какие фигуры находятся справа от большого синего круга?
Д. Маленький красный треугольник, большой красный круг, маленький желтый квадрат.
У. Какие фигуры находятся между большим желтым треу гольником и большим синим кругом?
Д. Маленький синий круг, большой желтый квадрат.
У. Какие фигуры находятся левее маленького синего круга?
Д. Маленький красный квадрат, большой желтый треуголь ник.
И т. п.
2) Аналогичное задание, только фигуры расположены верти кально.
Формирование графического навыка
Параллельно изучению следующего раздела программы проводится подготовительная и основная работа по обучению написанию цифр. Материал для нее находится в конце первой и второй частей учебника-тетради.
Учитель самостоятельно определяет объем соответствую щей работы на уроке.
Особенность предлагаемой методики заключается в ис пользовании дефектных образцов и в требовании оценки уча щимися качества написанных ими знаков.
Так, при обучении написанию цифры 1 учитель записывает ее на доске. Учащиеся называют ее. Сообщается, что при пись ме цифр нужно стараться вести ручку безотрывно, проводить только одну линию в одном направлении.
Вместе с детьми определяется, что цифру 1 нужно начинать писать с «носика». Далее учитель показывает маршрут движе ния внутри клетки, поясняя его.
На тренировочной странице учебника учащиеся обводят образцы цифры. Обращается внимание на то, что среди образ цов есть неправильные — «ловушки». Их обводить не надо. На этот раз они отмечены точками. Важно самим не сделать таких неточностей в написании.
При написании других цифр дети должны сами отмечать точкой неправильные образцы. Затем при самостоятельном написании цифр время от времени предлагается «поймать точ кой» свою неточность, а правильно написанные цифры отме тить положительной оценкой — «знаком улыбки»
Можно предлагать оценивать сначала каждую цифру, потом выборочно: «Найдите и отметьте три самые правильные ци фры, три самые неточные. Теперь попробуйте написать циф ры без этих неточностей».
Проверяя работу ученика, учитель одобряет ее именно за правильность самооценки, а не за качество написанных цифр. (Как знак одобрения может быть использована та же «улыбка», проставленная на поле рядом со строчкой.)
В этом случае дети охотно ищут свои ошибки, а значит, по степенно избавляются от них.
1.4. Не красный. Не круг
В этом разделе дети знакомятся с отрицательной формой описания предметов.
1. Вводная задача. Игра «Угадай фигуру». На фланелеграфе и на партах набор фигур, различающихся по форме и цвету.
Как и раньше, требуется угадать загаданную учителем фигуру за наименьшее число вопросов. Так как фигуры отли чаются только цветом и формой (и не расположены в ряд), то «хорошими» будут вопросы о форме и цвете фигур. Однако теперь учитель дает ответы в отрицательной форме. Напри мер:
Д. Какой формы эта фигура?
У. Она не квадрат.
Д. Какого цвета эта фигура?
У. Она не красного цвета.
После каждого ответа учителя дети убирают лишние фи гуры. Так, после первого ответа убираются квадраты, а после второго — фигуры красного цвета. В результате остаются толь ко желтый круг и синий треугольник. Теперь можно задать лю бой вопрос о цвете или форме, и любой ответ (в отрицательной или положительной форме) позволит отгадать искомую фи гуру.
2.* (Более трудный вариант игры «Угадай фигуру».) Задания аналогичны предыдущему, только загадывают фигуру и отвечают на вопросы в отрицательной форме сами дети. Используются небольшие наборы фигур, отличающихся только цветом и формой.
3. Учебник, ч. 1, с. 6. Упр. 1 — 3. В упр. 1 надо нарисовать две фигуры, которые отличаются от заданной по одному признаку и не отличаются по другому.
В упр. 2 во всех случаях фигуры разбиты на группы по фор ме. Только в первом случае разбиение на группы отвечает на вопрос о форме фигур в положительной форме (квадраты, круги, треугольники), а в других — в отрицательной (квадраты и не квадраты во втором случае, треугольники и не треуголь ник в третьем случае).
4. У детей на партах набор фигур, различающихся по фор ме и цвету.
Учитель предлагает описание фигуры, а дети должны вы брать из своего набора подходящую фигуру:
«Покажите красную фигуру, но не треугольник». (Крас ный круг.)
«Покажите не желтый квадрат». (Синий квадрат.)
«Покажите желтую фигуру, но не круг». (Желтый квадрат, желтый треугольник.)
И т. п.
1.5. Размер. Больше? Меньше?
В этом разделе уточняются представления о размере. Выявляется относительный характер этого признака. В отли чие от цвета и формы, нельзя определить размер отдельно го предмета, т. е. сказать, маленький он или большой. Что бы это сделать, надо сравнить этот предмет с другим: если предмет маленький, то только по сравнению с другим — большим. Таким образом, различить (сравнить) предметы по размеру — это значит определить, какой из них больше, а ка кой меньше (установить между ними отношение «больше — меньше»).
Кроме того, в этом разделе рассматривается упорядочива ние предметов по размеру, т. е. расположение их в ряд по воз растанию или убыванию.
1. Вводное задание.
На фланелеграфе горизонтально расположены фигуры, раз личающиеся по форме, цвету и размеру.
Дети должны описать фигуры по их расположению.
У. Какие фигуры находятся правее синего треугольника?
Д. Большой красный квадрат, большой зеленый круг, ма ленький желтый треугольник.
У. Какие фигуры находятся слева от синего треугольни ка?
Д. Маленький красный квадрат, большой желтый круг.
У. Какие фигуры находятся между синим треугольником и зеленым кругом?
Д. Большой красный квадрат.
Учитель убирает левый квадрат и добавляет справа красный квадрат большего размера, чем оставшийся квад рат.
После этого он повторяет последний вопрос: «Какие фигуры находятся между синим треугольником и зеленым кругом ?»
Некоторые дети сразу замечают противоречивость ситуа ции и затрудняются с ответом, другие дают правильный в но вой ситуации ответ: «Маленький красный квадрат». Учитель драматизирует ситуацию:
У. Как же так? Сначала вы об этой фигуре сказали, что это большой красный квадрат, а теперь что это маленький крас ный квадрат. Так какой же на самом деле это квадрат, боль шой или маленький?
В ходе обсуждения детьми этой проблемы выявляется, что в обоих случаях фигура описана правильно, поскольку дан ный квадрат большой по сравнению с убранным (первый слу чай) и маленький по сравнению с добавленным (второй слу чай). Точнее сказать, что данный квадрат больше убранного и меньше добавленного.
2. На фланелеграфе одна фигура (например, желтый круг).
У. Какого цвета эта фигура?
Д. Желтого.
У. Какой она формы?
Д. Круг.
У. А какого она размера?
Оказывается, что нельзя ответить на этот вопрос. Учитель добавляет еще одну фигуру (например, зеленый круг больше го размера).
У. А теперь вы можете ответить?
Д. Да, она маленькая.
Учитель добавляет еще одну фигуру (например, синий круг, который меньше желтого).
У. А теперь что вы скажете о ее размере: она маленькая или большая?
По мере поступления детских ответов учитель добавляет, если нужно, еще фигуры (круги), вынуждая детей изменять
(уточнять) свои ответы, например: Желтый круг меньше зе леного и больше синего. В итоге делается следующий вывод: «Про одну фигуру нельзя сказать, большая она или малень кая. Определить размер фигуры можно, только сравнив ее с другой: одна фигура больше или меньше другой, а не одна боль шая, а другая маленькая».
3. Учебник, ч. 1, с.7. Упр.1.
4. У детей наборы из пяти треугольников, отличающихся друг от друга цветом и размером.
Один ребенок работает у доски, а остальные за парта ми. Учитель предлагает детям взять зеленый треугольник и положить его перед собой. Затем взять синий треугольник и сравнить его с зеленым. Выясняется, что синий треугольник больше зеленого. Учитель предлагает положить синий треу гольник справа от зеленого. После этого выбирается красный треугольник и сравнивается с зеленым и синим. Он больше зеленого треугольника и меньше синего. Учитель спрашивает у детей, куда его лучше положить. Лучше всего его положить между зеленым и синим треугольниками, тогда сразу видно, что он больше одного и меньше другого.
Далее с детьми обсуждается, как расположены треугольни ки. Устанавливается, что треугольники расположены по порядку от меньшего к большему: чем больше, тем правее. После этого учитель предлагает поместить в этот ряд остав шиеся треугольники. Дети делают это, обосновывая свои действия. Учитель может участвовать в этой работе, предла гая неправильные варианты размещения треугольников и вы нуждая детей отвергать их.
В заключение учитель предлагает детям по-другому распо ложить треугольники - наоборот, от большего к меньшему.
5. Учебник, ч. 1,с. 6. Упр. 2, 3.
2 Величины (14-15)
2.1. Прямые и кривые линии. Точки. Отрезки
В этом разделе дети знакомятся с новыми геометрическими фигурами (линия, прямая линия, точка, отрезок) и их взаим ным расположением (точка лежит или не лежит на линии, ли ния проходит или не проходит через точку, линия соединяет точки, точки являются концами линии, пересекающиеся или не пересекающиеся линии, точка пересечения линий).
1. У детей 2 листа плотной бумаги. Предлагается сложить один из них по образцу, показанному учителем (так, что бы линия сгиба проходила наискось листа, но не по диа гонали). Обнаруживается, что сгиб имеет форму прямой линии. Такую же форму имеют и края листа.
Учитель предлагает начертить прямую линию на другом ли сте бумаги. Дети пытаются это сделать от руки. При сравнении со сгибом первого листа обнаруживается, что получилась не ровная линия. А как ровно начертить прямую линию? Дети предлагают свои соображения, которые проверяются. Выясня ется, что для вычерчивания прямой линии можно использо вать сгиб первого листа или любой другой предмет с ровными краями. Кроме того, есть специальный инструмент для прове дения прямых линий — линейка.
Учитель предлагает детям обвести свою ладонь. Линия, ко торая получилась, уже не будет прямой, это кривая линия.
Примечание. В отличие от понятия прямой линии, пред ставление о кривой линии не имеет самостоятельной цен ности. Оно нужно лишь для различения прямых и не прямых линий, т. е. является фоном для понятия прямой. Поэтому не надо жестко (на уровне терминов) отрабатывать противопоставление прямой и кривой линий. В математи ке кривая линия чаще всего рассматривается как синоним линии вообще: прямая линия — это особый (предель ный) случай кривой линии, линия с нулевой кривизной.
2. Учебник, ч. 1, с. 8. Упр. 1.
3. Работа ведется в тетрадях и у доски. Нужно провести кривую линию, а затем начертить прямую (с помощью линейки) так, чтобы она пересекала кривую. После этого предлагается отметить места, в которых обе линии пере секаются. Это очень маленькие места — точки. Для того чтобы отметить точки, надо чуть-чуть надавить на мел или карандаш (чтобы остался крошечный след).
4. Учебник, ч. 1, с. 8. Упр. 2, 3.
После выполнения упр. 2 учитель предлагает детям провес ти через эту точку еще одну прямую и какую-нибудь кривую линию. Отмечается, что все линии пересеклись в одной точке.
5.Детям предлагается начертить на листе бумаги прямую (с помощью линейки). Учитель просит их поставить две точки на прямой и обвести (другим цветом) часть пря мой, соединяющую эти точки. Учитель сообщает, что вы деленный кусок прямой называется отрезком, его можно представить как бы вырезанным из прямой. Поэтому иногда концы отрезка (точки) отмечают штрихами, как бы линиями разреза (учитель показывает):
Детям предлагается отметить еще две точки в другом «кон це» прямой и выделить отрезок, соединяющий их.
Учитель просит детей отметить две точки вне прямой и со единить их отрезком. После этого предлагается продолжить отрезок по линейке за его концы. Далее высказываются и об суждаются детские мнения о том, какая линия получилась, как далеко можно продолжать эту линию, есть ли у нее концы. Скорее всего, дети будут связывать возможность продолжения линии с естественными границами: с краем листа или доски,
затем с краем стола или границей стены (если предположить, что разрешается чертить на столе или на стене), затем с грани цами классной комнаты или школьного здания (если вообра зить продолжение по воздуху и возможность проникать сквозь предметы) и т. д. В ходе этой работы фиксируется различие между прямой линией и отрезком: прямая не имеет концов, так как ее всегда можно продолжить за любые точки, а отре зок — это часть прямой, которая ограничена своими концами и не может выходить за них.
6. Учебник, ч. 1, с. 9. Упр. 4 — 6.
Упр. 4 можно не рассматривать или использовать при введе нии понятия отрезка (см. п. 5). При выполнении упр. 5 подчер кивается, что отрезком называют часть не любой линии, а только прямой.
2.2. Длина
В этом разделе делается первое уточнение представлений о размере. Прикладывая предметы друг к другу определенным образом, дети открывают такую их характеристику, как длина. При этом в предмете выделяются разные длины (по горизонта ли, вертикали и другим направлениям), которые обычно име ют разные названия — длина, ширина, высота, глубина и т. п.
1.На доске снова плоский макет фасада здания (см. п. 1. 1).
Опять нужно подобрать подходящую колонну. Среди запас ных есть одна подходящая, а остальные не подходят по цвету или форме, по высоте (короче или длиннее, чем нужно) или ширине (толще или уже, чем требуется). Учитель «выбирает» одну колонну за другой, предполагая каждый раз, что это под ходящая. Дети отвергают эти предложения.
У. Мне кажется, что подойдет колонна а. {Смрис. ниже.)
Д. Нет, она другого цвета.
У. А может быть, подойдет эта 61
Д. Нет, она другой формы.
Остаются только колонны нужного цвета и нужной формы, отличающиеся только размерами, — в, г, д.
Учитель предлагает колонну в, так как она такая же по фор ме и по цвету. Дети отвергают этот вариант, поскольку колон на не подходит по размеру. «Она больше, если ее поставить, то крыша перекосится». Тогда учитель предлагает колонну г, утверждая, что она такого же размера, как и колонны на маке те. Когда дети возражают и говорят, что эта колонна больше, учитель вставляет эту колонну в макет, показывая, что крыша теперь лежит ровно. «Значит, все колонны имеют один и тот же размер». В ходе обсуждения с детьми этой ситуации выяс няется, что размеры бывают разные: высота, ширина. Это со провождается показом высоты и ширины на колоннах (дети проводят пальцем по соответствующей стороне прямоуголь ника). Колонна в больше по высоте и такая же по ширине, а колонна г, наоборот, больше по ширине и такая же по высоте (прямоугольники соответствующим образом прикладываются друг к другу).
Последняя колонна д подходит, поскольку она такая же и по высоте, и по ширине (это обосновывается соответствующим приложением прямоугольников друг к другу). Учитель сообщает, что высоту, ширину, а также толщину, глубину можно назвать одним словом — длина.
В заключение рассматривается упр. 1 на с. 10 учебника
(ч. 1).
2. У детей на партах лежат полоски разной длины и шири ны, каждая своего цвета. Нужно сравнить эти полоски по длине.
Сначала выясняется, что будем считать длиной полоски. Дети проводят пальцем по большей стороне прямоугольни ков.
Учитель показывает две полоски в широко разведенных ру ках. Полоски нужно сравнить по длине. «Как это сделать?» Дети предлагают как-то сблизить полоски. Учитель в ответ выполняет разные способы прикладывания полосок (см. рис.) из своего набора (такого же, как у детей). Дети выбирают пра вильные и отвергают неправильные. Затем детям предлагает ся выбрать из их набора такие же по цвету полоски, как у учителя, и показать правильный способ их сравнения по длине.
В ходе этой работы, помимо выявления предметного спосо ба сравнения длин, дети осваивают такие обороты речи, как: зеленая полоска больше красной по длине, длина зеленой полос ки больше длины красной полоски и т. п.
Правильные способы
Неправильные способы
В заключение рассматривается упр. 2 на с. 10 учебника (ч. 1).
3.На доске прикреплены две бумажные полоски одинако вой длины (см. рис. а ниже). Учитель предлагает срав нить эти полоски по длине, или, иначе, длины этих поло сок. Дети отвечают, что полоски равны (или одинаковы) по длине, или у полосок одинаковая длина. Учитель сни мает одну полоску и отрезает часть ее ширины. «Теперь она такой же длины, как первая (на доске) полоска?» Отве ты детей проверяются прикладыванием. Учитель еще дважды сужает полоску, а дети высказывают (и проверя ют) мнение об отношении длин. Подчеркивается, что длина полоски, которую разрезали, осталась той же са мой. Учитель предлагает нарисовать общую длину для двух полосок. «Как можно это сделать?» В ходе различ ных предложений и попыток детей выясняется, что мож но провести подходящий отрезок между полосками (на рис. б он изображен жирной чертой).
4.Учитель рассказывает, что выкопали три ямы, и рисует на доске схематическое изображение ям в разрезе. Нужно сравнить размеры этих ям.
Сначала выясняется, что исходя из рисунка для ям можно выделить два разных размера: глубину (длину по вертикали вниз) и ширину (длину поперек ямы). Дети выходят к доске и изображают их соответствующими отрезками (глубину — од ним цветом, а ширину — другим).
После этого производится сравнение ям по глубине и ши рине. По рисунку легче сравнивать глубину ям, чем их ширину (отрезки, изображающие глубину, расположены удобно для сравнения, а отрезки, изображающие ширину, — нет, они срав ниваются на глаз).
5.Учебник, ч. 1, с. 10. Упр. 3. В этом задании «ловушка»: от резки в одной паре расположены так, что трудно опреде лить, какой из них длиннее.
6.Учебник, ч. 1,с. 11. Упр. 4.
7.Предлагается сравнить размеры учеников. Выясняет ся, какие это могут быть размеры. Среди прочих предложенных самими детьми выбирается рост (то же самое, что и высота, — длина по вертикали вверх). Несколько детей выходят к доске и сравниваются по росту.
В заключение рассматривается упр. 5 на с. 11 учебника (ч. 1). Перед сравнением дети чертят отрезки, изображающие рост де тей, чтобы, как говорят дети, «сразу было видно, что сравнива ем их по высоте, а не по толщине». Сравнить последнюю девоч ку (Таню) с остальными нельзя (и ее рост не изображается).
8. Учебник, ч. 1, с. 11. Упр. 6.
2.3. Замкнутые и незамкнутые линии
1. На доске отмечены четыре точки разного цвета, так, что никакие три не лежат на одной прямой. Дети по этому образцу также отмечают точки в своих тетрадях. После этого они начинают соединять эти точки отрезками в по следовательности, которую указывает им учитель (на пример, красную с синей, синюю с зеленой и т. д.). Полу чается линия, которая состоит из отрезков, но не являет ся прямой. Она получится из прямой, если прямую как бы сломать в нескольких местах. Такая линия называется ломаной линией (или просто ломаной).
После этого рассматривается упр. 1 на с. 12 учебника (ч. 1). При этом надо предложить детям начертить несколько лома ных линий (каждую своим цветом), соединяя данные точки в различной последовательности.
2. Учебник, ч. 1, с. 12. Упр. 2. Из трех линий придется обве сти только одну, среднюю. Другие две линии включают в себя не только отрезки, но и звенья кривой линии.
3. На доске четыре точки разного цвета. Работа протекает так же, как и в п. 1: дети переносят точки в свои тетради и чертят ломаную линию, соединяя эти точки в некото рой последовательности. После того как ломаная линия начерчена, учитель предлагает начертить еще один отре зок, соединяющий ее концы. Получилась новая ломаная линия, у которой уже нет ни начала, ни конца (или лю бая из отмеченных точек одновременно является и началом, и концом). Начало и конец линии соединились. Та кая линия называется замкнутой, последний отрезок как бы замкнул старую линию.
После этого рассматривается упр. 3 на с. 12 учебника (ч. 1). Буквально его выполнять не надо, так как оно фактически по вторяет уже проделанную работу. Лучше дать возможность де тям произвольно соединять заданные точки при построении замкнутой и незамкнутой линий.
Примечание. В отличие от замкнутых линий, класс линий, не являющихся замкнутыми, самостоятельного значения не имеет, поэтому слово «незамкнутая» здесь не имеет терминоло гического характера.
4.Работа ведется у доски и в тетрадях. Нужно соединить две точки двумя кривыми (не ломаными) линиями. Об наруживается, что из этих линий образуется замкнутая не ломаная линия.
Предлагается из некоторой точки провести две кривые замкнутые линии, одна из которых проходит, а другая не про ходит через какую-то другую (заданную) точку.
Примечание. После того как выделен еще один класс ло маных линий, под кривыми линиями понимаются не прямые и не ломаные линии.
5. Учебник, ч. 1, с. 13. Упр. 4 — 6. Обращается внимание де тей на одинаковый набор фигур в упражнениях: не ошибка ли это типографии? Оказывается, что одни и те же линии можно разбить на разные группы.
2.4. Границы фигур
1.Учебник, ч. 1, с. 14. Упр. 1. Учитель просит детей указать замкнутую линию, незамкнутую (их две), ломаную (нет таких). Учащиеся пробуют соединять точки линией. В по следнем случае такую линию провести не удается. Этого не позволяет сделать замкнутость линии. Замкнутая ли ния служит границей фигуры, она отделяет (отграничива ет) все точки фигуры (одной части) от точек оставшейся части листа, незамкнутая линия ничего не ограничивает, никакие точки не разделяет.
Примечание. Все это верно только применительно к про стому случаю линий без самопересечений. И здесь этот вопрос не затрагивается.
2. Дети изготавливают различные фигуры из мягкой прово локи и с их помощью чертят замкнутые линии, которые они ограничивают.
3.Учитель предлагает детям провести замкнутую линию так, чтобы она не проходила через заданную точку. После этого рассматриваются получившиеся варианты взаим ного расположения точки и линии. У одних детей точка оказалась внутри линии, у других снаружи.
4.Ставится несколько точек разного цвета. Дети проводят различные линии, удовлетворяющие определенным ус ловиям, которые задает учитель. Например: провести линию так, чтобы красная точка лежала внутри нее, синяя снаружи, а зеленая лежала на линии, и т. п. Учитель дает свое решение, изобразив незамкнутую линию:
Отмечается, что в данном случае нельзя говорить о внутрен них и внешних («наружных») точках, так как линия незамкну тая. Внутренние точки — это точки фигуры, которую ограни чивает замкнутая линия, а точки, лежащие снаружи, — это точ ки вне этой фигуры. В заключение рассматривается упр. 2 на с. 14 учебника.
5. Учебник, ч. 1, с. 14. Упр. 3. Дети должны сказать, что по лучились замкнутые линии, последние две — ломаные.
6.Учебник, ч. 1, с. 15. Упр. 4. Здесь есть незамкнутые ли нии, которые не ограничивают никаких фигур, поэтому и раскрашивать нечего.
7. У детей набор вырезанных из плотной бумаги фигур.
Дети называют фигуры, прикладывают их к бумаге и обво дят границы. После этого они говорят о том, какие линии у них получились. Дети могут сказать, что в первом случае получил ся квадрат. Учитель уточняет, что нужно назвать не фигуру, ко торую обводили, а линию, которая получилась: «Это ломаная замкнутая линия, состоящая из четырех отрезков». Во вто ром случае ломаная состоит из трех отрезков. А как назвать третью линию ? Учитель сообщает, что эта линия называется окружностью. Последнюю фигуру можно назвать кольцом. Ее граница состоит из двух окружностей.
Примечание. Вообще различение круга и окружности — отдельная задача, которая будет решаться позже. Здесь речь идет лишь об иллюстрации к представлениям о границе фигу ры. Поэтому необязательно требовать от детей, чтобы они за поминали термин окружность. Это же касается и термина кольцо.
8. Учебник, ч. 1, с. 15. Упр.5, 6.
2.5. Площадь
В этом разделе продолжается уточнение представлений о размере вещей. При наложении их поверхностей друг на друга выявляется новый признак сравнения — площадь. Более сложный случай сравнения площадей — с разбиением на части и перегруппировкой частей — будет рассмотрен позже.
1. Вводное задание. У учителя две фигуры одинаковой, но достаточно неправильной формы, чтобы было трудно выделить какой-нибудь особый линейный размер, т. е. чтобы было неясно, где у них длина, высота или ширина. Они разного цвета (например, желтая и красная) окра шены с двух сторон и достаточно большие, чтобы дейст вия с ними были хорошо видны в классе.
Учитель предлагает сравнить фигуры по разным признакам. С их формой и цветом проблем нет, они одинаковые по форме и разные по цвету. Однако с размером не все так просто. Если дети скажут, что желтая фигура больше красной, то учитель со глашается с ними, но просит уточнить, о каком размере они говорят. Другие дети сразу начнут говорить о линейных разме рах, например о высоте и ширине или о длине и ширине (или еще о чем-то подобном). После этого учитель проблематизирует ситуацию. Во-первых, поворачивая фигуры, он показывает, что трудно определить, где у этих фигур высота, или длина, или ширина.
Во-вторых, определенным образом прикладывая фигуры друг к другу, он показывает, что длина красной фигуры больше, чем желтой (см. рис. а ниже). Таким образом, вроде бы ясно, что желтая фигура больше красной, а приложение их друг к другу показывает, что красная фигура «длиннее» желтой.
Дети протестуют против такого способа прикладывания. Учитель предлагает им самим показать, как нужно приклады вать фигуры, чтобы увидеть, какая из них больше. Выясняется, что можно так наложить одну фигуру на другую, что красная фигура целиком уместится в желтой (см. рис. б), поэтому крас ная больше.
Учитель соглашается, что этот способ правильный, по скольку фигуры сравниваются не по какой-то отдельной дли не (проводит пальцем воображаемую линию), а по площади, целиком (ладонью проглаживается вся фигура).
Предлагается сравнить по площади, длине и ширине две полоски (прямоугольной формы). В каждом случае обращает ся внимание на способ сравнения (прикладывание или нало жение полосок).
2.На партах у детей набор треугольников разного цве та. Они должны выбирать из него треугольники, удовлетворяющие определенным условиям. Например,
выкладывается синий треугольник и предлагается найти треугольник такой же высоты, но меньший по площади, потом больший по площади. Выбрав фигуру, дети демон стрируют в качестве доказательства наложение ее на си ний треугольник.
3.Предлагается подобрать или сделать подставку для ста кана такой же площади, как донышко стакана. Затем сравниваются эта подставка и донышки чашки, кружки.
4.От одного из двух одинаковых прямоугольников отреза ется маленький уголок. Выясняется, что у него остались такими же длина и ширина, а площадь стала меньше.
5. Учебник, ч. 1, с. 16. Упр. 1 - 3. Хотя сравнение площадей здесь осуществляется на глаз, однако каждый раз дети должны обосновать свой ответ через описание способа сравнения площадей («если наложить...»).
2.6. Объем
Продолжается уточнение представлений о размере, выявля ется новый параметр сравнения предметов — объем. Кроме этого, учащиеся начинают фиксировать отношения величин с помощью полосок бумаги разной длины, т. е. замещать отно шение объемов отношением длин. Эта форма работы позволя ет сделать первый шаг к обобщению понятия величины.
1. Различение плоских фигур и тел. Предлагается игра. Учитель показывает две фигуры, дети должны опреде лить, одинаковой они формы или нет. Причем отвечать нужно всем сразу каким-либо «негромким» способом. Выясняется, что для этого можно воспользоваться имею щимися на партах тремя полосками (все они одного цве та, длина у двух из них одинаковая, а третья короче). На пример, если нужно ответить, что фигуры одинаковой формы, то следует поднять полоски равной длины, в противном случае поднимаются полоски разной длины. Сначала, чтобы дети освоились с правилами игры, учитель показывает им только плоские фигуры. Через какое-то время он показывает треугольник и треугольную призму, причем так, что треугольная грань, которая равна треугольнику, обращена к детям, а остальные грани полностью или частично скрыты. Скорее всего, дети не почувствуют подвоха и покажут одина ковые полоски. Учитель кладет треугольник на место и берет вместо него прямоугольник, равный прямоугольной грани призмы. Теперь он показывает этот прямоугольник и призму, но так, что дети видят ее прямоугольную грань. Возможно, кто-то из детей не обратит внимания на манипуляции учителя и опять поднимет одинаковые полоски. Другие засомневаются и ничего не поднимут. Третьи могут показать полоски разной длины. Возникает неопределенность, причем в каждой реак ции детей есть доля истины. Фигура какая-то «необычная», с одной стороны, она треугольник (треугольник прикладывается к соответствующей грани), с другой, прямоугольник (опять показ). Какая же на самом деле эта фигура, чем она отличает ся и от треугольника, и от прямоугольника? Выясняется, что треугольник и прямоугольник — плоские фигуры, а эта фигу ра — не плоская.
Учитель сообщает, что неплоские фигуры называются тела ми. Они также могут быть разной формы, некоторые формы имеют специальные названия. Тело, которое они сравнивали с треугольником и прямоугольником, называется призмой. По казываются другие тела: конус (он похож на треугольник .и круг), куб (похож на квадрат), шар (похож на круг). Большин ство (на самом деле все) предметов в жизни являются телами (имеют форму тел).
Примечание. Детям запоминать названия различных тел не обязательно, так как сейчас главным является формирова ние представлений о телах вообще, в связи с понятием объема, а не изучение отдельных видов тел.
2. Вводное задание. Объем тел. У учителя две коробки (в форме параллелепипедов), причем одну из них можно поместить в другую. Нужно сравнить их по размерам. Дети по очереди выходят к доске и сравнивают короб ки по высоте, длине, ширине и площади. Причем при одном положении коробок выше будет первая из них, а при другом — ниже. То же будет происходить с други ми линейными размерами. В случае площади стенок также не будет однозначного результата, все будет зави сеть от того, как приложить коробки друг к другу. Учитель предлагает придумать такой способ совмеще ния коробок, чтобы сравнивались не отдельные разме ры коробок, а сами коробки целиком. Оказывается, можно вложить одну коробку в другую. Маленькая ко робка помещается целиком в большую, и там еще ос тается свободное место. Такой «общий» размер коробок называется объемом, он показывает, сколько места в ко робке.
3.У учителя два сосуда цилиндрической формы, которые различаются только высотой. Нужно сравнить их по объ ему. Дети сразу видят, что объем высокого сосуда больше, и сообщают об этом с помощью полосок. Но как это про верить? Ведь низкий сосуд нельзя поместить в высокий (у них одинаковое основание). Надо придумать другой способ сравнения. Выясняется, что можно заполнить низкий сосуд водой (или крупой, или песком), а затем перелить (пересыпать) содержимое низкого сосуда в вы сокий. В этом случае оно заполнит не весь высокий со суд, там еще останется место.
4.Аналогичное задание, только сосуды имеют разную фор му и на глаз трудно определить, объем которого из них больше. Это можно сделать только переливанием. Дети не могут сразу показать отношение на полосках и просят выполнить переливание. Учитель наливает воду в сосуд большего объема. При переливании в нем останется из лишек (в предыдущем задании различие объемов было показано через его недостаток).
5.У учителя несколько коробочек, среди которых есть оди наковой и разной формы. Предлагается игра: учитель по казывает две коробочки, а дети должны определить, рав ны они по объему или нет. Ответ дети показывают на полосках. Если дети не могут сразу дать правильный ответ, то кто-нибудь выходит к доске и молча производит срав нение (с помощью пересыпания крупы), а остальные, видя результат его действий, отвечают полосками.
6. Учебник, ч. 1, с. 17. Упр. 1. Третья пара сосудов представ ляет собой «ловушку» — без специальных действий отно шение объемов установить нельзя.
7. Учебник, ч. 1, с. 17. Упр. 2.
2.7. Масса
1. Вводное задание. У учителя две объемные фигуры разно го цвета и одинаковой формы (параллелепипеды, см. рис. а и б). Требуется сравнить эти фигуры по разным признакам (цвет, форма, длина, площадь, объем).
Дети называют признак сравнения, кто-то из них выходит и производит соответствующее сравнение (если это сразу не видно, как, например, в случае цвета и формы), а остальные демонстрируют полученный результат на полосках.
Учитель показывает другие две фигуры, которые совпадают по всем известным детям признакам, но различаются по весу (кубы на рис. в и г). Он сообщает, что в другом классе при срав нении этих фигур дети показали «вот такие полоски» (пока зываются полоски разной длины). Детям предлагается угадать признак, по которому сравнили эти фигуры.
Дети по очереди рассматривают все знакомые им признаки в случае необходимости учитель сам производит соответству ющие сравнения, по-разному прикладывая фигуры друг к другу. Оказывается, что во всех случаях фигуры равны. Чтобы вы ть, по какому же все-таки признаку эти фигуры не равны, учитель предлагает лучше рассмотреть эти фигуры. Кто-нибудь из детей выходит для этого к столу. Взяв в руки фигуры, ребенок сразу обнаруживает, что одна фигура тяжелее другой, о чем сообщает классу. Учитель называет новый признак: «Од на (показ) фигура больше по массе другой» (показ).
2. Дети пробуют вручную сравнить различные предметы по массе. Если предметы сильно отличаются по массе, то это сделать легко, в этом случае результат сравнения сра зу показывается на полосках. Однако выделяются слу чаи, когда вручную трудно определить, какая из фигур легче. Выясняется, что для сравнения по массе лучше ис пользовать специальный прибор — двухчашечные весы. Дети сравнивают предметы на весах.
3. Учебник, ч. 1, с. 18. Упр. 1, 2.
В последнем задании упр. 2 «ловушка»: рыбы не лежат на весах, и об их массах ничего сказать нельзя.
2.8. Графическое моделирование отношений равенства и неравенства
1. Предлагается сравнить два предмета. Дети сами называ ют признак, по которому можно их сравнить, после чего кто-нибудь производит соответствующее сравнение. Ос тальные показывают результат сравнения на полосках. Этот же результат фиксируется на доске с помощью от резков («это проще, чем рисовать полоски»).
Производится сравнение этих же предметов по другому признаку, и результат сравнения (который должен оказаться иным) снова фиксируется полосками и отрезками.
2.На доске пары равных и неравных отрезков. Их размеры и расположение различны.
Учитель указывает какую-либо пару отрезков, а дети пока зывают или называют пару предметов и признак сравнения, про которые могут говорить эти отрезки. Приведенные детьми примеры обсуждаются. Каждый раз выясняется, какие еще па ры отрезков описывают данный случай сравнения.
Теперь нужно различить два вида признаков: с одной сторо ны, цвет и форма, с другой — масса, длина, площадь, объем. Для этого учитель показывает два объекта разного объема и просит не только найти соответствующие отрезки, но и ука зать, какой отрезок замещает каждый объем. Затем учитель предъявляет два объекта, различающиеся только по цвету (на пример, синий и красный), просит учащихся найти соответ ствующую пару отрезков и уточнить, какой отрезок обознача ет красный объект, а какой — синий. Выясняется, что при сравнении объектов по цвету и форме можно говорить только о различии (неодинаковости), здесь неважно, как соотносятся друг с другом предметы и изображающие их отрезки. В других случаях (длина, площадь, объем, масса) можно более точно описать различие: один предмет больше другого (а другой меньше первого). В этих случаях больший предмет изобража ется более длинным отрезком, а меньший — более коротким. Учитель сообщает, что признак, по которому предмет может быть больше или меньше, называется величиной.
Примечание. С этого момента в подходящих случаях слово величина используется наравне со словом признак, постепенно вытесняя его.
3. Учебник, ч. 1, с. 19. Упр.1 - 3.
2.9. Количество
1. У каждого ученика по 4 карточки с изображением флажка и 4 — с изображением детей (картинки могут быть другими). Предлагается определить, хватит ли флажков, чтобы раздать их детям.
Выясняется, что каждому ребенку можно дать по одному флажку (ученики попарно соединяют карточки с изображением детей и флажков), тогда у каждого ребенка будет по флажку и лишних флажков не останется. Количество флажков равно ко личеству детей (флажков столько же, сколько детей). Флажков хватит. Результат сравнения группы детей с группой флажков (по количеству) фиксируется на отрезках (чертятся равные от резки).
Учитель предлагает по-другому раздать флажки детям: каж дому по два флажка (две карточки с флажками придвигаются к одной с изображением ребенка). Выясняется, что тогда флаж ков не хватит, их будет меньше, чем нужно. Этот результат тоже фиксируется на отрезках.
В ходе обсуждения выясняется, почему сравнивая одни и те же группы предметов, один раз начертили равные отрезки, а другой — неравные. Устанавливается, что в первом случае сравнивали количество детей с количеством флажков (они оказались равными), а во втором — детей сравнивали с парами флажков (детей оказалось больше, чем пар флажков).
2. Демонстрируются (а лучше раздаются детям) предметы или их изображения: группы кружек и ложек, группы ве лосипедных колес и рам, группы перчаток и детей. Опре деляется, каким бывает комплект обычно в жизни. Так, кружке соответствует одна ложка, но одному ребенку нужно дать пару варежек, для велосипедной рамы одно го вида требуются два колеса, а для другого вида — три. В каждом случае детям нужно определить, можно ли цели ком использовать имеющиеся у них детали для образова ния соответствующих комплектов, а для этого надо срав нить две группы предметов по количеству. Результаты сравнения фиксируются на отрезках.
Примечания. 1) Сама по себе группа каких-то вещей никакого количества не имеет, оно появляется лишь в результате ее взаимно-однозначного соотнесения с другой группой. Собст венно, в самом способе соотнесения и выявляется, количества каких предметов сравниваются, например идет ли речь о коли честве отдельных колес, или пар колес, или троек колес.
2) В данном курсе величина количество не отождествляется с числом (как это обычно делается). Однако не важно, если при сравнении количеств наряду с установлением взаимно однозначного соответствия между совокупностями дети бу дут использовать числа и счет. В любом случае равенство или неравенство количеств должно быть обосновано с по мощью взаимно-однозначного соотнесения.
3. Учебник, ч. 1, с. 19. Упр.1 - 3.
В упр. 1 после сравнения количеств результат (неравенство) фиксируется отрезками, а затем выясняется, что равенство можно получить либо добавив предмет к одной совокупности (блюдце или треугольник), либо убрав предмет из другой (чаш ку или квадрат). Соответствующие изменения исходных сово купностей изображаются на рисунке (лишнее зачеркивается, недостающее дорисовывается другим цветом).
4. Учебник, ч. 1, с. 21. Упр. 3, 4, 5. Упр. 4, 5 содержат зада ния повышенной трудности.
Критерии усвоения учебного материала
Учащиеся должны:
1) правильно выполнять предметное действие сравнения по заданному параметру. Например, когда учитель предлагает выяснить, равны ли книга и альбом по длине, ученик дол жен правильно совместить эти предметы;
2) отвечая на вопрос о равенстве или неравенстве предметов, употребить название признака, например: «Эти предметы равны по длине» (а не «предметы равны»);
3) на просьбу показать два одинаковых по какому-то парамет ру предмета уметь показать два предмета, отличающихся по другим параметрам, а не полностью идентичных;
4) уметь подобрать предметы к отношению, представленному отрезками, передать отношение величин отношением от резков.
3.Действия с величинами (10-12уроков)
3.1. Изменение величин
1. На столе у учителя два одинаковых сосуда, а на доске изображены два отрезка разной длины. Учитель сооб щает, что отрезки рассказывают об объемах воды, которую детям нужно налить в эти сосуды, и предлага ет сначала налить воду в сосуд, «о котором говорит вот этот отрезок» (показывается меньший отрезок), а уже затем в другой. Двое детей по очереди выходят к столу учителя и производят необходимые действия. Осталь ные дети следят за правильным выполнением их рабо ты. Выясняется, что не имеет значения, сколько воды наливать в каждый из сосудов, главное, чтобы объем воды в первом был меньше, чем во втором. В заключе ние дети чертят в своих тетрадях соответствующие от резки.
2.Уравнивание величин. На столе у учителя два одинако вых сосуда, в которых налито разное количество воды. Дети замечают, что объем воды в одном сосуде больше, чем в другом, и фиксируют это на отрезках, которые чер тятся в тетрадях и на доске.
После этого учитель сообщает, что нужно, чтобы в первом сосуде (с меньшим объемом воды) стало столько же воды, сколько во втором. (Это требование можно облечь в какой-ни будь правдоподобный сюжет, например связанный с дозиров кой какой-то жидкости.)
У. Что нужно для этого сделать?
Д. Нужно долить воду (жидкость) в первый сосуд.
Учитель добавляет в сосуд явно недостаточное количество воды. Дети говорят, что нужно налить больше. Тогда учитель требует более точного указания. Оказывается, что нужно долить то, чего не хватает, — разность. Учитель производит уравнение и предлагает учащимся выполнить такое же действие и отрезках. Дети дочерчивают (другим цветом) меньший от резок (так, чтобы он стал равным с большим).
Обсуждение работы:
У. Вы выполнили то же самое действие, что и я?
Д. Да.
У. Я доливал воду. Разве вы что-нибудь доливали?
Д. Мы не доливали, а пририсовали.
У. Как же назвать наше общее действие?
Д. (При подсказке учителя.) И вы, и мы увеличили, добави ли разность (на отрезке показывается разность).
У. А в первый раз, что мной было сделано? Покажите это на отрезках.
Выясняется, что в первый раз учитель тоже увеличил (объ ем), но добавил слишком мало (на отрезке показывается толь ко часть разности).
3.Задание аналогично предыдущему, только теперь требу ется уравнять большую величину до меньшей.
В ходе работы выясняется, что в этом случае надо уменьшить большую величину, причем не произвольным образом, а отнять (удалить) разность. На отрезках это можно показать, зачеркнув соответствующую часть более длинного отрезка, уменьшить его.
В заключение рассматривается упр. 1 на с. 22 учебника (ч. 1).
Примечание. На данном этапе не рассматривается такой способ уравнивания, когда часть разности перемещается из одного объекта в другой. Сейчас важно, чтобы дети выделили действия увеличения и уменьшения и связали их в случае урав нивания с необходимостью учета разности.
4.Учебник, ч. 1, с. 22. Упр. 2. Учитель поясняет детям, что на рисунке слева показано, какими были величины сна чала, а справа, после стрелки, — что получилось после выполнения какого-то действия. Нужно догадаться, что сделали с величиной: увеличили или уменьшили. Свой ответ дети дают с помощью отрезков. Во второй паре рисунков способ соотнесения количеств (в данном случае — один к одному) показан не полностью, изображена только одна линия, связывающая куб с цилинд ром. Поэтому, чтобы сравнить количества кубов и цилиндров, надо провести остальные линии.
5. Учебник, ч. 1, с. 23. Упр. 3. Выясняется, что объемы воды можно сделать равными либо первому объему, либо вто рому, либо третьему. Нужно выполнить на чертежах все три варианта, поясняя, в каком случае производится уве личение, в каком — уменьшение.
6.Учебник, ч. 1, с. 23. Упр. 4. Требуется уравнять количест ва соответственно действию, показанному на чертеже. Выясняется, что надо уменьшить большее количество, в данном случае убрать (зачеркнуть) лишние круги.
Оценивается представленная в учебнике работа трех учени ков. Выясняется, что первый ребенок все выполнил правиль но. Второй ребенок правильно выбрал действие уменьшения, но зачеркнул слишком много кругов, так что равенства не по лучилось, что и показывается на чертеже.
Третий ученик выполнил уравнивание, но сделал это, уве личив количество квадратов.
7. У учителя на столе сосуд, который не полностью запол нен водой. Дети в своих тетрадях чертят отрезок, кото рый будет рассказывать об объеме воды в сосуде. После этого учитель доливает в сосуд еще воды и предлагает де тям показать это действие на чертеже (сделать то же са мое, но с отрезком). Выясняется, что объем воды увели чили и поэтому отрезок тоже надо увеличить.
На доске чертится отрезок, который будет рассказывать о длине «вот этой полоски» (учитель показывает, например, красную полоску, у каждого ребенка на парте есть такая же). После этого учитель зачеркивает часть отрезка и предлагает де тям выполнить то же самое со своей полоской. Выясняется, что чертеж показывает, что надо уменьшить длину полоски, и дети отрезают часть полоски.
8. Учебник, ч. 1. с. 24. Упр. 5, 6.
9. У учителя крупа в пакете. Ее масса обозначается отрезком. Учитель отсекает часть отрезка, не делая зачеркивающих штрихов, и спрашивает, понятно ли при таком действии с чертежом, что нужно сделать с массой крупы. Кто-то из детей отсыпает часть крупы. Предлагается провести указ кой по отрезку, соответствующему оставшейся части кру пы. Затем вызываются два ученика. Они должны охваты вающим жестом показать на чертеже, какая масса крупы была сначала (один ученик) и какая масса стала после уменьшения (другой ученик). Затем предлагается вместо рук охватить нужные отрезки дугами. Учитель рисует дугу для большего отрезка, а кто-то из детей — для меньшего.
10.Учитель показывает прямоугольник и делает чертеж на доске, в котором увеличивает исходный отрезок, но пока не рисует дуг. Внимательные дети догадываются (и без пунктирной линии), что площадь будет увеличена. Учи тель приклеивает к прямоугольнику полоску иного цве та. Предлагается показать на чертеже и на прямоугольни ке, какая площадь была сначала. Дети показывают охва тывающим жестом часть прямоугольника и нужный от резок. Жест на чертеже заменяется дугой. Таким же обра зом показывается жестами и дугой конечная площадь прямоугольника.
11.Учебник, ч. I.e. 24. Упр. 7. По рисунку устанавливается, что с водой в сосуде последовательно провели два дейст вия, причем оба раза объем воды увеличивали. После того как дети изобразят это на чертеже, учитель предлагает показать на нем с помощью дуг разного цвета все три объема (исходный, получившийся после первого увели чения, итоговый).
3.2. Обозначение величин буквами
1. На столе у учителя стоит сосуд с водой, а на доске изоб ражен чертеж:
Учитель сообщает, что в другом классе ученики изменили объем воды в сосуде и показали это на чертеже. Детям предла гается угадать, какое действие сделали ученики другого класса, и выполнить его.
Выясняется, что по этому чертежу нельзя сказать, увеличи вали объем или уменьшали. На нем выделены два объема, но не ясно, какой из них был сначала, а какой получился потом.
Учитель сообщает детям, что он знает, какое действие было совершено, и поможет им это узнать, но чтобы было интерес нее, он покажет это с помощью значков. После этого учитель отмечает на чертеже выделенные объемы какими-нибудь знач ками и делает запись, состоящую из этих значков, соединен ных стрелкой:
Дети (при помощи учителя) выясняют, что первый значок в записи (галочка) обозначает больший объем, второй значок (крестик) обозначает меньший объем, а стрелка показывает, какой из объемов был сначала и какой получился потом. Уста навливается, что запись говорит об уменьшении, так как сна чала объем воды был больше, чем стал потом. Кто-нибудь из детей выходит к столу и отливает воду из сосуда.
Учитель сообщает, что в математике величины обычно обо значают буквами, предлагает выбрать буквы и переделать за пись. Чтобы показать произвольность выбора букв, на доске фиксируется несколько вариантов записи
А→Н С→Т
2. Учебник, ч. 2, с. 3. Упр. 1. По рисунку устанавливается, что объем воды увеличили. Обсуждая рисунок, дети вы ясняют, что сначала был объем А, потом получился объ ем П. Соответствующие буквы вставляются в чертеж (в учебнике и на доске).
Далее предлагается провести указкой по отрезку, обознача ющему объем А, объем П. (Заметим, что такие показы нужно практиковать часто. Некоторые дети, работая с буквами и ду гами, начинают считать изображением величины дугу или бук ву, а не отрезок; например, при просьбе показать величину П они обводят дугу или указывают на букву.)
3.Учебник, ч. 2, с. 3. Упр. 2. Если в упр. 1 буквы были зада ны, то теперь их нужно подобрать самим. Это должно быть сделано так, чтобы еще раз показать, что могут быть взяты любые буквы.
4.Учебник, ч. 2, с. 3. Упр. 3. По рисунку дети определяют, какая величина обозначена буквой (в обоих случаях ко личество), и находят ее на чертеже. Далее определяется, какая еще величина показана на чертеже и какое дейст вие надо совершить, чтобы получить ее из данной. Со ответствующее действие совершается (на рисунке зачеркиваются лишние или добавляются новые фигу ры), а под рисунком делается запись проделанного дей ствия (к букве, обозначающей исходную величину, до писываются стрелка и буква, обозначающая получен ную величину).
К→Т А→Р
5. Учебник, ч. 2, с. 4. Упр. 4. Задание аналогично предыду щему, только разные действия с разными величинами представлены одним чертежом.
6. Учебник, ч. 2, с. 4. Упр. 5, 6. В отличие от прежних за даний, здесь производятся два изменения величины, а поэтому для обозначения всего процесса требуются три буквы.
7. Учебник, ч. 2, с. 5. Упр. 7. Буквы присваиваются величи нам вне ситуации их изменения. Сначала выясняется, какая величина представлена отрезками и обозначена буквами.
Дети могут сказать, что А — это мышь. Следует уточнить, что это может быть высота животных, а может быть их масса. Лучше остановиться на массе. Предлагается вписать буквы под рисунками и правильно прочитать запись: масса А (а не мыш ка А) и т. д.
8.Сохранение величин. Учитель показывает квадрат. Под бирается буква для обозначения его площади (А). От ква драта отрезается и откладывается уголок. Теперь пло щадь фигуры должна быть обозначена другой буквой (С). Буквы записываются на доске: А→С
Учитель приставляет отрезанный уголок на прежнее место — опять получилась величина А, добавили столько же, сколько убавили. Запись дополняется новой стрелкой и бук вой А: А→С→А
Учитель приставляет отрезанный уголок к иному месту на фигуре. Какова теперь площадь? У некоторых детей воз никнет замешательство. Другие дети или учитель разъясняют, что площадь фигуры осталась той же, что была вначале (доба вили столько же, сколько убавили), изменилась лишь ее фор ма. Запись остается той же самой.
9. Учебник, ч. 2, с. 5. Упр. 8. Выясняется, что на рисунке показаны два последовательных изменения количе ства: сначала количество звездочек уменьшается, а затем увеличивается. Однако оказывается, что добавили столько же звездочек (две красные), сколько убрали (две желтые), в результате получится то же количество звез дочек, что и исходное (А), хотя сами группы звездочек различны. Равенство исходного и получившегося в ито ге количеств проверяется: проводятся линии, соединяю щие звездочки на первом рисунке со звездочками на третьем рисунке (одна к одной). Вводится только одна новая буква — для обозначения меньшего количества (средний рисунок), а на чертеже выделяется только один отрезок.
10. Уточнение представлений детей о площади. У детей и учителя квадрат. На доске записывается обозначение его площади (Т). Далее квадрат разрезается по диагонали (рис. а) и из полученных треугольников составляется но вый треугольник (рис. б).
У. Как теперь нужно обозначить площадь фигуры?
Выясняется, что полученные треугольники вместе также составляют площадь Т, — ее разрезали, но ничего не отброси ли и ничего не добавили, у новой фигуры такая же площадь, как и была, но другая форма.
Предлагается еще раз изменить форму фигуры (рис. в). Же стом показывается ее площадь: она такая же, как и была (Т).
11. Учебник, ч. 2, с. 6. Упр. 9.
12. Учебник, ч. 2, с. 6, 7. Упр. 10 — 11. Работая с площадью и длиной, дети изменяют первоначально выбранную букву только при изменении величины, но не формы объектов.
13. Учебник, ч. 2, с. 7. Упр. 12—13. Если величины равны, то они обозначаются одной буквой и изображаются одним и тем же отрезком.
3.3. Запись результатов сравнения
1. Двум ученикам выдаются два разных объекта (например, два кусочка пластилина разного цвета и разной формы). Выясняется, по каким признакам можно сравнить эти объекты. Среди прочих выбирается масса. Каждый из учеников сам придумывает и сообщает буквенное обо значение массы своего объекта. Буквы записываются на доске (например, А и Т). Предлагается сравнить эти мас сы на весах. Массы оказываются равными. «Как показать результат сравнения?» Выясняется, что это можно сделать с помощью чертежа:
Учитель сообщает, что обычно в математике результат срав нения записывается с помощью букв и специального знака. Учитель вписывает между буквами знак «=» и прочитывает за пись: «Масса А равна массе Т». Может возникнуть недоразу мение: равные величины раньше обозначали одной и той же буквой. Разъясняется, что буквы были выбраны еще до срав нения и теперь равенство величин показывается с помощью знака.
Еще одному ученику вручается гирька. Он обозначает ее массу буквой (например, Л). Предлагается сравнить эту массу с массой одного из кусков пластилина. Они оказываются не равными. «Хозяин» этого куска пластилина напоминает обо значение его массы. Делается запись: А ≠Л. Дети читают ее: «.Масса А неравна массе Л».
Учитель предлагает угадать, какой результат будет при сравнении массы другого куска пластилина и массы гирьки? Предположения детей проверяются с помощью весов, состав ляется и прочитывается запись неравенства Т ≠Л, дополняет ся чертеж:
Примечание. На данном этапе работы каждая запись (на пример, А≠Л) читается с указанием величины, чтобы дети не перешли к ее пониманию как «буква А неравна букве Л».
2. На столе два непрозрачных сосуда одинаковой формы. На доске запись об объеме воды в сосудах: П ф А. Дети читают ее, называя величину. «Как сделать, чтобы во вто ром сосуде было бы столько же воды, сколько в первом? »Дети хотят заглянуть в сосуды, чтобы узнать, где воды больше. Учитель не разрешает этого, но делает уточняю щую запись на доске: П > А. Детям это непонятно. Учи тель сообщает, что взрослые сразу бы поняли, что делать, потому что они умеют читать новый знак — это знак «больше»! Выясняется способ уравнивания, но ставится задача научиться читать и писать новые знаки. «Навер ное, есть и знак «меньше»?
Учитель предлагает найти в рамках (учебник, с. 8) знаки «равно», «неравно», «больше», «меньше». Дети замечают, что знаки «больше» и «меньше» похожи, только смотрят в разные стороны. Подчеркивается, что «носик» знака всегда показыва ет на меньшую величину.
3.Учебник, ч. 2, с. 8. Упр. 1. Выясняется, что сравниваются количества. Делаются и прочитываются записи.
4.Учебник, ч. 2, с. 8, 9. Упр. 2, 3. Показывается, что запись сравнения может быть сделана начиная с любой из за данных величин. При этом знак в записи может изме ниться, если идет речь об отношении «больше — мень ше». Так, сравнив массы С и Н, дети делают запись С < Н. Затем предлагается дополнить запись Н...С. Учитель предлагает вписать тот же знак — ведь речь идет о массе тех же животных. Дети не соглашаются: тогда получится, что масса кита меньше массы медведя.
5. Учебник, ч. 2, с. 9. Упр. 4. Запись читается с указанием величины. В сосудах отмечается нужный уровень воды, дорисовывается овал меньшей площади; длина У может быть и меньше, и больше длины Н.
6. Учебник, ч. 2, с. 9, 10. Упр. 5, 6. Одни и те же объекты сравниваются исходя из разных критериев. Результаты сравнения оказываются разными. В упр. 5 одни и те же звездочки по-разному соотносятся с сердечками. В пер вом случае с одним сердечком соотносится пара звездо чек, а во втором — одна звездочка. Таким образом, в этих случаях речь идет о разных количествах (количест ве пар звездочек и количестве звездочек), и поэтому они обозначены разными буквами.
В упр. 6 в первом случае сравниваются количества дырок в двух прямоугольниках (рассматривается наиболее простой случай — соотнесение один к одному), а во втором — площади этих «дырявых» прямоугольников (т. е. площади закрашенных частей прямоугольников).
7.Предлагается прочитать запись на доске П < М. Выясня ется, что пока неизвестно, о какой величине идет речь. В таких случаях предлагается читать запись, просто на зывая буквы и знак.
У. При сравнении каких величин может получиться такая запись?
Дети перечисляют разные величины: может быть, сравнили две длины или два объема и т. д.
У. Пусть это будут площади.
Работая в паре с соседом по парте, учащиеся подбирают подходящие объекты из разрезного материала. Обнаруживает ся, что дети, сидящие за разными партами, показывают разные виды фигур — круги, квадраты или треугольники. «Кто прав?» Выясняется, что правы все, потому что у всех одна площадь меньше другой.
Под предыдущей записью на доске делается новая: П > Р. Учащиеся подбирают второй объект, сохранив первый.
8.Учебник, ч. 2, с. 10. Упр. 7. Сначала выясняется, о каких величинах идет речь. Может быть, это длина, но черте жом можно показать сравнение любых величин. Дети на зывают разные величины. Раз неизвестно, о чем точно идет речь, записи прочитываются абстрактно. Выполня ется чертеж, с помощью которого делается вывод об от ношении двух величин.
9.Учебник, ч. 2, с. 10. Упр. 8. Из рисунка понятно, что срав ниваются массы. Соответствующим образом читаются за писи. Дети высказывают предположение об отношении масс К и С, которое проверяется с помощью чертежа.
3.4. Ряды величин
У учителя 4 сосуда разного объема (что сразу заметно). У детей 4 полоски разной длины и разного цвета (то, что цвет разный, упростит процесс обмена мнениями). Дети
будут делать с полосками то же, что учитель с сосудами. Сосуды выстраиваются в порядке уменьшения их объе мов.
У. Что сделано?
Д. Поставили сосуды по порядку.
У. Верно, сделали упорядоченный ряд. По какому признаку упорядочили сосуды?
Д. По объему.
У. Покажите этот порядок с помощью длин полосок.
Далее на полосках записываются буквы. Это обозначение объемов сосудов — ведь полоски замещают сосуды. Получает ся, например, такой ряд: А, П, Н, К.
Предлагается назвать самый большой объем, самый ма ленький. «Какой объем меньше К? (Нет такого.) Больше А? (Нет такого.) Какой объем больше Л? (А.) Меньше П?(Н и К.) Какой объем задуман, если он больше К, но меньше П? Больше К, но меньше А?»
2. Учебник, ч. 2, с. 11. Упр. 1, 2, 3. В одних случаях нужно построить ряды на основе записей, в других — продол жить ряд заданного вида. В упр. 2, следует предложить детям определить, чем отличаются два упорядоченных ряда величин (площадей и длин). Учитель помогает им, вводя термины: величины построены в ряд по возраста нию и по убыванию. (От учащихся требовать воспроизве дения этих терминов не нужно, достаточно, чтобы они их понимали.)
3.Учебник, ч. 2, с. 12. Упр. 4. Дети высказывают предполо жения, о каких величинах может идти речь в записях (это могут быть любые величины), пытаются назвать самую большую величину и самую маленькую. Учитель предла гает воспользоваться помощником — чертежом.
4. Учебник, ч. 2, с. 12. Упр. 5. При выполнении записей учитель должен «недоумевать» и «сомневаться» в их пра вильности.
У. Записали: А > Н и А < Б. Так что же правильно: А больше или А меньше?
Д. Если сравнивать А с Н, то А больше, но та же величина А меньше другой величины, Б.
5. Учебник, ч. 2, с. 12. Упр. 6. В предыдущем задании уча щиеся определяли отношение величин, которые были наглядно представлены рядами объектов. Теперь ряд «спрятан», известно только, что он упорядочен по убыва нию. После выполнения сравнения учитель «восхищен но» подчеркивает, что дети смогли сравнить величины, хотя их не видели, и этому помогло знание, что величи ны в ряду определенным образом упорядочены.
Критерии усвоении учебного материала
Учащиеся должны:
1) уметь изображать на чертеже одно изменение величины, выделять исходную и получившуюся величины, обозначая их разными буквами;
2) выполнять предметные действия с величиной в соответ ствии с чертежом и сопровождающими его буквенными за писями;
3) уметь записывать результаты сравнения величин буквенны ми формулами;
4) подбирать величины к заданной формуле (разные пары предметов, величины которых находятся в соответствую щем отношении).
4. Введение числа(10-12 уроков)
В этой теме рассматриваются ситуации, в которых освоен ные способы непосредственного сравнения величин не подхо дят, например если предметы разделены в пространстве или во времени либо различны по форме.
Для ее решения приходится прибегнуть к некоторой другой величине — мерке (условной единице), которая повторяется в данной величине некоторое число раз. Таким образом, в пер вую очередь выявляется операторный смысл числа: число вы ступает как инструмент, позволяющий получить из одной ве личины другие.
Далее рассматриваются различные способы фиксации ша гов в процессе построения (отмеривания) величины и соответ ствующие им формы представления чисел: с помощью меток (наиболее ранняя в истории форма числа), с помощью упоря доченного ряда слов-числительных и замещающих их знач ков-цифр (счет).
В заключение выявляется новый смысл числа — количе ственный, когда число выражает результат измерения величины.
4.1. Сравнение величин с помощью посредника
Сначала воспроизводится уже известный детям способ не посредственного сравнения величин. Затем создается ситуа ция, требующая использования посредника. Но пока это еще не число, а третья величина, с которой можно сравнить каж дую из исходных величин по отдельности. На основании ре зультатов этих двух сравнений можно сделать вывод об отно шении между исходными величинами.
У. Но зачем ты идешь ко мне? Полоски находятся на столе!
Д. Нужен брусок, иначе не получится точно подобрать полоску. Брусок нужно приложить к полоскам.
Ученик выполняет задание. ( На столе нужно иметь две явно неравные длине бруска полоски, одну равную и одну слегка отличающуюся от нее.) Задание вполне знакомо и все дети знают, как нужно действовать.
2.На левом конце доски начерчен отрезок, длина которого обозначена буквой А, а на другом конце еще четыре от резка с длинами Е, С, Н и Р (длины Е и Н явно неравны длине А; Р > А, С = А):
Учитель предлагает найти среди отрезков справа отрезок, длина которого равна длине А. Некоторые дети начнут угады вать. На этом этапе отвергаются отрезки с длинами Е и Н, но остаются сомнения по поводу двух других отрезков. Учи тель требует совершенно точного ответа и спрашивает, чем от личается это задание от того, с которым только что легко и быстро справились. Выясняется, что здесь невозможно при ложить левый отрезок к другим отрезкам. «Как быть?» Воз можны попытки зафиксировать длину отрезка-эталона рука ми. Учитель повторяет эти попытки, но при этом получает совсем другие результаты сравнения (специально меняя при переносе положение рук). Выясняется, что такой способ не будет точным, при переносе трудно сохранить положение рук неизменным.
Значит, надо заменить отрезок предметом такой же величи ны (длины), но который можно переносить. Нужен посредник! Вероятно, кто-то из детей предложит воспользоваться линей кой.
У. Но у меня линейки нет, а есть такие вещи: кружка, длин ная веревочка, короткая бумажная полоска. Что нам поможет? Что послужит посредником?
В качестве посредника выбирается веревочка, с помощью которой и производится соизмерение длины А сначала с дли ной Р, а затем с длиной С.
Далее учитель знакомит детей со специальным инструмен том, который позволяет фиксировать длины, — циркулем. Снова производятся сравнения длин отрезков, но теперь уже с помощью циркуля.
В заключение еще раз подчеркивается, что открыт новый способ сравнения, и предлагается поупражняться в нем.
3. Учебник, ч. 2, с. 13. Упр. 1. Сначала устанавливается, что сравнить длины сторон фигур невозможно без посредни ка. В качестве такового предлагается использовать поло ску бумаги (не линейку!). Учитель показывает, как нужно наложить ее на соответствующий отрезок и отметить на ней его длину.
4.Учебник, ч. 2, с. 13. Упр. 2. Для выполнения этого зада ния учитель предлагает использовать циркуль, а тем, у кого нет, воспользоваться полоской бумаги.
5. Учебник, ч. 2, с. 13. Упр. 3. Для его выполнения нужно воспользоваться материалом приложения. Все фигуры из него должны быть заранее вырезаны и сложены в кон верты, которые следует выдавать детям на уроке. Дети должны выбрать среди фигур ту, которая имеет ту же пло щадь, что и данная.
4.2. Измерение. Мерка. Метки
Вводятся новое средство сравнения и воспроизведения ве личины — мерка — и сопровождающее работу с ней действие счета. Сначала рассматривается исторически более ранний способ учета количества отложенных мерок — использование меток. Это делается для того, чтобы сконцентрировать внима ние учащихся не на результате измерения, а на процессе изме рения и воспроизведения величины. Вводится схема, в кото рой фиксируется результат этого процесса и его компоненты.
1.Учебник, ч. 2, с. 14. Упр. 1. Дана ситуация, требующая не сравнения величин, а воспроизведения заданной вели чины, а именно площади. Устанавливается, что для рабо ты необходим посредник. Учащиеся не обнаруживают в своих конвертах точно такой фигуры, как представлен ная в учебнике. Учитель утверждает, что в другом классе дети все же смогли воспользоваться этим разрезным ма териалом, и указывает на подсказку в учебнике — не большие прямоугольники, площади которых обозначе ны буквами. Ученики выкладывают прямоугольники из конверта и после проб и обсуждений составляют пло щадь фигуры-образца из трех частей. Части переносятся на заданное в учебнике место и обводятся.
Учитель сообщает, что в детском саду дети не смогли доду маться до такого решения, им нужно помочь — послать пись мо, в котором указать, какие посредники нужно выбрать. В «заготовку письма» вписываются буквы:
В ← САР
Письмо можно прочитать так: «Величину В получили с по мощью величин С, А, Р». Отмечается, что это новая работа с посредником.
При воспроизведении площади П (заданной в учебнике да лее) пригодным оказывается посредник с площадью Т, кото рый приходится наложить на образец несколько раз и столько же раз затем воспроизвести на новом месте. Обсуждается но визна работы: воспользовались одним посредником, но его ук ладывали несколько раз. «Письмо в детсад» дополняется лишь одной буквой. Такой посредник предлагается называть особым словом — мерка.
2. Учебник, ч. 2, с. 14. Упр. 2. Нужно построить фигуру за данной площади, но иной формы. Выясняется, что при дется воспользоваться посредником. «Сколько посредни ков нужно взять из конверта? Можно ли в этом случае дей ствовать одной меркой?»
Дети примеряют разные объекты из конверта и находят ква-Драт с площадью А, которым и действуют как меркой. Выбор посредника фиксируется в «письме»: вписывается одна буква (хотя «на всякий случай» в заготовке даны клетки для трех букв).
После этого учитель сообщает, что в детском саду, получив письмо, одни дети отложили мерку только один раз, другие — кто сколько раз (учитель показывает листы бумаги с таки ми изображениями). Отмечается, что у детей в детском саду не получилась фигура такой же площади. «Почему это произош ло?» Выясняется, что запись была неполной. Учащиеся могут предложить записать число 4. Учитель соглашается, что теперь запись понятна, но замечает, что дети в детском саду еще не зна ют цифр. Другое предложение — записать букву А (мерку) 4 ра за — принимается как возможное. Но есть другой способ: пока зать метками, сколько раз нужно отложить мерку А. Метки мо гут быть любые, например палочки, кружочки, крестики и т. п. Над стрелкой проставляется нужное число меток. Анализирует ся полученная запись: где указана величина, мерка, где метки.
3.Учебник, ч. 2, с. 15. Упр. 3. Нужно отложить отрезок, длина которого Р. На доске воспроизведено «письмо» из учебника. Учащиеся находят в конверте соответствую щую заданию мерку. Предлагается поработать так, как будто они тоже не знают чисел. Учитель диктует: «Отло жите мерку раз ... теперь еще раз ... еще раз ... еще раз». После выполнения каждого шага работы учитель зачер кивает одну метку.
Примечание. На данном этапе работы важно, чтобы дети не называли чисел, смысл которых еще должен быть сформи рован.
4.У доски разыгрывается следующий сюжет. В банке налит сок (или окрашенная жидкость), рядом находится пустой стакан. На другом столе такая же банка, в которую нуж но налить столько же сока, сколько в первой банке. При этом банки перемещать со стола на стол нельзя. Дети замечают стакан и предлагают воспользоваться им как меркой. Учитель начинает измерение, а дети ставят метки в запись (ее нужно сделать в обычной тетради), приговаривая: «Раз отмерили, еще раз, еще раз» и т. д. (учитель напоминает, что дети будто бы не умеют считать).
Теперь можно наливать сок во вторую банку.
Дети «диктуют» учителю действие отмеривания: произносят «раз» и зачеркивают первую метку и т. д. Учитель хочет про должить работу и после того, как все метки зачеркнуты: у него ведь нет записи, а без записи он не помнит, когда нужно оста новиться. Дети уверены, что работа закончена, так как все мет ки у них зачеркнуты. Для проверки правильности выполнения задания сосуды ставятся рядом, и равенство объемов жидкости в них становится очевидным.
5. Учебник, ч. 2, с. 15 — 17. Упр. 4—11. Следующие упраж нения направлены на освоение детьми действий измере ния и отмеривания и соответствующих записей. Некото рые задания полезно выполнять в парах. При этом один ученик работает с объектом (накладывает мерки), а дру гой с записью (ставит или зачеркивает метки). Оба при говаривают: «Раз, еще раз...» Затем то же задание выпол няется при смене ролей. В результате в тетрадях обоих учеников должна получиться одинаковая картина: име ются и измеренный объект, и запись.
Приведем особенности некоторых упражнений.
В упр. 6 необходимо сменить букву для обозначения мерки, поскольку теперь меркой является площадь полоски, в то вре мя как в упр. 5 меркой служит ее длина.
Примечание. В строгом смысле меркой, или посредником, являются величины (именно они обозначаются буквами), од нако в ситуациях, когда рассматривается только одна величи на, характеризующая объекты, допускается называть меркой и сам объект.
Упр. 7. Дети должны сами найти в записи указание на то, какую мерку им нужно взять из конверта.
Упр. 8—11. Теперь мерка представлена только графически, поэтому придется не укладывать мерки, а рисовать их, чему помогут клетки.
4.3. Слово-метки
В этом и следующем разделах рассматривается новый спо соб учета откладываемых мерок при измерении и отмерива нии — счет. В основе действия счета лежит представление об упорядоченном ряде чисел, в котором каждое число имеет соб ственное место. Таким образом, в счете используется порядко вый аспект числа, свойства которого будут рассмотрены в сле дующем разделе.
Для выявления этих свойств, т. е. для того, чтобы счет отра жал осмысленное действие, а не механическую процедуру, пер воначально используются нестандартные системы числитель ных, имеющие те или иные недостатки по сравнению с число вым рядом. Такими системами могут служить детские считал ки, стихи и любые другие тексты.
1. Нужно от веревки отрезать кусок, длина которого рав на длине доски. Веревка находится «на складе» — в даль нем углу классной комнаты. Дети предлагают изме рить доску. Учитель соглашается и выдает мерку — ма ленькую планку. Кто-то из учеников должен выполнить измерение, проставляя в записи на доске метки. Учащи еся на партах делают только запись. Скоро обнаружива ется, что работающему у доски трудно все время пере ключаться от откладывания мерки к постановке метки. Как упростить работу, не прибегая к помощи других? Скорее всего, дети предложат называть «числа». Учитель подчеркивает, что они предлагают не записывать метки, а называть слова.
У. Но как быть, если малыш не знает таких слов — чисел? Вот маленький Юра использовал слова считалки (сообщается считалка, приведенная в учебнике). Опробуем и мы этот способ работы.
Учитель помогает учащимся соотнести каждое откладыва ние мерки с отдельным словом считалки. Последнее слово, «чтобы не забыть», записывается в схему.
Как же теперь отмерить веревку? Выясняется, что, отклады вая мерку на веревке, нужно называть слова считалки до слова, указанного в записи. Работа выполняется при хоровом воспроизведении считалки. Отмеренный кусок веревки отрезается и прикладывается к доске. Дети убеждаются в том, что задача решена верно.
Учебник, ч. 2, с. 18, 19. Упр. 1 — 5. В этих заданиях пред лагается либо измерить величину, либо воспроизвести ее. В обоих случаях должны быть использованы слова счи талки. Все это выполняется на материале разных видов величин: длины, площади, объема и количества.
4.4. Какой должно быть считалка
В данном разделе в результате применения «дефектных» си стем числительных выявляются следующие основные свойства числового ряда:
1) числа следуют в определенном порядке одно за другим. Этот порядок никогда не может нарушаться;
2) числа в ряду не могут повторяться. Каждое число встречает ся только один раз;
3) если нужно, ряд чисел всегда можно продолжить. За каж дым числом есть еще числа;
4) для всех людей числа должны быть одни и те же.
В связи с этим возникает необходимость использова ния стандартной системы числительных и специальных знаков (цифр) для их обозначения. Дети знакомятся с цифра ми, которыми в разное время пользовались разные на роды. Рассмотрение различных систем обозначения необхо димо для выяснения их смысла, поскольку единственная привычная система обозначения воспринимается как дан ность и не вызывает вопросов.
1. Учебник, ч. 2, с. 20. Упр. 1. Рассматривается случай ис пользования считалки с повторяющимися словами. Вы ясняется, что такая считалка «плохая», по одному и тому же слову получаются разные результаты. Учитель помога ет детям сформулировать требование, которому должна удовлетворять считалка, чтобы результат отмеривания ве личины был один (свойство 2).
2.Учебник, ч. 2, с. 21. Упр. 2. Выясняется, что недостаточно знать одно слово из считалки, необходимо, чтобы была известна вся считалка. Поэтому считалка должна быть у всех одна и та же. Затем выясняется, что произойдет с ре зультатом отмеривания, если изменить порядок слов в считалке. Устанавливается, что слова в считалке должны идти всегда в одном порядке.
3. Далее учитель предлагает измерить некоторую величину и дает для этого мерку. В качестве считалки дается лишь часть какого-нибудь стиха, в которой слов меньше, чем мерок, укладывающихся в величине. Возникает проблема: не хватает слов в считалке. Нужны еще слова. Добавляет ся еще часть стиха. Теперь величина может быть измерена.
Берется еще большая величина. Опять нужны новые слова. Добавляется еще часть стиха. После этого обсуждается, как долго может продолжаться процесс измерения, какой запас слов для этого необходим. (Здесь требуется не формирование каких-то точных понятий, а лишь уяснение детьми необходи мости неограниченного продолжения считалки).
4. Еще раз отмечается, какой должна быть считалка, чтобы люди могли с ее помощью производить измерение и от меривание величин. Сообщаются последовательности числительных в разных языках — считалки разных наро дов (см. с. 22 учебника, ч. 2). Учащиеся воспроизводят сами «русскую считалку».
5. Отмечается, что для удобства записи вместо слов исполь зуют знаки — цифры. Учебник, ч. 2, с. 22. Упр. 3. Рассма тривается ряд славянских цифр. Они читаются детьми с помощью «русской считалки».
Учитель просит найти знак слова «четыре», «два» и т. д. Оп ределяется число, до которого нужно досчитать, чтобы выпол нить построение по записи в схеме (до числа 3). Выполняется отмеривание соответствующей длины при хоровом произнесе нии числительных.
6.Учебник, ч. 2, с. 22. Упр. 4. Читается ряд арабских цифр. Учащиеся по возможности продолжают (устно) ряд чис лительных. При выполнении измерения учащиеся хором выполняют счет. Полезно, чтобы при этом один ученик указку передвигал по числовому ряду, представленному на доске, демонстрируя таким образом его пространствен ную упорядоченность.
4.5. Составная мерка
В этом разделе дети продолжают осваивать измерение и от меривание величин с помощью мерки и стандартной последо вательности числительных. Однако теперь мерка представлена не одним, а несколькими объектами. Это важно для того, что бы дети понимали, что меркой является не предмет, а величи на, и в дальнейшем относили число 1 не к отдельному объекту, а к части измеряемой величины, которая равна мерке.
1. Учитель сообщает, что есть три цветка в разных горшках, которые нужно поливать. Причем для поливки каждого цветка требуется разный объем воды. Предъявляются три маленьких сосуда разного объема. После этого учитель показывает большой сосуд с водой и предлагает детям по мочь ему узнать, сколько раз можно полить все три цвет ка этой водой. Что для этого нужно сделать? Выясняется, что нужно измерить объем воды в большом сосуде, а в ка честве мерки нужно использовать сразу все три малень ких сосуда, иначе какой-нибудь из цветков останется неполитым.
Учитель наполняет три маленьких сосуда, учащиеся на зывают число: один. Далее учитель наполняет только один сосудик и «подсказывает» детям число: два. Выясняется, что это не целая мерка и нужно наполнить все три сосудика. Сле дующие шаги измерения учитель предлагает сделать кому-то из детей. Оказывается, полить цветы можно четыре раза.
В заключение учитель предлагает детям выбрать буквы для обозначения мерки и измеряемой величины и сделать запись (стрелочную схему) проведенного измерения. При этом еще раз фиксируется, что измеряли (объем воды в большом сосуде) и чем измеряли (объемом сразу всех трех маленьких сосу дов).
2. Учебник, ч. 2, с. 23. Упр. 1. Нужно отмерить в сосуд во ду объемом К. По рисунку и записи в учебнике опре деляется, что мерку должен составить объем двух ста канчиков и наливать эту мерку нужно считая до трех. Кто-то из учеников будет работать с водой, остальным же детям предлагается выполнять нужные действия условно, на чертеже. На доске тоже имеется заготовка для чертежа. Ученик наливает одну мерку — соответст вующий отрезок уже отложен на чертеже. Как только один из стаканчиков наполняется вновь, учитель пре рывает ученика — нужно скорее отложить мерку на чер теже! Дети должны возразить: «Это не вся мерка». Пос ле переливания второй мерки в сосуд учитель на своем чертеже откладывает отрезок заметно меньше преды дущего. Совместно принимается, что в таком случае на чертеже не видно, что работали одной и той же мер кой. Полученный объем воды охватывается на чертеже дугой.
3. Учебник, ч. 2, с. 23. Упр. 2. Требуется произвести измере ние количества, показать ход измерения на чертеже и за писать в схему, до какого числа при этом пришлось счи тать.
4. Учебник, ч. 2, с. 23. Упр. 3. Имеется чертеж. Нужно до полнить запись и восстановить измеряемый объект. В данном задании шаг на чертеже состоит из двух клето чек, и его тоже можно считать составным, но это обстоя тельство обсуждать с детьми не нужно.
4.6. Число 1
В этом разделе выявляется новый смысл числа 1, связанный с количественным аспектом чисел. Число 1 может рассматриваться не только как первый шаг в процессе последовательно го укладывания мерок, но и как произвольная часть величины, которая равна мерке.
1.Учебник, ч. 2, с. 24. Упр. 1. После выполнения всех зада ний учитель предлагает в каждом случае, начиная с по следнего, показать на чертеже и на рисунке число 1. Вы ясняется, что в последнем задании надо показать всю ве личину, потому что она равна мерке, а в остальных случа ях — только часть (которая равна мерке) измеряемой ве личины.
2.Учебник, ч. 2, с. 24 — 25. Упр. 2. Уточняются условия сче та (понимаемого как измерение): числом 1 может быть определена любая часть величины, равная мерке, т. е. считать можно начиная с любой такой части величины; каждая часть величины должна быть сосчитана только один раз.
3. Учебник, ч. 2, с. 25. Упр. 3. При выполнении этого зада ния еще раз подчеркивается, что меркой является вели чина, а не объект.
4.7. Сколько мерок?
В данном разделе на первый план выдвигается рассмотре ние количественного аспекта числа, выражающего результат измерения (счета). В этом случае число отвечает на вопрос: «Сколько мерок Е укладывается (или содержится) в величине А?» — и является характеристикой величины А. Новый смысл числа фиксируется новой формой записи, которая соответст вует записи именованного числа: А = ЗЕ, А = 3 см.
1. Учебник, ч. 2, с. 26. Упр. 1. В соответствии с чертежом нужно построить фигуру площадью Т. Учащиеся пересчи тывают мерки и выполняют построение. В этой фигуре нужно выделить часть соответственно чертежу. Выясня ется, что должны быть выделены (штриховкой) 3 мерки.
Ставится вопрос, сколько мерок в величине Т, и обраща ется внимание учащихся на заготовку записи, которую нужно дополнить.
У. Чему равна величина Т? Может быть, она равна мерке К?
Д. Нет, в ней 7 мерок К.
У. Поэтому и говорят, что Т равно семи К.
Дети вписывают в заготовку цифру. Ставятся вопросы, сколько мерок в величине С, чему она равна. Дополняется за пись.
2. Учебник, ч. 2, с. 26. Упр. 2, 3. Эти задания направлены на освоение новой записи.
3. Учебник, ч. 2, с. 27. Упр. 4-6. Используются обе формы записи результата измерения на материале, связанном с полученными ранее геометрическими представлениями.
Критерии усвоения учебного материала
Учащиеся должны:
1) Правильно выполнять построение (отмеривание) величины по схеме;
2) правильно выполнять измерение величин с помощью мер ки и описывать его стрелочной схемой (особенно показа тельны случаи с использованием составной мерки);
3) уметь выделять часть величины, соответствующую числу 1;
4) воспроизводить последовательность числительных в преде лах 10, знать цифры (кроме 0).
5. Числовая прямая (5-6 уроков)
В этой теме рассматривается специальная геометрическая конструкция, называемая числовой прямой. Ее построение позволяет наглядно представить процесс измерения-отмери вания величин как последовательное откладывание мерки. Выявляются условия, необходимые для построения числовой прямой, — выбор начала, направления и шага.
Вначале числа представляются точками прямой, что выра жает порядковый аспект числа. И лишь затем рассматривается представление чисел в виде отрезков прямой, которое выража ет количественный смысл числа.
5.1. Введение числовой прямой
Числовая прямая строится на основе чертежа, который вы полняли дети при измерении. Как и чертеж, она имеет произ вольную единичную меру — шаг. В отличие от чертежа, на ней фиксируются начало отсчета и направление, причем и то и другое выбирается произвольно.
1. На столе учителя сосуд с водой и еще один пустой, кото рый будет использован в качестве мерки. На доске за пись А = 5С. Учитель сообщает, что А — это объем воды, который нужно налить в сосуд, но Витя уже налил неко торое количество воды и требуется закончить его работу. Обнаруживается, что для этого нужно знать, сколько ме рок в сосуд уже налито. Учитель признается, что не видел действий Вити и сожалеет, что при измерении воды мер ки не видны, как это бывает при измерении площади или длины. Принимается решение — перемерить уже нали тую воду. Но как сделать «видными» мерки в сосуде? Можно отмечать их на стекле фломастером или с помо щью аптечной резинки. Выполняется промеривание, ко торое фиксируется чертежом. На доске чертеж берется выполнять учитель. Второй шаг на чертеже он делает неравным первому, что должно быть замечено детьми и затем исправлено. В сосуде оказывается всего лишь 3 мерки. Работа с водой и на чертеже доводится до конца.
2.Учебник, ч. 2, с. 28. Упр. 1. Рассматривается рисунок в учебнике. Дети определяют, сколько мерок налито в со суд на рисунке (4), отмечается, что благодаря черточкам на сосуде это можно определить и без дополнительного измерения. Соответствующий объем воды выделяется на чертеже дугой и буквой Т.
Рассматриваются представленные в учебнике варианты вы полнения чертежа. Выясняется, что в первом случае чертеж выполнен правильно, хотя взят меньший, чем в основном чер теже, шаг, но все шаги равны и их 4, как и мерок в сосуде. Во втором случае чертеж выполнен неправильно: во-первых, ша ги на чертеже разные, хотя наливали каждый раз один и тот же объем воды (мерку), во-вторых, разные длины обозначены од ной буквой.
3. На столе учителя два пустых сосуда одинаковой формы, на одном из которых нанесены отметки. Учитель сооб щает, что в один из сосудов наливали воду вот такой меркой Т (показывает) и делали отметки. После этого на доске делается запись: М = 6Т — и предлагается налить в каждый сосуд объем воды М. Для этого к доске выхо дят два ученика. Оказывается, что одному обязательно нужна мерка, а другой может обойтись без нее. Выясня ется, что с помощью сосуда с отметками проще наливать заданные объемы воды, надо просто отсчитать нужное число отметок и сразу налить воду до последней из них. Учитель сообщает, что такой измерительный сосуд на зывается мензуркой.
4. Учебник, ч. 2, с. 28. Упр. 2. По рисунку определяется объ ем воды в мензурке. Нужно показать его на чертеже. На этот раз мерка-шаг не нанесена на прямую, а дана от дельно. Обращается внимание на флажок и стрелку на чертеже. Первый показывает место, от которого надо откладывать шаги, а вторая — направление, в котором их надо откладывать. Уточняется, что шаг менять по ходу работы нельзя.
5.Учебник, ч. 2, с. 29. Упр. 3. Дети устанавливают, что оба чертежа выполнены правильно, по каждому видно, что наливали воду в мензурку одной и той же меркой (шаги одинаковые) и сколько таких мерок налили. Выясняет ся, что на чертеже откладывать шаги можно с любого места (договариваемся его отмечать флажком) и в любом из двух направлений (договариваемся показывать его стрелкой).
6. Учебник, ч. 2, с. 29. Упр. 4. Учитель сообщает, что дети Оля и Павлик определяли, сколько воды налито в мен зурку, которая изображена на рисунке. Какую запись они сделали об объеме воды? (А = 8Е.)
После этого рассматриваются чертежи. Сообщается, что Оля заранее сделала заготовку для чертежа. Павлик тоже сделал заготовку, но он на ней после каждого шага записал числа. Чтобы показать величину А на чертеже, предлагает ся одному ученику за партой выполнить работу на Олином чертеже, а соседу — на чертеже Павлика. Выясняется, что во втором случае работать было удобнее, числа сразу позво ляют показать нужную величину, не надо считать шаги. Сообщается, что такая прямая с числами называется числовой прямой.
7.Учебник, ч. 2, с. 30 -32. Упр. 5-12 направлены на осво ение устройства числовой прямой. Уточняется, что изме рение (отмеривание) величины изображается откладыва нием от начала соответствующего числа шагов; само чис ло, показывающее, сколько шагов сделано, ставится в конце последнего шага. Откладываться должен один и тот же шаг, хотя его можно выбирать произвольно. От кладывание шагов от начала должно идти строго в одном направлении, хотя выбор направления произволен. Между соседними числами ровно один шаг.
В упр. 8 нужно разобраться в том, что хотя метки на сосуде расположены не на равном расстоянии друг от друга, но каж дая из них отмечает равный объем — одну и ту же мерку. По этому и на чертеже шаги должны быть равными.
5.2. Представление величин на числовой прямой
Продолжается освоение числовой прямой и количествен ного аспекта числа. Учащиеся приводятся к пониманию того, что любое число состоит из некоторого количества единиц, пе редаваемого на числовой прямой соответствующим количест вом шагов. Поэтому показать значение величины (результат ее измерения) на числовой прямой можно начиная не только от начала, хотя это и менее удобно.
1. На столе учителя три небольших сосуда с водой и один пустой сосуд. Учитель сообщает, что вода в сосудах изме рена меркой Е (показывает стаканчик). Воду из всех со судов слили в один большой, и получился объем А. Этот объем показан в учебнике на рисунке (ч. 2, с. 33, упр. 13), а на числовой прямой изображено, как это де лали. Выясняется, что сначала вылили объем В, затем С, наконец, объем Т (по очереди показываются соответст вующие сосуды с водой). Дети по числовой прямой оп ределяют, сколько мерок Е в каждом из этих сосудов (две, одна, четыре). Предлагается выделить эти объемы с помощью дуг на изображении мензурки. Параллельно реальная вода сливается в один сосуд, на котором отме чаются уровни каждой части объема.
2. Учебник, ч. 2, с. 33. Упр. 14. Судя по числовой прямой, те перь воду сливали в ином порядке. Требуется «налить» в каждый сосуд соответствующий объем воды. Каждый объ ем описывается равенством и закрашивается на рисунке.
3. Учебник, ч. 2, с. 33. Упр. 15. Выясняется, что значение величины можно определить по числовой прямой, даже если она отложена не от ее начала. Значение величины Д определить нельзя, потому что неизвестно, от какого ме ста идет дуга.
4. Учебник, ч. 2, с. 34. Упр. 16. Две величины представлены на числовых прямых отрезками одинаковой длины. Од нако величины неравны, так как в них содержится раз ное число мерок.
5. Учебник, ч. 2, с. 34. Упр. 17. Предлагается задание, обрат ное тем, что были ранее. Теперь дети сами должны вы брать разные места на числовой прямой для обозначения величин А и Б.
6. Учебник, ч. 2, с. 34. Упр. 18. Величина обозначается над дугой не одной буквой, а числом с указанием мерки (именованным числом).
7. На доске изображена часть числовой прямой, на которой дугой отмечена некоторая величина:
Предлагается построить эту величину, для чего дается мер ка — площадь К (см. рис.). Дети строят фигуру нужной площа ди в своих тетрадях и рядом делают запись: 5К.
Учитель предлагает другую мерку — длину М (см. рис.) и просит построить новую величину. Дети чертят отрезок соот ветствующей длины и делают запись: 5М.
У. Мы построили две разные величины — площадь 5К и длину 5М. Какая же из них показана на числовой пря мой?
Выясняется, что на прямой показано только, сколько шагов надо сделать, чтобы получить величину, но о том, какой долж на быть мерка, на прямой не показывается. Мерка может быть любой. Поэтому шаг показывает число 1, а не какую-то кон кретную мерку, а дугой показывается число шагов (5), которые нужно сделать, чтобы получить величину, а не какая-то вели чина. На чертеже над каждым шагом ставится число 1, а над дугой — число 5.
8.Учебник, ч. 2, с. 35. Упр. 19, 20. Дуги на числовой прямой подписываются отвлеченным числом.
9. Учебник, ч. 2, с. 35. Упр. 21. Над дугами нужно записать число. Число оказывается одним и тем же. Обсуждается, в каком случае определить число было проще. Оказыва ется, когда счет шагов идет от начала числовой прямой.
Критерии усвоения учебного материала
Учащиеся должны:
1) уметь строить числовую прямую, выбирая начало, направ ление и шаг; находить точку для заданного числа и определять число, которое соответствует данной точке;
2) понимать принцип последовательного расположения чисел на прямой: каждое следующее число отстоит от предыдуще го на шаг;
3) уметь представлять числа и величины отрезками числовой прямой.
6. Сравнение чисел (9 уроков)
В этой теме выявляется, что чем дальше число расположено в числовом ряду (или на числовой прямой), тем большая вели чина отмеривается с помощью этого числа. Таким образом, на числа переносится отношение «больше-меньше». Это позво ляет сравнивать величины по их числовым значениям при ус ловии, что сравниваемые величины измерены одной и той же меркой.
В связи с необходимостью измерять величины единой мер кой вводятся стандартные единицы измерения (пока только единицы длины и счета количеств).
6.1. Сравнение чисел по числовой прямой
В результате работы с числовой прямой учащиеся должны уяснить себе, что чем дальше число расположено на числовой прямой от начала, тем оно больше.
1. Учебник, ч. 2, с. 36. Упр. 1. Имеются две пары объектов. Выясняется, что в первом случае речь идет о количестве, а во втором — о количестве или о площади. Нужно срав нить величины. Это можно сделать, выполнив измере ние, а результаты измерения показав на числовой пря мой. На ней уже показали сравнение двух величин, но каких?
Выполняется измерение величин К и М. Обнаруживается что сделанные на числовой прямой дуги соответствуют резуль татам измерения. Отмечается, что по длине отрезка числовой прямой видно, что одна величина больше другой, остается до полнить запись знаком «больше».
Выполняется измерение площадей. Нужно и этот результат показать на числовой прямой. Оказывается, что и для площа дей подходит уже сделанный чертеж. Запись дополняется зна ком «больше».
Далее отмечается, что чертеж подходит к обоим случаям: оба раза при измерении величин получились те же самые чис ла 6 и 5. Таким образом, чертеж показывает, что всегда величи на, в которой умещается 6 мерок, больше величины, в которой умещается 5 мерок. В числе 6 больше единиц, чем в числе 5. Делается соответствующая запись: 6 > 5.
2.Учебник, ч. 2, с. 36. Упр. 2. Для сравнения первой пары чисел их нужно отметить дугами на числовой прямой на чиная от флажка. Числа сравниваются по количеству единиц в каждом и по месту на числовой прямой. Заме чается, что большее число стоит от начала числовой пря мой дальше, поэтому в нем единиц больше. При сравне нии других пар чисел дуги не рисуются, но дети охваты вающим жестом показывают, «сколько единиц» в задан ном числе и в его паре.
3.Учебник, ч. 2, с. 37. Упр. 3. Дана заготовка числовой пря мой. Дети должны вписать недостающие числа. Такого рода задания будут повторяться в учебнике. Выполняя их, дети осваивают числовой ряд. Затем «дополненная» числовая прямая служит опорой для выполнения других заданий учебника.
4. Учебник, ч. 2, с. 37. Упр. 4. Дети, скорее всего, сразу ска жут, что число 6 больше числа 4. Нужно это доказать с по мощью числовой прямой. Это можно сделать, используя охватывающий жест, но лучше указать на то, что число 6 стоит дальше на числовой прямой от начала, чем число 4.
При подборе чисел в запись нужно найти на числовой пря мой заданное число, а затем показать жестом, где нужно ис кать ему пару — дальше от начала или ближе к нему. Подбира ются несколько вариантов решений.
5. Учебник, ч. 2, с. 37. Упр. 5. На свитках даны числовые прямые. По поводу каждой числовой прямой ставятся во просы: «Где начало числовой прямой? (Его не видно.) По кажите рукой, справа оно или слева. Как вы догадались об этом?» (Стрелкой указано направление числовой пря мой, а начало ее находится в противоположной стороне от стрелки.)
В одном случае детям придется сравнить «большие числа», которые не все знают. Их следует не читать, а называть как «первое число, второе число». Сравнивая числа, дети должны ссылаться на то, что это число стоит от начала числовой пря мой дальше.
При выполнении задания со сказочными числами нужно эмоционально подчеркнуть, что эти числа никто не знает, и тем не менее другие дети смогли их сравнить. «Почему?» (Потом, что понятно, какое из них ближе на числовой прямой к началу.)
На последнем свитке имеется только одно число из каждой пары сравниваемых чисел. «Почему же мы можем их срав нить?» Выясняется, что одно число из пары можно показать на числовой прямой, а где находится другое, можно сообра зить. Так, мы знаем все числа, которые находятся ближе к на чалу, чем число 6. Среди них нет числа 15, значит, оно стоит на числовой прямой дальше, значит, оно больше. Подчеркивает ся важность знания числового ряда. Возможно, дети заявят, что они его хорошо знают. Предлагается проверить это.
6. Учитель дает заведомо трудные задания (при закрытом учебнике), чтобы показать, что числовой ряд еще нужно освоить. Например: «Какое число стоит перед числом 161. Идите к началу числового ряда от числа 9, 6, 14».
Приведем некоторые устные упражнения, которые следует проводить на последующих уроках.
1) Учитель называет число и просит детей назвать только три следующих числа.
2) На доске дан отрезок числовой прямой со скрытым нача лом, но с указанием направления (вправо) и тремя точками. Учитель указывает дальнюю от начала точку и называет не которое число. Учащиеся должны назвать два других числа вслед за указкой учителя. Значение исходной точки меняет ся несколько раз.
3) Дан отрезок числовой прямой со скрытым началом и задан ным направлением. Даны всего три точки, обозначенные сказочными цифрами. Указывается одна из них. «Пусть это будет число 4. Какими тогда будут другие написанные числа? А если это число 6?» Таким образом, несколько раз меняется значение одной и той же точки.
4) Осваивается счет от большего числа к меньшему: учитель называет одно число, а учащиеся должны назвать два числа, стоящие перед ним.
5) Учитель называет число, а дети хором должны назвать два следующих или два предыдущих. Учитель задает жестом темп ответов, при этом делает лишний жест, побуждая на звать не два числа, а больше. Задача детей — не попасться в «ловушку» и остановиться, назвав именно два числа.
6.2. Сравнение величин с помощью числовой прямой
1. Учебник, ч. 2, с. 38. Упр. 1. Даны два отрезка и две лома ные линии. Выясняется, что для сравнения длин отрез ков нет необходимости в измерении, а удобной меркой для измерения ломаной линии может быть длина одного ее звена. Результаты измерения показываются с помо щью дуг на числовой прямой. Подчеркивается, что на числовой прямой, как на отрезках, сразу видно, что одна ломаная линия длиннее другой.
2. Учебник, ч. 2, с. 38. Упр. 2. Задание выполняется с обяза тельным нанесением дуг на числовую прямую.
3.Учебник, ч. 2, с. 39. Упр. 3. В задании имеется «ловушка»: третий объем нельзя сравнить с другими, так как он из мерен иной меркой.
4. Учебник, ч. 2, с. 39. Упр. 4. На числовой прямой показаны две величины. «Что это за величины?» Дети называют разные варианты. «Неизвестно, о каких величинах идет речь, но что о них известно?» Что величина М больше величины Н. Известно также, что в одной величине со держатся 5 мерок, а в другой 3. Дополняются соответст вующие записи.
6.3. Зависимость между числами и величинами при измерении их одной и той же меркой
В этом разделе продолжается изучение способа сравнения величин по их числовым значениям. Однако теперь это делает ся без опоры на числовую прямую. Осваивается зависимость между величинами и числами при условии использования од ной и той же мерки: чем больше величина, тем больше полу чится при ее измерении число, и наоборот, чем больше число, тем больше получится при построении величина.
1. Имеются три сосуда одинаковой формы. В них разный объем воды. Известно, что при измерении меркой (пока зывается) получились числа 2, 3, 4. Нужно догадаться, к какому объему воды относится каждое из этих чисел. Скорее всего, дети дадут правильный ответ и обоснуют его тем, что в большем объеме должно быть больше ме рок, значит, большее число относится к большему объему. Правильность вывода подтверждается промериванием.
Учитель подчеркивает, что учащиеся правильно догадались об отношении объемов на основании знания отношения чисел еще до измерения.
3.Учебник, ч. 2, с. 40. Упр. 2. На рисунке две группы объек тов. Результат их измерения (заданной меркой) записан сказочными цифрами. Нужно сравнить эти числа. Первая группа явно больше второй, и учащиеся, скорее всего, да дут правильный ответ. После этого предлагается расшиф ровать сказочные цифры, т. е. выполнить измерение. Подчеркивается, что еще до счета дети догадались, что большую величину будет обозначать большее число.
4. Учебник, ч. 2, с. 40. Упр. 3. Даны три отрезка. Результаты их измерения представлены сказочными цифрами. Уточ няется, что измерение проведено одной меркой, поэтому чем длиннее отрезок, тем больше число.
6.4. Зависимость результата измерения от выбора мерки
Рассматривается зависимость между мерками и числами при измерении одной и той же величины: чем больше мерка, тем меньше число.
1. На парте две разные мерки (они должны быть такими, чтобы при работе с одной из них получилось число 3, а при работе с другой — число 4). Предлагается каждому ученику взять одну мерку и измерить ширину учебника. Получив от детей разные числа, учитель высказывает вы вод, что ширина учебника у соседей по парте неодинако вая. Дети выполняют непосредственное сравнение — учебники по ширине равны. «Почему же получились раз ные числа? Потому что измерение производили разными мерками. У кого мерка больше? У кого число больше?» Обнаруживается, что тот, кто работал с большей меркой, получил меньшее число, и наоборот.
2. Учебник, ч. 2, с. 41. Упр. 1. Длину удава мартышка изме ряла разными мерками. В конверте дети находят соответ ствующие мерки. Предлагается сначала догадаться, в ка ком случае получится большее число. Выполняется из мерение, оценивается догадка, дополняются записи.
3.Учебник, ч. 2, с. 41. Упр. 2. Перед измерением площади нужно высказать догадку, в каком случае получится са мое большое число, а в каком — самое маленькое.
4.Учебник, ч. 2, с. 41. Упр. 3. Длину удава измеряли попу гай и мартышка. Требуется догадаться, кто из них полу чит число 5, а кто — число 3.
6.5. Линейка
1.Учебник, ч. 2, с. 42. Упр. 1. Измерена длина Д. Нужно вы брать в конверте соответствующую мерку. Ею оказывает ся мерка А. Дополняется запись.
2. Учебник, ч. 2, с. 42. Упр. 2. Этой же меркой нужно изме рить длину С. Дети начинают работу. Учитель останавли вает их и обращает внимание на то, что в первом упраж нении удалось определить длину быстро и не нужно бы ло ставить отметок, где кончается одна мерка и начина ется другая.
Сообщается, что для измерения длины используют линей ку, на которой заранее отмечены мерки. Из конверта выни мается полоска со шкалой. Дети находят обозначение нача ла, отмечают, что при определении шага использовалась мер ка А, — это написано на линейке под первым шагом, но это обязательно проверяется с помощью мерки.
Предлагается поучиться пользоваться такой линейкой: из меряется ширина тетради, страницы учебника и др. При этом получаются и нецелые числа, о которых говорится: число мень ше пяти, но больше четырех. Никакие записи при этом не ве дутся: важно, чтобы дети освоили технику работы с линей кой — правила ее приложения к объекту. Наконец, измеряются длины С и Е в учебнике, делаются соответствующие записи.
3. Учебник, ч. 2, с. 42. Упр. 3. Предлагается сделать новую линейку, на которой повторяется мерка Б. Из конверта вынимается заготовка, проверяется, что на ней отложена именно мерка Б. Линейка достраивается учащимися. Нужно измерить длины Е и С этой линейкой. Но сначала предлагается догадаться, какое число получится при этом — больше или меньше того, что было получено при измерении длин меркой А.
4. Учебник, ч. 2, с. 42. Упр. 4. С помощью линеек из прило жения нужно построить отрезки. По записи определяет ся, в каком случае какую линейку нужно использовать.
Сначала строится первый отрезок. Затем уточняется, будет ли второй отрезок равен первому. Учитель провоцирует непра вильный ответ, указывая на равенство чисел в записях. Пред положения детей проверяются реальным построением второго отрезка.
6.6. Стандартные единицы измерения. Единицы длины
1. У учащихся две линейки из материалов прошлого урока и полоска бумаги. Работа в парах. С помощью линейки и числа 5 один ученик должен начертить отрезок на листе бумаги, а другой — отмерить полоску. Ставится условие: длины полоски и отрезка у соседей по парте должны быть равны. На вопрос детей, какой линейкой нужно воспользоваться, предлагается выбрать ее самостоятель но. Проверка работы выполняется путем наложения по лоски на отрезок.
Выясняется, что можно было взять любую линейку из двух, но при этом обязательно договориться между собой, какую именно.
Учитель сообщает, что люди во всем мире тоже договорились о некоторых мерках. Их называют мерами или единицами из мерения. Для измерения длины есть такие единицы: метр, де циметр, сантиметр (называя единицы, учитель показывает по лоски картона соответствующей длины). Есть и другие едини цы длины: километр, миллиметр, но их мы пока не будем рас сматривать.
Открывается оборот обложки учебника. Учащиеся находят перечень мер длины и их сокращенные обозначения. Нужно измерить длины Е и С этой линейкой. Но сначала предлагается догадаться, какое число получится при этом — больше или меньше того, что было получено при измерении длин меркой А.
4. Учебник, ч. 2, с. 42. Упр. 4. С помощью линеек из прило жения нужно построить отрезки. По записи определяет ся, в каком случае какую линейку нужно использовать.
Сначала строится первый отрезок. Затем уточняется, будет ли второй отрезок равен первому. Учитель провоцирует непра вильный ответ, указывая на равенство чисел в записях. Пред положения детей проверяются реальным построением второго отрезка.
Повторяются названия единиц длины: учитель показывает одну из картонных полосок, а учащиеся называют ее длину.
Сообщается, что для удобства измерения эти мерки бывают «собраны» в линейки. Учащиеся рассматривают свои стан дартные деревянные линейки. Убеждаются в том, что на бу мажных линейках, с которыми они работали ранее, нанесены мерки больше, чем сантиметр.
Показываются линейки с другими единицами: полоса с на несенными на ней дециметрами, металлическая или мягкая рулетка.
2. Учебник, ч. 2, с. 43. Упр. 2. Предлагается потренировать ся в использовании единиц длины при измерении раз ных объектов в классе. В учебнике заданы некоторые ориентиры. Определив объект, дети должны выбрать подходящую единицу измерения, вписать ее наименова ние в схему со стрелкой.
По ходу измерений будут получаться нецелые числа. При назывании результатов используются житейские выражения, например: длина доски три метра и еще немного, но не четыре метра, и т. п. Записывать полученные числа не требуется.
3. Учебник, ч. 2, с. 43, 44. Упр. 3 и 4. Задания выполняются на основе полученного представления об отношении единиц длины. Если дети забыли его, предлагается спра виться об этом на обложке.
4. Учебник, ч. 2, с. 44. Упр. 5. Даны полоски. Требуется по строить отрезки той же длины.
У. Подойдет ли для работы метр (показывается деревянный метр)?
Д. Он слишком большой.
Учитель предлагает начать с сантиметра. При работе с ли нейкой обращается внимание детей на то, что начало отсчета мерок отмечено цифрой 0. Именно с этой меткой нужно сов мещать «начало» измеряемой длины.
Измеряется длина К (11 см), делается запись, и строится от резок. Затем записывается длина Т (9 см). Сравнивая записи, учащиеся высказывают предположение об отношении длин К и Т. Строится отрезок, который оказывается наглядно короче первого.
С помощью мерки-дециметра (из приложения) измеряет ся длина Н. Строится соответствующий отрезок, делается запись. Предлагается повторить измерение Н, используя еди ницу-сантиметр. Учащиеся «предсказывают», какое получит ся число — больше или меньше, чем при измерении деци метром. Устанавливается, что в одном дециметре содержится 10 см.
5. Учебник, ч. 2, с. 44. Упр. 6. При измерении длины ука занными мерками отмечается, что клетка не является стандартной меркой, — клетки бывают разные, а санти метр во всем мире одинаков.
6.7. Единицы счета
1. Повторяются известные детям единицы длины. Ставится задача выяснить, какие единицы люди договорились ис пользовать для измерения количества.
У детей на партах 6 кругов и 4 квадрата. Это величина А. Нужно ее измерить и сообщить число. Если учащиеся спросят о мерке, предложить им придумать мерку самостоятельно. Скорее всего, дети пересчитают фигуры по одной и получат число 10. Предлагается назвать мерку, единицу счета. Можно ли сказать, что это 10 метров? 10 см? 10 квадратов? Дети могут сказать «10 фигур».
У. Покажите мерку... Теперь посчитайте фигуры вот такой меркой (показывается пара фигур).
Дети получают число 5. «Как назвать эту мерку? Нельзя же сказать, что здесь 5 фигур! »Предлагается обратиться к учебнику. Читаются названия единиц. Дети уточняют резуль таты своих измерений: 10 штук и 5 пар
2.Учебник, ч. 2, с. 45, 46. Упр. 1 - 5. Выполняя задания, уча щиеся переходят в счете от одной единицы к другой. В упр. 2 они должны догадаться о единице счета по задан ному числу.
3.Учебник, ч. 2, с. 47. Упр. 6 — 8. Производится счет геоме трических объектов. Выбирается самая простая едини ца — штука, но поясняется, что часто слово «штука» заме няют названием тех объектов, которые пересчитывают: 3 отрезка, а не 3 штуки, хотя второе не является ошибкой.
У. Как считали игрушки, если ответ получился 4 машинки?
Д. Считали штуками.
В упр. 7 важно увидеть на последнем рисунке 3 отрезка.
Критерии усвоении учебного материала
Учащиеся должны:
1) уметь сравнивать числа на числовой прямой, знать, что чем дальше число отстоит от начала, тем оно больше;
2) знать зависимость между величинами и числами при усло вии использования одной и той же мерки;
3) понимать зависимость между мерками и числами при изме рении одной и той же величины;
4) знать единицы длины и счета.
7. Разностное сравнение величин сложение и вычитание чисел (17 уроков)
В этой теме уточняется отношение неравенства величин. Выявляется их разность — величина, характеризующая сте пень различия между величинами. Это отношение моделиру ется на числовой прямой, что позволяет ввести действия сло жения и вычитания для чисел как присчет и отсчет шагов на числовой прямой. Рассматриваются выражения, описываю щие эти действия. Вводится число 0.
Дети тренируются в мысленном движении по числовой прямой на 1, 2, 3 шага от заданного числа.
7.1. Разность чисел
1.Демонстрируются два сосуда одинаковой формы и раз мера, но с разным объемом воды в них. Выясняются и выполняются реально и на чертеже два способа уравни вания объемов: увеличение меньшего до уровня больше го и наоборот — уменьшение большего. По ходу работы учитель пытается долить или отлить «неправильный» объем воды. При обсуждении этих ошибок подчеркива ется, что добавлять или отливать нужно не любую вели чину, а определенную — разность, то, на сколько различа ются объемы в обоих сосудах. Предлагается показать на сосудах эту разность как избыток в большем объеме и как недостаток в меньшем.
2. На столе учителя два сосуда разных размеров и с разным объемом воды в них, а на доске изображена числовая прямая. Устанавливается, что в первом сосуде объем во ды меньше, чем во втором (сосуды такие и в них столько налито, что это сразу видно, см. рис.).
Учитель предлагает уравнять объемы воды в сосудах. Выби рается любой из способов уравнивания, например, доливание воды в первый сосуд. Однако теперь нельзя ориентироваться на уровень воды в сосудах. «Как же определить объем воды, которую нужно долить в первый сосуд?»
