Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов a и b , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор c, что
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению длина векторного произведения векторов равна . А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы a и b, если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов a и b равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным . В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.
Вопрос17
выражение векторного произведения через координаты
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .
Определение.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где - координатные векторы.
Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора a , а в третьей – координаты вектора b в заданной прямоугольной системе координат:
Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.
Вопрос 18
Установление коллинеароности векторов
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а х b | = |а| * |b |sin , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, S =1/2|а х b |
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F =АВи пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом си лы Fотносительно точки О называется векторМ, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами ОА и AВ.
Стало быть, М=ОА х F .
Вопрос 19
Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению вектора a*b на вектор :
Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если a, b и c компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен
1°
2°
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы a, b и cобразуют левую тройку векторов.
5°
6°
7°
8°
9°
10° Тождество Якоби:
Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
Вопрос20
Выражение смешанного произведения через координаты
Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk , b =bxi +byj +bzk , с=cxi +cyj +czk . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
Полученную формулу можно записать короче:
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов