У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Лабораторная работа 4 Определение моментов инер

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-30

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 3.2.2025

Кумертауский филиал Государственного образовательного учреждения                                                                       высшего профессионального образования

«Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет»

                                

                                                                                                 Кафедра ЕН и ОТД

Лабораторная работа № 4                                                       Определение моментов инерции твердых тел методом                               трифилярного подвеса

                                                                     

                                                                                          Заведующий кафедрой ЕН и ОТД:

                                                                                          профессор Даутов А.И.

                                                                                          Составил: Старший преподаватель

                                                                                          Медведев И.А.

                                                    

                                                          Кумертау 2006г.

Определение моментов инерции твердых тел методом                               трифилярного подвеса

Приборы и принадлежности:   1. Трифилярный подвес;

                                                                          2. Набор твердых тел, подлежащих измерению                                                                                                             

                                                               (диск, стержень, полый цилиндр);

                                                               3. Секундомер;

      4. Штангенциркуль;

5. Масштабная линейка.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1.Эксперементальное определение моментов инерции твердых тел.

2. Проверка теоремы Штейнера.

ТЕОРИЯ МЕТОДА

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

                             J=∑∆miri²;                               J=∫r²dm;                     (1)               где ri расстояние элемента массы от оси ∆mi вращения.

 

  1.  Момент инерции J является мерой инертности при вращательном движении. Величина момента инерции зависит от массы данного тела и от распределения его массы относительно оси вращения.
  2.  Момент инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы можно найти теоретически. Возьмем, например, однородный сплошной цилиндр. Это тело, можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Цилиндр радиуса разобьем на концентрические слои толщиной dR (рис.1)

                  Рис 1.

Пусть радиус какого-то слоя R , тогда масса частиц, заключенных в этом слое будет:

                                       dm=2ΠRhpdR,                                           (2)

Где h – высота цилиндра;

p – плотность вещества цилиндра.

   Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя будет:

                               DJ=dmR²=2ΠphR³dR;                                      (3)

   Тогда момент инерции всего цилиндра:

                       J=∫dJ=∫R²dm=2Πhp∫R³dR=2Πph(R/4)                       (4)

  Поскольку масса цилиндра m=ΠR²ph, формула (4) запишется так:

                                                 J=1/2mR²;                                             (5)

   Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R, а внешний – R. Просто вычислить по формуле (4), интегрируя в пределе от R до R :

                             J=2Πph∫R³dR=2Πph(R /4- R /4);                          (6)

Так как масса полого цилиндра m=Πph(R²- R²), его момент инерции можно записать так:

                                         J=1/2m(R²+ R²);                                          (7)

   Таким же простым методом можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно разбить на: совокупность колец, дисков: и т.д. Момент инерции неоднородных тел и тел произвольной формы определяется опытным путем. Например: при помощи трифилярного подвеса, как в данной работе. Если каким-то способом определить момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр массы, то очень просто определить момент инерции тела относительно любой параллельной оси. Момент инерции зависит и от направления оси и от места её прохождения. Если нет специальной оговорки, то предполагается, что ось вращения проходит через центр инерции тела. Если ось сдвинута по отношению к центру инерции (рис. 2) на расстояние  d, то новый момент инерции J, будет отличен от момента инерции J относительно параллельной оси ССт, проходящей через центр инерции.

          

                                              J= J +md²;                                           (8)

   Данное выражение представляет собой теорему Штейнера, которая формулируется так:

Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр инерции равен моменту инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр инерции, плюс произведение массы тела, на квадрат расстояния от оси до центра инерции.

   Кинетическая энергия тела, вращения около неподвижной оси равна:

                                                   Wкин= JW²/2;                                                (9)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

   Трифилярный подвес, схема которого изображена на (рис 3, 4) состоит из диска радиуса R, подвешенного горизонтально на трех нитях к не подвижному диску несколько меньше радиуса r. Центры дисков расположены на одной вертикальной оси ООт. Повернем нижний диск около оси ООт на некоторый угол уо (не больше 6-7°) и отпустим его. Диск начнет совершать крутильные колебания около оси ОО^.

                      Рис.3                                                                   Рис.4

   При малых амплитудах колебания их можно приближенно рассматривать как гармонические, т.е. считать, что угол изменяется по закону синуса или косинуса:

                                                φ=φ sin(2П/T)t                                        (10)

   Здесь Т- период крутильных колебаний диска.

При повороте на угол φ диск поднимается на некоторую высоту h=c (рис. 4) и у него появляется дополнительная потенциальность энергия Eh - mgh (m – масса диска). Когда диск проходит положение равновесие, потенциальная энергия колебаний превращается в кинетическую энергию вращательного движения W=Jω²/2                                      

Согласно закону сохранения энергии:

                                                 mgh= Jω² max /2                                      (11)

Отсюда момент инерции диска равен:

                                            J=2 mgh/ω² max                                       (12)

   По этой формуле можно найти момент инерции диска J, если известна его масса m., максимальная угловая скорость W max и высота поднятия h.

   Для нахождения W max дифференцируем по t обе части уравнения (10), получается:

                       ω=dφ/dt=φ (2п/Т)cos(2п/Т)t,                              (13)

   Положив cos(2п/Т)t=1 скорость находят максимальную угловую диска

                                                             ωmax= 2пφ /Т                        (14)

где Т- период колебания. Высота h, на которую поднимается диск, находясь в крайнем положении, определяется из геометрических соображений (рис.4).

