Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторна робота №4. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з симетричною матрицею методом квадратних коренів
Теоретичні відомості
Метод квадратних коренів застосовується для розв’язування систем лінійних рівнянь з симетричною матрицею . Матриця подається у вигляді
|
, |
(1) |
де – верхня трикутна матриця; – транспонована до неї; – діагональна матриця з елементами .
, де .
Рівність (1) утворює систему рівнянь, з якої визначаються елементи матриць і .
, при .
Рівняння при відкидається, оскільки рівняння відповідних параметрів , еквівалентні. Отримаємо рекурентні формули для визначення елементів , .
; .
Також визначимо формулу для :
при ; при .
З цих формул видно, що матриця є верхньою трикутною матрицею. Таким чином після подання у вигляді (1) розв’язання початкової системи
|
(2) |
зводиться до послідовного розв’язання двох систем із трикутними матрицями.
У випадку, коли , про симетричну матрицю A кажуть, що вона додатньо визначена. Матриця називається додатньо визначеною, якщо всі її головні мінори додатні (всі ). Тоді . У цьому випадку розв’язання системи (2) зводиться до розв’язання системи .
Це прямий хід методу квадратних коренів.
Покладемо . Отримаємо, що рівняння системи (2) еквівалентні розв’язанню двох рівнянь з трикутними матрицями
Елементи , () знаходяться за формулами
, , ().
Обчислення здійснюється подібно оберненому ходу у схемі Гауса за формулами
, , ().
Нехай дано систему (2), де - симетрична матриця. Тоді можна подати у вигляді двох транспонованих між собою трикутних матриць.
|
, |
(3) |
де
|
, |
Перемножуючи матриці і для визначення елементів і одержимо такі рівняння:
Звідси послідовно знаходимо
При наявності рівності (3) рівняння (2) еквівалентне двом рівнянням
У розкритому вигляді дані рівняння можна записати так
|
(5) |
|
|
(6) |
З формул (5) і (6) послідовно знаходимо
|
, , ; |
(7) |
|
; , . |
(8) |
При практичному застосуванні методу квадратних коренів прямим ходом за формулами (4) і (7) послідовно обчислюються коефіцієнти , , (), а потім зворотнім ходом за формулою (7) знаходяться невідомі ().
Розв’язання. Скористаємося наведеною раніше схемою, заповнюючи таблицю
|
Коефіцієнти |
Вільні члени |
Контрольна сума |
Коефіцієнти таблиці знаходяться за наведеним алгоритмом при :
; ; ; ;
; ; ;
; . ; ; ;
; ;
; ; ;
.
Тут , ().
Упевнившись, що обчислені значення співпадають із сумою елементів відповідного рядка, переходимо до наступного етапу:
|
; ; |
|
; . |
Для контролю обчислюємо за формулами для , в яких замінено на .