Дети предлагают произвести измерение. Учитель дает мер ку (стаканчик). Кто-то из детей промеривает воду в первом сосуде и результат (2 мерки) отмечает дугой на числовой пря мой. После этого другой ученик измеряет объем воды во вто ром сосуде и отмечает свой результат (5 мерок) на числовой прямой.
Учитель предлагает показать разность на чертеже. Дети вы-целяют ее дугой другого цвета.
У. Теперь вы можете уравнять объемы воды в сосудах?
Д. Да. Надо долить в первый сосуд три мерки.
Дети выполняют уравнивание. Для проверки вода из этих сосудов переливается в другие, одинаковые по форме и размеру
Еще раз уточняется, что по чертежу дети смогли опреде лить, на сколько мерок во втором сосуде воды больше, на сколь ко мерок в первом сосуде воды меньше (используется новый зля детей оборот речи).
Далее учитель показывает два прямоугольника и сообщает, по их площади измерили меркой К. Площадь первого оказалась 2К, а площадь второго — 5 К. Детям предлагается догадать ся, на сколько площадь одного больше площади другого. Надо т для этого делать новый чертеж? Оказывается, можно и по старому чертежу определить разность. Она состоит из трех мерок К. На числовой прямой видно, что в числе 5 на 3 едини цы больше, чем в числе 2. Над дугой, выделяющей разность, записывается цифра 3.
После этого учитель помогает детям сделать и прочитать со ответствующие записи:
5 > 2 (на 3) и 2 < 5 (на 3).
2.Учебник, ч. 2, с. 48. Упр. 1, 2.
3.Учебник, ч. 2, с. 48. Упр. 3. На свитке изображена сказоч ная числовая прямая. Хотя начала не видно, но стрелка позволяет определить, в какой оно стороне. Поэтому можно установить, какое число больше и на сколько. На пример, число Q на один шаг дальше числа ╧ , значит, оно на 1 больше.
4. Учебник, ч. 2, с. 49. Упр. 4. Выполняя задание, учащиеся подбирают 5 — 6 разных пар чисел с заданной разностью. Записываются только две пары.
5. Дети находят на числовой прямой указанное учителем число (6) и называют соседние числа. Сообщается, что число, находящееся на один шаг впереди, называют пре дыдущим, а число, идущее следом, на один шаг даль ше, — последующим. Выполняются упражнения 5 и 6 (учебник, ч. 2, с. 49). Подчеркивается, что разность со седних чисел равна единице.
6.Предлагается дополнить сделанную на доске запись: 7... 9 (на _). Числа и разность показываются на числовой прямой жестом, записывается результат сравнения.
С помощью жестов сравнивается еще одна пара чисел — 9 и 7. Обнаруживается, что показано то же самое место на чис ловой прямой.
С помощью числовой прямой выясняется разность чисел 5 и 8. Новое сравнение (8 и 5) уже не требует обращения к пря мой: учащиеся говорят, что уже установили, что число 5 мень ше числа 8 на 3, значит, число 8 больше числа 5 тоже на 3.
Разность чисел 9 и 6; 5 и 7 предлагается найти с помощью пальцев — «дети часто считают на пальцах». В результате проб должно быть уяснено, что на числовой прямой действовать проще. Обнаруживается также, что эти два задания не состав ляют такой пары, как предыдущие, и каждое из них пришлось выполнять на числовой прямой отдельно.
7. Учебник, ч. 2, с. 49. Упр. 8. Нужно дополнить записи, не прибегая к числовой прямой и к пальцам. Учащиеся объ ясняют, что первая запись позволяет дополнить вторую.
7.2. Разность величин
1. Демонстрируются два сосуда одинаковой формы и раз мера, но с разным объемом воды в них. В тетрадях и на доске делается запись об отношении объемов воды, на пример: А < Б.
Предлагается измерить эти объемы и найти их разность с по мощью числовой прямой (она должна уже быть нарисована на доске). Для этого учитель предъявляет мерку Е. Производится измерение обоих объемов, и полученные числа (2 и 6) отмеча ются на числовой прямой. Находится разность — число 4.
Предлагается дополнить запись на доске, чтобы было вид но, на сколько объем А меньше объема Б. Учитель поддержи вает идею тех детей, которые предлагают дополнить запись числом 4: А < Б (на 4).
После этого предлагается выполнить ту же работу, но уже с меркой К. Получаются числа 1 и 3. На числовой прямой нахо дится их разность — число 2. «Это другая разность? Какую из них надо вставить в запись, 2 или 4?»
Выясняется, что на самом деле разность одна (этот объем показывается на сосудах), только измерена она разными мер ками. Запись дополняется указанием мерки А < Б (на 4Е), а рядом делается еще одна запись: А < Б (на 2К).
2.Учебник, ч. 2, с. 50. Упр. 1. Надо достроить числовую прямую, на которой уже отмечено число 5 и дана еще од на точка. Учитель сообщает, что между точками как раз
один шаг. Ориентируясь на направление прямой, дети определяют, в какой стороне должно быть начало, и от мечают на прямой числа.
Эта прямая будет использоваться при выполнении других упражнений на этой странице.
3. Учебник, ч. 2, с. 50 - 51. Упр. 2, 3, 4, 5. Во всех случаях учитель ставит дополнительный вопрос: на сколько ме рок нужно уменьшить бблыпую величину или на сколь ко мерок нужно увеличить меньшую величину, чтобы по лучить равенство?
В упр. 4 строится числовая прямая для использования при работе нас. 51.
4.Учебник, ч. 2, с. 51. Упр. 6, 7. Поиск разности произво дится с помощью числовой прямой. Важно не попасться в «ловушку». Величины, измеренные разными мерками, нельзя одновременно представлять на одной числовой прямой. Поэтому в этом случае нельзя найти их разность.
7.3. Единицы массы
1. Повторяются единицы длины. Затем учитель показывает груз: можно ли измерить этими единицами массу? Выяс няется, что для измерения массы существуют свои стан дартные меры (демонстрируются гири в 1 кг и 1 г). На об ложке учебника дети рассматривают рисунки и получают некоторое представление о тонне и центнере. Ориенти руясь на эти рисунки, учащиеся дополняют фразы учите ля нужными наименованиями:
«В вагон погрузили 7... (т) угля.
Мама сварила 1... (кг) картофеля.
На базу привезли 10... (т или и) крупы».
Уточняется, что в быту люди чаще всего пользуются едини цами «килограмм» и «грамм».
Учебник, ч. 2, с. 52. Упр. 1. Нужно прочитать числа, назы вая их наименования не сокращенно, а полностью. Затем именованные числа переписываются в порядке возраста ния. Позволяется обращаться к обложке учебника.
3. Учебник, ч. 2, с. 52. Упр. 2, 3. Выполняется сравнение масс. Требуется найти разность, используя числовую прямую на соседней странице тетради. Важно отказаться от определения разности, когда измерение массы было проведено разными единицами (3 кг и 3 г, 5 кг и 10 г).
7.4. Нахождение значения величины по значению другой величины и разности
1. У учителя два сосуда одинаковой формы, в одном из них вода. Анализируется запись: □Е < 8Е (на ЗЕ). Из нее сле дует, что объем воды измерили меркой Е (учитель показы вает ее) и что неизвестный объем на 3 такие мерки мень ше. Как налить недостающий объем воды? Дети могут предложить предметный способ действия: налить сначала столько же воды, потом отлить 3 мерки. «Это правильный способ, но нельзя ли без переливаний узнать, сколько ме рок надо налить в пустой сосуд? Может, в этом нам по может числовая прямая?» Дети ищут ответ на числовой прямой, которая изображена в учебнике (ч. 2, с. 53), а учи тель помогает детям вопросами, например:
«Какое число нужно определить — большее или меньшее? В какую сторону по числовой прямой нужно идти от из вестного числа ? Сколько шагов нужно пройти ?»
Полученным числом дополняется запись. Наливается нуж ный объем воды с помощью мерки. Подчеркивается, что объ ем был определен при работе с числами.
2.Учебник, ч. 2, с. 53. Упр. 4. Требуется построить недоста ющий объект. Анализируется запись. Из нее ясно, что неизвестная величина должна быть меньше заданной на 3 мерки. Измеряется заданная величина, а затем на чис ловой прямой находится, из скольких мерок состоит первая величина. Дополняются запись и рисунок.
3. Учебник, ч. 2, с. 53. Упр. 5, 6. С помощью числовой пря мой определяются неизвестные числа.
Некоторые дети смогут определить искомое число мыслен но. Пусть они докажут свой ответ с помощью числовой прямой.
4. Учебник, ч. 2, с. 53. Упр. 7.
7.5. Сложение и вычитание чисел
1. Учебник, ч. 2, с. 54. Упр. 1. На числовой прямой дано од но число. Нужно найти другое число, которое можно вставить в запись: _ > 5 (на 2). Учитель направляет ра боту детей следующим образом:
У. Найдите на числовой прямой число 5. Теперь нужно най ти неизвестное число. Оно больше или меньше 5?
Д. Больше.
У. Значит, куда нужно двигаться по числовой прямой: по направлению стрелки (удаляясь от начала) или против направ ления стрелки (к началу)?
Д. Нужно двигаться по стрелке, потому что чем число даль ше от начала, тем оно больше.
У. Сколько шагов нужно сделать от числа 5?
Д. 2 шага, потому что это число больше числа 5 на 2.
По ходу рассуждений сдвиг на два шага вправо от числа 5 отмечается дугой со стрелкой. Определяется, какое число по лучилось.
Учитель делает на доске запись произведенных действий: 5 + 2 — и разъясняет ее: начали двигаться от числа 5; ищем большее число и поэтому идем в сторону от начала — это обо значают знаком «плюс»; наконец, записываем, сколько шагов нужно сделать от числа 5. Такая запись называется выражени ем. Ее читают так: «пять плюс два» или «пять увеличили на 2»
Таким же образом проводится работа с числом 7. Записы вается и дается образец чтения выражения: 7 — 3.
Два новых задания уже выполнены на одной числовой пря мой. Нужно вписать число, от которого началось движение, и соотнести записи заданий и стрелки на числовой прямой. Сре ди выражений, помещенных ниже числовых прямых, предла гается найти и прочитать те, в которых описана эта работа на числовой прямой.
2. Учебник, ч. 2, с. 54. Упр. 2. Выражения прочитываются двояким способом: со словами плюс, минус и со словами уменьшили, увеличили. После этого учитель сообщает, что действие увеличения числа на другое число называется сложением, а уменьшения — вычитанием.
Примечание. Пока названия действий не очень нужны. Более активно эти термины будут использоваться после рас ширения смысла этих действий, связанного с рассмотрением отношения целого и частей.
3.Учебник, ч. 2, с. 55. Упр. З.Аналогичная работа проводит ся относительно величин. Определяется, о какой величи не идет речь: большей или меньшей — и так далее по описанной выше схеме.
4. Учебник, ч. 2, с. 55. Упр. 4. Предлагается поучиться читать и понимать выражения. Имеется запись 6 + 2. «Какое число нашли на числовой прямой сначала? Найдите его. В какую сторону пошли?( От начала.)Сколько шагов прошли? ( Два) Какое число получилось? (8)». Действия на числовой прямой выполняются только жестом, без рисования дуг.
5. Учебник, ч.2, с.55. Упр. 5. Если в предыдущем упражнении дети учились понимать запись, то теперь даются задания на умение сделать запись в соответствии с производимыми на числовой прямой действиями. Учитель указывает на числовой прямой( она изображена на доске) число 7, а дети записывают цифру. Затем он показывает, в какую сторону будет двигаться по прямой , а дети записывают соответствующий знак (+ или —). Наконец учитель делает указкой два шага по числовой прямой, а дети записывают цифру 2. Называется найденное число. Читается полученная запись.
6. Учебник, ч. 2, с. 56. Упр. 6.
7. Учебник, ч. 2, с. 56. Упр. 7-9. Требуется найти величину или число, записав и прочитав выражение. Это обяза тельно должно сопровождаться соответствующим пока зом на числовой прямой. В упр. 8 «ловушка»: разность длин дана в кг.
8. Учебник, ч. 2, с. 57. Упр. 10. Сообщается, что результат действия на числовой прямой записывается с помощью равенства. Такую запись можно прочитать по-разному: пять плюс три равно восьми; пять плюс три — это во семь; пять увеличить на 3 — получится восемь.
9. Учебник, ч. 2, с. 57, 58. Упр. 11 — 14. Выполняя эти уп ражнения, дети учатся строить и читать равенства.
При выполнении упр. 14 учитель просит детей найти значе ния выражений и поясняет, что так говорят о числе, которое получится в результате действия, описанного выражением. В дальнейшем в речи учителя этот термин должен использо ваться достаточно часто.
7.6. Случаи а ±1, а ± 2, а ± 3
1. У детей на партах разложены вырезанные из приложения сказочные цифры. Предлагается придумать из них чис ловой ряд. На доске нарисована лента с оборванными краями. На ней изображена прямая с указанным направ лением (например, вправо) и отмеченными четырьмя шагами (ограниченными пятью точками).
Учитель берет один знак и ставит его к средней точке на числовой прямой:
У. Какое это число?
Д. Наверное, это 3!
У. Неизвестно, ведь начало числовой прямой оказалось от резанным. Теперь выберем знак для числа на 1 больше. С ка кой стороны его поставить?
Д. Справа.
Вызванный ученик выбирает карточку с цифрой, учитель соглашается, подчеркивая произвольность выбора: «Пусть бу дет такая цифра». Таким же образом дети самостоятельно вы бирают знаки для остальных чисел.
Допустим, получился ряд: ╧ γ 0 γ n. Предлагается ука зать самое маленькое из этих чисел; число больше его на 1; число меньше первого на 1 (его в ряду нет, а вообще-то оно су ществует); число на 1 больше и на 1 меньше числа γ и т. п.
2. На доске записаны сказочные числовые выражения с цифрами из созданного числового ряда: γ+1, γ-1,
Учитель «замечает», что в этой сказочной школе «один» и «два» пишутся как обычно. Предлагается догадаться, какие числа получили сказочные ученики в результате заданных дей ствий. Учитель указывает выражение, приписывает знак ра венства, дети поднимают карточку с нужной цифрой — отве том.
В последнем случае дать ответ нельзя из-за нехватки цифр.
2.Учебник, ч. 3, с. 3. Упр. 1. В учебнике сказочные цифры стоят в иной последовательности: этот порядок придума ли другие дети. Уточняется, что первая цифра не означа ет числа 1. Выясняется, какое из заданных чисел самое большое, а какое самое маленькое.
Дописываются заданные равенства. В объяснениях исполь зуются понятия следующего и предыдущего чисел.
3.У учителя лист бумаги, сложенный гармошкой, на каж дой грани которой написаны равенства вида а ± 1 = с и а ± 2 = с (с обычными цифрами). Учитель загораживает карточкой часть записи, закрывая второе число. Если спрятано число 1, дети должны поднять один палец. За тем учитель снимает карточку, и все проверяют свое ре шение. Рассуждение: если в равенстве записаны сосед ние числа, значит, произошло увеличение или уменьше ние на 1.
Учитель «восхищен» — дети работали «держа числовую пря мую в уме».
Примечание. Мысленное движение по числовой прямой на один шаг, вероятно, уже освоено учащимися. На данном этапе обучения требуется связать направление движения со знаками «+» и «—» и соответствующими терминами.
4. Учебник, ч. 3, с. 3. Упр. 2. Просматривается первый стол бик выражений. Отмечается последовательное измене ние исходного числа, предлагается читать выражения и называть результаты действий, по возможности не глядя на числовую прямую. Под диктовку учеников учитель за писывает соответствующие равенства на доске.
Обнаруживается, что столбик можно продолжить. Записы ваются случаи до 9+1. Обращается внимание на постепенное увеличение числа, записанного после знака равенства.
Такая же работа проделывается со вторым столбиком. Учи тель сообщает, что нужно тренироваться, чтобы научиться бы стро и правильно производить такие действия «в уме». В каче стве тренировки выполняется упр. 3 (учебник, ч. 3, с. 3).
Примечание. Начиная со с. 42 учебника даны упражне ния, формирующие навык сложения и вычитания в преде лах 10. Упражнения выполняются параллельно изучению но вого учебного материала.
5. Учебник, ч. 3, с. 4. Упр. 4 Работа выполняется в парах: один ученик решает (с помощью жестов на числовой пря мой) верхний пример, а другой — нижий. Затем выясня ется, почему у обоих получился один и тот же результат.
6.Учебник, ч. 3, с. 4. Упр. 5. В сказочной школе тоже выполняли такие задания, один ученик решил верхний пример и нашел на сказочном числовом ряду указан ное число. Какое число получит другой ученик? Выяс няется, что оба должны проделать на числовой прямой одну и ту же работу, поэтому результат получится тот же. В последнем столбике скрыта «ловушка». Нельзя поста вить во вторую запись то же число, что получено в пер вой.
7. Учебник, ч. 3, с. 4. Упр. 6. Предлагается потренироваться в мысленной работе на числовой прямой. Не стоит при учать детей к развернутой речевой формулировке спосо ба действия, например: 5 + 1 — это 6,6+1 — это 7, зна чит, 5 + 2 = 7. Это замедляет процесс присчитывания. Нужно, чтобы дети, увидев или услышав выражение, сразу называли следующие точки числовой прямой. Дети порой принимают исходное число за первый шаг по пря мой. Чтобы этого избежать, нужно предложить детям не повторять заданное число — ведь его «уже слышали (ви дели в записи)». Поэтому работу с упр. 7 можно органи зовать так.
Один ученик вслух читает исходное число, а остальные дети последовательно хором произносят следующие или предыду щие числа. При этом они должны по виду знака быстро опре делить направление движения по числовому ряду, досчитать до нужного числа и вовремя остановиться.
8.Учебник, ч. 3, с. 4. Упр. 7. По рисунку требуется соста вить рассказ-задачу и решить ее, т. е. найти ответ и записать соответствующее равенство. Само движение по числовой прямой детям предлагается выполнить мыс ленно. Не нужно требовать от детей отчета о том, что та кое задача, что такое решение, просто учитель начинает активно использовать эти термины. Упражнения в со ставлении и решении задач представлены на следующих двух страницах учебника. (Параллельно выполняются задания на отработку случаев прибавления и вычитания чисел 1 и 2.)
9. Учебник, ч. 3, с. 5, 6. Упр. 1 — 6. Материал для составле ния и решения задач прорабатывается параллельно рабо те со с. 7 — 12 учебника.
7.7. Обозначение чисел буквами. Буквенные выражения
1. Учебник, ч. 3, с. 7. Упр. 1. На доске и в учебниках число вая прямая:
Учитель поясняет, что некоторые числа на числовой прямой пока обозначили буквами. В отличие от величин, которые мы обозначали заглавными печатными буквами, числа обычно обозначают строчными письменными буквами.
У. Вы не знаете, какие это числа, но мне кажется, что смо жете сравнить их!
Устанавливается, что начало на числовой прямой не отме чено, но имеется стрелка, указывающая ее направление. Срав ниваются пары чисел, заданные в учебнике. Находится их раз ность. При оценке отношения чисел учащиеся ссылаются на то, что данное число стоит на числовой прямой дальше от на чала (или ближе к нему). В одном случае выполнить сравнение нельзя, так как число р на прямой не отмечено.
Определяются результаты действий с числами (они тоже обозначены буквами). В одном случае определенного ответа дать нельзя, хотя, конечно, в этой точке число тоже имеется, однако нам не сообщили его обозначение.
К доске вызываются дети, которые будут играть роль чисел с, а, е, п. Они встают «рядом со своим числом». Учитель «расшифровывает» число а, вручив соответствующему уче нику карточку с цифрой 3. Ученик помещает цифру на число вую прямую (на доске) под буквой а. Класс «разгадывает» ос тальных детей. Числа записываются в тетрадях. Таким же об разом выполняются два других задания, представленных в учебнике.
3. Учебник, ч. 3, с. 7 - 8. Упр. 2-4.
4. Учебник, ч. 3, с. 8. Упр. 5. На доске и в учебнике имеется числовая прямая, на которой обозначено число а. У учи теля сосуд, в котором а мерок (мерку учитель показыва ет) воды, т. е. воду измерили, но пока не назвали кон кретного числа. В другой сосуд (такой же формы) нужно налить на две мерки больше. Выясняется, что можно на лить столько же воды и добавить 2 мерки. На числовой прямой дугой со стрелкой отмечается это действие и на ходится точка, соответствующая полученному объему воды. «Но как ее обозначить? Можно ли сказать, что это число а?» (Нет, число а стоит впереди.) Новое число можно обозначить другой буквой. Учитель сообщает, что эту точку можно обозначить и выражением. В таком слу чае говорят, что это число — «а плюс два». Дети находят такую запись под числовой прямой и соединяют ее с со ответствующей точкой.
В третий сосуд (такой же формы) учитель наливает объем а и тут же уменьшает его на три мерки. После этого дети долж ны сказать, что в третьем сосуде на 3 мерки меньше воды, чем в первом. На числовой прямой ученики находят и обозначают выражением соответствующую точку. Обсуж дается уровень воды на рисунке в учебнике. Дополняются записи.
5. Учебник, ч. 3, с. 8, 9. Упр. 6, 7. Требуется разместить на числовой прямой заданные выражениях или составить выражения для обозначения точек.
6. Учебник, ч. 3, с. 9. Упр. 8, 9. Нужно сравнить выражения, используя числовую прямую. Числа в выражениях подоб раны так, что позволяют учителю при обсуждении реше ний «недоумевать»: «В первом выражении число 1, а во втором 2, второе выражение обозначает большее число! В выражениях записаны двойки, наверное, нужно везде поставить знак равенства!» Дети дают свои объяс нения.
7. Учебник, ч. 3, с. 9. Упр. 10. Учащиеся сталкиваются с ра венством выражений: хотя выражения выглядят по-раз ному, но они обозначают одно и то же число (одну и ту же точку на числовой прямой).
8. Учебник, ч. 3, с. 10. Упр. 11. В задании использованы не буквенные, как было раньше, а числовые выражения.
