Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
атематический анализ 2013 Преподаватель Михащенко Т.Н.
Лабораторная работа по теме «Приближенное решение уравнений с одной переменной»
Задание. Найти один из корней уравнения методом деления отрезка пополам (методом Фибоначчи, «золотого сечения», рандомизации) с точностью до : 1) отделить корень на отрезке , проверить его единственность; 2) реализовать один из методов деления отрезка в заданном отношении (использовать ЭВМ или калькулятор); 3) сделать проверку точности найденного решения подстановкой его в исходное уравнение.
Индивидуальные варианты:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,
6) , 7) , 8) , 9) , 10) ,
11) , 12) , 13) , 14) , 15) , 16) , 17) , 18) , 19) , 20) .
Порядок выполнения работы
1) Графическое отделение корня в случае достаточно сложного выражения y=f(х) можно производить следующим образом. Допустим, что уравнение можно представить в виде f1(x) = f2(x). В этом случае строим графики функций у=f1(x) и y=f2(x); абсциссы точек пересечения кривых будут действительными корнями уравнения. Найдем, например, приближенно корни уравнения x-sin x-1 = 0, записав это уравнение в виде x-1 = sin x. Построим графики функций y = sin x и у = х-1 (рис.1). Точка пересечения этих линий имеет абсциссу х ≈ 1,9, что можно считать грубым приближением значения корня.
Рис. 1
Интервал [а;b] является интервалом изоляции корня, если его можно считать настолько малым, что на нем лежит точно один корень исходного уравнения. Выбор этого интервала производится на основании свойства непрерывных функций: если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (f(a)f(b) < 0), то между точками а и b есть хотя бы один корень уравнения f(x) = 0. Корень будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри [а;b] (рис. 2).
Рис. 2
Найдем интервал изоляции корня уравнения: х3+x2-1=0. Для этого представим уравнение в виде: х3 =1-x2, т. е. f(x)=x3 и g(x)=1-x2. Построим приближенно графики функций y=f(x) и y=g(x) (рис. 3). Точка пересечения графиков двух функций, а значит, и корень уравнения находится на отрезке [0;1]. Проверим аналитические условия: f(0)=03+02-1=-1<0, f(1)= 13 +12-1=1>0, и f'(х)=3х²+2x>0 на отрезке [0;1]. Таким образом, мы определили интервал изоляции корня, для нахождения которого достаточно применить любой из аналитических методов численного решения уравнений.
у=x3
у=1-x2
Рис. 3
Задача отыскания корней уравнений может считаться практически решенной, если удалось определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.
1. Метод половинного деления
Рассмотрим один из самых простых численных методов решения уравнений – метод половинного деления. Пусть для уравнения найден интервал изоляции корня – отрезок [а;b]. Для уточнения искомого корня отрезок [а;b] делим пополам и из двух, полученных в результате этого деления отрезков выбираем тот, для которого выполняются условия существования и единственности корня (на концах отрезка функция принимает значения разных знаков). Середину отрезка находим по формуле хi=(a+b)/2, i=1,2,3…, и продолжаем данный процесс пока не достигнем необходимой точности (рис.4).
Рис.4
Рассмотрим применение метода половинного деления на примере решения уравнения х3+x2-1 = 0 на отрезке [0;1]. Разделим интервал изоляции пополам – это точка х=0,5. Получим два подотрезка – [0;0,5] и [0,5;1]. Вычислим значения функции на концах отрезков, f(0)=-1<0,f(0,5)=0,53+0,52-1=0,125+0,25-1=-0,625< 0, f(1)=13+12-1=1+1--1=1>0, т. е. на концах отрезка [0,5;1] функция имеет значения разных знаков, следовательно, корень уравнения принадлежит отрезку [0,5;1]. Выбираем этот отрезок для дальнейшего рассмотрения.
Повторяем метод половинного деления уже для нового отрезка. Середина отрезка x=(0,5+1)/2=0,75, и из двух полученных отрезков выбираем правый отрезок [0,75;1], т.к. f(0,75) = -0,015625< 0, f(1)=1> 0. Процесс продолжается до получения корня с заданной степенью точности.
Если делить отрезок [a;b] сразу на десять частей, то на следующем шаге можно получить отрезок в десять раз меньший, чем [a;b].
2. Метод Фибоначчи
Рассмотрим одну из разновидностей метода половинного деления – метод Фибоначчи.
Пусть дано уравнение , где функция у=непрерывна на и . Для уточнения корня данного уравнения введем последовательность чисел Фибоначчи: , , , это будут числа 1,1,2,3,5,8,13,21 и т.д. Согласно данному методу, на каждом ом этапе отрезок делят в отношении , где и соответственно е и е число из последовательности Фибоначчи. Так на первом шаге отрезок делят в отношении (пополам) и выбирают тот из них, на концах которого функция имеет разные знаки. На втором этапе выбранный суженный отрезок делят в отношении , следующие в отношениях , , В результате получаем на некотором этапе точный корень уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что (n=1,2,…). В качестве корня можем принять .
3. Метод Золотого сечения
Еще одним методом последовательного деления отрезка, содержащего корень уравнения, является метод золотого сечения. Его смысл состоит в делении отрезка на две неравные части так, чтобы, отношение всего отрезка к большей части, равнялось отношению большей части отрезка к меньшей (принцип «золотого сечения»).
Пусть дано уравнение , где функция непрерывна на и . Суть метода состоит в том, чтобы разделить отрезок точкой так, чтобы , решая это уравнение, получаем . Все остальные действия осуществляются аналогично предыдущему методу.
4. Метод рандомизации
Метод рандомизации также является методом последовательного сужения отрезка, содержащего корень уравнения. Но, в отличие от предыдущих рассмотренных методов, он не является строго детерминированным. В нем вводится элемент случайности, и точки деления отрезка выбираются в соответствии с определенным законом распределения. При этом в среднем можно получить выигрыш в числе этапов по сравнению с другими методами.
Пусть дано уравнение , где функция у=непрерывна на и . Точку деления текущего отрезка на каждом этапе находят из выражения , где случайное число, причем .
В результате получаем на каком-то этапе или точный корень исходного уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что (n = 1, 2, …).
В качестве корня снова выбираем .
Примерный образец оформления работы
Вычислительный бланк для метода деления отрезка пополам или его модификаций:
|
№ |
a |
b |
c |
f(c) |
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
... |
... |
... |
... |
... |
Задание. Вычислить с точностью 0,001 корень уравнения .
1) Отделение корня: корни данного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и .
Из графика замечаем, что корни уравнения принадлежат отрезкам [4;6] и [7;8]. Уточним, например, корень, лежащий на отрезке [7;8]. Уравнение запишем в виде .
Метод половинного деления:
|
№ |
а |
в |
х |
f(x) |
|
1 |
7 |
8 |
7,5 |
0,21330 |
|
2 |
7,5 |
8 |
7,75 |
-0,02524 |
|
3 |
7,5 |
7,75000 |
7,62500 |
0,09584 |
|
4 |
7,62500 |
7,75000 |
7,68750 |
0,03563 |
|
5 |
7,68750 |
7,75000 |
7,71875 |
0,00527 |
|
6 |
7,71875 |
7,75000 |
7,73438 |
-0,00997 |
|
7 |
7,71875 |
7,73438 |
7,72656 |
-0,00235 |
|
8 |
7,71875 |
7,72656 |
7,72266 |
0,00146 |
|
9 |
7,72265 |
7,72656 |
7,72460 |
-0,0004 |
Корень уравнения равен
Метод Фибоначчи
|
№ |
a:b |
a |
b |
x |
f(x) |
|
1 |
1:1 |
7 |
8 |
7,5 |
0,21330 |
|
2 |
1:2 |
7,5 |
8 |
7,66667 |
0,05579 |
|
3 |
2:3 |
7,66667 |
8 |
7,80000 |
-0,07425 |
|
4 |
3:5 |
7,66667 |
7,8 |
7,71667 |
0,00729 |
|
5 |
5:8 |
7,71667 |
7,8 |
7,74872 |
-0,02398 |
|
6 |
8:13 |
7,71667 |
7,74872 |
7,72888 |
-0,00461 |
|
7 |
13:21 |
7,71667 |
7,72888 |
7,72134 |
0,00275 |
|
8 |
21:34 |
7,72113 |
7,72887 |
7,72421 |
-0,00005 |
Корень уравнения равен
Метод Золотого сечения
|
№ |
a |
b |
c |
f(c) |
|
1 |
7 |
8 |
7,381966 |
0,31922 |
|
2 |
7,381966 |
8 |
7,618034 |
0,10250 |
|
3 |
7,618034 |
8 |
7,763932 |
-0,03887 |
|
4 |
7,618034 |
7,763932 |
7,673762 |
0,04893 |
|
5 |
7,673762 |
7,763932 |
7,708204 |
0,01553 |
|
6 |
7,708204 |
7,763932 |
7,729490 |
-0,00520 |
|
7 |
7,708204 |
7,729490 |
7,716335 |
0,00762 |
|
8 |
7,716335 |
7,729490 |
7,721360 |
0,00272 |
|
9 |
7,721359 |
7,729490 |
7,724465 |
-0,00030 |
Корень уравнения равен
Метод рандомизации
|
№ |
Rnd |
a |
b |
x |
f(x) |
|
1 |
0,038625 |
7 |
8 |
7,038625 |
0,58590 |
|
2 |
0,845374 |
7,038625 |
8 |
7,851347 |
-0,12473 |
|
3 |
0,986774 |
7,038625 |
7,851347 |
7,840598 |
-0,11416 |
|
4 |
0,502909 |
7,038625 |
7,840598 |
7,441944 |
0,26610 |
|
5 |
0,292490 |
7,441944 |
7,840598 |
7,558546 |
0,15886 |
|
6 |
0,504041 |
7,558546 |
7,840598 |
7,700712 |
0,02281 |
|
7 |
0,427129 |
7,700712 |
7,840598 |
7,760461 |
-0,03547 |
|
8 |
0,999532 |
7,700712 |
7,760461 |
7,760433 |
-0,03545 |
|
9 |
0,839071 |
7,700712 |
7,760433 |
7,750822 |
-0,02604 |
|
10 |
0,097017 |
7,700712 |
7,750822 |
7,705573 |
0,01809 |
|
11 |
0,721382 |
7,705573 |
7,750822 |
7,738215 |
-0,01372 |
|
12 |
0,251936 |
7,705573 |
7,738215 |
7,713797 |
0,01009 |
|
13 |
0,816922 |
7,713797 |
7,738215 |
7,733745 |
-0,00936 |
|
14 |
0,430309 |
7,713797 |
7,733745 |
7,722381 |
0,00173 |
|
15 |
0,176364 |
7,722381 |
7,733745 |
7,724385 |
-0,00023 |
Корень уравнения равен
Выводы: В лабораторной работе были рассмотрены приближенные методы решения уравнений с одной переменной. Корни, найденные разными способами совпадают с точностью до 0,0001.