Контроль виконуємо за формулою .
Результати числових розрахунків подамо у вигляді таблиці:
|
Вільні члени |
Контрольна сума |
||||
|
2,66 |
-1,35 |
-2,63 |
2,61 |
3,5337 |
4,8237 |
|
-1,35 |
-2,67 |
1,36 |
2,22 |
-1,8689 |
-2,3089 |
|
-2,63 |
1,36 |
-2,37 |
1,16 |
-1,5770 |
-4,0570 |
|
2,61 |
2,22 |
1,16 |
1,22 |
15,6635 |
22,8735 |
|
1,63095 |
-0,82774 |
-1,61256 |
1,60029 |
2,16665 |
2,95760 |
|
1,83171 |
-0,01377 |
-1,93515 |
0,04121 |
-0,07601 |
|
|
2,22939 |
-1,68980 |
-0,85956 |
-0,31998 |
||
|
2,29332 |
5,91673 |
8,21005 |
|||
|
1,75003 |
2,75998 |
1,56998 |
2,57998 |
||
|
2,74999 |
3,75997 |
2,56997 |
3,57998 |
Індивідуальні завдання. Методом квадратних коренів розв’язати систему рівнянь, задану розширеною матрицею
|
№ |
|||||
|
1 |
2,75 -0,33 1,14 7,44 |
-0,33 7,30 -4,70 -3,54 |
1,14 -4,70 7,49 -5,36 |
7,44 -3,54 -5,36 -8,28 |
-5,6033 -8,1652 6,7613 -5,2470 |
|
2 |
1,76 -0,88 -4,25 -4,63 |
-0,88 -3,79 7,16 6,24 |
-4,25 7,16 7,34 -3,13 |
-4,63 6,24 -3,13 -8,45 |
6,1530 -8,2580 -4,4608 -5,1844 |
|
3 |
-4,36 1,83 6,70 -4,28 |
1,83 2,39 -4,63 -3,81 |
6,70 -4,63 -5,13 -0,30 |
-4,28 -3,81 -0,30 -0,27 |
-5,6981 2,3190 2,5328 -0,5553 |
|
4 |
6,64 -8,87 -4,18 -4,38 |
-8,87 6,10 -4,22 -4,51 |
-4,18 -4,22 1,79 2,69 |
-4,38 -4,51 2,69 -4,74 |
1,8438 -8,7128 -4,7940 -5,9102 |
|
5 |
2,24 1,57 1,65 6,81 |
1,57 -0,33 6,89 2,76 |
1,65 6,89 -8,72 -3,74 |
6,81 2,76 -3,74 7,45 |
-4,4131 -0,5109 -3,7101 -3,1816 |
|
6 |
-0,87 2,75 7,42 -3,47 |
2,75 -8,86 -0,87 7,42 |
7,42 -0,87 2,90 -3,39 |
-3,47 7,42 -3,39 -8,47 |
-8,6363 -4,2410 -0,8095 -4,3327 |
|
7 |
2,21 -3,59 2,58 -5,29 |
-3,59 -0,35 -8,75 1,29 |
2,58 -8,75 -5,87 2,23 |
-5,29 1,29 2,23 7,55 |
-3,7721 1,4428 -8,4050 7,3204 |
|
8 |
-5,31 -3,75 6,83 1,84 |
-3,75 -5,41 2,73 -8,76 |
6,83 2,73 -5,87 6,20 |
1,84 -8,76 6,20 7,52 |
-3,5615 -5,1361 -8,1271 -4,3016 |
|
9 |
7,40 2,49 -4,24 7,79 |
2,49 -4,61 -5,59 -5,57 |
-4,24 -5,59 1,12 7,37 |
7,79 -5,57 7,37 -4,61 |
-3,1495 2,5370 7,8646 -8,5660 |
|
10 |
-5,52 -5,70 2,65 -0,17 |
-5,70 -4,19 6,49 1,43 |
2,65 6,49 1,75 6,40 |
-0,17 1,43 6,40 -5,71 |
-5,6951 -8,1595 -4,9810 -8,4580 |
|
11 |
-3,85 7,28 7,85 7,69 |
7,28 -5,18 -0,39 -4,65 |
7,85 -0,39 -5,22 -0,40 |
7,69 -4,65 -0,40 -0,52 |
-5,5200 7,2303 -0,7021 -4,5808 |
|
12 |
7,13 6,31 6,85 1,28 |
6,31 1,67 7,78 2,39 |
6,85 7,78 -0,69 -0,88 |
1,28 2,39 -0,88 -3,56 |
6,1954 6,2841 -0,1847 2,3309 |
|
13 |
1,67 -8,88 2,19 7,62 |
-8,88 -0,38 -8,58 -3,33 |
2,19 -8,58 -8,17 2,70 |
7,62 -3,33 2,70 -3,12 |
-4,1891 6,5570 -3,7097 -0,4673 |
|
14 |