На числовой прямой числа 5 и 10, выделено еще одно чис ло. Учитель сообщает, что Саша нашел это число, двигаясь от числа 5, а Витя — двигаясь от числа 10. Каким выражением обозначит свое число каждый мальчик? Выясняется, что это выражения 5 + 3 и 10 — 2 и обозначают они одно и то же чис ло 8.
Требуется сравнить выражения. Дети должны выполнить соответствующее действие на числовой прямой, найти указан ные точки, обозначить их выражениями и произвести сравнение.
9. Учебник, ч. 3, с. 10. Упр. 12. Дети рассматривают рисунок и решают, что для измерения длины карандашей подхо дит мера сантиметр. Значит, длина первого карандаша р см. Второй и третий карандаши закрыты так, что их полная длина не видна, однако есть выражения.
У. Прочитайте первое выражение, обозначающее длину вто рого карандаша.
Д. р плюс 2.
У. Теперь продолжите рассказ: длина первого карандаша р см, а длина второго... Больше или меньше?
Д. Длина второго карандаша на 2 см больше.
У. Теперь расскажите о длине третьего карандаша.
Д. Длина третьего карандаша на 1 см меньше.
У. Нужно уточнить: меньше чем что?
Д. Меньше, чем длина первого карандаша.
Дети сравнивают заданные выражения. Учитель называет значение р, а дети определяют значения выражений, т. е. называют длины карандашей. Результаты записываются в таблицу.
7.8. Число ноль
1.Учебник, ч. 3, с. 11. На доске и в учебниках изображе на числовая прямая. С ее помощью нужно найти резуль таты действий: 4 — 1, 4 - 2, 4 - 3, 4 - 4. При выполне нии на числовой прямой действия 4 — 4 учащиеся ока зываются в ее начале. «Какое число нужно вписать в ка честве ответа?» Дети высказывают свои предложения. Учитель сообщает, что в таком случае записывается осо бое число 0. Им обычно обозначают начало числовой прямой.
2. Учебник, ч. 3, с. 11. Упр. 2.
3. Учебник, ч. 3, с. 11. Упр. 3. Если до этого ноль рассмат ривался как число, стоящее в начале на числовой пря мой, то теперь нужно показать детям, что ноль может обозначать и «ни одной мерки» (количественный смысл числа 0).
Требуется построить отрезки по записям. В послед нем случае выясняется, что от точки ничего откладывать не нужно, ноль сантиметров означает «ни одного сантимет ра».
4. Учебник, ч. 3, с. 12. Упр. 4. Даны выражения, в которых ноль занимает второе место в записи (4 + 0). Выясняет ся, что 4 + 0 означает, что от числа 4 нужно пройти 0 ша гов, т. е. ни одного.
5. Учебник, ч. 3, с. 12. Упр. 5.Выясняется, что если из числа отшагать назад это же число шагов, то попадешь в нача ло. А отшагать назад 0 шагов — значит вообще не шагать, а остаться на месте.
6. Учебник, ч. 3, с. 12. Упр. 6. Число а отстоит от начала на а шагов.
Критерии усвоения учебного материала
Учащиеся должны:
1) находить разность чисел на числовой прямой;
2) представлять на числовой прямой разностное отношение величин;
3) выполнять сложение и вычитание чисел на числовой пря мой.
8. Целое и части (8-10 уроков)
Сначала учащиеся знакомятся с возможностью составления величины (и числа) из частей. Затем учатся определять число вое значение величин, находящихся в отношении целого и ча стей. Выполняя действия на числовой прямой, учащиеся обна руживают, что способы поиска значения целого и значения ча сти различны. Знание свойств отношения целого и частей поз воляет составлять и решать текстовые задачи на поиск любого компонента сложения и вычитания.
В рамках этой темы начинаются изучение состава чисел в пределах 10 и отработка соответствующего навыка вычисле ний.
8.1. Целое и части в предметной ситуации
В предметной ситуации выделяется целое как величина, со стоящая из других величин — частей. Выделенное отношение фиксируется средствами чертежа.
1. На столе учителя два сосуда с водой и один (больше первых двух) пустой. Сообщается, что в первом со суде содержатся 7 стаканов (учитель показывает ста кан) воды, а в другом 9. Числа записываются на доске.
Далее учитель уточняет, что первоначально вся вода нахо дилась в третьем (сейчас пустом) сосуде. Ее объем — к стака нов. Предлагается сравнить числа к и 7, к и 9. Дети тем или иным образом пытаются доказать правоту своих ответов. Учи тель пока не дает разъяснений, но вызывает к доске трех уче ников и назначает их ответственными за объемы воды: 7 ста канов, 9 стаканов и к стаканов. Предлагается всем троим од новременно взять в руки свой объем воды. «Хозяин» объема к может взять в руки пустой сосуд. Его поправляют — нужно взять к стаканов воды! Выясняется, что это та же вода, что и у двух других учеников. Учитель помогает учащимся, вводя термины: 7 стаканов и 9 стаканов — это части, составляющие к стаканов, а в это же время к стаканов — это целое, состоящее из двух частей 7 и 9.
Предлагается показать, «как это получается», с помощью чертежа (в тетрадях). Одна часть — один отрезок. Выясняется, что вторую часть удобно поместить вплотную к первой, а целое показать, охватив дугой части. Элементы чертежа обозначают ся числами. Охватывающим жестом дети показывают на черте же 7 стаканов и к стаканов и делают вывод об их отношении. Таким же образом дети показывают и оценивают отношение 9 и к.
2.В описанной предметной ситуации целое разбивалось на части, в следующей, наоборот, целое будет собираться из частей.
Требуется натянуть веревку во дворе от одного столба к другому. Демонстрируются 3 клубка веревки, длины кото рых уже померили (какой мерой?) и выяснили, что первая длина 8 м, вторая — с м, а третья — 3 м (числа записываются на доске). Выяснилось, что нужная длина -нм (запись на доске) — получится, если связать все три веревки. К доске вызываются 4 ученика, чтобы они одновременно взяли в ру ки веревки, описанные четырьмя числами: 8, с, 3, н. Обнару живается, что н и является целым по отношению к другим ве личинам и состоит из этих величин. Строится чертеж. С по мощью жестов выполняется сравнение, которое поясняется: н больше, чем 8, потому что н — это целое, в которое 8 входит как часть.
3.Учебник, ч. 3., с. 13. Упр. 1. Учащиеся сообщают, как по лучилась площадь Т (ее составили из двух частей). Вы полняется сравнение величин. При выборе чертежа учи тель «защищает» неправильный: здесь тоже величина Т больше, чем А, и больше, чем Е. Дети поясняют, что в этом случае Т становится тоже частью еще какого-то це лого, что не соответствует рисунку с площадями.
4. Учебник, ч. 3., с. 13. Упр. 2 и 3.
8. 2. Определение значения целого
1. Сообщается сюжет. У хозяйки было 7 кг фруктов в коробке и 5 кг в корзине (рисунок на доске). Она решила сварить повидло, а для этого нужно купить столько же килограммов сахара. Как узнать, сколько всего килограммов фруктов у хозяйки? Сын хозяйки предложил все яблоки поставить на весы и узнать их массу. А дочь сказала, что число можно уз нать с помощью числовой прямой. Как это сделать?
Очевидно, дети предложат найти на числовой прямой чис ло 7 и затем увеличить его на 5. Учитель «удивляется»:
У. Почему увеличить? Я ведь не говорю, что неизвестное число больше данных чисел!
Д. Но это и так понятно, ведь в это число входят и 7 кг, и 5 кг, — это целое!
Рассматриваются варианты действий на числовой прямой, имеющиеся в учебнике на с. 14 (упр. 1). Выясняется, что Петя нашел меньшее число, Коля сначала нашел на числовой пря мой число 7 и увеличил его на 5, Ира нашла число 5 и увеличи ла его на 7. Они получили одно и то же число 12. Записывают ся оба правильных решения.
Напоминаются термины «целое» и «части»: чтобы узнать целое, мы сложили две части. Действие увеличения на число вой прямой называют сложением.
2.Учебник, ч. 3, с. 14. Упр. 2. Выясняется, что за одно изме рение не удастся определить длину ломаных линий. Нужно измерить их части, а числа сложить. Записи ре шений сравниваются — в одном случае сложили два чис ла, а в другом — три, потому что в одном случае целое со стояло из двух частей, в другом — из трех.
3.Учебник, ч. 3, с. 15. Упр. 3. Чтобы ускорить измерение пло щадей, предлагается работать парами: один ученик измеря ет светлую часть площади, а другой — темную. Результаты измерений вписываются в чертеж, записывается решение. Ответ находится с помощью числовой прямой из упр. 1
4.У учителя два сосуда. В один из них он наливает две боль шие чашки воды, во второй — один маленький стакан чик. На доске записываются числа 2 и 1.
Вода сливается в третий сосуд. « Сколько в ней мерок ? Мож но ли это узнать без измерения, с помощью чисел?» Многие дети скажут, что в сосуде 3 мерки. Измерение чашкой не под тверждает этого. «Наверное, нужно измерить стаканчиком!» Но и в этом случае получается не 3 стаканчика, а больше. Вы ясняется ошибка: дети сложили числа, полученные при изме рении разными мерками.
5. Учебник, ч. 3, с. 15. Упр. 4. Анализируя записи и рисунок, учащиеся замечают, что Петя и Таня складывали числа, полученные при измерении разными мерками, что не правильно. Коля и Ира перемеряли части одной и той же меркой. Оба ответа правильные, хотя и разные.
6. Учебник, ч. 3, с. 16. Упр. 5. Учащиеся должны отказаться складывать числа, когда они представлены разными еди ницами.
7. Учебник, ч. 3, с. 16. Упр. 6. Сравнить выражения можно, вычислив их значения, которые следует подписать под выражениями.
8. Учебник, ч. 3, с. 16. Упр. 7. Дети пересчитывают звездоч ки и круги. Далее предлагается определить число треу гольников, используя полученные ранее числа и число вую прямую. Одному ученику все же поручается пере считать треугольники «вручную». Полученные ответы сверяются. Способ ручного пересчета оценивается как «детсадовский», а другой — «рациональный».
8.3. Порядок сложения чисел
1. Учебник, ч. 3, с. 17. Упр. 1.
2. Учебник, ч. 3, с. 17. Упр. 2. Учитель высказывает мнение, что необходимо выполнить ручное измерение длины за данной меркой. Но обнаруживается, что искомая вели чина состоит из тех же частей, что и первая, это то же са мое целое, но в нем части поменяли местами.
3.Учебник, ч. 3, с. 18. Упр. 3. Объяснение решений должно быть примерно таким: сложили те же части, но в другом порядке, получится то же самое целое.
4. Учебник, ч. 3, с. 18. Упр 4. Выясняется, что нужно узнать значение целого, состоящего из двух частей. Выбирают ся два правильных действия: 8 + 3 и 3 + 8.
Предлагается одним учащимся выполнить на числовой пря мой первый способ, а другим — второй. Результат получается тем же, однако второй способ действия занимает больше вре мени, при этом некоторые дети могут сбиться, присчитывая число 8. Подчеркивается, что удобнее присчитывать к больше му числу меньшее.
5. Учебник, ч. 3, с. 18. Упр. 5. Выясняется, что вторая запись не подходит ни к одному из рисунков, а две другие могут быть отнесены к любому из них.
8.4. Варианты значений частей целого
1. На доске изображения двух корзин. В них «кладутся» апельсины-картинки. Учитель записывает поясняющие данные:
Сообщается, что считали апельсины штуками. Известно, что всего их... (7 штук). Однако неизвестно, как они разложе ны по корзинам, и поэтому числа пока обозначены буквами. Предлагается выполнить все возможные сравнения. Выясня ется, что легко можно сравнить число 7 с числами а и в, так как целое, конечно, больше каждой своей части, но отношение ча стей неизвестно. С помощью числовой прямой определяются варианты разных отношений, например: 3<4, 5>2, 1<6.
2. Учебник, ч. 3, с. 19. Упр. 1.
3. Учебник, ч. 3, с. 19. Упр. 3 (упр. 2 лучше выполнить после упр. З). Содержание рисунка переносится на чертеж. При опоре на него выполняются требуемые сравнения и оп ределяются результаты сложения и вычитания.
4. Учебник, ч. 3, с. 19, 20. Упр. 2, 4. После выполнения упр. 2 подчеркивается, как полезно знать части числа — тогда легко находить значения выражений, даже если числа не совсем знакомы.
5.Учебник, ч. 3, с. 20. Упр. 4. Даны фигуры. Предлагается с помощью штриховки показать 2 разных варианта разбие ния на части группы, состоящей из пяти фигур. При этом учитель заранее определяет отношение частей: « Сделайте так, чтобы часть слева была больше (меньше); чтобы ча сти были равными». Вариант частей 2 и 3 признается та ким же, как вариант 3 и 2. Отмечается, что 5 фигур нельзя разбить на две равные части. Дополняются записи.
6. Учитель демонстрирует 2 группы картинок, которые пересчитываются. Получилось, например, 6 маков и 5 ро машек. Все картинки складываются в конверт. Как уз нать с помощью числовой прямой, сколько всего карти нок в конверте? На доске рядом с конвертом учитель по мещает отрезок числовой прямой. Учащиеся сообщают способ сложения (6 + 5), результат которого определяет ся с помощью числовой прямой (на доске). Называется и записывается вариант 5 + 6. Ответ определяется без обра щения к числовому ряду.
Далее учитель вынимает из конверта и выставляет на доске 3 мака и 2 ромашки (т. е. число 5 представлено разнородными объектами, но пока не определяется общее число вынутых картинок). Сколько цветов осталось в конверте? Дети, скорее всего, не смогут ответить. Нужно предложить им воспользо ваться числовой прямой, на которой части выделены дугами. Записывается равенство: 11—5 = 6.
Вновь все картинки убираются в конверт, а затем вынима ются и выставляются 3 мака и 3 ромашки. «Сколько фигур в конверте?». После обращения к числовой прямой делается за пись: 11—6 = 5.
7. Учебник, ч. 3, с. 21. Упр. 5 аналогично только что опи санному упражнению. Однако ответ теперь нужно дать уже без обращения к числовой прямой.
8. Учебник, ч. 3, с. 21. Упр. 6, 7.
9. Предлагается приступить к изучению состава числа 6.
К доске вызываются 3 ученика: один будет контролировать целое, а два других — части. Выставляются 6 картинок или фи гур. Выделяется самая маленькая часть — ученик отодвигает одну фигуру от остальных. Учитель просит каждого из трех учеников показать свои фигуры.
На тренировочной странице учебника (с.51) на числовой прямой дано число 6. Учащиеся выделяют, проведя цветным карандашом по прямой, самую маленькую часть — длину одного шага. Тем самым обнаружится и вторая часть. Дети называют ее. «Хозяину» первой части предлагается увели чить ее.
Учитель «стремится помочь» ему и подает «постороннюю» картинку. «Хозяин» целого возражает: тогда получится не шесть, а другое число. Оказывается, увеличение первой части должно происходить за счет второй. На числовой прямой дети продлевают цветную линию еще на один шаг.
Таким же образом отрабатываются варианты 3 + 3, 4 + 2, 5+1.
Затем все варианты записываются по порядку в виде ра венств.
Проводится тренировка: кому удалось запомнить состав числа 6 и соответствующие случаи сложения и вычитания.
Другие упражнения на тренировочных страницах частично выполняются на этом же занятии, частично распределяются на другие.
Примерно в таком же порядке постепенно осваивается со став других чисел первого десятка.
Следующие уроки целесообразно начинать с устного счета, в котором отрабатывается как ранее пройденный материал (прибавление и вычитание чисел 1, 2, 3), так и новый, связан ный с изучением состава чисел.
8.5. Поиск значения части
1. Учебник, ч. 3, с. 22. Упр. 1.
2. На столе два сосуда с водой. На доске записана схема с лучами. По записи понятно, что в первом сосуде 4 ба ночки воды, а в двух —11. Выясняется, что воду во вто ром сосуде можно померить, но можно определить ее объем, действуя не с водой, а с числами на числовой прямой.
Но чтобы работать на ней, нужно знать, большее или мень шее число мы ищем. Оказывается, это число обязательно меньше, чем число 11, на 4. Обсуждается и записывается реше ние. Полученное с помощью числового ряда число проверяет ся путем ручного измерения.
Сообщается, что действие поиска меньшего числа называ ют вычитанием.
3. Учебник, ч. 3, с. 22. Упр. 2. Анализируя рисунок, учащи еся рассказывают, о чем идет речь, что уже промерено, а что нужно узнать. Учитель предлагает сравнить неизвест ное число с числом 7 — значением другой части. Оказы вается, пока трудно сказать, какая часть больше и на сколько. Но сравнить неизвестную часть с целым можно. Выбирается решение, находится ответ.
4. Учебник, ч. 3, с. 23. Упр. 3. Как узнать, в каких случаях узнавали часть, а в каких целое? Для этого нужно помнить, как узнают часть и как узнают целое. Учащиеся формулируют соответствующие правила, например: что бы найти целое, нужно сложить части; чтобы найти часть, нужно из целого вычесть известную часть.
Для различения записей можно предложить найденное це лое вписать карандашом, а часть — ручкой.
5. На доске 8 и 5 яблок (картинки стоят в пачках рядом с числами). Требуется узнать целое. Уточняется, что мерой является штука. Выясняется и выполняется (с помощью числового ряда на линейке) решение. Учитель сетует, что по числовому ряду трудно делать много шагов, и знако мит детей с калькулятором. Важно разъяснить, что каль кулятор может выполнить и вычитание, и сложение, од нако сам он не может выбрать действия — это работа для человека, а машинка только подсчитывает. Полученный на калькуляторе ответ оказывается тем же, что был опре делен с помощью линейки, — это нужно обязательно продемонстрировать, чтобы показать надежность работы калькулятора.
6. Учебник, ч. 3, с. 23. Упр. 4.
7. Учебник, ч. 3, с. 23. Упр. 5 направлено на дифференциро вание случаев поиска целого и части.
Сравниваются два верхних чертежа. Чем они различаются? Учащиеся говорят об использовании в них разных чисел. Учи тель подводит детей к другому отличию: на одном чертеже не известно целое, на другом — часть.
Предлагается поупражняться в поисках значения целого и части.
У. Какие действия нам известны?
Д. Сложение и вычитание.
У. Покажите жестом знак сложения... вычитания.
Дети поднимают скрещенные пальцы или один выпрямлен ный палец. Далее этот жест используется, когда нужно пока зать учителю выбранное действие. Результат действий может быть найден с помощью кальку лятора.
В случае со сказочными числами на месте ответа записыва ется вопросительный знак. В последнем задании — «ловушка»: целое меньше части. Предлагается исправить число 15 на 5, после чего записать решение.
8. Учебник, ч. 3, с. 24. Упр. 6 продолжает работу по диффе ренцированию случаев поиска части и целого, а также готовит учащихся к решению текстовых задач.
В детский сад привезли игрушки в коробках. Имеются записи о них. Нужно определить неизвестное число, вы полнив действие — сложение или вычитание. К первому рисунку составляется сюжет, который начинает учитель, а дети продолжают: «5 детский сад привезли пирамидки и кубики, всего... (16 штук). Пирамидок было... (7 штук). Что неизвестно? Что нужно узнать?» (Сколько привезли куби ков?)
Неизвестное число сравнивается с имеющимися и выбира ется действие вычитания, так как нужно найти часть.
Таким же образом составляются сюжеты по другим рисун кам. Заметим, что пока не требуется составлять четкий текст задачи.
Для повышения мотивации при определении решения можно ввести персонаж, например Буратино, который очень любит выполнять сложение, а с вычитанием еще не разобрал ся. Он предлагает условие: игрушки, число которых нужно уз навать сложением, он будет забирать себе, а остальное могут забрать себе дети.
При выполнении задания со сказочными числами труднее определить, из какого числа нужно вычитать. Чтобы побудить детей к размышлению, учитель предлагает неверный порядок чисел в записи. После объяснения и выполнения правильной записи действия один из учеников придумывает сказочное число — ответ.
9.Учебник, ч. 3, с. 24. Упр. 7. Учитель называет числа, ис пользованные в чертеже, и высказывает «сомнение» —смогут ли учащиеся найти результаты действий с этими незнакомыми большими числами без помощи калькулятора, используя лишь чертеж?
Критерии усвоения учебного материло
Учащиеся должны:
1) определить результаты действий сложения и вычитания по заданной схеме целого и частей;
2) выбрать действие поиска значения целого и части; при на личии двух других значений, заданных рисунком или схе мой;
3) соотнести предметную ситуацию и чертеж отношения цело го и частей. Ранее задачи были представлены некоторой предметной си туацией или рисунком, в которых отношение величин было за дано явно. Теперь дети будут иметь дело с текстовыми задача ми. При первой же встрече с ними оказывается, что понять суть условия довольно трудно, но в качестве помощника может выступить чертеж. Чертеж помогает и решить задачу, так как позволяет легко отнести искомое к целому или части и соот ветственно выбрать действие. Внимание учащихся обращается на частое несовпадение предметного действия, описываемого в условии задачи, и действия арифметического. Рассматривается отличие задач от рассказов, выясняются принципы построения задачи на основе рассказа.
9. Текстовые задачи (10 уроков)
Ранее задачи были представленными некоторой предметной ситуацией или рисунком, в которых отношение величин было задано явно. Теперь дети будут иметь дело с текстовыми задачами. При первой же встрече с ними оказывается, что понять суть условия довольно трудно, но в качестве помощника может выступать чертеж. Чертеж помогает решить задачу, так как позволяет легко отнести искомое к целому или части и соответственно выбрать действие. Внимание учащихся обращаться на частое несовпадение предметного действия, описываемого в условии задачи, и действия арифметического.
Рассматривается отличие задач от рассказов, выясняются принципы построения задачи на основе рассказа.
9.1. Анализ текстов задач с помощью чертежа
1. Кратко подводятся итоги прошлых уроков. Мы учимся находить числа, не только измеряя объекты, но и дейст вуя с другими числами. Нам известны два действия — сложение и вычитание. Сложение выполняется, когда нужно найти большее число, а вычитанием находят меньшее число.
