Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Дифференциальные уравнения моментной теории цилиндрических оболочек. Граничные условия
Дифференциальное уравнение осесимметричной деформации цилиндрической оболочки (8.15) по своей структуре аналогично уравнению упругой линии балки, опирающейся на упругое основание. Эта аналогия не случайна. Если из оболочки вырезать полоску шириной (рисунок 6), то ее можно рассматривать как брус нагруженный поперечной нагрузкой
Поскольку окружная сила пропорциональна перемещению , то она в данном случае играет роль реакции упругого основания.
Рисунок 6
Напишем дифференциальное уравнение упругой линии полоски:
Подставив в это уравнение выражение с учетом зависимости (8.10), а также внеся значение момента инерции
и используя обозначение жесткости (8.9), придем к дифференциальному, уравнению (8.15).
Если функция , удовлетворяющая уравнению (8.15) и граничным условиям, на краях будет найдена, то по зависимостям (8.7) и (8.8) можно вычислить изгибающие моменты , и по зависимости (8.10) – окружную силу . Напряжения определяются по внутренним силовым факторам
Эти формулы легко получить из уравнений (8.3) и (8.4) с учетом зависимостей (8.5) – (8.8).
Наибольшие напряжения возникают при
Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (8.15). Общее решение уравнения представим в виде суммы общего решения однородного уравнения
и частного решения уравнения с правой частью (8.15). Решение однородного уравнения (8.20) ищем в виде
Подставив эту функцию в левую часть уравнения (8.20), получим характеристическое уравнение
из которого найдем
По правилам извлечения корней из отрицательных и мнимых чисел модуль числа равен корню четвертой степени модуля подкоренного числа, т.е., а аргумент числа k – аргументу подкоренного числа, деленному на показатель корня, т.е. следовательно, представляет собой комплексное число
Придавая значения 0, 1, 2, 3, получим четыре корня характеристического уравнения:
Следовательно, общее решение однородного уравнения (8.20) имеет вид
или
где – постоянные интегрирования (комплексные).
Частное решение уравнения с правой частью зависит от закона распределения поверхностных нагрузок .
Рисунок 7
Обычно на практике нагрузки или постоянны, или изменяются по по линейному или квадратичному закону. Ограничиваясь только этими случаями и учитывая, что при указанных условиях
получим для следующее выражение:
Для практических целей общее решение уравнения (8.20), представленное в виде (8.21), недостаточно удобно; поэтому его преобразуют к другому виду, причем для длинных и для коротких оболочек это преобразование делается по-разному.
Остановимся на вопросе о постоянных интегрирования. Для определения постоянных необходимо использовать граничные условия на краях оболочки. На каждом краю обычно бывают заданы два условия.
Если край жестко заделан (рисунок 7,а), то на краю должно быть:
Для шарнирно опертого края (рисунок 7,б)
Для свободного края (рисунок 7,в)
При нагружении края оболочки заданной силой и моментом (рисунок 7,г)
В случае сопряжения цилиндрической оболочки с оболочкой другого типа (рисунки 7,д и 7,е) необходимо иметь четыре условия (для каждого края сопрягаемых оболочек требуется по два условия):
При сопряжении цилиндрической оболочки с плоским днищем (рисунок 7,ж) граничные условия несколько упрощаются, так как на основании допущения о нерастяжимости срединной поверхности пластины первое условие сопряжения принимает вид ; четвертое же условие становится ненужным.