Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант 10
Даны квадратичные формы f(x), g(x)
Необходимо:
привести к канонически нормальному виду и выписать соответствующую матрицу замены переменных;
.
Решение.
Квадратичную форму f будем приводить к каноническому виду методом Лагранжа. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим в квадратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
Сделаем в этом выражении замену
и подставим его в квадратичную форму. Получим:
.
Далее выделим в f члены, содержащие x 3 и проделаем с ними аналогичную процедуру:
Eсли положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда
канонический вид квадратичной формы есть
Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид:
Соответствующая матрица замены переменных имеет вид
указать ранг и сигнатуру данных форм;
Сигнатура этой квадратичной формы может быть записана в виде (+ - +)
Матрица
называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы.
Поэтому, ранг нашей матрицы равен 3, так как число сток и столбцов равно 3
Mожно ли с помощью замены переменных перевести первую форму во вторую и наоборот.
Если брать действительные числа, то возможно, обратная матрица после замены переменных будет иметь вид:
Соответствующие замены будут:
Исследовать на положительную определенность формы с помощью критерия Сильвестра.
Квадратичная форма является положительно определенной, если все ее главные миноры положительны.
Составим главные миноры
1≥0, ,
Следовательно, данная квадратичная форма не является положительно определенной.
Аналогичные задания сделаем для формы 2:
2 форма: Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование
с матрицей
,
после чего получим:
Теперь коэффициенты при отличны от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат одного неизвестного, а затем другого. Полагая
Сделаем соответствующую замену:
тогда
канонический вид квадратичной формы есть
Соответствующая матрица замены переменных имеет вид
указать ранг и сигнатуру данных форм;
Сигнатура этой квадратичной формы может быть записана в виде (+ - +)
Матрица
называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы.
Поэтому, ранг нашей матрицы равен 3, так как число сток и столбцов равно 3
Mожно ли с помощью замены переменных перевести первую форму во вторую и наоборот. Если брать действительные числа, то возможно, обратная матрица после замены переменных будет иметь вид:
Соответствующие замены будут:
исследовать на положительную определенность форму с помощью критерия Сильвестра.
Квадратичная форма является положительно определенной, если все ее главные миноры положительны.
Составим главные миноры
1≥0,
Следовательно, данная квадратичная форма является положительно определенной.
2 задание:
Найти все значения параметра , при которых положительно определена квадратичная форма
Решение
Квадратичная форма является положительно определенной, если все ее главные миноры положительны.
Выпишем все коэффициенты
.
Составим главные миноры
.
Найдем значения λ при котором квадратичная форма является положительно определенной
Из главных миноров следует, что 5-λ2≥0 или λ2≤5. Значит,
Из данного неравенства следует, . Если брать только целые числа, то выбирает только или -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: Квадратичная форма является положительно определенной при λ= -2, -1, 0, 1, 2