Предлагается определить, какое действие с числами нужно выбрать, решая задачу: «Мама принесла 11 огурцов. Из них 4 огурца были длинные, а остальные — короткие. Сколько ко ротких огурцов принесла мама?» Текст излагается быстро, так что дети не смогут запомнить его. Учитель сочувствует им: трудно разобраться в задаче, если только слышишь ее и ничего не видишь. Дети предлагают свои способы фиксации условия. Возможно, будет предложен рисунок. Учитель соглашается с этим, но замечает, что придется при этом потратить много вре мени. Кто-то может предложить просто записать на доске чис ла. Учитель делает это и замечает, что из такой записи непонятно: может быть, принесли 11 огурцов, а потом еще 4... Выбира ется (или предлагается учителем) чертеж. Учитель повторно и медленно читает текст, а дети по ходу чтения строят отрезки (в тетрадях и на доске), подписывая их числами. Выясняется, что для числа 4 нужно выделить отрезок «внутри» первого, а не чертить новый. Вписывается вопросительный знак. Далее уточняется, о чем сообщает каждый из трех отрезков: 4 — длинные огурцы, 11 — все огурцы и еще один отрезок — корот кие огурцы.
Примечание. Не нужно фиксировать внимание на соотно шении частей внутри целого. Если у кого-то из детей возник нет этот вопрос, следует указать, что пока нам неизвестна вто рая часть, придется отметить ее приблизительно. Важно, что в любом случае часть будет меньше целого.
Определяется решение: так как требуется узнать часть, т. е. меньшее число, нужно из целого вычесть известную часть. Ре зультат действия находится с помощью калькулятора (поощ ряется также попытка некоторых детей вычислить ответ в уме).
2. Учебник, ч. 3, с. 25. Упр. 1. До чтения задачи по рисунку определяется, что речь будет идти о яблоках и бананах. Учитель читает текст, а дети должны определить, какой чертеж из двух к нему подходит. По чертежу определяет ся и выполняется решение.
(До специального указания в методическом пособии тексты задач читает учитель или бегло читающий ученик.)
3. Учебник, ч. 3, с. 25. Упр. 2. По рисунку дети определяют, о чем речь в задаче. Задача читается, отмечается необхо димость построения чертежа. Далее дети строят чертеж по ходу чтения учителем задачи. Определяется решение.
4. Учебник, ч. 3, с. 25. Упр. 3.
5. Учебник, ч. 3, с. 26. Упр. 4. Сообщается, что построены чертежи к каким-то задачам. Нужно выбрать только те, в которых неизвестной была часть, и записать решения. «Ловушка» показывает, что кто-то плохо слушал текст за дачи и сделал неправильный чертеж (в нем часть больше целого).
6. Учебник, ч. 3, с. 26. Упр. 5. Учитель привлекает внимание детей на текст двух задач. В нем они видят одинаковые числа. Учитель высказывает предположение, что, навер ное, по ошибке напечатали одинаковые задачи, и пред лагает проверить это с помощью чертежа. Выполняются два чертежа. Возможно, учащиеся заметят, что в задачах речь идет о разных детях. Только ли этим отличаются две задачи? Важно прийти к следующему: в одном случае число 8 является целым, а другом — частью. Записыва ются решения. Решения различны, тогда говорят, что и задачи различны.
7. Учебник, ч. 3, с. 27. Упр. 6. Учитель читает задачу, а дети строят чертеж. По ходу дела учитель подсказывает, что если число не названо, то на его месте в чертеже нужно пока поставить точку. В конце чтения выясняется, что точку нужно изменить на знак вопроса, так как именно об этой величине спрашивается в задаче.
Учитель на доске тоже делает чертеж, спрашивая у детей, где следует поместить следующий отрезок — внутри первого или снаружи и т. п.
Определяется решение. Учитель сообщает, что в другом классе дети рассуждали так: число рыбок у Саши увеличилось, значит, нужно выполнить сложение. Выясняется, что требует ся узнать не то число рыбок, которое получилось после покуп ки новых рыбок, а ту часть рыбок, которых Саше купили не давно, — целое уже известно, а нужно узнать значение части.
Учитель читает новую задачу, ученики строят чертеж. Неиз вестная величина сначала отмечается точкой. Вопрос к задаче учитель предлагает поставить самим учащимся. После этого на чертеже вписывается вопросительный знак. Записывается ре шение. Затем обсуждается, почему выбрано сложение, хотя в задаче длина ленты уменьшалась. Учебник, ч. 3, с. 27. Упр. 7. Среди записей даны две «ло вушки»: 8 — 6 и 8 + 14. Нужно уточнить, что можно най ти результат этих действий с помощью числовой прямой или калькулятора, но в этом не может помочь заданный чертеж. На месте результатов действий ставится вопро сительный знак.
9.Учебник, ч. 3, с. 28. Упр. 8. Учитель читает первый текст, ученики по ходу чтения выполняют чертеж. Проверяется правильность соотношения целого и частей, уточняется единица измерения — штука.
Строится чертеж ко второму тексту. Выясняется его отличие от первого. Конечно, в них различны числа, но главное — во втором тексте даны не все числа, одно нужно узнать. Об этом числе ставится вопрос. Учитель предлагает называть первый текст рассказом, а второй — задачей.
Затем определяется действие. Сообщается, что это решение, которого не требует рассказ. В результате решения получают ответ на вопрос задачи. Предлагается в ответе, кроме числа, за писывать наименование (в скобках), а устно давать разверну тый ответ на вопрос.
При определении решения учитель предлагает выполнить вычитание: ведь количество конфет у Иры уменьшалось! Дети должны не попасться в эту «ловушку» и сослаться на то, что нужно узнать целое.
10. Учебник, ч. 3, с. 28. Упр. 9. Отмечается, что чертеж сде лан не к задаче, потому что все числа известны, но «пока обозначены буквами». Дети призываются, несмотря на это, выполнить указанные сравнения и записать резуль таты действий. Обнаруживаются две «ловушки»: 1) нель зя определенно сравнить части; 2) если сложить часть и целое, то это число нельзя обозначить буквой с.
11. Учебник, ч. 3, с. 29. Упр. 10. Даны два текста. Нужно про верить, задачи ли это. Учитель читает первый текст. Уча щиеся высказывают свои мнения. Предлагается обосно вать мнение с помощью чертежа. Обнаруживается, что при наличии только одного числа невозможно решить задачу. Условие задачи исправляется: «Таня нашла еще 2 гриба». Записывается решение. Учитель сообщает, как его обосно вал знакомый ученик: «Нужно увеличить, потому что ко личество грибов у Тани увеличилось». Дети должны возра зить: «Потому что ищем целое». Формулируется ответ.
Учащиеся на слух оценивают правильность второй задачи. Затем строится чертеж, на нем отмечаются все компоненты за дачи: имеется условие с двумя числами, есть вопрос. Можно записать решение и дать точный ответ. Обязательно обсудить, почему выбрано действие вычитания, хотя, по условию, коли чество грибов в корзине у Нади увеличилось.
12. Учебник, ч. 3, с. 29. Упр. 11. Построили чертежи к зада чам об овощах. Требуется записать решение. На чертеже к задаче о моркови не хватает еще одного числа. Учитель может внести в чертеж на доске изменение, задав це лое — 6, после чего записывается решение.
На чертеже к задаче об огурцах придется поменять местами целое и часть. К задаче о репе можно записать решение, но нельзя вычислить ответ. Учитель напоминает, что величину можно записать не только одним числом, но и выражением: «о плюс с огурцов».
Для оживления работы предлагается детям, которые пра вильно запишут решение, раскрасить в тетради соответствую щий овощ для своего салата.
9.2. Составление задач
Учащимся раскрывается, что рассказ о трех значениях вели чины можно преобразовать в три задачи, в каждой из них делая неизвестным одно из значений.
1. Учитель предлагает решить задачу с помощью чертежа. Он читает текст: «У Юры было 13 орехов. Когда 8 орехов он съел, у него осталось 5 орехов. Сколько орехов было у Юры первоначально?» Учащиеся по ходу чтения строят чертеж в тетради. Обнаруживается, что на поставленный вопрос имеется ответ в самом тексте. Все числа извест ны, значит, это не задача, а рассказ с числами.
Предлагается изменить текст, чтобы он стал задачей. Как это сделать? Рассуждения детей учитель направляет к тому, что нужно выбрать величину, значение которой будет неизвестно. Можно эту величину заранее отметить на чертеже вопроси тельным знаком. Дети предлагают свои варианты неизвестно го. На новом чертеже учитель ставит вопросительный знак на месте числа 8, расставляются на свои прежние места другие два числа. Теперь нужно сформулировать задачу. Важно, чтобы де ти составляли текст задачи, следуя за указкой учителя (пока), которая, передвигаясь по чертежу, задает порядок упоминания чисел в сюжете. В нужном месте учитель подсказывает введе ние слова «несколько». По окончании изложения условия указка возвращается к вопросительному знаку, чтобы был сформулирован вопрос.
Предлагается записать решение и проверить, получится ли то число (8), которое было изначально задано в рассказе.
2.На новых чертежах меняется место неизвестного. Вслед за указкой учителя составляются задачи, записываются их решения, формулируются ответы.
Составлять текст лучше, работая в паре. Соседи по парте придвигаются друг к другу и шепотом проговаривают текст, следуя за указкой учителя.
3.Учебник, ч. 3, с. 30. Упр. 1. Построен ли первый чертеж к задаче или к рассказу? Поскольку данные на чертеже представлены не конкретными числами, а буквами, дети могут сказать, что здесь вообще нет чисел, поэтому это не задача, а рассказ. Учитель напоминает, что буквами обо значают и числа, кроме того, буквы можно заменить чис лами. Но чертеж действительно построен к рассказу, по скольку в нем все числа заданы. Учитель читает текст, а учащиеся проверяют, соответствует ли он данному черте жу: «В мяч играли а ребят. К ним присоединились ещер ребят, и стали играть в мяч с ребят». Сколько задач можно составить по этому рассказу? Выясняется, что три задачи, так как есть три числа и каждое может стать тем, которое нужно находить вычислением. Предлагается по строить чертежи для этих задач. На трех заготовках для чертежей проставляются те же буквы, но вместо одной из них вписывается вопросительный знак — в каждом чер теже на новом месте.
4. Учебник, ч. 3, с. 30. Упр. 2. Учитель читает текст задачи, а дети находят соответствующий ей чертеж из упр. 1. За тем, работая в парах, преобразуют текст в две новые за дачи, соответствующие оставшимся двум чертежам.
5. Учебник, ч. 3, с. 30. Упр. 3. Нужно записать решения к составленным задачам. Учитель «сокрушается»: было три задачи, наверное, теперь не вспомнишь их. Выясняется, что для записи решения вспоминать текст не нужно, до статочно обратиться к чертежу — ведь все задачи состав лялись с опорой на чертеж.
6.Учебник, ч. 3, с. 30. Упр. 4. Требуется проверить, являет ся ли текст задачей. Учитель читает текст, а дети строят чертеж. Выясняется, что дан рассказ, но по нему можно составить три задачи. Требуется задача, которая решается сложением. Выясняется, что неизвестным должно стать целое. Зачеркивается буква а и рядом записывается знак «?». Другие буквы заменяются числами 11 и 4. Составля ется текст задачи, записывается решение.
Строятся два новых чертежа, в которых вопросительный знак ставится на новые места. При распределении чисел ока жется, что нужно быть внимательным и не сделать целое мень ше его части.
7. Учебник, ч. 3, с. 31. Упр. 5. Рассматриваются чертеж и ри сунок. Съели часть пирожков или испекли еще? Навер ное, может быть и то и другое. Составляется первая зада ча, записывается ее решение. Выясняется, почему число пирожков увеличивалось, а дети выбрали действие вычи тания (потому что нужно узнать меньшее число, часть). Составляется вторая задача. От записи решения следует отказаться — оно уже записано, ведь использовался тот же самый чертеж.
8. Учебник, ч. 3, с. 32. Упр. 6. Ранее учащиеся находили значе ния выражений исходя из чертежа. Теперь нужно исходить из заданного равенства. Делается попытка найти ответ в первом примере. Для доказательства ответа строится чер теж. Следующие числа находятся с помощью чертежа.
9. На доске чертеж вида ?=3+6. Определяется, что чертеж построен к задаче, так как имеются два числа и вопроси тельный знак. Учитель сообщает, что это задача о каран дашах в коробке. Но что происходило с ними — добави ли еще или забрали часть? У детей будут разные мнения. Оказывается, по чертежу этого определить нельзя. Учи тель предлагает составить текст задачи начиная с целого. Он указкой проводит по целому: «В коробке было...» (не сколько карандашей)... Далее указка переходит на отре зок, обозначенный числом 6, потом на 3 и возвращается к вопросительному знаку. Получился текст, в котором ка рандаши добавлялись.
Записывается решение.
Предлагается составить текст иначе: сначала учитель ука зывает на число 3, потом на 6 и наконец на вопросительный знак. Получился текст, в котором карандаши добавляют. Запи сывается решение.
Сравниваются два решения. Они совершенно одинаковые. Выясняется, что в обоих случаях находили целое, состоящее из тех же самых частей. Обе задачи строили по одному и тому же чертежу.
10. Учебник, ч. 3, с. 32. Упр. 7. Рассматривается чертеж. Яс но, что он построен к задаче. Добавилось число машин в гараже или убавилось, пока неясно. Предлагается соста вить текст задачи начиная с неизвестного. Учащиеся работают в парах. А учитель им помогает, проводя указ кой по элементам чертежа (на доске) в нужном порядке. Оценивается составленный текст, записывается решение задачи, обсуждается различие предметного и арифмети ческого действий.
Составляется новая задача, текст которой начинается с чис ла 13. Учитель так направляет учащихся (двигая указкой по чертежу), чтобы задача имела структуру 13 — ? = 7. Задается вопрос-«ловушка»: « Число, полученное при решении этой за дачи, будет больше или меньше, чем число, полученное при ре шении предыдущей задачи?» Выясняется, что это то же самое число, поскольку и решение будет таким же — обе задачи по строены по одному и тому же чертежу.
9.3. Единицы объема
1. Учитель напоминает о стандартных единицах массы и длины.
У. Как измеряют объем жидкости?
Д. Часто измеряют стаканами, кружками.
На столе учителя 2 сосуда разной конфигурации. В один из них, по утверждению учителя, налито 3 стакана воды. Уточня ется: нам известна мерка — стакан. Предлагается налить во второй сосуд такой же объем воды. На столе несколько стака нов разного объема. Дети в растерянности: какой стакан взять?
Учитель напоминает, что когда хотят измерить длину санти метром или метром, никто не спрашивает, какой взять санти метр, метр, потому что во всем мире они одинаковые. Так и для измерения объема нужна общая для всех людей в мире единица — это литр. Есть и другие единицы: миллилитр, дека литр, но литр — основная. Предлагается догадаться, поместит ся ли в стакан 1 литр воды.
Учитель демонстрирует литровый пакет молока. Путем пере ливания устанавливается, что 1 литр помещается в 4 — 5 стаканах.
На столе имеются другие емкости, например двух и трехлит ровые банки, банки в 800 мл. Каково отношение их объемов к литру? В спорных случаях производится переливание воды.
10. Числа от 11 до 20 ( 8 уроков)
Числа 11 — 20 вводятся как продолжение хорошо известно го детям отрезка числового ряда. Нужно научиться читать эти числа и выполнять с ними знакомые операции присчитыва ния. Основания и принципы построения многозначного (в том числе и двузначного) числа изучаются во втором классе.
10.1. Образование чисел 11 - 20
1. Учебник, ч. 3, с. 34. Упр. 1. Рассмотрев материал упраж нения, учащиеся высказывают догадку, что будут изу чаться числа больше числа 10. Учитель отмечает, что та кие числа встречались в учебнике и раньше, но теперь нужно хорошо понять и запомнить, в каком порядке они располагаются на числовой прямой, как называются.
Предлагается прочитать (хором) числа, расположенные на числовой прямой, сначала в порядке возрастания, а потом в обратном порядке. Читаются выражения, их значения опреде ляются обязательно с помощью действий на числовой прямой. Сначала структуру числительных поясняет учитель, а потом и сами учащиеся.
2. Предлагается записать в тетрадях числа от 11 до 20 по по рядку, стараясь не смотреть в учебник. Выполняется это так: один ученик называет число, а остальные его запи сывают (в том числе и на доске).
3. Предлагается быстро находить на числовой прямой на зываемые учителем числа. Для этого нужно понимать их названия и знать, где число искать — ближе к нулю или дальше от него.
4. Учитель называет два числа. Нужно записать в тетрадь то из них, которое дальше стоит от нуля. Если потребуется, можно посмотреть на числовую прямую. Дают ся пары чисел: 16 и 19, 14 и 12, 15 и 17, 13 и 11, 12 и 20.
Зачитываются сделанные записи. Теперь все эти числа нуж но переписать в порядке от меньшего к большему. Новый ряд чисел ученики читают хором.
5. Учебник, ч. 3, с. 34. Упр. 2. Зачитываются заданные чис ла с указанием их отношения.
6. Учебник, ч. 3, с. 34. Упр.З. Учитель читает задачу, а дети строят чертеж. Отмечается, что сок измеряли литрами. Выполняется решение.
10.2. Случаи вида 16 ± 1
1. Проговаривается числовой ряд от числа 8 до числа 20.
2. Учитель называет число, а учащиеся мысленно двигают ся по числовой прямой в сторону нуля и называют три числа.
3. Учебник, ч. 3, с. 35. Упр. 4. Нужно назвать соседние чис ла — на один больше или меньше заданного. Предлагает ся по возможности не смотреть на числовую прямую (хотя это и не запрещено).
4.Учебник, ч. 3, с. 35. Упр. 5.
5. Учебник, ч. 3, с. 35. Упр. 6. Учащимся предлагается са мим разобраться с текстом задачи, в который включены рисунки, как говорят дети, «для облегчения чтения, но все же нужно разгадать их смысл» (рисунки, включен ные в текст, заменяют наименования чисел). Обнаружи вается, что вопрос задачи не сформулирован. Чтобы не было ошибок, предлагается построить чертеж, а уже по нему составить текст задачи полностью. Задача реша ется.
6. Учебник, ч. 3, с. 35. Упр. 7. Задачу читает учитель, а уча щиеся строят чертеж. Затем задача решается.
10.2. Случаи вида 16 ± 2, 16 ± 3
1. Проговаривается числовой ряд от 20 к 11.
Устно задаются и решаются случаи вида 16 ± 1. Устно задаются случаи последовательного вычитания: 14- 1....- 1....-1.
2.Учебник, ч. 3, с. 36. Упр. 8. Определяется, какие действия выполнены на числовой прямой. Эти действия записаны в первом столбике. Отмечается, что результат действий получился одинаковым.
Читается следующее выражение, действие выполняется на числовой прямой и записывается в более кратком виде.
3. Учебник, ч. 3, с. 36. Упр. 9. Заданные действия выполня ются с проговариванием последовательного движения (мысленного) по числовой прямой.
4. Учебник, ч. 3, с. 36. Упр. 10. Дана задача, которую дети должны прочитать сами и дополнить вопросом. Нужно обратить внимание детей, что в тексте сказано, какое число нужно искать — большее или меньшее, поэтому для выбора действия нет необходимости в чертеже. Запи сывается решение задачи и формулируется ответ.
(К задачам такого вида чертеж будет строиться во втором классе.)
5. Учебник, ч. 3, с. 36. Упр. 11. Задачу читает учитель. Зада ча детям не совсем понятна, поэтому нужно сделать чер теж. При построении чертежа выясняется несоответ ствие единиц измерения. Кружки заменяются литрами, и задача решается.
6.Учебник, ч. 3, с. 37. Упр. 12. При выполнении задания уча щиеся должны объяснить, как можно определить пропу щенное число. Например, 14 и 15 — соседние числа, отлича ются на 1 единицу; от 16 до 18 два шага по числовой прямой.
7.Учебник, ч. 3, с. 37. Упр. 13. Учащиеся должны записать способ поиска пропущенного числа. При этом рассужде ние может быть следующим. Нужно узнать меньшее чис ло. Найдем на числовой прямой известное число 17 и от него пройдем в сторону нуля 2 шага. Это можно записать так: 17-2= 15.
8.Учебник, ч. 3, с. 37. Упр. 14. Даны две задачи, которые читает учитель. Задачи решаются без выполнения черте жа, на основе рассуждения.
9. Учебник, ч. 3, с. 37. Упр. 15. Дети читают задачу, пробуют поставить вопрос. Строится чертеж, и текст задачи про веряется с его помощью. Задача решается.
10.4. Состав чисел второго десятка. Вариант 10 + а
1. Учебник, ч. 3, с. 38. Упр. 1. Чертежи дополняются чис лом. Определяется, что общего во всех случаях (число разбито на две части, одна из которых — число 10). За данные выражения нужно обязательно соотнести с чер тежом и затем назвать результат действия.
2.Учебник, ч. 3, с. 38. Упр. 2. Выполняя заданные действия, нужно найти 2 выражения, отличающиеся от других (те, в которых не выделяется в качестве части число 10).
3.Учебник, ч. 3, с. 38. Упр. 3. Дети читают задачу, составля ют чертеж, записывают и обосновывают решение.
4.Учебник, ч. 3, с. 38. Упр. 4. Задачу читает учитель. Реше ние дети находят с помощью рассуждения.
5. Учебник, ч. 3, с. 39. Упр. 5 — 17. Эти упражнения содер жат материал для повторения. Он прорабатывается с предоставлением детям большей самостоятельности.
К концу учебного года учащиеся должны уметь:
1) решить текстовую задачу на поиск: значения целого и час ти; значения величины по другой величине и разности;
2) выполнить сложение и вычитание в пределах чисел первого десятка;
3) прочитать, записать, сравнить числа второго десятка; вы полнить с ними простейшие арифметические операции.