-4,56 -4,32 -8,11 2,17 |
-4,32 2,51 -5,41 -3,15 |
-8,11 -5,41 1,29 -8,22 |
2,17 -3,15 -8,22 -4,80 |
6,6232 -8,5834 -8,2313 6,3750 |
|
15 |
-8,32 7,75 2,33 6,67 |
7,75 -8,70 -3,83 -3,17 |
2,33 -3,83 -4,10 1,48 |
6,67 -3,17 1,48 7,33 |
-0,1313 7,9544 -5,3280 7,7302 |
|
16 |
2,26 1,72 -0,26 6,87 |
1,72 7,51 6,11 -4,43 |
-0,26 6,11 -8,66 -5,26 |
6,87 -4,43 -5,26 6,41 |
2,7680 1,9599 -3,3429 -3,6129 |
|
17 |
2,76 -8,59 7,90 1,17 |
-8,59 -3,85 -0,70 2,36 |
7,90 -0,70 -0,79 7,83 |
1,17 2,36 7,83 -4,78 |
7,9760 -5,7201 -5,9389 6,5798 |
|
18 |
-4,62 -5,68 2,33 1,62 |
-5,68 -5,23 2,87 6,19 |
2,33 2,87 -8,61 -5,22 |
1,62 6,19 -5,22 7,51 |
-0,1842 -5,8776 -3,2600 -0,4477 |
|
19 |
6,54 -5,60 -5,60 2,70 |
-5,60 7,42 1,63 1,27 |
-5,60 1,62 2,25 1,16 |
2,70 1,27 1,16 -4,72 |
-5,8303 -3,8198 2,3534 7,6550 |
|
20 |
6,44 -5,73 -0,18 6,56 |
-5,73 6,80 -5,44 -0,77 |
-0,18 -5,44 -3,57 -5,28 |
6,56 -0,77 -5,28 6,19 |
-4,9500 1,6063 -4,3570 -4,9524 |
|
21 |
2,23 -5,13 -5,63 7,87 |
-5,13 2,62 6,24 -8,58 |
-5,63 6,24 -3,75 -8,38 |
7,87 -8,58 -8,38 7,37 |
-5,7265 2,4529 -8,2462 -4,9709 |
|
22 |
-0,29 2,19 -5,33 -3,36 |
2,19 7,37 7,21 2,80 |
-5,33 7,21 -0,82 -4,39 |
-3,36 2,80 -4,39 -5,60 |
-8,5409 7,6021 -4,9372 6,8915 |
|
23 |
-5,76 1,80 6,87 7,11 |
1,80 -0,45 -5,39 -8,17 |
6,87 -5,39 -3,10 2,58 |
7,11 -8,17 2,58 -0,18 |
-0,4611 -8,2444 6,4923 -8,1714 |
|
24 |
6,74 1,19 1,16 7,81 |
1,19 -3,76 -5,52 1,48 |
1,16 -5,52 -5,21 7,54 |
7,81 1,48 7,54 -8,85 |
7,8960 1,9700 2,7593 -0,2603 |
|
25 |
1,74 7,55 7,32 -0,77 |
7,55 7,38 6,65 -5,44 |
7,32 6,65 -5,23 -4,89 |
-0,77 -5,44 -4,89 7,58 |
2,3672 2,2074 -0,8734 -3,1900 |
|
26 |
6,34 -2,02 0,21 4,72 |
-2,02 2,91 -3,64 1,28 |
0,21 -3,64 -1,05 3,45 |
4,72 1,28 3,45 -0,34 |
0,1657 -7,0786 -5,7648 7,7263 |
|
27 |
9,54 0,21 -8,36 -3,73 |
0,21 -6,51 3,14 7,13 |
-8,36 3,14 -2,81 0,89 |
-3,73 7,13 0,89 4,32 |
4,6328 16,5362 -13,6536 2,1638 |
|
28 |
3,56 -2,38 1,26 3,27 |
-2,38 3,98 -4,16 3,39 |
1,26 -4,16 6,03 6,41 |
3,27 3,39 6,41 2,05 |
8,7199 -3,1085 10,9728 -15,4545 |
|
29 |
1,65 -3,17 4,25 6,18 |
-3,17 0,34 3,85 -2,71 |
4,25 3,85 -3,52 2,38 |
6,18 -2,71 2,38 7,21 |
0,6931 -9,6941 12,7255 9,1732 |
|
30 |
4,57 7,88 -6,37 8,16 |
7,88 5,16 3,45 6,14 |
-6,37 3,45 7,77 -1,15 |
8,16 6,14 -1,15 -6,06 |
-9,5351 5,3849 1,6058 5,4529 |
|
31 |
-5,55 6,16 4,18 -6,81 |
6,16 -5,19 6,18 -2,88 |
4,18 6,18 -4,59 8,91 |
-6,81 -2,88 8,91 -4,49 |
-7,1832 -5,1808 16,1204 2,0898 |
|
32 |
-8,13 2,17 -8,15 5,16 |
2,17 7,14 -3,48 9,95 |
-8,15 -3,48 9,11 -5,18 |
5,16 9,95 -5,18 -5,19 |
4,6437 -2,0063 -9,0448 -3,7285 |
|
33 |
7,55 6,18 4,85 -6,13 |
6,18 -4,89 0,18 -0,95 |
4,85 0,18 5,12 4,09 |
-6,13 -0,95 4,09 9,15 |
-10,4814 -12,9562 -6,4466 9,0925 |
|
34 |
-8,9 5,06 -0,49 5,99 |
5,06 -0,99 -6,08 -0,85 |
-0,49 -6,08 5,61 0,79 |
5,99 -0,85 0,79 -4,05 |
-14,6651 -6,1222 14,7771 9,1199 |
|
35 |
4,98 0,59 7,54 -0,52 |
0,59 -0,48 5,68 7,44 |
7,54 5,68 4,79 -0,66 |
-0,52 7,44 -0,66 -9,47 |
-1,4448 -1,0563 15,0841 8,6627 |
|
36 |
7,61 4,69 6,48 3,79 |
4,69 5,55 7,09 -0,48 |
6,48 7,09 7,29 7,58 |
3,79 -0,48 7,58 -1,02 |
8,3400 11,2802 -3,8714 24,4432 |
|
37 |
-9,05 0,99 4,07 8,47 |
0,99 4,08 6,58 2,09 |
4,07 6,58 7,88 -3,78 |
8,47 2,09 -3,78 9,15 |
-28,7812 -9,7150 3,2365 16,9204 |
|
38 |
-4,56 4,91 3,86 5,47 |
4,91 2,98 6,43 4,77 |
3,86 6,43 4,75 -6,43 |
5,47 4,77 -6,43 -0,74 |
-11,6699 18,1076 -5,1946 -2,7087 |
|
39 |
3,81 -2,54 -4,01 9,41 |
-2,54 3,33 -1,41 0,15 |
-4,01 -1,41 0,14 0,16 |
9,41 0,15 0,16 1,41 |
2,5921 -3,2226 -7,3569 16,3840 |
|
40 |
4,11 5,12 3,44 -2,11 |
4,11 1,11 -4,45 9,81 |
3,44 -4,45 6,48 0,22 |
-2,11 9,81 0,22 -1,17 |
10,6933 5,5739 0,5998 13,7147 |
|
41 |
8,88 5,44 -1,55 0,18 |
5,44 9,99 -6,16 -9,18 |
-1,55 -6,16 4,44 0,16 |
0,18 -9,18 0,16 3,33 |
-2,2198 6,2634 0,3782 -14,5322 |
|
42 |
0,25 0,13 0,25 5,18 |
0,13 0,36 3,20 4,18 |
0,25 3,20 0,47 5,13 |
5,18 4,18 5,13 0,58 |
-9,2826 -4,7400 -13,8301 5,9359 |
|
43 |
3,47 9,19 7,16 -2,32 |
9,19 5,58 -8,58 -6,07 |
7,16 -8,58 6,69 3,13 |
-2,32 -6,08 3,13 7,71 |
6,0502 5,6627 15,7566 -4,1137 |
|
44 |
4,15 -3,13 2,54 8,17 |
-3,13 4,16 7,56 1,92 |
2,54 7,56 4,17 3,39 |
8,17 1,92 3,39 9,18 |
-3,7275 2,9117 6,9235 3,1793 |
|
45 |
8,12 -1,32 2,58 7,81 |
-1,32 3,18 5,23 3,16 |
2,58 5,23 4,23 8,19 |
7,81 3,16 8,19 4,54 |
7,3593 -2,1319 6,8500 2,6161 |
|
46 |
1,54 2,55 3,81 -0,23 |
2,55 4,81 4,31 6,88 |
3,81 4,31 9,34 -5,34 |
-0,23 6,88 -5,34 7,68 |
1,5756 11,8324 -3,1833 8,8745 |
|
47 |
3,36 -4,13 8,85 6,68 |
-4,13 4,85 7,13 6,68 |
-8,85 7,13 5,96 9,18 |
6,68 6,67 9,18 6,81 |
-6,0969 -4,3950 10,2461 9,2756 |
|
48 |
3,99 -3,87 4,89 5,61 |
-3,87 4,59 7,15 -1,41 |
4,89 7,15 5,66 -3,64 |
5,61 -1,41 -3,64 7,87 |
4,5114 6,0202 18,1266 3,6223 |
|
49 |
9,19 -3,23 -4,41 7,16 |
-3,23 8,17 5,24 6,81 |
-4,41 5,24 5,15 3,18 |
7,16 6,81 3,18 6,18 |
-8,0933 0,5928 2,8760 8,0545 |
|
50 |
-9,47 8,52 3,47 -0,58 |
8,52 8,47 4,06 8,16 |
3,47 4,06 5,47 7,48 |
-0,58 8,16 7,48 -0,68 |
-7,2875 26,4461 22,8807 5,1638 |
Контрольні запитання.
1. Для яких систем лінійних рівнянь застосовний метод квадратних коренів?
2. У чому полягає прямий хід методу квадратного кореня?