Из АВС: l ²=ВС²+(R- r)², а из ∆A B C-l²=BC²+A C²-BC²+R²+ r ²-2Rcosφ            (15)

Из двух равенств видно: BC²=BC²-2Rr (1-cosφ )-4Rr sm²(φ /2)                             (16)

   Из рис.4 видно что, ВС-ВС1=h. При малых амплитудах можно с допускаемой погрешностью положить ВС+ВС1=2l, и Sin (φ /2)≈  φ /2                                       (17)

   Проведя замены, получают: h=2l - 4Rr  ( φ² /2);   Откуда:  h= Rr φ²/ 2l              (18)

   По формулам (12, 14, 18) находят момент инерции нижнего диска:

                                            J= (mgRr/4п²l)Т²                                                      (19)

   Равенство 19 является основной расчетной формулой в этой работе. Все величины, входящие в ее правую часть, измеряются при выполнении работы. По этой формуле можно определить момент инерции нагруженной платформы.

Выполнение работы

1. Определение момента инерции ненагруженной платформы – (нижнего диска)

1. Необходимо установить рабочий диапазон амплитуды крутильных колебаний. С этой целью возбуждают в ненагруженной системе крутильные колебания и измеряют время 20-30 полных колебаний, находят период Т, соответствующий некоторому начальному значению амплитуды φ. Затем уменьшить амплитуду приблизительно в двое, таким же способом находят соответствующий период Т2. Если в пределах точности эксперимента окажется, что Т2=Т1 то для дальнейших измерений можно выбрать, любое значение φ<<φ.

   Если же окажется, что Т2 и Т1, то начальное значение амплитуды φ уменьшают до тех пор, пока указанное равенство не будет выполнено (φ  должно быть не больше 10°).

2. Измеряют радиус платформы R, радиус верхнего диска      и длину подвесов l. Масса платформы указана на установке.

3. Приводят в колебательное движение платформ и измеряют секундомером время t, за которое происходит n=30-50 колебаний.

4. Определяют период колебаний Т.

5. Все измерения производят трижды и, результаты заносят в таблицу 1.

6. По формуле (19) вычисляют момент инерции ненагруженной платформы.

               №

   m

   R

    r

   l

    t

   T

   J0

            1.

            2.

            3.

Сред.значение

                                                                                                                                  Таблица 1.

  1.  Рассчитывают абсолютную и относительною погрешности при измерении момента инерции платформы J0.
  2.  Окончательный результат записывают в виде J0 = J0 ± ∆J0

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИССЛЕДУЕМОГО ТЕЛА.

  1.  Исследуемое тело кладут на платформу так, чтобы его центр тяжести сказался на оси вращения.
  2.  Определяют период колебаний нагруженной платформы.
  3.  По формуле (19) вычисляют момент инерции нагруженной платформы, приняв за сумму масс тела платформы.
  4.  Находят момент инерции тела Jс = J-Jо; Jо – момент инерции ненагруженной платформы.
  5.  Результаты опыта заносят в таблицу 2.
  6.  Измеренные значения моментов сравнивают с расчетным Jтеор рассчитанным, исходя из геометрии тела.

               №

   m

   R

    r

   l

    t

   T

   J1

            1.

            2.

            3.

Сред.значение

                                                                                                                                      Таблица 2.

3.ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА П ПОСЛЕДУЮЩЕЙ ПРОВЕРКОЙ РЕЗУЛЬТАТА ОПЫТА ПО ТЕОРЕМЕ ШТЕЙНЕРА

1. Положив на середину платформы два одинаковых тела одно на другое, определяют момент инерции этих тел, как указано в упражнении 2.

2. Оба тела располагают строго симметрично относительно оси вращения на известное расстояние d от неё и определяют их моменты инерции на таком расстоянии J1. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения. J2= (J1-J0)/2

3. Зная расстояние d массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, проверяют теорему Штейнера.

4. Данные вносят в таблицу 3.

  №

   n1

  t1

 T1

 n2

  t2

 T2

   m

   d

    J1

     J2

 J2=J1+md²

 1.

 2.

 3.

                                                                                                                                      Таблица 3.

Момент инерции J нагруженной платформы, а следовательно, и момент инерции J1 тел, положенных на неё:

                                                      J1= J-J0                                                                            (20)

   Как следует из вывода, формула (19) справедлива при полном отсутствии и потерь энергии на трение. Учет такого рода потерь весьма затруднителен, однако можно считать, что поправки оказываются невелики, если потери энергии незначительны.

   Критерием применительности равенства (19) является условие:

>>T

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1.  Что называется моментом инерции тела.
  2.  От каких величин зависит момент инерции тела.
  3.  При каких упрощающих предположениях выведена формула для Jс -?

Jо= (mgRr/4п²l)Т²

  1.  Как теоретически найти момент инерции для диска.
  2.  Как рассчитывается кинетическая энергия вращающего тела.
  3.  В чем суть теоремы Штейнера.
  4.  Записать уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
  5.  Закон сохранения момента импульса. Примеры.

ЛИТЕРАТУРА

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие: СПБ изд. «Лань» 2006 г.
  2.  Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. СПБ: «Книжный мир» 2003 г.
  3.  Трофимова Т.И. Курс физики. Ученое пособие для ВУЗов. М: «Высшая школа» 2003 г.




1. Жители подчеркнуто заботятся о внешних приличиях и каждый внимательно следит за тем кто как одевается и с к
2. Березневі статті
3. все мы или почти все глубоко отмечены Достоевским
4. оттепели и вынесла за пределы России крупнейших писателей А
5. Брилево Гомельского района Гомельской области 3
6. Моделирование организации труда
7. Смысл любви Смысл любви цикл статей Владимира Соловьева опубликованный в журналах 1892 1893 годах
8.  Гигиена ~ б~л ~ылым ал санитарияб~л- 1
9. а П~н- ~аза~ ~дебиеті Саба~ты~ та~ырыбы- М
10. серого цвета с гнойными наложениями Микропрепарат 144 Септический эндометрит Слизистая оболочка некр

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе